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  • Matemáticas II SOLUCIONARIO

    UNIDAD 12: Integrales indefinidas CUESTIONES INICIALES-PÁG. 300 1. Encuentra, en cada apartado, dos funciones cuyas derivadas sean las siguientes: a) f(x) = 3x2 b) f(x) = cos x b) f(x) = ex Un ejemplo de las funciones pedidas son: a) F(x) = x3 + 5 ; F(x) = x3 – 2/5

    b) F(x) = sen x + 1 2

    ; F(x) = sen x + π

    c) F(x) = ex – 3; F(x) = ex + 2 2. Una función F(x) es primitiva de una función f(x) siempre que la derivada de F(x) sea f(x). Comprueba, en cada uno de los siguientes apartados, que la función F(x) es primitiva de f(x).

    a) F(x) = arcsen 2x + 1 2 1 2

    x x

    − +

    ; f(x) = ( )

    4 21 2 1 4

    x

    x x+ −

    b) F(x) = ln(1 – cosx) – ln(1 + cos x) + 3 8

    ; f(x) = 2

    sen x

    Se deriva la función F(x) y se obtiene f(x). RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS-PÁG. 315 1. Número irracional. Demuestra que 3 es un número irracional. La solución queda: Supongamos que 3 no es irracional, por tanto 3 será racional, con lo que se puede poner en forma de fracción de este modo:

    3 a b

    = , con a, b ∈ Z y primos entre sí.

    De esta igualdad obtenemos: 3a b= . Elevando ambos miembros al cuadrado nos queda: a2 = 3b2. De aquí deducimos que a2 es múltiplo de 3. Si a2 es múltiplo de 3 entonces a también lo es. Podemos escribir a = 3m con m ∈ Z y sustituyendo en la igualdad a2 = 3b2 obtenemos: (3m)2 = 3b2 ⇒ 9m2 = 3b2 ⇒ 3m2 = b2 Como b2 es múltiplo de 3 y, por tanto, b también los es.

    355

  • Matemáticas II SOLUCIONARIO

    Con esto hemos llegado a que a y b son múltiplos de 3. Este resultado contradice el hecho de que a y b son primos entre si. Por tanto, hemos llegado a una contradicción o absurdo, por lo que concluimos afirmando que 3 no es un número racional, es decir, es un número irracional. 2. Implicación lógica. Demuestra que si P ⇒ Q, entonces no Q ⇒ no P. Tiene que ser no P, pues si fuera P entonces sería Q, y como dice no Q, no puede ser P. Veamos que las tablas de verdad de ambas proposiciones coinciden:

    P Q P ⇒ Q V V V V F F F V V F F V

    Es una ley lógica ( ) ( )P Q no Q no P⇒ ⇔ ⇒ , denominada “contraposición”. NUEVAS TECNOLOGÍAS-PÁG. 317 1. Resuelve las siguientes integrales indefinidas:

    a) ( ) ( )3 1 ln 2x x dx− +∫ b) 31 3 dxx∫ + c) 22 3 2

    2 7 10

    x x dx

    x x

    + − ∫

    − +

    Utilizando los mismos comandos de la actividad desarrollada obtenemos la solución de cada una de estas integrales indefinidas que vemos en las imágenes siguientes: 2. Halla las siguientes integrales definidas:

    a) 3 13

    1 2 x

    dx x x

    − ∫

    + b) 1 (5 4) ·0

    xx e dx−+∫ c) 5 0

    sen x dx π

    P Q no Q no P no Q ⇒ no P V V F F V V F V F F F V F V V F F V V V

    356

  • Matemáticas II SOLUCIONARIO

    Utilizando los mismos comandos de la actividad desarrollada obtenemos el resultado de cada una de estas integrales definidas que vemos en la imagen siguiente: 3. Calcula el área del recinto, del primer cuadrante, limitado por las gráficas de las funciones f(x) = x2 - 6; g(x) = x y el eje OX. De la misma forma que hemos hecho en la actividad desarrollada resolvemos esta nueva actividad como vemos en la siguiente imagen:

    357

  • Matemáticas II SOLUCIONARIO

    ACTIVIDADES FINALES-PÁG. 320 1. Resuelve las siguientes integrales por el método de integración de integrales inmediatas:

    a) ( )26 5 7x x dx− +∫ i) ( )43 2

    4

    x dx

    x

    − ∫ q) 2

    5 4 16

    dx x+∫

    b) 3 2 2

    4x dx x

     −   ∫ j)

    2

    3

    4 2 5

    x dx

    x +∫ r) 2 6

    9 2 dx

    x− ∫

    c) 43

    2 82 x

    dx x

      + − 

      ∫ k) 2

    12 3 4 2 3

    x dx

    x x −

    − +∫ s) 4· cos 2 3 2

    x dx

    sen x−∫

    d) 2 35 7 9x x

    dx x

     − −       ∫ l) 3xe dx∫ t) ( )52

    3

    7

    x dx

    x + ∫

    e) ( )23 2 5x x dx+∫ m) 25·7 xx dx∫ u) 2cos 3 · 3x sen x dx∫

    f) ( )31 4x dx−∫ n) 3· 6sen x dx∫ w) 2

    3 ln dx

    x x∫

    g) ( )826 5 ·x x dx−∫ o) cos 4 x

    dx    ∫ y) 2

    5 ·

    7 4cos

    senx dx

    x− ∫

    h) 2 37 2x x dx+∫ p) 2

    2 2 3

    5 cos

    x xe dx x

    − +    ∫ z) ( )26 · 3x tg x dx+∫

    Las funciones primitivas son:

    a) ( )26 5 7x x dx− +∫ = 3 252 72x x x C− + +

    b) 3 2 2

    4x dx x

     −   ∫ =

    4 2x C x

    + +

    c) 43

    2 82 x

    dx x

      + − 

      ∫ =

    5

    3 2 40 x

    x x C+ − +

    d) 2 35 7 9x x

    dx x

     − −       ∫ =

    3 25 14 9·ln

    2 3 x

    x x C+ − +

    e) ( )23 2 5x x dx+∫ = 4 3 2 75

    3 20 2

    x x x C+ + +

    f) ( )31 4x dx−∫ = ( )41 4

    16 x

    C −

    − +

    358

  • Matemáticas II SOLUCIONARIO

    g) ( )826 5 ·x x dx−∫ = ( )926 5

    108

    x C

    − +

    h) 2 37 2x x dx+∫ = ( )3314 2

    9

    x C

    + +

    i) ( )43 2

    4

    x dx

    x

    − ∫ =

    ( )53 2 30

    x C

    − +

    j) 2

    3

    4 2 5

    x dx

    x +∫ = 32 ln 2 5

    3 x C+ +

    k) 2 12 3

    4 2 3 x

    dx x x

    − − +∫ =

    23 ln 4 2 3 2

    x x C− + +

    l) 3xe dx∫ = 3 1 3

    xe C+

    m) 2 25 51·7 · 7

    10 · ln 7 x xx dx C= +∫

    n) 3· 6sen x dx∫ = 1

    cos 6 2

    x C− +

    o) cos 4 x

    dx    ∫ = 4 4

    x sen C  + 

     

    p) 2

    2 2 3

    5 cos

    x xe dx x

    − +    ∫ = 2 3

    1 5 ·

    2 3 xe tg x C−− + +

    q) 2 5

    4 16 dx

    x+∫ = ( ) 5

    2 8

    arctg x C+

    r) 2

    6

    9 2 dx

    x− ∫ =

    2 3 2 ·

    3 x

    arcsen C  

    +    

    s) 4· cos 2 3 2

    x dx

    sen x−∫ = 2 · ln 3 2sen x C− − +

    t) ( )52

    3

    7

    x dx

    x + ∫ = ( )42

    3

    8 · 7 C

    x

    − +

    +

    u) 2cos 3 · 3x sen x dx∫ = ( )3 1

    cos 3 9

    x C− +

    359

  • Matemáticas II SOLUCIONARIO

    w) 2

    3 ln dx

    x x∫ = 2

    ln ln 3

    x C+

    y) 2

    5 · 2 cos5 2 77 4cos

    senx x dx arcsen C

    x

     = − +   −

    ∫ z) ( )26 · 3x tg x dx+∫ = ( )23 ·ln cos 3x C− + + 2. Halla una función f(x) de la que sabemos que f (1) = f ´ (1) = 1 y f ´´ (x) = x. Imponiendo las condiciones del enunciado tenemos:

    F ´ (x) = 2

    2 x

    x dx C= +∫ ⇒ f(x) = 2 3

    2 6 x x

    C dx Cx D  

    + = + +    ∫

    Como f (1) = 1 ⇒1 = 1 6

    + C + D y como f ´ (1) = 1 ⇒1 = 1 2

    + C.

    De estas dos igualdades obtenemos C = 1 2

    ; D = 1 3

    y la función buscada es f(x) = 3 1

    6 2 3 x x

    + +

    3. Halla dos primitivas de cada una de estas funciones:

    a) 2

    24

    x

    x

    e dx

    e−∫ b) 2(2 3)x

    dx x −

    ∫ c) 2 4 5 1 9

    x dx

    x −

    +∫ Las primitivas pedidas pueden ser:

    a) F(x) = 2

    24

    x

    x

    e dx

    e−∫ = 21 ln 4 1

    2 xe− − + ; F(x) =

    2

    24

    x

    x

    e dx

    e−∫ = 21 ln 4

    2 xe− −

    b) F(x) = 2(2 3)x

    dx x −

    ∫ = 22 12 9 ln 6x x x− + + ;

    F(x) = 2(2 3)x

    dx x −

    ∫ = 2 7

    2 12 9 ln 3

    x x x− + +

    c) F(x) = 2 4 5 1 9

    x dx

    x −

    +∫ = ( ) ( ) 22 5ln 1 9 3 2

    9 3 x arctg x+ − −

    F(x) = 2 4 5 1 9

    x dx

    x −

    +∫ = ( ) ( ) 2 42 5ln 1 9 3 3

    9 3 x arctg x+ − −

    4. Resuelve las siguientes integrales por el método de integración por partes: a) 3 · xx e dx−∫ d) 2 ·cosxe x dx∫ g) 2arctg x dx∫

    360

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    b) ( )2 5 · 2x sen x dx−∫ e) 24 ·lnx x dx∫ h) 32 · 3x sen x dx∫ c) 2 214 ·7 xx dx∫ f) 5 lnx dx∫ i) 2·lnx x dx∫ En cada una de las siguientes integrales utilizamos la fórmula de la integración por partes:

    · · ·u dv u v v du= −∫ ∫ a) 3 · xx e dx−∫ = 3 · 3 3 · 3·x x x xx e e dx x e e C− − − −