Universidade de VigoDepartamento de Matemática Aplicada II

E.T.S.I. Minas

Algebra LinealCurso 2013/14

Soluciones a los ejercicios de la tercera prueba parcial

1) Se considera la aplicacion lineal L : R3 → R3 definida por

L(x, y, z) = (x+ y + z, 2x+ y + z, x+ 2y + 2z).

a) Hallar su matriz asociada M .b) Calcular el valor de α para que el vector (2, α, 1) este en la imagen de L.c) Calcular el espectro de M y estudiar si M es diagonalizable.

d) Hallar la matriz f(M), donde f es la funcion real definida por f(x) = ex2−4x.

Solucion:

a) La matriz asociada a L es

M =

1 1 12 1 11 2 2

.

b) Como la imagen de L esta generada por las columnas de M , en este caso,

Im(L) =< {(1, 2, 1), (1, 1, 2)} > .

Ası,

(2, α, 1) ∈ Im(L)⇐⇒ (2, α, 1) ∈< {(1, 2, 1), (1, 1, 2)} >⇐⇒

∣∣∣∣∣∣1 1 22 1 α1 2 1

∣∣∣∣∣∣ = 0⇐⇒ α = 5.

c) El polinomio caracterıstico de M es qM (x) = |M − xI| = (4− x) x2. Por tanto,

Sp(M) = {0, 4}, m.a. (0) = 2, m.a. (4) = 1.

Como m.g. (0) = dim(Ker (M)) = 3− rg (M) = 3− 2 = 1 6= m.a. (0), la matriz M noes diagonalizable.

d) Como f(x) = ex2−4x, f ′(x) = (2x− 4)ex

2−4x. El conjunto de valores de f sobre A es

Vf,A = {f(0), f ′(0), f(4)} = {1,−4, 1}.

Buscamos un polinomio r(x) = a+bx+cx2 cuyos coeficientes sean solucion del sistema

1 = f(0) = r(0) = a

−4 = f ′(0) = r′(0) = b

1 = f(1) = r(1) = a+ 4b+ 16c

Como a = 1, b = −4, c = 1, el polinomio es r(x) = 1− 4x+ x2 y por tanto

f(M) = r(M) = I − 4M +M2 =

1 0 0−3 2 1

3 −1 0

.

2) Sea A ∈M3×3(R) una matriz simetrica tal que Sp(A) = {4,−1,−1}.a) Probar que A es inversible y clasificar la forma cuadratica ω : R3 → R definida

por ω(x) = xt(A−1

)x.

b) Calcular los valores singulares de A.c) Sabiendo que v = (1, 1, 1) ∈ Ker (A− 4I), se pide:

(c.1) Probar que v es un autovector de A2 e indicar su autovalor asociado.(c.2) Hallar la aproximacion de rango uno de A.

Solucion:

a) Como Sp(A) = {4,−1,−1}, el determinante de A es |A| = 4 · (−1) · (−1) = 4 6= 0 yen consecuencia A es inversible.Por otra parte, Sp(A−1) = {1/4,−1,−1}, de donde se deduce que la forma cuadraticaω es indefinida y no degenerada.

b) Los valores singulares de A son las raıces cuadradas positivas de los autovalores deAtA. Como A es simetrica,

Sp(AtA) = Sp(A2) = {16, 1, 1} =⇒

σ1 = 4σ2 = 1σ3 = 1.

(c.1) Como v ∈ Ker (A− 4I), Av = 4v y por tanto

A2v = A(AV ) = A(4v) = 4(Av) = 4(4v) = 16v.

En consecuencia, v es un autovector de A2 asociado al autovalor λ = 16.

(c.2) La aproximacion de rango uno de A es A1 = σ1u1vt1. Ya sabemos que σ1 = 4. El

vector v1 es un autovector unitario de AtA = A2 asociado al autovalor λ = 16.Como v = (1, 1, 1) es un autovector de A2 asociado a 16, podemos tomar

v1 =v

‖v‖=

1/√

3

1/√

3

1/√

3

.

A continuacion, como Av1 = 4v1, se tiene que u1 = (1/σ1)Av1 = (1/4)4v1 = v1 ypor tanto

A1 = σ1u1vt1 = 4

1/√

3

1/√

3

1/√

3

(1/√

3 , 1/√

3 , 1/√

3)

=4

3

1 1 11 1 11 1 1

.