Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

36
Áreas y perímetros de figuras sencillas Halla el área y el perímetro de las figuras coloreadas de los siguientes ejercicios: 1 a) b) a) S 3 m 3 m 9 m 2 b) S 6m 2 1,8 m 5,4 m 2 P 4 3 m 12 m P 3 4 6 13 m 2 a) b) a) S π 3 2 dm 2 28,26 dm 2 b) S 9 cm 2 6 cm 27 cm 2 P 2π 3 dm 18,84 dm P6 cm9 cm10,8 cm25,8 cm 3 a) b) a) S B 2 b h 10 2 6 6 48 cm 2 b) S 30 m 17 m 510 m 2 P 6 6 10 7,2 29,2 cm P (17 2) m (30 2) m 94 m 4 a) b) a) S D 2 d 40 2 26 520 cm 2 b) S 23 2 13,8 158,7 dam 2 P 23,9 4 cm 95,6 cm P 18 23 18 59 dam 3 m 3 m 4 m 1,8 m 6 m 6 cm 9 cm 10,8 cm 3 dm 6 cm 10 cm 6 cm 7,2 cm 17 m 30 m 23,9 cm 40 cm 26 cm 18 dam 13,8 dam 23 dam 1

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Nivel 1º Enseñanza Secundaria

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Page 1: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

Áreas y perímetros de figuras sencillas

Halla el área y el perímetro de las figuras coloreadas de los siguientes ejercicios:

1 a) b)

a) S�3 m �3 m�9 m2 b) S��6 m �

21,8 m��5,4 m2

P�4 �3 m�12 m P�3�4�6�13 m

2 a) b)

a) S�π�32 dm2�28,26 dm2 b) S��9 cm

2�6 cm��27 cm2

P�2π�3 dm�18,84 dm P�6 cm�9 cm�10,8 cm�25,8 cm

3 a) b)

a) S��B�

2

b��h��

10

2

�6��6�48 cm2 b) S�30 m �17 m�510 m2

P�6�6�10�7,2�29,2 cm P� (17 �2) m� (30 �2) m�94 m

4 a) b)

a) S��D

2�d���

402�26��520 cm2 b) S��

23 �

213,8��158,7 dam2

P�23,9 �4 cm�95,6 cm P�18�23�18�59 dam

3 m 3 m 4 m1,8 m

6 m

6 cm

9 cm

10,8 cm3 dm

6 cm

10 cm

6 cm

7,2 cm 17 m

30 m

23,9 cm

40 cm

26 cm

18 dam

13,8 dam

23 dam

1

Page 2: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

5 a) b)

a) S��74�

242

��27,8�1 612,4 m2 b) S��P

2�a���

(5 �42) �2,8��28 m2

P�74�42� (32 �2)�180 m P�5 �4�20 m

6 a) b)

a) S�5 �2,5�12,5 km2 b) S��π�

2r 2

���π�

252

��39,25 cm2

P� (2 �5)� (2 �3)�16 km P��2

2πr��2r�π�5�10�25,7 cm

7 a) b)

a) S��P

2�a���

(8 �62) �7,2��172,8 cm2

P�6 �8�48 cm

b) S��15,3

2�7��4�44,6 m2

P�5�15,3�12�7�39,3 m

8 a) b)

a) S�π�R 2�π�r 2�π�102�π�62�64 π�200,96 cm2

P�2 πR�2 π r�32 π�100,48 cm

2,8 m

4 m

74 m

42 m

27,8 m 32 m

5 km

2,5 km 3 km 5 cm

7,2 cm

6 cm5 m

7 m

4 m

15,3 m

12 m

10 cm

6 cm

10 m

3,5 m

7,1 m

7,9

m

2

Page 3: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

b) S�SCUADRADO �SROMBO �100��14,

22 �7��50,3 m2

P�PCUADRADO �PROMBO �10 �4�7,9 �4�71,6 m

9 a) b)

a) S��π

3�

6r 2

0�

°α

���π�1

356

2

0�1°20°

��235,5 m2

P��2

3π6r0�

°α

��2r��2 π�

31650�

°120°

��30�61,4 m

b) S��6 �

25,2��15,6 m; P�6 �3�18 m

10 a) b)

a) S��π�R 2�

2π�r 2

���64π�

225�

392π

��61,23 m2

P��2 π

2

R���

2

2

π r��2 (R�r )�8π�5π�6�13π�6�46,82 m

b) S��15

2

�8��60 dam2; P�8�17�15�40 dam

Medir y calcular

En cada una de las siguientes figuras toma las medidas que creas necesarias y cal-cula su superficie y su perímetro.

11 a) b)

120°15 m

5,2

m

6 m

6 m

6 m

5 m8 m

17 dam

15 dam

8 da

m

3

Page 4: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

a) b)

S�2,4 �2,4�5,76 cm2 S�π�1,22�4,52 cm2

P�4 �2,4�9,6 cm P�2 �π�1,2�7,54 cm

12 a) b)

a) b)

S�2,4 �2�4,8 cm2 S��3,5

2�2��3,5 cm2

P�2 �2,4�2 �2�8,8 cm P�2 �4�8 cm

13 a) b)

a)

S��(2,7�

21,6) �2��4,3 cm2

P�2,7�3�1,6�2�9,3 cm

2,4 cm 1,2 cm

2 cm

2 cm

3,5 cm

2 cm

2,4 cm

2,7 cm

2,3 cm2 cm

1,6 cm

4

Page 5: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

b)

S� �3,01 cm2

P� �2 �1,2�7,42 cm

14 a) b)

a)

S�ATRIÁNGULO �ATRAPECIO �ASECTOR �

��1,8

2�3���

(3,2�12,7) �1,5���

π3�

610,8°

2

��60°�2,7�3,675�1,6956�

�8,07 cm2

P�1,8�3�1,6�3,2��23π6�

01°,8

��60�9,6�1,884�11,481 cm

b)

S�2,2 �1,5�3,3 cm2; P�2,2 �2�1,6 �2�7,6 cm

(2 �π�1,8�2 �π�0,6) �120°���

360°

(π�1,82�π�0,62) �120°���

360°

120°1,8 cm1,2 cm

60°

3 cm

1,8

cm

3,2 cm

1,6 cm

1,5 cm

1,8 cm

1,7 cm

1,5 cm

1,6 cm

2,2 cm

5

Page 6: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

Calcular el elemento que falta

En cada una de las siguientes figuras coloreadas halla su área y su perímetro. Paraello tendrás que calcular el valor de algún elemento (lado, diagonal, apotema, ángu-lo, …). Si no es exacto, halla una cifra decimal.

15 a) b)

a) b)

l��82�15�2� �17 cm c��132�5�2� �12 m

S��8 �

215��60 cm2 S��

122�5��30 m2

P�15�8�17�40 cm P�12�5�13�30 m

16 a) b)

a) b)

b��222�1�02��19,6 cm a��302 �2�02��22,4 m

S�10 �19,6�196 cm2 S��40 �

222,4��448 m2

P�10 �2�19,6 �2�59,2 cm P�30�30�40�100 m

13 m

5 m

8 cm

15 cm

40 m

30 m

10 c

m

22 cm

13 m

5 m8 cm

15 cm

b

10 c

m

22 cm

a

20 m40 m

30 m

6

Page 7: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

17 a) b)

a) l��92�92��12,7 dam

S�12,72 �161,3 dam2

P�4 �12,7�50,8 dam

b) �D2

� ��202�1�32��15,2 m →

→ D�30,4 m

S��30,4

2�26��395,2 m2

P�4 �20�80 m

18 a) b)

a) b)

α �360° : 3�120° R��32�32��4,2 m

S��π�4

3

2

6�

01°20°

��16,7 m2 S�π�4,22�π�32�27,1 m2

P�4�4��2π�

346�

01°20°

��16,4 m P�2π�4,2�2π�3�45,2 m

20 m

26 m

18 da

m

3 m

4 m

l

l9 d

am9 dam

18 da

m

NOTA: En este ejercicio he-mos de tener en cuenta quel�9�2� y, por tanto,

S�(9�2�)2�162

pero no se puede poner a losalumnos de este nivel.

D

20 m

26 m

3 m

R4 m

120°

7

Page 8: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

19

S�28 �32�8 �18�47 �34�2 638 m2

P�28�32�24�47�34�39�18�40�262 m

20 a) b)

a) b)

b��82�52��6,2 cm a��132 �1�22��5 cm

S�5 �6,2�31 cm2 S��12

2�5��2 �5�40 cm2

P�5 �2�6,2 �2�22,4 cm P�5�2�13�14�34 cm

32 m

39 m

47 m

34 m24 m

28 m

5 cm

8 cm

14 cm

2 cm13 cm

32 m

39 m

47 m

34 m24 m

28 m18

8

14 cm

2 cm

13 cma

12 cm5 cm

8 cmb

8

Page 9: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

21 AB—

�CD—

�41 m

BC—

�53 m

AD—

�71 m

—AD�

—BC�18 m →

—AE�9 m

a��412�9�2� �40 m

S��(71�5

23) �40��2 480 m2

P�41�41�53�71�206 m

22OB—

�13,6 cm

AB—

�16 cm

a��13,62��82��11 cm

S� = 440 cm2

P = 16 · 5 = 80 cm

23MN–—

�6 dm

NP—

�4 dm

PQ—

�3,6 dm

a��42�2,�42��3,2 dm

S��(6�3,

26) �3,2��15,4 dm2

P�6�4�3,6�3,2�16,8 dm

80 · 112

A D

B C

A D

B C

a a

E

O

A

B

a8 cm

O

A

B

N

M Q

P

N

M Q

P2,4

a

9

Page 10: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

24PQ—

= QR—

= RS—

= SP—

= 6,5 cm

PR—

= 12 cm

�2d

� ��6,52 ��62��2,5 cm → d�5 cm

S��5 �

212��30 cm2; P�6,5 �4�26 cm

25A∧

�60°

AB—

�10 m

a��102 �5�2� �8,7 m

ATRIÁNGULO ��10 �

28,7��43,5 m2

ASECTOR ��π�1

306

2

0�

°60°

��52,3 m2

A�ASECTOR �ATRIÁNGULO �8,8 m2

P = 10 + = 20,5 m

26AB—

�AC—

�BC—

�8 cm

BD—

�DE—

� �12

� BE

BE—

��82�42��6,9

BD—

�DE—

��62,9��3,45

DC—

��3,452��42��5,3

S��8 �

26,9���

8 �32,45��27,6�13,8�13,8 cm2

P�2 �8�2 �5,3�26,6 cm

2π · 10 · 60°360°

P S

Q Rd

P S

Q R

B

A

a

5B

A

B

D

A E C

10

Page 11: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

27 Un hexágono regular está inscrito en una circun-ferencia de 6 cm de radio. Halla el área del recinto com-prendido entre ambas figuras.

� El lado del hexágono regular es igual al radio de su circun-ferencia circunscrita.

a��62�32��5,2 cm

SCÍRCULO �π�62�113,04 cm2

SHEXÁGONO ��36 �

25,2��93,6 cm2

S�SCÍRCULO �SHEXÁGONO �19,44 cm2

28 Para cubrir un patio rectangular, se han usado 175 baldosas de 20 dm2

cada una. ¿Cuántas baldosas cuadradas de 50 cm de lado serán necesarias pa-ra cubrir el patio, idéntico, de la casa vecina?

El área del patio es 175 �20�3 500 dm2

El área de la baldosa cuadrada es 50 �50�2 500 cm2�25 dm2

Por tanto, se necesitarán 3 500 : 25�140 baldosas.

29 El área de un rombo es 24 cm2. Una de sus diagonales mide 8 cm. Ha-lla su perímetro.

24��8

2�d� → d��

488��6 cm

l��42�32��5 cm

Por tanto, el perímetro es 4�5�20 cm.

30 Sabiendo que el lado del cuadrado mide 30 cm,calcula el radio del círculo inscrito y el radio del círculocircunscrito. Calcula el área de la zona coloreada.

El radio de la circunferencia inscrita esla mitad del lado del cuadrado, es de-cir, r�15 cm.

6 cm3a

ld

8 cm

r

R

11

Page 12: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

El radio de la circunferencia circunscritaes:

R��152�1�52��21,2 cm

El área pedida es: A�AC. CIRCUNSCRITA �AC. INSCRITA �π�21,22�π�152�704,7 cm2

31 Un cuadrado de 1 m de lado se divide en cuadraditos de 1 mm de lado.¿Qué longitud se obtendría si colocáramos en fila todos esos cuadraditos?

1 mm�0,001 m. Así, en el cuadrado de 1 m de lado hay:

1 m2 : 1 mm2�1 m2 : (0,001)2 m2�1 000 000 de cuadraditos de 1 mm de lado

Colocados en fila alcanzan una longitud de:

1 000 000 �1 mm�1 000 000 mm�1 000 m�1 km

32 ¿Es regular este octógono?

Calcula su área y su perímetro.

No es regular, porque los lados oblicuos son distintosa los otros cuatro.

Miden: l��12�12���2� �1

El área de cada triángulo es �12

� cm2.

Así, el área del polígono es: 5�4 � �12

� �7 cm2

Su perímetro es: 4�4 ��2� � 9,66 cm

33 Una habitación cuadrada tiene una superficie de 25 m2. Hemos deembaldosarla con losetas cuadradas de 20 cm de lado (se llaman losetas de20 × 20). ¿Cuántas losetas se necesitan?

La superficie de una loseta de 20 × 20 es:

20 �20�400 cm2�0,04 m2

Por tanto, necesitaremos 25 : 0,004�625 losetas.

R

15

15

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

1

1

l

12

Page 13: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

34 Calcula la superficie de la zona colo-reada.

El área pedida es:

S�52�42�32��5 � (5�

24�3)��20 cm2

35 La figura azul no es un rombo, pero tiene las diago-nales perpendiculares. Justifica que también puedes calcu-

lar su área mediante la fórmula: �D

2�d�.

El área del cuadrilátero azul es la mitad que la del rectángulogrande, pues el área de cada triángulo azul es la mitad que ladel rectangulito que lo contiene.

36 Calcula las dimensiones y la superficie de las siguientes secciones de uncubo.

l��32�32��4,24 cm

Por tanto, es un rectángulo de 4,24 × 6, cuya área es:

S�4,24 �6�25,44 cm2

l'��32�62��6,7 cm

Por tanto, es un rectángulo de 6,7 × 6, cuya área es:

6,7 �6�40,2 cm2

37 Los lados de un triángulo miden: a�6 cm, b�7 cm y c�8 cm. La al-tura correspondiente al lado a mide ha�6,8 cm. Calcula la longitud de lasotras dos alturas.Haz el dibujo con precisión, toma medidas y comprueba la solución obtenida.

5 cm 4 cm 3 cm

8 m

15 m

6 cm

3 cml6 cm

6 cm

3 cm

6 cm

6 cml'

3 cm

a = 6 cm

hbhc

6,8 cm

c = 8 cm

b = 7 cm

13

Page 14: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

El área del triángulo es �6 �

26,8��20,4 cm2

Por tanto:

20,4��7 �

2hb� → hb��

407,8��5,8 cm

20,4��8 �

2hc� → hc��

408,8��5,1 cm

38 Halla la superficie de cada una de las piezas de este tangram. Después,súmalas y comprueba que equivalen al área del cuadrado que forman todasjuntas:

� S� ��12

2�6��36 cm2

� S� �6 �3�18 cm2

� S� ��6

2

�6��18 cm2

��

� �

12 cm

12 cm

14

Page 15: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

� S���6

2�3��9 cm2

� S���6

2�6��18 cm2

� S���12

2�6��36 cm2

� S���6

2�3��9 cm2

S��S��S��S��S��S��S��36�18�18�9�18�36�9�144 cm2

STOTAL �12 �12�144 cm2

Las áreas o perímetros que se piden a continuación son, todos ellos, mucho mássencillos de lo que parecen. Se encuentran con algo de imaginación y muy pocoscálculos.

39 Todos los arcos con los que se ha trazado esta fi-gura son iguales, pertenecen a circunferenciasde radio 6 m. Calcula su área.

Por tanto, S�12 �18�216 m2

12 m

18 m

15

Page 16: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

40 Halla el área de este dibujo de un jarro.

Todos los arcos están hechos con un radio, r�8 cm.

Observando la igualdad de las superficies marcadas con �, �, �:

S�162�256 cm2

41 Halla el área y el perímetro de toda la figura.

Con esta figura podemos formar la siguiente:

Así, queda claro que el área es:

π�42�50,24 cm2

Los seis arcos completan una circunferencia. Por tanto, el perímetro de la figu-ra es:

2 �π�4�2 �4�33,2 cm

16 cm

16 cm

60°

4 cm

60°

4 cm

16

Page 17: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

42 Halla la superficie de cada loseta de este embaldosado.

El área del rectángulo rojo es 40 �50�2 000 cm2

Dentro del rectángulo hay ocho losetas. Por tanto, el área de cada una de ellases:

�2 0

800��250 cm2

43 La base de este rectángulo mide 20 cm más que laaltura. Su perímetro es de 100 cm.

Calcula el área del cuadrilátero coloreado.

El área de cada uno de los dos triángulos blancos es la cuarta parte del área deltriángulo.

Por tanto, el área del cuadrilátero coloreado es la mitad de la del rectángulo.

40�4a�100 → a�15 cm → b�35 cm

50 cm

40 c

m

50 cm

40 c

m

b = 20 + a

b = 20 + a

a a

17

Page 18: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

Área del rectángulo�15 �35�525 cm2

Área del cuadrilátero coloreado��5225

��262,5 cm2

44 ¿Cuál de los tres triángulos tiene mayor área (azul, naranja o verde)? Justificala respuesta.

Todos tienen la misma base y la misma altura.

Por tanto, tienen igual área.

45 A y B son puntos fijos. El punto C puede estarsituado en cualquier lugar de la circunferencia.

¿Dónde lo pondrás si quieres que el área del trián-gulo ABC sea la mayor posible?

La altura tiene que ser la mayor posible.

Por tanto, el vértice hay que situarlo en el punto de lacircunferencia más lejano a la cuerda. Está situado enla mediatriz del segmento AB.

46 El perímetro del cuadrado rojo interior es de 32 cm. ¿Cuáles el perímetro del cuadrado negro exterior?

l5 es cuatro veces l1.

Por tanto el perímetro del cuadrado exterior es cuatro veces el del cuadrado in-terior, es decir, 128 cm.

C C

C

A BC

CC

C

A B

l5

l2

l4l3

l1

18

Page 19: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

47 Halla el área de la parte coloreada sabiendo que el diámetro de la circunfe-rencia grande es de 6 cm.

SZONA SOMBREADA �π�32 �7 �π�12� (9�7) π�6,28 cm2

19

Page 20: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

REAS Y PERÍMETROS DE FIGURAS SENCILLAS

Halla el área y el perímetro de las figuras coloreadas de los siguientes ejercicios:

1 a) b)

a) A = 52 = 25 dm2 b) A = = 8 cm2

P = 5 · 4 = 20 dm P = 8 + 5 + 4 = 17 cm

2 a) b)

a) A = π · 52 ≈ 78,5 dm2 b) A = = 60 m2

P = 2π · 5 ≈ 31,4 dm P = 15 + 8 + 17 = 40 m

3 a) b)

a) A = · 7 = 56 dm2 b) A = 10 · 5 = 50 mm2

P = 11 + 9,2 + 5 + 7 = 32,2 dm P = 2 · 10 + 2 · 5 = 30 mm

4 a) b)

a) A = = 54 cm2 b) A = = 75,6 hm2

P = 9,5 · 4 = 38 cm P = 28 + 15 · 2 = 58 hm

28 · 5,42

18 · 62

15 hm

28 hm

5,4 hm

6 cm

18 cm

9,5 cm

11 + 52

5 m

m

10 mm

5 dm

11 dm

7 dm 9,2 dm

15 · 82

8 m17 m

15 m

5 m

8 · 22

5 cm4 cm2 cm

8 cm

2 cm5 dm

Á

20

Page 21: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

5 a) b)

a) A = · 30 = 1 560 mm2 b) A = = 15,75 cm2

P = 57 + 47 + 2 · 30,4 = 164,8 mm P = 5 · 3 = 15 cm

6 a) b)

a) A = 9 · 4 = 36 dam2 b) A = ≈ 14,13 km2

P = 2 · 9 + 2 · 5 = 28 dam P = + 6 ≈ 9,42 dm

7 a) b)

a) A = = 172,8 cm2 b) A = · 12 = 474 cm2

P = 8 · 6 = 48 cm P = 36 + 20 + 43 + 15 = 114 cm

8 a) b)

a) A = π · 152 – π · 82 ≈ 505,54 m2 b) A = 72 – π · 3,52 ≈ 10,53 mm2

P = 2π · 15 + 2π · 8 ≈ 144,44 m P = 7 · 4 + 2π · 3,5 ≈ 49,98 mm

7 mm

15 m

8 m

43 + 362

8 · 6 · 7,22

12 cm20 cm15

cm

36 cm

43 cm

7,2 cm 6 cm

2π · 32

π · 32

2

6 km

4 dam5 da

m

9 dam

5 · 3 · 2,12

47 + 572

2,1 cm

3 cm

30 mm

57 mm

30,4 mm

47 mm

21

Page 22: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

9 a) b)

a) A = – ≈ 17,43 km2 b) A = · 120 ≈ 235,5 mm2

P = + 4 + 4 + 9,9 ≈ 22,61 km P = · 120 + 15 + 15 ≈ 61,4 mm

10 a) b)

a) A = – ≈ 0,98 m2

P = + + 0,5 + 0,5 ≈ 4,92 m

b) A = + ≈ 37,12 hm2

P = + 8,6 + 5 + 7 ≈ 28,45 hm

E D I R Y C A L C U L A R Á R E A S Y P E R Í M E T R O S

En cada una de las siguientes figuras coloreadas halla su área y su perímetro. Para ello,tendrás que medir algún elemento (lado, diagonal, radio…).

11 a) b)

a) A = 5,76 cm2 b) A = 4,52 cm2

P = 9,6 cm P = 7,54 cm

1,2 cm2,4 cm

M

2 · π · 54

π · 52

47 · 5

2

2π · 14

2π · 1,54

π · 12

4π · 1,52

4

5 hm 7 hm

8,6 hm1 m

0,5 m

2π · 15360

2 · π · 34

π · 152

360π · 32

47 · 7

2

120°8 mm

3 km

9,9 km

4 km

22

Page 23: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

12 a) b)

a) A = 4,8 cm2 b) A = 3,5 cm2

P = 8,8 cm P = 8 cm

13 a) b)

a) A = 4,3 cm2 b) A = 1,77 cm2

P = 8,5 cm P = 8,41 cm

14 a) b)

a) A = 7,8 cm2 b) A = 3,3 cm2

P = 11,1 cm P = 7,4 cm

REAS Y PERÍMETROS DE F IGURAS PLANAS

15 Aquí tienes las áreas de varios cuadrados. Di, en cada caso, cuánto mide ellado.

ÁREA DEL CUADRADO LADO

16 cm2 4 cm

225 cm2 15 cm

36 mm2 6 mm

100 dam2 10 dam

ÁREA DEL CUADRADO LADO

16 cm2

225 cm2

36 mm2

100 dam2

Á

1,5 cm

2,2 cm

2,9 cm

3 cm

60°

1,6 cm

1,7

cm

1,6

cm

3,1 cm

1,5 cm

1,7 cm

1,8 cm0,5 cm

2 cm2,2 cm

1,6 cm

2,7 cm

2 cm

3,5 cm2,4 cm

2 cm

23

Page 24: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

16 Averigua cuánto mide la altura de un rectángulo de 40 m2 de superficie y 5 m de base.

17 Halla el área de un trapecio cuyas bases miden 12 cm y 20 cm, y su altura,10 cm.

A = · 10 = 160 cm2

El área del trapecio es 160 cm2.

18 Las medidas de los lados de un trapecio rectángulo son a = 9 m, b = 5 m,c = 12 m y d = 4 m. Los lados paralelos son a y c. Halla su área.

Área = · 4 = 42 m2

El área del trapecio es 42 m2

19 Las bases de un trapecio isósceles miden 26 cm y 14 cm; la altura, 8 cm, yotro de sus lados, 10 cm. Calcula el perímetro y el área de la figura.

A = · 8 = 160 cm2

P = 26 + 14 + 2 · 10 = 60 cm

20 El área de un triángulo es de 66 cm2; sus lados miden a = 20 cm, b = 11 cmy c = 13 cm. Calcula sus tres alturas y su perímetro.

P = 20 + 11 + 13 = 44 cm

6666 = 20 · a20 8 a20 = — = 3,3 cm20

6666 = 13 · a13 8 a13 = — ≈ 5,08 cm13

6666 = 11 · a11 8 a11 = — = 6 cm1120 m

a20

a11a13 13 m11 m

26 + 142

12 m

9 m

5 m4 m

12 + 92

12 + 202

40a = — = 8 m

5

La altura del rectángulo mide 8 m.

5 m

40 m2 a

24

Page 25: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

21 Los lados de un triángulo rectángulo miden 15 dm, 8 dm y 17 dm. Calculasu área y la altura sobre la hipotenusa.

A = = 60 dm2

120 = 8 ah = ≈ 7,06 dm

22 Calcula el área y el perímetro de un hexágono regular de 6 mm de lado y 5,2 mm de apotema.

A = = 93,6 mm2

P = 6 · 6 = 36 mm

23 En una circunferencia de 24 cm de radio trazamos una cuerda de 34 cm.Halla el área del segmento circular sabiendo que el ángulo central correspondien-te es de 90°.

ATRIÁNGULO

= = 288 cm2

ACÍRCULO

= π · 242 ≈ 1 808,64 cm2

ASEGMENTO CIRCULAR

= ACÍRCULO

– ATRIÁNGULO

= – 288 = 164,16 cm2

24 Calcula el área de la zona coloreada.

A = 52 + 42 + 32 – = 20 cm2(5 + 4 + 3) · 52

5 cm 4 cm 3 cm

1 808,644

14

24 · 242

24 cm90° O34

cm

6 · 6 · 5,22

12017

17 · ah2

15 · 82

15 dm

17 dm8 dm ah

25

Page 26: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

25 Calcula el área y el perímetro de las figuras coloreadas.

a)

A = 42 · 31 + 54 · 40 – 52 = 3 437 m2

P = 54 + 40 + 49 + 26 + 42 + 31 + 37 + 35 = 314 m

b) A = ≈ 51,29 cm2

P = + 2 · 7 ≈ 28,65 cm

c) A = 5 · 5 = 25 m2

P = 2 · π · 2,5 · 2 ≈ 31,4 m

2π · 73

π · 72

3

54 m

40 m

49 m

26 m31 m

35 m

5 m

5 m

37 m

42 m

7 cm

54 m

40 m

a)

c)

b)

5 m

2,5 m

49 m31 m

35 m

37 m

26

Page 27: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

26 Halla el perímetro y el área de las siguientes figuras:

a)

b)

a) A = · 5 = 440 cm2

P = 2 · 8 · 5 = 80 cm

b) Como el triángulo es equilátero (ya que Aì

= 60°), AB—

= 2BC—

= 10 m.

A = · 60 – ≈ 8,83 m2

P = · 60 + 10 ≈ 20,47 m

27 El perímetro del cuadrado rojo interior es de 32 cm.¿Cuál es el perímetro del cuadrado negro exterior?

Como vemos en la observación, el lado del cuadrado rojo interior es la mitad deldel cuadrado azul. Por el mismo motivo, el lado del cuadrado negro exterior es eldoble del del cuadrado azul. Así, el lado del cuadrado negro es cuatro veces el ladodel cuadrado rojo. El perímetro del cuadrado negro será cuatro veces el perímetrodel cuadrado rojo, es decir, 32 · 4 = 128 cm.

l

lObservación:

2π · 10360

10 · 8,72

π · 102

360

2 · 8 · 112

ìA = 60°

AB = 10 mAC = 8,7 cm

A

BC

OB = 11 cmAB = 8 cm

O

A

B

27

Page 28: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

28 Halla el área de la parte coloreada sabiendo que el diámetro de la circunfe-rencia grande es de 6 cm.

Radio circunferencia grande: R = 3 cm

Radio circunferencias pequeñas: r = 1 cm

A = π · 32 – 7 · π · 12 = 2π ≈ 6,28 cm2

29 ¿Cuál de los tres triángulos tiene mayor área (azul, naranja o verde)? Justificala respuesta.

Todos los triángulos tienen la misma área ya que la base y la altura son iguales paratodos ellos.

30 A y B son puntos fijos. El punto C puede estar situado en cualquier lugarde la circunferencia.

¿Dónde lo pondrás si quieres que el área del triángulo ABC sea la mayor posible?

Pondremos C en el punto más alto de la circunferenciapara que el área sea lo mayor posible. Esto es porque conla misma base, cuanto mayor sea la altura, mayor será elárea del triángulo.

C

A B

C C

C

A B

28

Page 29: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

REAS Y PER ÍMETROS UT I L I ZANDO E L T EOREMA DE P ITÁGORAS

En cada una de las siguientes figuras coloreadas halla su área y su perímetro. Para ello,tendrás que calcular el valor de algún elemento (lado, diagonal, apotema, ángulo…). Sino es exacto, halla una cifra decimal.

31 a) b)

a) a = = = 5,5 m

A = = 13,8 m2

P = 2 · 6 + 5 = 17 m

b) x = = = 24 m

A = = 84 m2

P = 24 + 7 + 25 = 56 m

32 a) b)

a) a = = = 12 m

A = 12 · 5 = 60 cm2

P = 12 · 2 + 5 · 2 = 34 cm

b) x = = = 28 m

A = = 2 520 m2

P = 53 · 4 = 212 m

33 a) b)

15 cm99 m

53 m

x

45 m2 · 28 · 90

2

√784√532 – 452

13 cm 5 cm

x

√144√132 – 52

90 m

53 m

5 cm 13 cm

7 m 25 m

x

24 · 72

√576√252 – 72

2,5 m

6 ma

6 · 5,52

√29,75√62 – 2,52

7 m 25 m

5 m

6 m

Á

29

Page 30: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

a) x 2 + x 2 = 992 8 2x2 = 9 801 8

8 x2 = 4 900,5 8 x = ≈ 70 m

A = 702 = 4 900 m2

P = 70 · 4 = 280 m

b) x = = ≈ 21,2 cm

A = π · 21,22 – π · 152 ≈ 704,7 cm2

P = 2π · 21,2 + 2π · 15 ≈ 227,3 cm

34 a) b)

a) x = = = 48 cm

A = = 5 280 cm2

P = 4 · 73 = 292 cm

b) x = = = 39

A = · 39 = 2 262 cm2

P = 98 + 89 + 18 + 39 = 244 cm

35 a) b)

a) x = = = 40 dam

A = · 40 = 2 480 dam2

P = 71 + 41 · 2 + 53 = 206 dam

b) x = = = 3,2 dm

A = · 3,2 ≈ 21,8 dm2

P = 5,6 + 4 + 8 + 3,2 = 20,8 dm

2,4 dm

5,6 dm

4 dm

x 8 + 5,62

√10,24√42 – 2,42

71 dam

41 dam

53 dam

9 dam

x53 + 71

2

√1 600√412 – 92

8 dm5,6 dm

4 dm

71 dam

41 dam

41 d

am

53 dam

98 cm

89 cm

80 cm

18 cm

x18 + 98

2

√1 521√892 – 802

73 cm

55 cmx

110 · 48 · 22

√2 304√732 – 552

98 cm

89 cm

18 cm

73 cm

110 cm

15 cm

15 cmx

√450√152 + 152

99 m

x

x√4 900,5

30

Page 31: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

36 a) b)

a) x = = ≈ 8,2 m

A = · 5 = 246 m2

P = 12 · 5 = 60 m

b) x = = = 7 cm

A = = 336 cm2

P = 4 · 25 = 100 cm

37 a) b)

a) x = = ≈ 8,7 m

A = · 60 – ≈ 8,8 m2

P = · 60 + 10 ≈ 20,5 m

b) (2x)2 + x2 = 82 8 5x2 = 82 8 x ≈ 3,6 mm

A = – ≈ 13 mm

P = 2 · 8 + 3,6 · 2 = 23,2 mm

38 Calcula la diagonal de un cuadrado de 28 cm de perímetro.

l = 28 : 4 = 7 cm

x = = ≈ 9,9 cm

La diagonal del cuadrado mide 9,9 cm.

7 cm

7 cm

x √98√72 + 72

8 mm

x x

x

x 3,6 · 2 · 3,62

3,6 · 2 · 3,6 · 22

10 m

5 m

x

2π · 10360

10 · 8,72

π · 102

360

√75√102 – 52

8 mm

x x

x

x

10 m60°

25 cm

25 cm24 cm

x

48 · 7 · 22

√49√252 – 242

12 m

6 m

10,2 mx

12 · 8,22

√68,04√10,22 – 62

25 cm

25 cm48 cm

12 m

10,2 m

31

Page 32: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

39 Halla el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 42 cm y 40 cm.

l = = = 29 cm

P = 4 · 29 = 116 cm

40 Los lados paralelos de un trapecio rectángulo miden 110 m y 30 m, y el ladooblicuo mide 89 m. Determina su perímetro y su área.

x = = = 39 m

A = · 39 = 2 730 m2

P = 110 + 89 + 30 + 39 = 268 m

41 Halla el área de un triángulo equilátero de 60 dam de perímetro.

l = 60 : 3 = 20 dam

x = = ≈ 17,32 dam

A = = 173,2 dam2

42 Los lados de un triángulo miden 45 cm, 28 cm y 53 cm. Comprueba si es ono un triángulo rectángulo, halla su área y calcula la altura sobre el lado más largo.

532 = 2 809 cm2; 452 + 282 = 2 809 cm2

Como 532 = 452 + 282, es un triángulo rectángulo.

A = = 630 cm2

630 = 53 · ah 8 ah = ≈ 11,9 cm

La altura sobre la hipotenusa mide 11,9 cm.

43 Un hexágono regular está inscrito en una circunferencia de 6 cm de radio.Halla el área del recinto comprendido entre ambas figuras.

63053

45 · 282

10 dam

20 damx

20 · 17,322

√300√202 – 102

110 m

30 m

80 m

89 mx 30 + 1102

√1 521√892 – 802

20 cm

21 c

m l√841√212 + 202

32

Page 33: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

a = = ≈ 5,2 cm

AHEXÁGONO

= = 93,6 cm2

ACÍRCULO

= π · 62 ≈ 113,04 cm2

ARECINTO

= ACÍRCULO

– AHEXÁGONO

= 19,44 cm2

44 ¿Es regular este octógono?. Calcula su área y su perímetro.

El octógono no es regular ya que algunos lados miden 1 cm y otros ≈ 1,4 cm.

El área de un cuadrado de 1 cm de lado es 1 cm2. El octógono está formado por 5cuadrados de 1 cm2 y cuatro mitades. Esto es:

Área = 5 · 1 + · 1 = 7 cm2

45 Calcula el perímetro y el área de esta figura:

x = = ≈ 10,77 m

ARECTÁNGULO

= 18 · 8 = 144 m2

ATRAPECIO

= · 4 = 52 m2

A 1/2 CÍRCULO= ≈ 25,12 m2

ATOTAL

= ARECTÁNGULO

+ ATRAPECIO

– A 1/2 CÍRCULO= 144 + 52 – 25,12 = 170,88 m2

P = 18 + 8 + 10,77 + + 12 ≈ 61,33 m2π · 42

18 m

10 m

8 m

8 m

4 mx

4 m

π · 42

2

8 + 182

√116√102 + 42

18 m

8 m

8 m12 m

42

√2

1 cm

1 cm

3 cm

6 cm

a

6 · 6 · 5,22

√27√62 – 32

33

Page 34: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

46 Halla el perímetro y el área de esta figura:

x = = = 24 dm

ATRIÁNGULO

= = 120 dm2

A 1/2 CÍRCULO GRANDE= ≈ 226,08 dm2

A 1/2 CÍRCULO PEQUEÑO= ≈ 39,25 dm2

ATOTAL

= 120 + 226,08 + 39,25 = 385,25 dm2

P = 26 + + ≈ 79,38 dm

47 Calcula las dimensiones y el área de cada una de las siguientes secciones deun cubo:

a) x = = ≈ 4,24 cm

A = 4,24 · 6 = 25,44 cm2

P = 2 · 6 + 2 · 4,24 = 20,48 cm

b) x = = ≈ 6,71 cm

A = 6,71 · 6 = 40,26 cm2

P = 6,71 · 2 + 6 · 2 = 25,42 cmx

6 cm √45√62 + 32

x

6 cm

√18√32 + 32

6 cm

3 cm

3 cm

3 cm 6 cm

6 cm

6 cm6 cma) b)

2π · 122

2π · 52

π · 52

2

26 dm10 dm

x

π · 122

2

24 · 102

√576√262 – 102

26 dm

10 dm

34

Page 35: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

48 Determina el perímetroy el área de la siguiente figura:

x = = = 3

y = = = 12

z = = = 12,5 m

A① = = 6 m2; A② = = 30 m2; A③ = = 21 m2

A = 6 + 30 + 21 = 57 m2

P = 3,5 + 4 + 3 + 13 + 12,5 = 36 m

49 La figura roja no es un rombo, pero tiene las diagonalesperpendiculares. Justifica que también puedes calcular su áreamediante la fórmula:

ARECTÁNGULO

= D · d = 8 · 15 = 120 m2

Como vemos, A① = A②; A③ = A④; A⑤ = A⑥; A⑦ = A⑧

Por esto el área de la figura roja es la mitad del área del rectángulo. Así:

AFIGURA

= = = = 60 m21202

D · d2

ARECTÁNGULO

2

8 m

15 m

D · d2

3,5 · 122

5 · 122

4 · 32

√156,25√122 + 3,52

√144√132 – 52

√9√52 – 42

13 m4 m

3,5 m

5 m

13 m4 m

3,5 m

5 m

x

z

y

2

3

1

2

d = 8 m

D =

15

m

1

3

6 4

7

8

5

35

Page 36: Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

50 Un salón cuadrado tiene una superficie de 50 m2. Hemos de embaldosarlocon losetas cuadradas de 25 cm de lado (se llaman losetas de 25 Ò 25). ¿Cuántaslosetas son necesarias?

ALOSETA

= 25 · 25 = 625 cm2

ASALÓN

= 50 m2 = 500 000 cm2

Para cubrir el salón se necesitan = 800 losetas.

51 Para cubrir un patio rectangular, se han usado 540 baldosas de 600 cm2

cada una. ¿Cuántas baldosas cuadradas de 20 cm de lado serán necesarias para cu-brir el patio, idéntico, de la casa vecina?

El patio tiene un área de 540 · 600 = 324 000 cm2 = 32,4 m2.

La superficie de una baldosa de 20 cm de lado es 20 · 20 = 400 cm2.

Por tanto, se necesitan = 810 baldosas de 20 cm de lado para cubrir el patio.324 000400

500 000625

36