CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE - Profa. Mônica F....
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Capítulo 5CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE
5.1- Análise concentradaGradientes de temperatura no sólido são desprezíveis
t ≤ 0 T=Ti, t→∞ T=T∞
T=T(t)
T∞< Ti
Sem geração de calor. Não tem calor entrando
( )!!"!!#$!"!#$
%%
convecçãopor perdidoCalor armazenada energia
variaçãotaxa
∞−−=∀
−=
TThAdtdTc
EE
s
sa
ρ
1
gseat EEEdtdE !!! +−=
Exemplo:
Balanço de energia no sólido
θ ≡ T −T∞ ⇒dθdt
=dTdt
⇒ρcVhAs
dθdt
= −θ
Utilizando separação de variáveis e integrando de t=0 (θ=θi ):
dθθθi
θ
∫ = −hAsρc∀
dt0
t
∫ ⇒ lnθ − lnθi = −hAsρc∀
t⇒ ρcVhAs
lnθiθ= t
⇒θθi=T −T∞Ti −T∞
φ!"#
= exp −hAsρcV'
()
*
+,t
-
./
0
12
Def.: τ t ≡ρcVhAs
= RtResist.convecção
! Ct
Capacidadetérmica!
Definindo,
τt
0 t
θ/θi
1
Calor transferido num tempo t*:
€
Q = qdt0
t *
∫ = hAs θdt0
t *
∫
⇒ Q = ρcVθ i 1− exp−tτ t
(
) *
+
, -
.
/ 0
1
2 3 2
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−==
ti
tτ
Φθ
θexp
- Validade do método
- Vamos analisar um problema simples: parede plana, regime permanente balanço de calor na superfície: qcond=qconv
€
kALTs1 −Ts2( ) = hA Ts2 −T∞( )
⇒Ts1 −Ts2Ts2 −T∞
=L /kA1/hA
=RcondRconv
=hLk
= Bi
⇒ Rcond << Rconv → Bi <<1
- Neste caso é razoável desprezar os gradientes de temperatura.
- A condição para a utilização do método é: Bi=hLc/k < 0,1, onde Lc é um comprimento característico (p.ex. V/A)
- Indicar qualitativamente quais os valores de Bi das curvas da figura
Ts1Ts2
Ts2
Ts2
a
b
c
qcond qconv
3
-Adimensionalização da equação para a distribuição de temperaturas
€
hAstρcV
=htρcLc
=hLck
kρc
tLc2 =
hLckBi
αtLc2
Fo
= BiFo
⇒θθ i
=T −T∞Ti −T∞
= exp(−BiFo)
Significado físico dos adimensionais:Bi → razão entre resistência térmica à condução e resistência térmica à convecçãoFo → tempo adimensional. Fornece uma medida da eficiência relativa com a qual um sólido conduz e armazena energia térmica (qcond~kL2ΔT/L, Ea ~ρcL3∆T/t)
4
5.2 - Análise concentrada generalizada
- Quando ocorrem outras fontes de transferência de calor, além da convecção. Por exemplo: radiação, geração de calor.
Tviz
A
q”s q”conv
q”rad
€
˙ E g, ˙ E a
Balanço de calor no sólido:
€
qs'' + ˙ E g − qconv
'' + qrad''( )A = ρcV dT
dt
qs'' + ˙ E g − h(T −T∞) + εσ (T 4 −Tviz
4 )( )A = ρcV dTdt
Esta eq. só tem solução exata em casos particulares
5
Exemplo:
Uma junção de termopar esférica é usada para medir a temperatura numa corrente de gás. O coeficiente de convecção entre a junção e o gás é 400 W/m2K. A condutividade térmica é 20 W/mK, o calor
específico 400 J/kgK e a densidade vale 8500 kg/m3. Calcule o diâmetro necessário para que o termopar tenha a constante de tempo de 1s. Se a junção está a 25 0C e o gás a 200 0C, quanto tempo levará para que a junção chegue a 199 0C?
gás Ti=25 0C
6
Efeito de Seebeck:junção de 2 metais gera tensão elétrica, que é função datemperatura
5.3 - Efeitos de espaço
qzTk
zyTk
yxTk
xtTcp !+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
ρ
7
-Parede plana sem geração de calor:
gseat EEEdtdE !!! +−=
§ quando os gradientes de temperatura não são desprezíveis
( ) qTktTcp !+∇•∇=
∂∂
ρ
!zero
zerozero
p qzTk
zyTk
yxTk
xtTc "
##$##%&##$##%&+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
ρ
-condutividade térmica constante:2
21xT
tT
∂
∂∂∂
α=
-disfusivade térmica:pc
kρ
α =
Balanço de energia
8
iTxTCI =),(: 0
2
21xT
tT
∂
∂∂∂
α=
Exemplo: Parede plana
xL
ρ, cp, k
hT∞
Paredeisolada
Condição inicial: placa com temperatura uniforme Ti
( )⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−=−
=
∞=
=
TtLThxTk
xT
CC
Lx
x
),(
:
∂∂
∂∂ 0
0
Condição de contorno:
( )hkLTTtxTT i ,,,,,,, α∞=⇒solução analítica ou numérica
-Adimensionalização do problema: limita os valores das variáveis,generaliza o problema e reduz o número de parâmetros
€
θ * ≡θθ i
=T −T∞Ti −T∞
x* ≡ xL
t * ≡ αtL2
= Fo
⇒∂ 2θ *
∂x*2=∂θ *
∂FoCI :θ *(x*,0) =1
CC :
∂θ *
∂x* x*= 0
= 0
∂θ *
∂x* x*=1
= − Bi=hL / k θ *(1,t *)
)
*
+ +
,
+ +
⇒θ * = θ * x*,Fo,Bi( )
9
Ø Parede plana com convecção
§ Tipicamente a solução da equação é na forma de séries infinitas.
L
x T∞,h
T(x,0)=TiT∞≠Ti
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=
=
==
=
=
),(
:
),(:
***
*
*
*
***
*
*
*
*
tBix
xCC
xCIFx
x
x
o
1
0
10
1
0
2
2
θ∂
∂θ
∂
∂θ
θ∂∂θ
∂
θ∂
10
)()( **oFxX τθ =- Solução exata: separação de variáveis
2
2
oFX
xX
∂τ∂
∂
∂τ =* dividindo por Xτ 2
2
2 11 λ
∂τ∂
τ∂
∂−==
oFxX
X *
L
x T∞,h
T(x,0)=TiT∞≠Ti
11
C.C (1)
)exp( oo FAFdd 22 λτλττ
−=⇒−=
)sin()cos( ***
xBxBXXxdXd λλλ 21
22
20 +=⇒=+
( ))sin()cos()exp( *** xCxCt λλλθ 212 +−=
( ))cos()sin()exp( ***
*xCxCt
xdd
λλλλθ
212 +−−=
00 20
=⇒==
Cx x**
*
∂
∂θ
C.C (2) )cos()sin(),( ***
*
*λλλθ
∂
∂θ11
11 CBiCtBi
x x−=−⇒−=
=
Bi=)tan(λλ λn= autovalor Binn =)tan(λλ
C.I.
12
10
=∑=∞
=nnn xC )cos( ** λθ10 =),( ** xθ
Usando a propriedade de autofunções ortogonais
dxx
dxxC
n
n
n
∫
∫=1
0
2
1
0
)(cos
)cos(
*
*
λ
λ
22
4)sin(
sin
nn
nnC λλ
λ
+=
∑ −=∞
=02
nonnn FxC )exp()cos( ** λλθSolução exata
λn= autovalor Binn =)tan(λλ
Solução aproximada (válida para Fo>0,2):somente primeiro termo da série
! ! !E(0)-E(t)=a
Q=s
0=e E=E-E Δ
13
Calor total transferido para/da parede
( ) ( )
( )∞−∀=
∫ ∀−−=−−=⇒
TTcQ
dTtxTcEtEQ
i
i
ρ
ρ
0Def
0
:
),()()(
( ) ( )
*
*
sin
),(
01
1
0
0
1
11
θλ
λ
θ
−=⇒
∀∫ −∀
=∀∀
∫−
−−=
∞
ddTTTtxT
i
i
Para propriedades constantes
)exp()cos( **oFxC 2
111 λλθ −=
-Sistemas radiais
- Solução exata: Cilindro infinito
R
r T∞,h
T(r,0)=TiT∞≠Ti
€
1r*∂ 2r*θ*
∂r*2=∂θ*
∂Fo CI :θ*(r* ,0) =1
CC :
∂θ*
∂r* r*= 0
= 0
∂θ*
∂r* x*=1
= − Bi= hR / k θ*(1,t*)
%
&
' '
(
' '
Solução exata :
θ* = Cn exp −ξn2Fo( )J0 ξnr
*( )n=1
∞
∑
Cn =1
2ξn
J1 ξn( )J0
2 ξn( ) + J12 ξn( )
ξn são os autovalores de
ξnJ1 ξn( )J0 ξn( )
= Bi 14 J0 e J1 = funções de Bessel
Solução aproximada (válida para Fo>0,2):
€
θ* = C1exp −ξ12Fo( )J0 ξ1r*( ) = θ0
*J0 ξ1r*( )
θ0* = C1exp −ξ1
2Fo( )
15
-Sistemas radiais
- Solução exata: Esferas
1r*2
∂ 2r*2θ *
∂r*2 =∂θ *
∂Fo CI :θ *(r*, 0) =1
CC :
∂θ *
∂r*r*=0
= 0
∂θ *
∂r*r*=1
= − Bi=hR/k! θ *(1, t*)
"
#
$$
%
$$
Solução exata:
θ * = Cn exp −ξn2Fo( ) 1
ξnr* sin ξnr
*( )n=1
∞
∑
Cn =sin ξn( )−ξn cos ξn( )() *+
2ξn − sin 2ξn( ) ξn são os autovalores de
1-ξncot ξn( )=Bi
16
Solução aproximada (Fo>0,2):
€
θ* = θ0* 1ξ1r
* sin ξ1r*( )
θ0* = C1exp −ξ1
2Fo( )
17
- Gráficos da temperatura adimensional para paredes planas
18
- Gráficos da temperatura adimensional para paredes planas
19
- Gráfico do fluxo de calor adimensional para paredes planas
20
- Gráficos da temperatura adimensional para cilindro infinito
21
- Gráficos da temperatura adimensional para cilindro infinito
22
- Gráfico do fluxo de calor adimensional para cilindro infinito
23
5.4 - Sólido semi-infinito
Superfície a TS
q”s
T∞,h
T(x,0)=Ti
t
Ts
Ti x
t
Ts
Ti x
t
Ts
Ti x
T∞
24
-Equação de condução de calor:
€
∂ 2T∂x2
=1α∂T∂t
CI :T(x,0) = TiCC :T(x→∞,t) = Ti
x = 0
T(0,t) = T0
−k ∂T∂x
= q0"
−k ∂T∂x
= h(T∞ −T)
'
(
) ) )
*
) ) )
25
Três tipos de condições de contorno
-Solução para o caso com CC de temperatura constante:
! ( ) ηα∂∂
∂∂
∂η∂
η∂∂
∂∂
ddT
txt
tT
xT
xT
21
041/
=+=
=
substituindo na eq. de condução de calor, e usando separação de variáveis chega-se a:
iTTTT
TdTd
=∞→=
−=
)()( η
∂η∂η
η
0
2
0
2
2
26
• método da similaridade • transforma a eq. diferencial parcial em 1 eq. diferencial ordinária.• Assumindo que T=T(x,t)=T(η), onde a seguinte transformação existe para
η≡x/(4α t)1/2
∂T∂ t
=∂T∂η
∂η∂ t
+∂T∂t
∂ t∂ t
=0!
= −x
2 t 4α t( )1/2dTdη
( ) 2
2
2
2
41
ηα∂η∂
∂∂
∂η∂
∂
∂
dTd
txxT
xT
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
-Solução para o caso com CC de temperatura constante:
!0=
+=xt
tT
xT
xT
∂∂
∂∂
∂η∂
η∂∂
∂∂
substituindo na equação de condução de calor
27
tT
tT
∂η∂
∂η∂
∂∂
=
( ) 2
2
2
2
41
ηα∂η∂
∂∂
∂η∂
∂
∂
dTd
txxT
xT
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⇒=
ηη
αη
η∂∂
α∂
∂ddT
tdTd
xtT
xT
211
2
2
2
2
2
2
( ) 2141/tx α∂
η∂=
( ) tttx
t 242 21η
α∂η∂
−=−=/
( ) ηα ddT
t 2141/
=
2
2
2
2
η
η
dTd
x=
ηηddT
t2−=
ηη
η ddT
dTd 22
2−=
• método da similaridade • transforma a eq. diferencial parcial em 1 eq. diferencial ordinária.• Assumindo que T=T(x,t)=T(η), onde a seguinte transformação existe para η≡x/
(4α t)1/2
Podemos resolver a equação pelo método de separação de variáveis:
( ) '/ln 12 CddT +−= ηη
28
iTTTT
TdTd
=∞→=
−=
)()( η
∂η∂η
η
0
2
0
2
2
( )ηη
ηη d
ddTddTd 2−=
//
integrando
( ) π0
02
01
02
2
TT
duu
TTC
TC
ii −=
∫ −
−=
=
∞ exp
( ) ( ) 202
12
1 CduuCTCddT
+∫ −=⇒−= ηηη
expexp
Usando as CC:
( ) ( )!"#erro função
02
0
0 2 ηπ
η erfduuTTTT
i≡∫ −=
−
−⇒ exp
Fluxo calor na superfície
( ) ( )
( ) ( )( )
( )( ) 21
0
0
2120
00
0
42
/"
/
"
exp
)(
t
TTkq
tTTk
dxd
derfdTTk
xTkq
is
i
ix
s
πα
αηπ
ηηη
∂∂
η
η
−=⇒
−−
−−=−=
=
−
==
29
Exemplo
Na instalação de uma tubulação em regiões frias, deve-se observara possibilidade de congelamento. Obtenha uma estimativa para aprofundidade mínima xm para evitar o congelamento, considerandoque inicialmente o solo está a 20 0C e a temperatura da superfície é -15 0C por 60 dias.
Ts=-150C
Ti=200C xm
T(xm,60dias)=00C
Propriedades do solo (a 300K):ρ=2050kg/m3, α=0,138x10-6 m2/sk=0,52 W/mK, c=1840 J/kgK
30
Influência de α:
α=10-7
1,38x10-7
3x10-7
T(0C)
0
20
10
-15
t(dias)6040200
T(0C)
0
20
10
-15
5 dias 20 dias30 dias
60 dias
x
31
5.5 - Efeitos multi-dimensionais:- Princípio da superposição Exemplo: cilindro curto
€
t = 0 :T = TiT∞ ≠ Ti
$ % & ⇒ T = T(r,x,t)
⇒1r∂∂rr ∂T∂r
)
* +
,
- . +
∂ 2T∂x2
=1α∂T∂t
T(r,x,t) −T∞Ti −T∞
=T(x,t) −T∞Ti −T∞ parede
plana
solução 1 -D
•T(r,t) −T∞Ti −T∞ cilindro
infinito
solução 1 -D
32
Outros exemplos:
33
5.6-Método de diferenças finitas para problemas multi-dimensionais transientes
€
1α∂T∂t
=∂ 2T∂x2
+∂ 2T∂y 2
1. Método explícito- usar diferenças centrais para o espaço, e no tempo:
€
t = pn. passostempo
Δt passo tempo
∂T∂t m,n
≈Tm,np+1 −Tm,n
p
Δt
1αTm,np+1 −Tm,n
p
Δt=Tm+1,np + Tm−1,n
p − 2Tm,np
Δx( )2+Tm,n+1p + Tm,n−1
p − 2Tm,np
Δy( )2
Para Δx = Δy,
Tm,np+1 = Fo Tm+1,n
p + Tm−1,np + Tm,n+1
p + Tm,n−1p( ) + 1− 4Fo( )Tm,np
Fo =αΔtΔx( )2 34
• Observa-se que Tpm,n é função apenas das temperaturas
vizinhasnos tempos anteriores• A precisão da solução aumenta para menores ∆x e ∆t• A escolha de ∆t depende de condições de estabilidade de
solução.• A estabilidade requer a escolha de valores de ∆t abaixo de um • valor crítico, relacionado ao coeficiente associado ao termo
Tpm,n.
• Para o exemplo anterior, a condição de estabilidade requer que
(1-4Fo)≥0⇒Fo≤1/4
• As equações discretizadas também podem ser obtidas a partir de um balanço de calor
35
2. Método implícito
-Tp+1m,n depende dos valores de temperatura conhecidos
-O método é sempre estável⇒não tem restrições para ∆t ou ∆x
-A equação discretizada fica:
€
1αTm,np+1 −Tm,n
p
Δt=Tm+1,np* + Tm−1,n
p* − 2Tm,np+1
Δx( )2+Tm,n+1p* + Tm,n−1
p* − 2Tm,np+1
Δy( )2
p* = p ou p +1Para Δx = Δy,
1+ 4Fo( )Tm,np+1 = Fo Tm+1,np* + Tm−1,n
p* + Tm,n+1p* + Tm,n−1
p*( ) + Tm,np
Fo =αΔtΔx( )2
- As equações são resolvidas simultaneamente usando o Método iterativo de Gauss Seidel 36