CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE - Profa. Mônica F....

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Capítulo 5 CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE 5.1- Análise concentrada Gradientes de temperatura no sólido são desprezíveis t 0 T=T i , t→∞ T=T T=T(t) T < T i Sem geração de calor. Não tem calor entrando ( ) ! !" ! !# $ !" !# $ % % convecção por perdido Calor armazenada energia variação taxa = = T T hA dt dT c E E s s a ρ 1 g s e at E E E dt dE ! ! ! + = Exemplo: Balanço de energia no sólido

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Capítulo 5CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE

5.1- Análise concentradaGradientes de temperatura no sólido são desprezíveis

t ≤ 0 T=Ti, t→∞ T=T∞

T=T(t)

T∞< Ti

Sem geração de calor. Não tem calor entrando

( )!!"!!#$!"!#$

%%

convecçãopor perdidoCalor armazenada energia

variaçãotaxa

∞−−=∀

−=

TThAdtdTc

EE

s

sa

ρ

1

gseat EEEdtdE !!! +−=

Exemplo:

Balanço de energia no sólido

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θ ≡ T −T∞ ⇒dθdt

=dTdt

⇒ρcVhAs

dθdt

= −θ

Utilizando separação de variáveis e integrando de t=0 (θ=θi ):

dθθθi

θ

∫ = −hAsρc∀

dt0

t

∫ ⇒ lnθ − lnθi = −hAsρc∀

t⇒ ρcVhAs

lnθiθ= t

⇒θθi=T −T∞Ti −T∞

φ!"#

= exp −hAsρcV'

()

*

+,t

-

./

0

12

Def.: τ t ≡ρcVhAs

= RtResist.convecção

! Ct

Capacidadetérmica!

Definindo,

τt

0 t

θ/θi

1

Calor transferido num tempo t*:

Q = qdt0

t *

∫ = hAs θdt0

t *

⇒ Q = ρcVθ i 1− exp−tτ t

(

) *

+

, -

.

/ 0

1

2 3 2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−==

ti

Φθ

θexp

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- Validade do método

- Vamos analisar um problema simples: parede plana, regime permanente balanço de calor na superfície: qcond=qconv

kALTs1 −Ts2( ) = hA Ts2 −T∞( )

⇒Ts1 −Ts2Ts2 −T∞

=L /kA1/hA

=RcondRconv

=hLk

= Bi

⇒ Rcond << Rconv → Bi <<1

- Neste caso é razoável desprezar os gradientes de temperatura.

- A condição para a utilização do método é: Bi=hLc/k < 0,1, onde Lc é um comprimento característico (p.ex. V/A)

- Indicar qualitativamente quais os valores de Bi das curvas da figura

Ts1Ts2

Ts2

Ts2

a

b

c

qcond qconv

3

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-Adimensionalização da equação para a distribuição de temperaturas

hAstρcV

=htρcLc

=hLck

kρc

tLc2 =

hLckBi

αtLc2

Fo

= BiFo

⇒θθ i

=T −T∞Ti −T∞

= exp(−BiFo)

Significado físico dos adimensionais:Bi → razão entre resistência térmica à condução e resistência térmica à convecçãoFo → tempo adimensional. Fornece uma medida da eficiência relativa com a qual um sólido conduz e armazena energia térmica (qcond~kL2ΔT/L, Ea ~ρcL3∆T/t)

4

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5.2 - Análise concentrada generalizada

- Quando ocorrem outras fontes de transferência de calor, além da convecção. Por exemplo: radiação, geração de calor.

Tviz

A

q”s q”conv

q”rad

˙ E g, ˙ E a

Balanço de calor no sólido:

qs'' + ˙ E g − qconv

'' + qrad''( )A = ρcV dT

dt

qs'' + ˙ E g − h(T −T∞) + εσ (T 4 −Tviz

4 )( )A = ρcV dTdt

Esta eq. só tem solução exata em casos particulares

5

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Exemplo:

Uma junção de termopar esférica é usada para medir a temperatura numa corrente de gás. O coeficiente de convecção entre a junção e o gás é 400 W/m2K. A condutividade térmica é 20 W/mK, o calor

específico 400 J/kgK e a densidade vale 8500 kg/m3. Calcule o diâmetro necessário para que o termopar tenha a constante de tempo de 1s. Se a junção está a 25 0C e o gás a 200 0C, quanto tempo levará para que a junção chegue a 199 0C?

gás Ti=25 0C

6

Efeito de Seebeck:junção de 2 metais gera tensão elétrica, que é função datemperatura

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5.3 - Efeitos de espaço

qzTk

zyTk

yxTk

xtTcp !+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ρ

7

-Parede plana sem geração de calor:

gseat EEEdtdE !!! +−=

§  quando os gradientes de temperatura não são desprezíveis

( ) qTktTcp !+∇•∇=

∂∂

ρ

!zero

zerozero

p qzTk

zyTk

yxTk

xtTc "

##$##%&##$##%&+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ρ

-condutividade térmica constante:2

21xT

tT

∂∂∂

α=

-disfusivade térmica:pc

α =

Balanço de energia

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8

iTxTCI =),(: 0

2

21xT

tT

∂∂∂

α=

Exemplo: Parede plana

xL

ρ, cp, k

hT∞

Paredeisolada

Condição inicial: placa com temperatura uniforme Ti

( )⎪⎪

⎪⎪

−=−

=

∞=

=

TtLThxTk

xT

CC

Lx

x

),(

:

∂∂

∂∂ 0

0

Condição de contorno:

( )hkLTTtxTT i ,,,,,,, α∞=⇒solução analítica ou numérica

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-Adimensionalização do problema: limita os valores das variáveis,generaliza o problema e reduz o número de parâmetros

θ * ≡θθ i

=T −T∞Ti −T∞

x* ≡ xL

t * ≡ αtL2

= Fo

⇒∂ 2θ *

∂x*2=∂θ *

∂FoCI :θ *(x*,0) =1

CC :

∂θ *

∂x* x*= 0

= 0

∂θ *

∂x* x*=1

= − Bi=hL / k θ *(1,t *)

)

*

+ +

,

+ +

⇒θ * = θ * x*,Fo,Bi( )

9

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Ø  Parede plana com convecção

§  Tipicamente a solução da equação é na forma de séries infinitas.

L

x T∞,h

T(x,0)=TiT∞≠Ti

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

−=

=

==

=

=

),(

:

),(:

***

*

*

*

***

*

*

*

*

tBix

xCC

xCIFx

x

x

o

1

0

10

1

0

2

2

θ∂

∂θ

∂θ

θ∂∂θ

θ∂

10

)()( **oFxX τθ =- Solução exata: separação de variáveis

2

2

oFX

xX

∂τ∂

∂τ =* dividindo por Xτ 2

2

2 11 λ

∂τ∂

τ∂

∂−==

oFxX

X *

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L

x T∞,h

T(x,0)=TiT∞≠Ti

11

C.C (1)

)exp( oo FAFdd 22 λτλττ

−=⇒−=

)sin()cos( ***

xBxBXXxdXd λλλ 21

22

20 +=⇒=+

( ))sin()cos()exp( *** xCxCt λλλθ 212 +−=

( ))cos()sin()exp( ***

*xCxCt

xdd

λλλλθ

212 +−−=

00 20

=⇒==

Cx x**

*

∂θ

C.C (2) )cos()sin(),( ***

*

*λλλθ

∂θ11

11 CBiCtBi

x x−=−⇒−=

=

Bi=)tan(λλ λn= autovalor Binn =)tan(λλ

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C.I.

12

10

=∑=∞

=nnn xC )cos( ** λθ10 =),( ** xθ

Usando a propriedade de autofunções ortogonais

dxx

dxxC

n

n

n

∫=1

0

2

1

0

)(cos

)cos(

*

*

λ

λ

22

4)sin(

sin

nn

nnC λλ

λ

+=

∑ −=∞

=02

nonnn FxC )exp()cos( ** λλθSolução exata

λn= autovalor Binn =)tan(λλ

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Solução aproximada (válida para Fo>0,2):somente primeiro termo da série

! ! !E(0)-E(t)=a

Q=s

0=e E=E-E Δ

13

Calor total transferido para/da parede

( ) ( )

( )∞−∀=

∫ ∀−−=−−=⇒

TTcQ

dTtxTcEtEQ

i

i

ρ

ρ

0Def

0

:

),()()(

( ) ( )

*

*

sin

),(

01

1

0

0

1

11

θλ

λ

θ

−=⇒

∀∫ −∀

=∀∀

∫−

−−=

QQ

ddTTTtxT

QQ

i

i

Para propriedades constantes

)exp()cos( **oFxC 2

111 λλθ −=

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-Sistemas radiais

- Solução exata: Cilindro infinito

R

r T∞,h

T(r,0)=TiT∞≠Ti

1r*∂ 2r*θ*

∂r*2=∂θ*

∂Fo CI :θ*(r* ,0) =1

CC :

∂θ*

∂r* r*= 0

= 0

∂θ*

∂r* x*=1

= − Bi= hR / k θ*(1,t*)

%

&

' '

(

' '

Solução exata :

θ* = Cn exp −ξn2Fo( )J0 ξnr

*( )n=1

Cn =1

2ξn

J1 ξn( )J0

2 ξn( ) + J12 ξn( )

ξn são os autovalores de

ξnJ1 ξn( )J0 ξn( )

= Bi 14 J0 e J1 = funções de Bessel

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Solução aproximada (válida para Fo>0,2):

θ* = C1exp −ξ12Fo( )J0 ξ1r*( ) = θ0

*J0 ξ1r*( )

θ0* = C1exp −ξ1

2Fo( )

15

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-Sistemas radiais

- Solução exata: Esferas

1r*2

∂ 2r*2θ *

∂r*2 =∂θ *

∂Fo CI :θ *(r*, 0) =1

CC :

∂θ *

∂r*r*=0

= 0

∂θ *

∂r*r*=1

= − Bi=hR/k! θ *(1, t*)

"

#

$$

%

$$

Solução exata:

θ * = Cn exp −ξn2Fo( ) 1

ξnr* sin ξnr

*( )n=1

Cn =sin ξn( )−ξn cos ξn( )() *+

2ξn − sin 2ξn( ) ξn são os autovalores de

1-ξncot ξn( )=Bi

16

Solução aproximada (Fo>0,2):

θ* = θ0* 1ξ1r

* sin ξ1r*( )

θ0* = C1exp −ξ1

2Fo( )

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- Gráficos da temperatura adimensional para paredes planas

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- Gráficos da temperatura adimensional para paredes planas

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- Gráfico do fluxo de calor adimensional para paredes planas

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- Gráficos da temperatura adimensional para cilindro infinito

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- Gráficos da temperatura adimensional para cilindro infinito

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- Gráfico do fluxo de calor adimensional para cilindro infinito

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5.4 - Sólido semi-infinito

Superfície a TS

q”s

T∞,h

T(x,0)=Ti

t

Ts

Ti x

t

Ts

Ti x

t

Ts

Ti x

T∞

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-Equação de condução de calor:

∂ 2T∂x2

=1α∂T∂t

CI :T(x,0) = TiCC :T(x→∞,t) = Ti

x = 0

T(0,t) = T0

−k ∂T∂x

= q0"

−k ∂T∂x

= h(T∞ −T)

'

(

) ) )

*

) ) )

25

Três tipos de condições de contorno

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-Solução para o caso com CC de temperatura constante:

! ( ) ηα∂∂

∂∂

∂η∂

η∂∂

∂∂

ddT

txt

tT

xT

xT

21

041/

=+=

=

substituindo na eq. de condução de calor, e usando separação de variáveis chega-se a:

iTTTT

TdTd

=∞→=

−=

)()( η

∂η∂η

η

0

2

0

2

2

26

•  método da similaridade •  transforma a eq. diferencial parcial em 1 eq. diferencial ordinária.•  Assumindo que T=T(x,t)=T(η), onde a seguinte transformação existe para

η≡x/(4α t)1/2

∂T∂ t

=∂T∂η

∂η∂ t

+∂T∂t

∂ t∂ t

=0!

= −x

2 t 4α t( )1/2dTdη

( ) 2

2

2

2

41

ηα∂η∂

∂∂

∂η∂

dTd

txxT

xT

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

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-Solução para o caso com CC de temperatura constante:

!0=

+=xt

tT

xT

xT

∂∂

∂∂

∂η∂

η∂∂

∂∂

substituindo na equação de condução de calor

27

tT

tT

∂η∂

∂η∂

∂∂

=

( ) 2

2

2

2

41

ηα∂η∂

∂∂

∂η∂

dTd

txxT

xT

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⇒=

ηη

αη

η∂∂

α∂

∂ddT

tdTd

xtT

xT

211

2

2

2

2

2

2

( ) 2141/tx α∂

η∂=

( ) tttx

t 242 21η

α∂η∂

−=−=/

( ) ηα ddT

t 2141/

=

2

2

2

2

η

η

dTd

x=

ηηddT

t2−=

ηη

η ddT

dTd 22

2−=

•  método da similaridade •  transforma a eq. diferencial parcial em 1 eq. diferencial ordinária.•  Assumindo que T=T(x,t)=T(η), onde a seguinte transformação existe para η≡x/

(4α t)1/2

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Podemos resolver a equação pelo método de separação de variáveis:

( ) '/ln 12 CddT +−= ηη

28

iTTTT

TdTd

=∞→=

−=

)()( η

∂η∂η

η

0

2

0

2

2

( )ηη

ηη d

ddTddTd 2−=

//

integrando

( ) π0

02

01

02

2

TT

duu

TTC

TC

ii −=

∫ −

−=

=

∞ exp

( ) ( ) 202

12

1 CduuCTCddT

+∫ −=⇒−= ηηη

expexp

Usando as CC:

( ) ( )!"#erro função

02

0

0 2 ηπ

η erfduuTTTT

i≡∫ −=

−⇒ exp

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Fluxo calor na superfície

( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) 21

0

0

2120

00

0

42

/"

/

"

exp

)(

t

TTkq

tTTk

dxd

derfdTTk

xTkq

is

i

ix

s

πα

αηπ

ηηη

∂∂

η

η

−=⇒

−−

−−=−=

=

==

29

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Exemplo

Na instalação de uma tubulação em regiões frias, deve-se observara possibilidade de congelamento. Obtenha uma estimativa para aprofundidade mínima xm para evitar o congelamento, considerandoque inicialmente o solo está a 20 0C e a temperatura da superfície é -15 0C por 60 dias.

Ts=-150C

Ti=200C xm

T(xm,60dias)=00C

Propriedades do solo (a 300K):ρ=2050kg/m3, α=0,138x10-6 m2/sk=0,52 W/mK, c=1840 J/kgK

30

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Influência de α:

α=10-7

1,38x10-7

3x10-7

T(0C)

0

20

10

-15

t(dias)6040200

T(0C)

0

20

10

-15

5 dias 20 dias30 dias

60 dias

x

31

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5.5 - Efeitos multi-dimensionais:- Princípio da superposição Exemplo: cilindro curto

t = 0 :T = TiT∞ ≠ Ti

$ % & ⇒ T = T(r,x,t)

⇒1r∂∂rr ∂T∂r

)

* +

,

- . +

∂ 2T∂x2

=1α∂T∂t

T(r,x,t) −T∞Ti −T∞

=T(x,t) −T∞Ti −T∞ parede

plana

solução 1 -D

•T(r,t) −T∞Ti −T∞ cilindro

infinito

solução 1 -D

32

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Outros exemplos:

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5.6-Método de diferenças finitas para problemas multi-dimensionais transientes

1α∂T∂t

=∂ 2T∂x2

+∂ 2T∂y 2

1. Método explícito- usar diferenças centrais para o espaço, e no tempo:

t = pn. passostempo

Δt passo tempo

∂T∂t m,n

≈Tm,np+1 −Tm,n

p

Δt

1αTm,np+1 −Tm,n

p

Δt=Tm+1,np + Tm−1,n

p − 2Tm,np

Δx( )2+Tm,n+1p + Tm,n−1

p − 2Tm,np

Δy( )2

Para Δx = Δy,

Tm,np+1 = Fo Tm+1,n

p + Tm−1,np + Tm,n+1

p + Tm,n−1p( ) + 1− 4Fo( )Tm,np

Fo =αΔtΔx( )2 34

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•  Observa-se que Tpm,n é função apenas das temperaturas

vizinhasnos tempos anteriores•  A precisão da solução aumenta para menores ∆x e ∆t•  A escolha de ∆t depende de condições de estabilidade de

solução.•  A estabilidade requer a escolha de valores de ∆t abaixo de um •  valor crítico, relacionado ao coeficiente associado ao termo

Tpm,n.

•  Para o exemplo anterior, a condição de estabilidade requer que

(1-4Fo)≥0⇒Fo≤1/4

•  As equações discretizadas também podem ser obtidas a partir de um balanço de calor

35

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2. Método implícito

-Tp+1m,n depende dos valores de temperatura conhecidos

-O método é sempre estável⇒não tem restrições para ∆t ou ∆x

-A equação discretizada fica:

1αTm,np+1 −Tm,n

p

Δt=Tm+1,np* + Tm−1,n

p* − 2Tm,np+1

Δx( )2+Tm,n+1p* + Tm,n−1

p* − 2Tm,np+1

Δy( )2

p* = p ou p +1Para Δx = Δy,

1+ 4Fo( )Tm,np+1 = Fo Tm+1,np* + Tm−1,n

p* + Tm,n+1p* + Tm,n−1

p*( ) + Tm,np

Fo =αΔtΔx( )2

- As equações são resolvidas simultaneamente usando o Método iterativo de Gauss Seidel 36