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Matemáticas II SOLUCIONARIO UNIDAD 12: Integrales indefinidas CUESTIONES INICIALES-PÁG. 300 1. Encuentra, en cada apartado, dos funciones cuyas derivadas sean las siguientes: a) f(x) = 3x 2 b) f(x) = cos x b) f(x) = e x Un ejemplo de las funciones pedidas son: a) F(x) = x 3 + 5 ; F(x) = x 3 – 2/5 b) F(x) = sen x + 1 2 ; F(x) = sen x + π c) F(x) = e x – 3; F(x) = e x + 2 2. Una función F(x) es primitiva de una función f(x) siempre que la derivada de F(x) sea f(x). Comprueba, en cada uno de los siguientes apartados, que la función F(x) es primitiva de f(x). a) F(x) = arcsen 2x + 1 2 1 2 x x + ; f(x) = ( ) 4 2 1 2 1 4 x x x + b) F(x) = ln(1 – cosx) – ln(1 + cos x) + 3 8 ; f(x) = 2 sen x Se deriva la función F(x) y se obtiene f(x). RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS-PÁG. 315 1. Número irracional. Demuestra que 3 es un número irracional. La solución queda: Supongamos que 3 no es irracional, por tanto 3 será racional, con lo que se puede poner en forma de fracción de este modo: 3 a b = , con a, b Z y primos entre sí. De esta igualdad obtenemos: 3 a b = . Elevando ambos miembros al cuadrado nos queda: a 2 = 3b 2 . De aquí deducimos que a 2 es múltiplo de 3. Si a 2 es múltiplo de 3 entonces a también lo es. Podemos escribir a = 3m con m Z y sustituyendo en la igualdad a 2 = 3b 2 obtenemos: (3m) 2 = 3b 2 9m 2 = 3b 2 3m 2 = b 2 Como b 2 es múltiplo de 3 y, por tanto, b también los es. 355

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Matemáticas II SOLUCIONARIO

UNIDAD 12: Integrales indefinidas CUESTIONES INICIALES-PÁG. 300 1. Encuentra, en cada apartado, dos funciones cuyas derivadas sean las siguientes: a) f(x) = 3x2 b) f(x) = cos x b) f(x) = ex Un ejemplo de las funciones pedidas son: a) F(x) = x3 + 5 ; F(x) = x3 – 2/5

b) F(x) = sen x +12

; F(x) = sen x + π

c) F(x) = ex – 3; F(x) = ex + 2 2. Una función F(x) es primitiva de una función f(x) siempre que la derivada de F(x) sea f(x). Comprueba, en cada uno de los siguientes apartados, que la función F(x) es primitiva de f(x).

a) F(x) = arcsen 2x + 1 21 2

xx

−+

; f(x) = ( )

421 2 1 4

x

x x+ −

b) F(x) = ln(1 – cosx) – ln(1 + cos x) + 38

; f(x) = 2

sen x

Se deriva la función F(x) y se obtiene f(x). RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS-PÁG. 315 1. Número irracional. Demuestra que 3 es un número irracional. La solución queda: Supongamos que 3 no es irracional, por tanto 3 será racional, con lo que se puede poner en forma de fracción de este modo:

3ab

= , con a, b ∈ Z y primos entre sí.

De esta igualdad obtenemos: 3a b= . Elevando ambos miembros al cuadrado nos queda: a2 = 3b2. De aquí deducimos que a2 es múltiplo de 3. Si a2 es múltiplo de 3 entonces a también lo es. Podemos escribir a = 3m con m ∈ Z y sustituyendo en la igualdad a2 = 3b2 obtenemos: (3m)2 = 3b2 ⇒ 9m2 = 3b2 ⇒ 3m2 = b2 Como b2 es múltiplo de 3 y, por tanto, b también los es.

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Con esto hemos llegado a que a y b son múltiplos de 3. Este resultado contradice el hecho de que a y b son primos entre si. Por tanto, hemos llegado a una contradicción o absurdo, por lo que concluimos afirmando que 3 no es un número racional, es decir, es un número irracional. 2. Implicación lógica. Demuestra que si P ⇒ Q, entonces no Q ⇒ no P. Tiene que ser no P, pues si fuera P entonces sería Q, y como dice no Q, no puede ser P. Veamos que las tablas de verdad de ambas proposiciones coinciden:

P Q P ⇒ Q V V V V F F F V V F F V

Es una ley lógica ( ) ( )P Q no Q no P⇒ ⇔ ⇒ , denominada “contraposición”. NUEVAS TECNOLOGÍAS-PÁG. 317 1. Resuelve las siguientes integrales indefinidas:

a) ( ) ( )3 1 ln 2x x dx− +∫ b) 3

1 3dx

x∫+

c) 22 3 2

2 7 10

x xdx

x x

+ −∫

− +

Utilizando los mismos comandos de la actividad desarrollada obtenemos la solución de cada una de estas integrales indefinidas que vemos en las imágenes siguientes: 2. Halla las siguientes integrales definidas:

a) 3 13

1 2x

dxx x

−∫

+ b) 1 (5 4) ·0

xx e dx−+∫ c) 5

0sen x dx

π

P Q no Q no P no Q ⇒ no P V V F F V V F V F F F V F V V F F V V V

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Utilizando los mismos comandos de la actividad desarrollada obtenemos el resultado de cada una de estas integrales definidas que vemos en la imagen siguiente: 3. Calcula el área del recinto, del primer cuadrante, limitado por las gráficas de las funciones f(x) = x2 - 6; g(x) = x y el eje OX. De la misma forma que hemos hecho en la actividad desarrollada resolvemos esta nueva actividad como vemos en la siguiente imagen:

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ACTIVIDADES FINALES-PÁG. 320 1. Resuelve las siguientes integrales por el método de integración de integrales inmediatas:

a) ( )26 5 7x x dx− +∫ i) ( )43 2

4

xdx

x

−∫ q) 2

54 16

dxx+∫

b) 32

24x dx

x − ∫ j)

2

3

42 5

xdx

x +∫ r) 2

6

9 2dx

x−∫

c) 43

282x

dxx

+ −

∫ k) 2

12 34 2 3

xdx

x x−

− +∫ s) 4· cos 23 2

xdx

sen x−∫

d) 2 35 7 9x x

dxx

− − ∫ l) 3xe dx∫ t)

( )52

3

7

xdx

x +∫

e) ( )23 2 5x x dx+∫ m) 25·7 xx dx∫ u) 2cos 3 · 3x sen x dx∫

f) ( )31 4x dx−∫ n) 3· 6sen x dx∫ w) 2

3 lndx

x x∫

g) ( )826 5 ·x x dx−∫ o) cos4x

dx ∫ y)

2

5 ·

7 4cos

senxdx

x−∫

h) 2 37 2x x dx+∫ p) 2

22 3

5cos

x xe dx

x−

+ ∫ z) ( )26 · 3x tg x dx+∫

Las funciones primitivas son:

a) ( )26 5 7x x dx− +∫ = 3 252 7

2x x x C− + +

b) 32

24x dx

x − ∫ = 4 2

x Cx

+ +

c) 43

282x

dxx

+ −

∫ =

5

3 240x

x x C+ − +

d) 2 35 7 9x x

dxx

− − ∫ =

325 14

9·ln2 3

xx x C+ − +

e) ( )23 2 5x x dx+∫ = 4 3 2753 20

2x x x C+ + +

f) ( )31 4x dx−∫ = ( )41 4

16x

C−

− +

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g) ( )826 5 ·x x dx−∫ = ( )926 5

108

xC

−+

h) 2 37 2x x dx+∫ = ( )3314 2

9

xC

++

i) ( )43 2

4

xdx

x

−∫ =

( )53 2

30

xC

−+

j) 2

3

42 5

xdx

x +∫ = 32ln 2 5

3x C+ +

k) 2

12 34 2 3

xdx

x x−

− +∫ = 23ln 4 2 3

2x x C− + +

l) 3xe dx∫ = 313

xe C+

m) 2 25 51

·7 · 710 · ln 7

x xx dx C= +∫

n) 3· 6sen x dx∫ = 1cos 6

2x C− +

o) cos4x

dx ∫ = 4

4x

sen C +

p) 2

22 3

5cos

x xe dx

x−

+ ∫ = 2 31 5

·2 3

xe tg x C−− + +

q) 2

54 16

dxx+∫ = ( )5

28

arctg x C+

r) 2

6

9 2dx

x−∫ = 2

3 2 ·3

xarcsen C

+

s) 4· cos 23 2

xdx

sen x−∫ = 2 · ln 3 2sen x C− − +

t) ( )52

3

7

xdx

x +∫ =

( )42

3

8 · 7C

x

−+

+

u) 2cos 3 · 3x sen x dx∫ = ( )31cos 3

9x C− +

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w) 2

3 lndx

x x∫ = 2

ln ln3

x C+

y) 2

5 · 2 cos52 77 4cos

senx xdx arcsen C

x

= − + −

z) ( )26 · 3x tg x dx+∫ = ( )23 ·ln cos 3x C− + +

2. Halla una función f(x) de la que sabemos que f (1) = f ´ (1) = 1 y f ´´ (x) = x. Imponiendo las condiciones del enunciado tenemos:

F ´ (x) = 2

2x

x dx C= +∫ ⇒ f(x) = 2 3

2 6x x

C dx Cx D

+ = + + ∫

Como f (1) = 1 ⇒1 = 16

+ C + D y como f ´ (1) = 1 ⇒1 = 12

+ C.

De estas dos igualdades obtenemos C = 12

; D = 13

y la función buscada es f(x) = 3 1

6 2 3x x

+ +

3. Halla dos primitivas de cada una de estas funciones:

a) 2

24

x

x

edx

e−∫ b) 2(2 3)x

dxx−

∫ c) 2

4 51 9

xdx

x−

+∫

Las primitivas pedidas pueden ser:

a) F(x) = 2

24

x

x

edx

e−∫ = 21ln 4 1

2xe− − + ; F(x) =

2

24

x

x

edx

e−∫ = 21ln 4

2xe− −

b) F(x) = 2(2 3)x

dxx−

∫ = 22 12 9 ln 6x x x− + + ;

F(x) = 2(2 3)x

dxx−

∫ = 2 72 12 9 ln

3x x x− + +

c) F(x) = 2

4 51 9

xdx

x−

+∫ = ( ) ( )22 5ln 1 9 3 2

9 3x arctg x+ − −

F(x) = 2

4 51 9

xdx

x−

+∫ = ( ) ( )2 42 5ln 1 9 3 3

9 3x arctg x+ − −

4. Resuelve las siguientes integrales por el método de integración por partes: a) 3 · xx e dx−∫ d) 2 ·cosxe x dx∫ g) 2arctg x dx∫

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b) ( )2 5 · 2x sen x dx−∫ e) 24 ·lnx x dx∫ h) 32 · 3x sen x dx∫

c) 2 214 ·7 xx dx∫ f) 5 lnx dx∫ i) 2·lnx x dx∫

En cada una de las siguientes integrales utilizamos la fórmula de la integración por partes:

· · ·u dv u v v du= −∫ ∫

a) 3 · xx e dx−∫ = 3 · 3 3 · 3·x x x xx e e dx x e e C− − − −− − − =− − +∫

b) ( )2 5 · 2x sen x dx−∫ 2 5 5 2 5 5

· cos2 cos2 cos 2 22 2 2 4

x xx x dx x sen x C

− −= − − =− − +∫

c) 2 214 ·7 xx dx∫ = 2 2

27 ·7 7·7

ln7 ln7

xxx

x dx− =∫22 2 2

2 3

7·77 ·7 7 ·7ln7 ln 7 2·ln 7

xx xx xC− + +

d) Esta es una integral cíclica, pues al aplicar dos veces la integración por partes vuelve a salir la misma integral:

2 ·cosxe x dx∫ = e2x · sen x - 22 ·xe sen x dx∫ = e2x · sen x + 2e2x · cos x - 24 ·cosxe x dx∫

Llamando I a la integral inicial obtenemos: I = e2x · sen x + 2e2x · cos x – 4 I. De modo que despejando I:

2 ·cosxe x dx∫ = 2 2· 2 ·cos

5

x xe senx e xC

++

e) 24 ·lnx x dx∫ = 2 2 2 2 2 222 ·ln · 2 2 · ln 2x x x dx x x x C

x− = − +∫

f) 5 lnx dx∫ = 5x · ln x – 5x + C

g) 2arctg x dx∫ = 2

2· 2

1 4x

x arctg x dxx

− =+∫ ( )21

· 2 ln 1 44

x arctg x x C− + +

h) 32 · 3x sen x dx∫ = 3 31· 2 · cos3 2 · ln2 · cos3

3x xx x dx− + ∫ =

33 3 21 1·2 · cos 3 ·2 ·ln2 · 3 2 · ln 2 · 3

3 3Xx xx sen x sen x dx− + −∫

Llamando I a la integral inicial y despejando I:

32 · 3x sen x dx∫ = ( )33

2

2 · cos3 2 ·ln2 · 33 · 1 ln 2

xx x sen xC

− ++

+

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i) 2· lnx x dx∫ = 2

2·ln ·ln2x

x x x dx− =∫2 2

2 21·ln · ln

2 2 4x x

x x x C− + +

5. Resuelve las siguientes integrales por el método de integración de funciones racionales:

a) 2

3 14 3

xdx

x x+

− +∫ d) 2

3 2

2 13 123 4

x xdx

x x+ ++ −∫ g)

2

2

2 102

xdx

x x−

− −∫

b) ( )( )

2

2

2 3 82 1

x xdx

x x+ +

+ +∫ e) 3

2

2 8 44

x xdx

x+ −+∫ h)

3

2

64

xdx

x+−∫

c) 2 5 6dx

x x− +∫ f) 2

3 2

2 7 54 4 1

x xdx

x x x+ −+ + +∫ i)

4

2 9x

dxx +∫

a) 2

3 14 3

xdx

x x+

− +∫ = 2 5

2ln 1 5ln 31 3

dx dx x x Cx x−

+ = − − + − +− −∫ ∫

b) ( )( )

2

2

2 3 82 1

x xdx

x x+ +

+ +∫ = 2

2 32ln 2 3

2 1dx dx x arctg x C

x x+ = + + +

+ +∫ ∫

c) 2 5 6dx

x x− +∫ = 1 1

ln 2 ln 32 3

dx dx x x Cx x−

+ = − − + − +− −∫ ∫

d) 2

3 2

2 13 123 4

x xdx

x x+ ++ −∫ =

( )2

3 2 1 23ln 1 ln 2

1 2 22dx dx dx x x C

x x xx−

= + + = − − − + +− + ++∫ ∫ ∫

e) 3

2

2 8 44

x xdx

x+ −+∫ = 2

2

42 2

4 2x

x dx dx x arctg Cx− + = − + + ∫ ∫

f) 2

3 2

2 7 54 4 1

x xdx

x x x+ −+ + +∫ =

= 2

2 3 41 4 1

xdx dx

x x− +

+ =+ +∫ ∫ 2 2

3 42 ln 1

4 1 4 1x

x dx dxx x

− + + + =+ +∫ ∫

= ( )232 ln 1 ln 4 1 2 (2 )

8x x arctg x C− + + + + +

g) ( )22

2 2 2

2 2 2 6 2 62 102

2 2 2

x x x xxdx dx dx dx

x x x x x x

− − + − −−= = + =

− − − − − −∫ ∫ ∫ ∫

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= 8 2 8 23 32 2 ln 1 ln 2

1 2 3 3x dx dx x x x C

x x

−+ + = + + − − +

+ −∫ ∫

h) 3

2

64

xdx

x+−∫ =

( )2

2 2

4 4 6 4 64 4

x x x xdx x dx dx

x x

− + + += + =

− −∫ ∫ ∫

= 2

7 12 2

2 2 2x

dx dxx x

+ + =− +∫ ∫

2 7 1ln 2 ln 2

2 2 2x

x x C+ − + + +

i) 4

2 9x

dxx +∫ =

( ) ( ) ( )2 2

22 2

9 9 81 819

9 9

x xdx x dx dx

x x

− + += − + =

+ +∫ ∫ ∫

= 3

9 27 ·3 3x x

x arctg C − + +

ACTIVIDADES FINALES-PÁG. 321 ■ 6. Resuelve las siguientes integrales por el método de integración de cambio de variable con el cambio que se indica en cada caso:

a) 3 2

4

5 2

xdx

x +∫ (5x2 + 2 = t3) d)

1x

dxx+∫ (x = t2)

b) ( )2

23 ln

dxx x+∫ (ln x = t) e) 3sen x dx∫ (cos x = t)

c) 2 4

x

x

edx

e +∫ (ex = t) f) 3

2

4 22

xdx

x++∫ (x2 = t)

a) Mediante el cambio dado (5x2+2=t3) obtenemos: 3 2

4

5 2

xdx

x +∫ =

( )2

2 32 2 3 5 24 3 3·

10 5 5

xx t tdt C

t x

+= = +∫

b) Mediante el cambio dado (ln x = t) obtenemos: ( )2

23 ln

dxx x+∫ =

( )2

2 2 2·

3 3 ln3x dt C

t xx t− −

= = ++ ++∫

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c) Mediante el cambio dado (ex = t) obtenemos: 2 4

x

x

edx

e +∫ =

2 2

1 1·

4 4 2 2 2 2

x x

x

e dt dt t earctg arctg C

t e t = = = + + +

∫ ∫

d) Mediante el cambio dado (x = t2) obtenemos: 1

xdx

x+∫ =

( ) ( )22 3 1 · 2 2 2 22· 2

1 1 1

t t tt tt dt dt dt

t t t

+ − + −= = = =

+ + +∫ ∫ ∫

( )3

2 22 22 2 2 2 2ln 1

1 3t

t t dt dt t t tt

= − + − = − + − + =+∫ ∫

32

2 2ln 13x

x x x C= − + − + +

e) Mediante el cambio dado (cos x = t) obtenemos:

( )33

2 2 cos1 (1 ) cos

3 3xdt dt t

sen x t sen x t t x Csen x sen x

− = − − = − + = − + +−∫ ∫

f) Mediante el cambio dado (x2 = t) obtenemos: 3

2

4 22

xdx

x++∫ =

3

2 2

4 22 2

xdx

x x= + =

+ +∫ ∫ 2

4 · 1·

2 21

2

x t dtdx

t x x+ =

+ +

∫ ∫

( )2 ( 2 4

22 2

t xdx arctg

t+ − = + = + ∫ 2 4ln 2 2

2x

t t arctg − + + =

= 2 22 4ln 2 22

xx x arctg C − + + +

7. Resuelve las siguientes integrales por el método de integración de cambio de variable:

a) 2

3 2dx

x+ −∫ d) 4

1x

dxx+∫ g) 2

ln 8(ln 4ln )

xdx

x x x++∫

b) 34 ln

2x

dxx

+∫ e) 3 2cos ·x sen x dx∫ h) 2

41

x

x

edx

e −∫

c) 2 5

3

x

x

edx

e+−∫ f)

12

xdx

x−−∫ i) 2

21

arctg xdx

x +∫

7. a) Mediante el cambio (x - 2 = t2) obtenemos:

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2 2

· 233 2

dx t dttx

= =++ −∫ ∫

( )4 3 1244 12ln 3 4 2 12ln 3 2

3 3tt

dx dt t t x x Ct t

+ −= = = − + = − − + − +

+ +∫ ∫

b) Mediante el cambio (ln x = t ) obtenemos:

34 ln2

xdx

x+

∫ =34

·2

tx dt

x+

=∫4 41 1 ln

2 2ln2 4 2 4

t xt x C+ = + +

c) Mediante el cambio (ex = t) obtenemos:2 6

3

x

x

edx

e+−∫ =

2 63

t dtt t+−∫ = esta es una integral racional y

queda: 2 4

3dt dt

t t−

+ =−∫ ∫ 2 ln 4 ln 3 2 4 ln 3xt t x e C− + − = − + − +

d) Mediante el cambio (x = t2) obtenemos: 24 4 8

21 11

x t tdx tdt dt

t tx= = =

+ ++∫ ∫ ∫ esta es una integral

racional y queda:

( ) ( )2

218( 1)( 1) 88 8ln 1 4 1 8ln 1

1 2tt t

dt t x x Ct

−− + += + + = − + + +

+∫

e) Mediante el cambio (sen x = t) obtenemos:

( )3 2 2 2 2 2cos · cos · 1 · cos · (1 ) ·cos

dtx sen x dx x sen x sen x dx x t t

x= − = − =∫ ∫ ∫

3 5 3 5

3 5 3 5t t sen x sen x

C= − = − +

f) Mediante el cambio (x-1 = t2) obtenemos: 1

2x

dxx−−∫ =

2

2 2

22

1 1t t

t dt dtt t

= =− −∫ ∫

= 2

2

2( 1) 22 ln 1 ln 1

1t

dt t t tt− +

= + − + + =−∫

1 12 1 ln

1 1x

x Cx

− −− + + − +

g) Mediante el cambio (ln x = t ) obtenemos: 2

ln 8(ln 4ln )

xdx

x x x++∫ = 2

8( 4 )t

x dtx t t

+=

+∫

= 2 12ln ln 4

4dt dt t t

t t−

+ = − + =+∫ ∫ 2ln ln ln ln 4x x C− + +

h) Mediante el cambio (ex = t) obtenemos: 2

41

x

x

edx

e −∫ = 2

41

t dtt t

=−∫

2 21 1

dt dtt t

−+ =

− +∫ ∫

= 1

2ln 1 2ln 1 2ln1

x

x

et t C

e−

− − + = ++

i) Mediante el cambio (arc tg x = t) obtenemos: 2

21

arctg xdx

x +∫ = ( )2 22

21

1t

x dt tx

+ = =+∫

365

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Matemáticas II SOLUCIONARIO

= (arc tgx)2 + C 8. Resuelve las siguientes integrales por el método que creas más adecuado:

a) 2ln ( 4)x dx−∫ i) 2

ln(ln 1)

xdx

x x −∫ q) ( )2 2· 1xe x dx− +∫

b) 2

5 42 1

xdx

x x−+ −∫ j)

( )

2

2

3 6 102

x xdx

x+ +

+∫ r) 2

21x dx

e −∫

c) ( )22 1x

dxx

+∫ k)

2 1xdx

x−

∫ s) ( )

2

4 12 5

x xdx

x x+

− +∫

d) 25 cos3 3x sen x dx∫ l) ( )3 1 lnx x dx+∫ t) ( )

.2 1

dxx x+ +∫

e) 2

2

8 2 54 5

x xdx

x+ ++∫ m)

4 3

2

3dx

x x+∫ u) 2

23 cos

sen xdx

x+∫

f) 2 28 · ·xx e dx∫ n) (2 1).arctg .x x dx−∫ w) · cos2xe x dx−∫

g) 2

36 18

dxx x+ +∫ o) ( )2

6· ln ln

dxx x x+∫ x)

2

2

sec

4

xdx

tg x−∫

h) 2

2 3

3 3 2x xdx

x x+ −

+∫ p) 2

5 12

5 4

xdx

x x

+ −∫ y)

5

4 1x

dxx −∫

a) Resolvemos esta integral por el método de integración por partes y obtenemos:

2ln( 4)x dx−∫ = 2ln 4 2 2ln 2 2ln 2x x x x x C− − − − + + +

b) Resolvemos esta integral por el método de integración de funciones racionales y obtenemos:

2

5 42 1

xdx

x x−+ −∫ = ln 2 1 3ln 1x x C− − + +

c) Resolvemos esta integral por el método de integración de cambio de variable y obtenemos:

( )22 1xdx

x

+∫ =

5 38 82

5 3x x

x C+ + +

d) Resolvemos esta integral por el método de integración de integrales inmediatas y obtenemos:

25 cos3 3x sen x dx∫ = 353

9sen x C+

e) Resolvemos esta integral por el método de integración de funciones racionales y obtenemos:

366

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Matemáticas II SOLUCIONARIO

2

2

8 2 54 5

x xdx

x+ ++∫ = ( )21 5 2

2 ln 4 54 2 5

xx x arctg C + + − +

f) Resolvemos esta integral por el método de integración por partes y obtenemos:

2 28 · ·xx e dx∫ = 4x2 e2x - 4x e2x + 2e2x + C

g) Resolvemos esta integral por el método de integración de integrales inmediatas y obtenemos:

2

36 18

dxx x+ +∫ =

33

xarctg C

+ +

h) Resolvemos esta integral por el método de integración de funciones racionales y obtenemos:

2

2 3

3 3 2x xdx

x x+ −

+∫ = 3

2 ln 1x Cx

− − + +

i) Resolvemos esta integral por el método de integración de cambio de variable y obtenemos:

2

ln(ln 1)

xdx

x x −∫ = 21ln ln 1

2x C− +

j) Resolvemos esta integral por el método de integración de funciones racionales y obtenemos:

( )

2

2

3 6 102

x xdx

x+ +

+∫ = 103 6 ln 2

2x x C

x− − + +

+

k) Resolvemos esta integral por el método de integración de cambio de variable y obtenemos:

22 21

1 1x

dx x arctg x Cx−

= − − − +∫

l) Resolvemos esta integral por el método de integración por partes y obtenemos:

( )3 1 lnx x dx+∫ = 4 4

ln4 16x x

x x x C

+ − − +

m) Resolvemos esta integral por el método de integración de cambio de variable y obtenemos:

4 3

2

3dx

x x+∫ = 4 48 24ln 3x x C− + +

n) Resolvemos esta integral por el método de integración por partes y obtenemos:

(2 1).arctg .x x dx−∫ = (x2 – x + 1) arc tg x –x + ln 2 1x + + C

o) Resolvemos esta integral por el método de integración de cambio de variable y obtenemos:

367

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Matemáticas II SOLUCIONARIO

( )2

6· ln ln

dxx x x+∫ =

ln6 ln

1 lnx

Cx+

+

p) Resolvemos esta integral por el método de integración de integrales inmediatas y obtenemos:

( )2 2

5 12 5 12

5 4 9 2

x xdx dx

x x x

− −= =

+ − − −∫ ∫ ( )2 2

5· 9 2 23

xx arcsen C

− − − − − +

q) Resolvemos esta integral por el método de integración por partes y obtenemos:

( )2 2· 1xe x dx− +∫ = 2 21 32 2

xx x e C−− + + +

r) Resolvemos esta integral por el método de integración de cambio de variable y obtenemos:

( )( )2

22 ln 1 1

1x x

x dx x e e Ce

= − + − + +−∫

s) Resolvemos esta integral por el método de integración de funciones racionales y obtenemos:

( )22

4 ( 1) 14 6 ln 2 5 4

2 5 2x x x

dx x x x arctg Cx x

+ − = + − + − + − + ∫

t) Resolvemos esta integral por el método de integración de cambio de variable y obtenemos:

( )2 1dx

x x+ +∫ = 2 1arctg x C+ +

u) Resolvemos esta integral por el método de integración de integrales inmediatas y obtenemos:

2

23 cos

sen xdx

x+∫ = - ln (3 + cos2 x) + C

w) Resolvemos esta integral por el método de integración por partes y obtenemos:

· cos2xe x dx−∫ = 2 2 cos2

5

x xe sen x e xC

− −−+

x) Resolvemos esta integral por el método de integración de integrales inmediatas o por el método de cambio de variable y obtenemos:

2

2

sec

4

xdx

tg x−∫ =

2tg x

arcsen C +

y) Resolvemos esta integral por el método de integración de funciones racionales y obtenemos:

( )( )( )

5 2

4 2

1 11ln

1 2 4 1

x xx xdx C

x x− +

= + +− +∫

368

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Matemáticas II SOLUCIONARIO

ACTIVIDADES ACCESO UNIVERSIDAD-PÁG. 322

1. Halla la primitiva de f(x) = 2

2

24 3x

x x+ + que valga 1 para x = 0

Las primitivas de la función dada se hallan mediante la integral de la misma y son:

F(x) = 2

2

24 3x

dxx x

=+ +∫ 2 9ln 3 ln 1x x x C− + + + +

Como sabemos que F(0) = 1 sustituyendo obtenemos: C = 1 + 9 ln 3. La primitiva que pide el problema es: 2 9ln 3 ln 1 1 9ln3x x x− + + + + + 2. Halla una función f(x) real de variable real de la que se sabe que f ´´ (x) = 3x2 - 4x + 3 y que su gráfica

presenta un mínimo relativo en al punto 11

1,12

.

f ´ (x) = 2(3 4 3)x x dx− + =∫ x3 – 2x2 + 3x + C;

F (x) = 3 2( 2 3 )x x x C dx− + + =∫4 3 2

2 34 3 2x x x

Cx K− + + +

Como tiene un mínimo relativo en el punto 11

1,12

se debe verificar:

211(1)

12 11´(1) 0 6

Cf

Kf

= − = ⇒ = =

por lo que f(x) = 4 3 2 11

2 3 24 3 2 6x x x

x− + − +

3. Halla dos primitivas de la función f(x) = 2

1 xe−.

Todas las primitivas de la función dada se hallan mediante la integral de la misma y son:

F(x) = 2

1 x dxe

=−∫ 2 2 ln 1 xx e C− − +

4. ¿Alguna de las funciones F(x) = 1

4cos

senxx

−+ ; G(x) =

15

1senxsenx

−−

+ son primitivas de

F (x) = 1

1 senx−+

?

Ambas son primitivas de f(x) puesto que:

1 14

cos 1senx

Dx senx

− −+ = +

y 1 15

1 1senx

Dsenx senx

− −− = + +

369

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Matemáticas II SOLUCIONARIO

5. Sea f(x) = 2

2 121

xx x

−− +

. Halla · ( )x f x dx∫

· ( )x f x dx∫ = 2

2 12·

1x

x dxx x

−− +∫ =

2

2

2 121

x xdx

x x−

=− +∫ 2

10 22

1x

dxx x− −

+ =− +∫

= 2 14 3 2 12 5 ln 1

3 3x

x x x arctg C−

− − + − +

6. La curva que limita un determinado fractal viene dada por la función f (t) = 2t · cos 2t

. Calcula

( )f t dt∫ .

( )f t dt =∫ 2 · cos2t

t dt = ∫ 4 · 8·cos

2 2t t

t sen C + +

7. Halla 2 41 4

x x

x dx++∫

2 41 4

x x

x dx++∫ = ( )1 1

· 2 ·ln 1 4ln2 ln4

x xarctg C+ + +

8. Halla una función f: R → R si se sabe que f (1) = 1; f ´(1) = 2; f ´´ (1) = 8 y f ´´´ (x) = 24x - 6. f ´´ (x) = (24 6)x dx− =∫ 12x2 – 6x + C;

f ´ (x) = 2(12 6 )x x C dx− + =∫ 4x3 – 3x2 + Cx + D

f (x) = 3 2(4 3 )x x Cx D dx− + + =∫2

4 3

2x

x x C Dx K− + + +

Imponiendo las condiciones del enunciado tenemos: (1) 1 2´(1) 2 1´´(1) 8 1

f Cf Df K

= = = ⇒ = − = =

por lo que

f(x) = 4 3 2 1x x x x− + − + 9. Calcula, integrando por partes, ( )·cos lnx x dx∫ y comprueba el resultado por derivación.

En primer lugar hacemos un cambio de variable (ln x = t) y después resolvemos la integral por el método de integración por partes:

( )·cos lnx x dx∫ = ( )2 ·coste t dt= =∫22 2 cos

5

tte sent e t+=

( ) ( )22 ln 2 cos ln5

x sen x x xC

++

Comprobamos derivando esta última función:

370

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Matemáticas II SOLUCIONARIO

( ) ( )22 ln 2 cos ln

5x sen x x x

D C +

+ =

x · cos (ln x)

10. Resuelve la siguiente integral indefinida con un cambio de variable adecuado: 2

cossen x

dxx∫

Resolvemos la integral con el cambio de variable (sen x = t):

2

cossen x

dxx∫ =

2

21t

dtt

= =−∫ 2

1 1 1 1 11 ln ln

1 2 1 2 1t senx

dt t senx Ct t senx

+ +− + = − + = − + + − − −

11. Halla una función cuya derivada sea la función f(x) = arcsen x. Todas las funciones cuya derivada es la dada se hallan mediante la integral:

2· 1arcsen x dx x arcsen x x C= + − +∫

Una de estas funciones es 2( ) · 1 2F x x arcsen x x= − − + 12. Halla las siguientes integrales trigonométricas: a) 5cos x dx∫ b) 2cos x dx∫ c) 22cos ·x sen x dx∫

a) 5cos x dx∫ = ( )22cos · 1x sen x dx−∫ =

( )2 4cos 1 2x sen x sen x dx− + =∫3 52

3 5sen x sen x

senx C− + +

b) 2cos x dx∫ = 1 cos2 2

2 2 4x x sen x

dx C+

= + +∫

c) 2

22 2cos ·

4sen x

x sen x dx dx= =∫ ∫1 cos 4 4

2 2 8x sen xx

dx C−

= − +∫

13. Demuestra la siguiente igualdad: 1 1 cos

lnx

dx Csen x sen x

−= +

1 cos 1

lnx

D Csen x senx

−+ =

14. Halla una función polinómica de segundo grado cuya derivada es la función g(x) = 4x – 3 y tiene una tangente en la recta y = x + 2. La función es f(x) = ( ) 24 3 2 3x dx x x C− = − +∫

Si la recta dada es tangente a la gráfica de la función se verifica que g (x) = 4x – 3 = 1; por lo que x = 1 e y = 3. El punto de tangencia es (1, 3).

371

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Matemáticas II SOLUCIONARIO

La función polinómica f(x) pasa por este punto, de modo que la función es: f (x) = 2x2 – 3x + 4 15. Halla una función real de variable real f(x) que pasa por el origen de coordenadas y de la que se sabe que f ´ (x) = x · ln (x2 +1).

La función es: f (x) = ( )2·ln 1x x dx+∫ = ( )2 3

22·ln 1

2 1x x

x dxx

+ − =+∫

= ( )2 2

21·ln 1

2 2x x

x C+

+ − +

Para que pase por el origen de coordenadas se debe verificar que f(0) = 0. Por lo que C = 0 y la función buscada es:

f(x) = ( )2 2

21·ln 1

2 2x x

x+

+ −

16. Halla la primitiva de la función f(x) = (x2 + 1) · cos x que vale π para x = π. Todas las primitivas se hallan mediante la siguiente integral:

( )2 1 · cosx x dx+ =∫ ( )2 1 2 ·x sen x x sen x dx+ − =∫

= ( )2 1 2 ·cos 2x sen x x x senx C+ + − +

La primitiva que pasa por el punto (π, π) es: F(x) = ( )2 1 2 ·cos 2 3x sen x x x senx π+ + − +

372

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Matemáticas II SOLUCIONARIO

PROYECTO DE INVESTIGACIÓN-PÁG. 323 Razones de áreas Queremos investigar posibles patrones que aparecen si se halla la razón de las áreas que se forman cuando las funciones y = xn (n ∈ Z, n ∈Q) se representan entre dos valores arbitrarios a y b, con a < b. 1. Sea la función y = x2. Consideramos: - La región B delimitada por y = x2, x = 0, x = 1 y el eje OX. - La región A delimitada por y = x2, y = 0, y = 1 y el eje OY.

Halla la razón: .Área AÁrea B

2. Calcula la razón de las áreas para otras funciones del tipo y = xn, n ∈ Z+, entre x = 0 y x = 1. 3. Estudia qué ocurre para áreas comprendidas entre x = 0 y x = 2, entre x = 1 y x = 2, etc. 4. Analiza el caso general, con y = xn entre a y b, tal que a < b, y para las regiones: - La región A delimitada por y = xn, y = an, y = bn y el eje OY. - La región B delimitada por y = xn, x = a, x = b y el eje OX. 5. Los resultados que obtienes, ¿se mantienen para funciones del tipo y = xn, n Z −∈ , entre x = 0 y x = 1; entre x = 0 y x = 2; entre x = 1 y x = 2, etc.? ¿Y para funciones del tipo y = xn, n Q∈ , en los mismos intervalos? 1. Para la función y = x2 hallamos las áreas de las regiones B y A:

131 2

00

10,33

3 3x

B x dx

= = = =

1 2

1 1 0,673 3

A B= − = − = =

La razón de las áreas es:

23 2.13

Área ARazón

Área B= = =

En el dibujo pueden verse los resultados obtenidos. 2. Para la función y = x3 hallamos las áreas de las regiones B y A:

373

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Matemáticas II SOLUCIONARIO

141 3

00

10,25

4 4x

B x dx

= = = =

1 3

1 1 0,754 4

A B= − = − = =

La razón de las áreas es:

34 3.14

Área ARazón

Área B= = =

En el dibujo pueden verse los resultados obtenidos. Para la función y = xn, con n Z +∈ , hallamos las áreas de las regiones B y A:

111

00

11 1

nn x

B x dxn n

+ = = = + + ∫

1

1 11 1

nA B

n n= − = − =

+ +

La razón de las áreas es: 1

.1

1

nÁrea A n

Razón nÁrea B

n

+= = =

+

En el dibujo pueden verse los resultados obtenidos. Observamos que la razón de las áreas coincide con el exponente de la función y = xn. 3. Estudiamos las áreas comprendidas entre x = 0 y x = 2. Para la función y = x2 hallamos las áreas de las regiones B y A:

232 2

00

82,67

3 3x

B x dx

= = = =

8 16

8 8 5,333 3

A B= − = − = =

La razón de las áreas es:

163 2.83

Área ARazón

Área B= = =

En el dibujo pueden verse los resultados obtenidos.

374

Page 21: SOLUCIONARIO PRIMERO ESOolmo.pntic.mec.es/~agog0016/pdf/2BT/EDITEX II/12...Matemáticas II SOLUCIONARIO Con esto hemos llegado a que a y b son múltiplos de 3. Este resultado contradice

Matemáticas II SOLUCIONARIO

Para la función y = x3 hallamos las áreas de las regiones B y A:

242 3

00

164

4 4x

B x dx

= = = =

16 16 4 12A B= − = − =

La razón de las áreas es: 12

3.4

Área ARazón

Área B= = =

En el dibujo pueden verse los resultados obtenidos. Para la función y = xn, con n Z +∈ , hallamos las áreas de las regiones B y A:

111

00

11 1

nn x

B x dxn n

+ = = = + + ∫

1

122 · 2 · 2

1 1

nnn n

An n

++= − =

+ +

La razón de las áreas es:

1

1

· 21

.1 · 2

1

n

n

nÁrea A n

Razón nÁrea B

n

+

+

+= = =

+

En el dibujo pueden verse los resultados obtenidos. Observamos que la razón de las áreas coincide con el exponente de la función y = xn. Estudiamos las áreas comprendidas entre x = 1 y x = 2. Para la función y = x2 hallamos las áreas de las regiones B y A:

232 2

11

8 1 72,33

3 3 3 3x

B x dx

= = = − = =

7 14

8 1 7 4,673 3

A B= − − = − = =

La razón de las áreas es:

143 2.73

Área ARazón

Área B= = =

En el dibujo pueden verse los resultados obtenidos. Para la función y = x3 hallamos las áreas de las regiones B y A:

375

Page 22: SOLUCIONARIO PRIMERO ESOolmo.pntic.mec.es/~agog0016/pdf/2BT/EDITEX II/12...Matemáticas II SOLUCIONARIO Con esto hemos llegado a que a y b son múltiplos de 3. Este resultado contradice

Matemáticas II SOLUCIONARIO

242 3

11

16 1 153,75

4 4 4 4x

B x dx

= = = − = =

15 45

16 1 15 11,254 4

A B= − − = − = =

La razón de las áreas es:

454 3.

154

Área ARazón

Área B= = =

En el dibujo pueden verse los resultados obtenidos. Para la función y = xn, con n Z +∈ , hallamos las áreas de las regiones B y A:

2 11 12

11

2 12 11 1 1 1

nn nn x

B x dxn n n n

++ + −= = = − = + + + + ∫

1

12 12 · 2 1 · (2 1)

1 1

nnn n

An n

++−

= − − = −+ +

La razón de las áreas es:

1

1

· (2 1)1

.1 ·(2 1)

1

n

n

nÁrea A n

Razón nÁrea B

n

+

+

−+

= = =−

+

En el dibujo pueden verse los resultados obtenidos. Observamos que la razón de las áreas coincide con el exponente de la función y = xn. 4. Analizamos el caso general, con y = xn entre a y b, tal que a < b, y para las regiones: - La región A delimitada por y = xn, y = an, y = bn y el eje OY. - La región B delimitada por y = xn, x = a, x = b y el eje OX. El área de la Región B es:

2 1 11

11 1

n nnb n

a

b axB x dx

n n

+ ++ −= = = + + ∫

El área de la Región A es:

( )1 1

1 1· ·1 1

n nn nn n b a n

A b b a a b an n

+ ++ +−

= − − = −+ +

La razón de las áreas es:

376

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Matemáticas II SOLUCIONARIO

( )

( )

1 1

1 1

11

1

n n

n n

n b aÁrea A n

Razón nÁrea B b a

n

+ +

+ +

−+

= = =−

+

5. Estudiamos las funciones y = xn, n Z −∈ .

Comenzamos con 1 1y x

x−= = .

● Entre 0 y 1:

El área de la región B es: [ ]1

1

0 0

1ln ln 1 ln 0 0 ( )B dx x

x= = = − = − − ∞ = + ∞∫

Integrando sobre el eje OY para calcular el área de la región A, obtenemos:

[ ]1

1

1ln ln ( ) ln 1 0A dy y

y

+ ∞+ ∞

= = = + ∞ − = + ∞ − = + ∞∫

● Entre 0 y a, con a > 0, se obtienen los mismos resultados, es decir, las áreas de las regiones A y B son infinitas. ● Entre 1 y 2:

[ ]2

2

1 1

1ln ln 2 ln 1 ln 2 0,6931B dx x

x= = = − = =∫

[ ]1

1

12 1

2

1 1ln ln 1 ln 0 ( ln 2) ln 2 0,6931

2A dy y

y = = = − = − − = = ∫

El valor de la razón es: ln 2

1ln 2

Área ARazón

Área B= = =

● Entre a y b:

377

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Matemáticas II SOLUCIONARIO

[ ]1ln ln ln ln

bb

a a

bB dx x b a

x a= = = − =∫

[ ]1

1

11

1 1 1ln ln ln ln ( ln ) ln ln ln

aa

bb

bA dy y a b b a

y a b a = = = − = − − − = − = ∫

El valor de la razón es: ln

1ln

bÁrea A aRazón

bÁrea Ba

= = =

Consideramos 22

1y x

x−= = .

● Entre 0 y 1:

El área de la región B es: 1

1 2

00

1 11 1

0B x dx

x− = = − = − − − = − + ∞ = + ∞ ∫

Integrando sobre el eje OY para calcular el área de la región A, obtenemos:

11

12 2A dy y

y

+ ∞+ ∞

= = = + ∞ − = + ∞ ∫

378

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Matemáticas II SOLUCIONARIO

● Entre 0 y a, con a > 0, se obtienen los mismos resultados, es decir, las áreas de las regiones A y B son infinitas. ● Entre 1 y 2:

( )2

2 2

11

1 1 1 11 1

2 2 2B x dx

x− = = − = − − − = − = ∫

1

1

14 1

4

1 12 2 2 · 2 1 1

4A dy y

y = = = − = − = ∫

El valor de la razón es: 1

212

Área ARazón

Área B= = =

● Entre 1 y 3:

( )3

3 2

11

1 1 1 21 1

3 3 3B x dx

x− = = − = − − − = − = ∫

1

1

19 1

9

1 1 2 42 2 2 · 2

3 39A dy y

y = = = − = − = ∫

El valor de la razón es:

43 223

Área ARazón

Área B= = =

379

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Matemáticas II SOLUCIONARIO

● Entre a y b:

2 1 1 1 1 1bb

aa

B x dxx b a a b

− = = − = − − − = − ∫

2

2

22

11

2 2 2 211

1 2 2 1 12 2

aa

bb

A dy ya b a by

= = = − = − ∫

El valor de la razón es: 2 2

2 2

1 122

1 1Área A a bRazónÁrea B

a b

− = = = −

Consideramos 1n

ny xx

−= = .

● Entre a y b:

1 1 11 1

1 1 1 1 1 11 1 1 1

bb n n n n

n naa

B x dx x b an n n n a b

− − + − + − +− −

= = = − = − − + − + − + − ∫

2

1 1111 1

11

1 11 1 1

nn

nn

n nn a n n

a n nn n

bb

n n nA y dy y

n n a n b

− −−

− = = = − = − − − ∫

1 1

1 11 n n

nn a b− −

= − −

El valor de la razón es: 1 1

1 1

1 11

1 1 11

n n

n n

nÁrea A n a b

Razón nÁrea B

n a b

− −

− −

− − = = = − −

380

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Matemáticas II SOLUCIONARIO

Estudiamos las funciones ,pq p

y x Qq

+= ∈ . Comenzamos con 12y x x= = .

● Entre 0 y 1:

El área de la región B es: 111 32

00

2 2 20

3 3 3B x dx x = = = − = ∫

Integrando sobre el eje OY para calcular el área de la región A, obtenemos:

12 3

10

1 1 10

3 3 3A y dy y

+ ∞ = = = − = ∫

El valor de la razón es:

113

2 23

Área ARazón

Área B= = =

● Entre a y b:

El área de la región B es: ( )1

3 3 3 3 32 2 2 2 23 3 3 3

bb

aa

B x dx x b a b a = = = − = − ∫

Integrando sobre el eje OY para calcular el área de la región A, obtenemos:

381

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Matemáticas II SOLUCIONARIO

( )2 3 3 3 3 31 1 1 13 3 3 3

bb

aa

A y dy y b a b a = = = − = − ∫

El valor de la razón es: ( )( )

3 3

3 3

1 113 3

2 2 23 3

b aÁrea ARazón

Área B b a

−= = = =

Consideramos la función ,pq p

y x Qq

+= ∈ entre a y b.

El área de la región B es:

b q qp q p q p qpb p q p qq p q q

aa

q q q qB x dx x b a b a

p q p q p q p q

+ + ++ +

= = = − = − + + + + ∫

Integrando sobre el eje OY para calcular el área de la región A, obtenemos:

pq

pq

ppqq

p q p qbp q p q p qq p pp pb p p q q q q

a a

p p pA y dy y b a b a

p q p q p q

+ ++ + +

= = = − = − + + + ∫

El valor de la razón es:

p q p qq q

p q p qq q

p b ap qÁrea A p

RazónÁrea B qq b a

p q

+ +

+ +

+ = = =

− +

382

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Matemáticas II SOLUCIONARIO

Estudiamos las funciones ,pq p

y x Qq

−= ∈ . Comenzamos con 12 1

y xx

−= = .

● Entre 0 y 1:

El área de la región B es: 111

20 0

2 2 1 2 0 2B x dx x−

= = = − = ∫

Integrando sobre el eje OY para calcular el área de la región A, obtenemos:

( )211

1 1 11 0 1 1A dy

y y

+ ∞+ ∞

= = − = − − − = + = + ∞ ∫

El valor de la razón es: 1 12 2

Área ARazón

Área B= = =

● Entre 1 y 2:

El área de la región B es: ( )212

21 1

2 2 2 2 1 2 2 1B x dx x−

= = = − = − ∫

Integrando sobre el eje OY para calcular el área de la región A, obtenemos:

11

2112

2

1 1 11 2 1

12

A dyy y

= = − = − − − = −

383

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Matemáticas II SOLUCIONARIO

El valor de la razón es: ( )

2 1 122 2 1

Área ARazón

Área B−

= = =−

● Entre a y b:

El área de la región B es: ( )12 2 2 2 2

bb

a aB x dx x b a b a

− = = = − = − ∫

Integrando sobre el eje OY para calcular el área de la región A, obtenemos:

11

211

2

1 1 1 11 1

aa

b

A dy b ay y

a b

= = − = − − − = −

El valor de la razón es: ( )

122

Área A b aRazón

Área B b a

−= = =

384

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Matemáticas II SOLUCIONARIO

Podemos comprobar con otras funciones del mismo tipo, por ejemplo:

13

3

1y x

x

−= = ,

23

3 2

1y x

x

−= = ,

32

3

1y x

x

−= = , …

que se obtienen resultados análogos al anterior.

Para finalizar, hacemos, los cálculos para la función 1p

qq

y xp

−= = entre a y b.

El área de la región B es:

bq p q p q p q p q ppb q q q q q q

aa

q q q qB x dx x b a b a

q p q p q p q p

− − − − −−

= = = − = − − − − −

Integrando sobre el eje OY para calcular el área de la región A, obtenemos:

11

11

1 1...

pp qq

pq

pq

p q p qp pp pq q q

apa

b

b

p p pA y dy

p q p q a p q b

− −

− = = = − = = − − − ∫

q p q p

q qpb a

q p

− − = −

El valor de la razón es:

q p q pq q

q p q pq q

p b aq pÁrea A p

RazónÁrea B qq b a

q p

− −

− −

− = = =

− −

385