Solucionario examen de la uni 2012 ii matematica-ii

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UNI 16 MATEMÁTICA PREGUNTA N. o 21 Sobre los catetos de un triángulo ABC, recto en B se construyen los cuadrados ABDE y BCFG; CE corta en AB en P y AF interseca a BC en Q. Si AB=2m y BC=3m, calcule el valor de AP CQ en m. A) 3/5 B) 5/6 C) 6/5 D) 5/3 E) 5/2 Resolución Tema: Semejanza de triángulos Recuerde α A C B a b c M N m n L α Según el gráfico, ABC MNL = = a m b n c Análisis y procedimiento Piden AP CQ . α α θ Q θ P 3b 3a 2a 2 2 D B G F 3 2b C A E Según el gráfico: ABQ FCQ BQ CQ = 2 3 CQ=3a y BQ=2a EAP CBP AP BP = 2 3 BP=3b y AP=2b Luego AP=2b y QC=3a Además 5 2 2 5 b b = = 5 3 3 5 a a = = = = AP y QC 4 5 9 5 AP CQ = 6 5 Respuesta 6 5 Alternativa C PREGUNTA N. o 22 En la figura adjunta OC=6 cm, AM=8 cm. Calcule la longitud de la circunferencia (en cm). M D A B O C R A) 12 7 p B) 12 5 p C) 12 3 p D) 24 3 3 p E) 24 5 5 p

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  • U N I

    16

    MATEMTICA

    PREGUNTA N.o 21Sobre los catetos de un tringulo ABC, recto en B se construyen los cuadrados ABDE y BCFG; CE corta en AB en P y AF interseca a BC en Q. Si AB=2m y BC=3m, calcule el valor de AP CQ en m.

    A) 3/5 B) 5/6 C) 6/5 D) 5/3 E) 5/2

    Resolucin

    Tema: Semejanza de tringulosRecuerde

    A C

    B

    a

    b

    c

    M

    N

    m

    n L

    Segn el grfico, ABC MNL

    = =am

    bn

    c

    Anlisis y procedimiento

    Piden AP CQ .

    Q

    P3b

    3a

    2a

    2

    2

    D

    B

    G

    F

    3

    2b

    CA

    E

    Segn el grfico:

    ABQ FCQ

    BQCQ

    = 23

    CQ=3a y BQ=2a

    EAP CBP

    APBP

    = 23

    BP=3b y AP=2b

    Luego

    AP=2b y QC=3a

    Adems

    5 225

    b b= =

    5 3

    35

    a a= =

    = =AP y QC45

    95

    AP CQ =65

    Respuesta65

    Alternativa C

    PREGUNTA N.o 22En la figura adjunta OC=6 cm, AM=8 cm.Calcule la longitud de la circunferencia (en cm).

    MD

    A BO

    C

    R

    A) 12 7p B) 12 5p C) 12 3p

    D) 24 33

    p E) 24 55

    p

  • U N I

    17

    MATEMTICA

    Resolucin

    Tema: Relaciones mtricas en el tringulo rectnguloRecuerde que por relaciones mtricas en el

    ba h

    1 1 12 2 2h a b

    = =

    Anlisis y procedimientoPiden C.

    C

    BO

    CM

    D

    A

    r

    rr

    12

    8 6

    Se sabeC =2pr

    AO=OB y AD // OC AD=2(OC)=12Por relaciones mtricas en el DAB

    1

    8

    1

    12

    1

    22 2 2= + ( )r

    =r12 55

    C = 24 55

    p

    Respuesta

    24 55

    p

    Alternativa E

    PREGUNTA N.o 23En un tringulo ABC se tiene que mC=2mA.

    Sobre el lado AB se traza el tringulo ABP recto en B

    (P exterior a AB). Si mPAB=12

    mC y AP=12 u,

    determine el valor de BC (en u).

    A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

    Resolucin

    Tema: Aplicaciones de la congruenciaRecuerde el teorema de la mediana relativa a la hipotenusa.

    m m

    B

    A CM

    m

    Anlisis y procedimientoPiden x.Dato: AP=12

    6612

    12

    P

    B

    QCMA

    x6

    2

    2

  • U N I

    18

    MATEMTICA

    Se prolongan AC y PB hasta Q.

    En el APQ se observa que AB es bisectriz y altura a la vez; por lo tanto, el PAQ es issceles. AP=AQ=12

    En el ABQ se traza la mediana BM relativa a la hipotenusa AQ. AM=MQ=BM=6.

    El MBC es issceles, por lo tanto, x=6

    Respuesta6

    Alternativa D

    PREGUNTA N.o 24Dos circunferencias son tangentes interiores en G. En la circunferencia mayor se trazan los dimetros AB y CG que intersecan a la circunferencia menor en M, N y F respectivamente, AM

  • U N I

    19

    MATEMTICA

    Resolucin

    Tema: Aplicacines de la congruenciaObservacin

    B

    a

    Q

    A

    a

    O

    Si AQ=QB

    =

    Anlisis y procedimiento

    L

    C30

    70 M

    aA

    B

    aD

    N

    a2a

    60xx x+40x+40

    4040

    7070

    Piden mCDB=x.Como L

    mediatriz de AD, entonces

    AM=MD=a BDA issceles se cumple que

    AD=BD=2a. BND, Not(30 y 60), se cumple que

    DN=a.Por observacin anterior mMDC=mNDC=x+40

    BND se cumple que x+x+40=60 x=10

    Respuesta10

    Alternativa B

    PREGUNTA N.o 26Cul es el menor valor entero que puede tomar k, siendo a constante?

    ak

    a

    A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

    Resolucin

    Tema: Teorema de correspondencia

    Recuerde

    Teorema de correspondencia

    x y

    si b

  • U N I

    20

    MATEMTICA

    Por teorema de la bisectriz de un ngulo, entonces DC=DE=a

    En el BED, por teorema de correspondencia,como agudo < recto, entonces a

  • U N I

    21

    MATEMTICA

    Ahora calculamos las reas solicitadas.

    rea CEF=( )234

    2a =a2 3

    rea ABCD=( ) ( )AC a2

    2

    23 12

    =

    +( )

    = + = +

    aa

    22

    24 2 3 2 3( ) ( )

    rea

    rea CEFABCD

    a

    a=

    +=

    +=

    2

    23

    2 3

    3

    2 32 3 3

    ( ) ( )

    Respuesta2 3 3

    Alternativa C

    PREGUNTA N.o 28Calcule la medida de un ngulo formado entre una arista lateral y la base de un tetraedro regular.

    A) arc tan( )2

    B) arc sen( )2

    C) arc cos( )3

    D) arc cos( )2

    E) arc cot( )3

    Resolucin

    Tema: Razones trigonomtricas para ngulos agudos

    B

    A

    C

    hh

    D

    a

    En un tetraedro regular se cumple que

    h

    a=

    63

    Anlisis y procedimiento

    B

    A

    C

    HH

    D

    a

    3333

    aa

    Del tetraedro regular de arista lateral a

    la altura DHa

    =63

    .

    En el AHD

    AH

    a=

    33

    tan =

    a

    a

    633

    3

    tan = 2

    = arc tan 2

    Respuesta

    arc tan 2

    Alternativa A

  • U N I

    22

    MATEMTICA

    PREGUNTA N.o 29Dado el punto ( 3; 2; 4), determine sus simetras res-pecto del eje Z y respecto del plano z=0. Determine el rea del rectngulo cuyos vrtices son justamente los puntos generados.

    A) 16 13 B) 15 13 C) 14 13 D) 13 13 E) 12 13

    Resolucin

    Tema: Geometra analtica

    Recuerde que el plano Z=0 es el plano determinado por los ejes X e Y.

    Anlisis y procedimiento

    Nos piden el rea del rectngulo cuyos vrtices son los generados.

    2 2

    3 34

    ( 3; 2; 4)P

    QQ

    3300

    4

    4

    J

    X

    Y

    1 1

    1 1 2 2

    MM

    3 4

    5S

    11

    1122

    3344

    4

    2234

    3 3 4 4

    13

    13

    13

    13N

    P '(3; 2; 4)

    ( 3; 2; 0)( 3; 2; 0)

    P ''

    Z

    ( 3; 2; 4)

    1313

    Sea P ' el simtrico de P respecto de Z

    , entonces P '=(3; 2; 4)

    Sea P '' el simtrico de P respecto del plano Z=0, entonces P ''=( 3; 2; 4)

    En el plano Z=0: M=( 3; 2; 0)

    = + =OM 2 3 132 2

    Luego, PN NP= =' 13

    En el punto P=( 3; 2; 4), tenemos ON=MP=4

    Con los puntos P, P ', P '' se determina el rectngulo PP 'JP '', adems, PP ' = 2 13 y PP ''=8.

    Por lo tanto, el rea del rectngulo PP 'JP '' es 8 2 13 16 13 =

    Respuesta

    16 13

    Alternativa A

    PREGUNTA N.o 30Se tiene un prisma exagonal regular ABCDEF-A'B'C'D'E'F' cuyos lados de la base y la altura miden 2a (a>0). Sobre el plano de la base se construye exteriormente un cuadrado de lados E'D'D''E'', luegopor las aristas AB y D''E'' pasa un plano formando un slido ABD''E''A'B'. Calcule el volumen de la parte del slido exterior al prisma exagonal.

    A) 3 3 1 3( )+ a

    B) 3 3 1 3( ) a

    C) 2 3 1 3( )+ a

    D) 2 3 1 3( ) a

    E) 43

    3 1 3( ) a

    Resolucin

    Tema: Prisma

    h

    BB V: volumen

    V=B h

  • U N I

    23

    MATEMTICA

    Anlisis y procedimiento

    Piden V.V: volumen del prisma PEE QDD

    BB32a

    34a3

    30 E ' 'E '

    h

    D ' 'D '

    A '

    F '

    M

    N

    C '

    B '

    Q

    D

    C

    B

    F

    E

    P

    A

    2a

    2a

    2a 2a

    2a

    2a

    2a 2a

    6060R

    Sabemos que V=Bh; h=2a y B=ah

    V=2a2h (I)

    RMN AAN

    ha

    MNA N2

    =

    '

    ha

    a

    aa

    2

    4 33

    4 33

    4=

    +

    h a= ( )3 1Reemplazando en (I)

    \ V = ( )2 3 1 3aRespuesta

    2 3 1 3( )a

    Alternativa D

    PREGUNTA N.o 31El volumen de un cilindro es oblicuo 40 cm3 y la proyeccin de su generatriz sobre el plano de la base mide 5 cm. Si el radio de su seccin recta mide 2 cm, calcule el rea de la base en cm2.

    A) 23pi B)

    43pi

    C) 63pi

    D) 83pi

    E) 103pi

    Resolucin

    Tema: Cilindro

    Anlisis y procedimiento

    Piden A base

    Dato: voblicuocilindro=40

    g

    HH 5

    30

    3022

    22

    1010seccinrecta

    base

    Sabemosquev Aoblicuocilindro

    rectaseccin= ( ) g

    Arectaseccin( )g=40

    (2)2g=40

    g=10

    Pero

    A A

    rectaseccin base= ( )cos 30

    4

    32

    pi = ( )A base

    A base =83pi

  • U N I

    24

    MATEMTICA

    Respuesta83pi

    Alternativa D

    PREGUNTA N.o 32Determine, en la siguiente figura, el volumen genera-do al rotar la regin sombreada alrededor del eje X.

    2R

    R

    O X

    Y

    2

    A) R3

    B) piR3

    3

    C) piR3

    4

    D) piR3

    6

    E) piR3

    9

    Resolucin

    Tema: Anillo esfrico

    A

    B

    ha

    Recuerde que

    Volumen del anillo esfrico

    Vesfricoanillo =

    pia h2

    6

    a: longitud de la cuerda AB

    h: longitud de la proyeccin de AB

    Anlisis y procedimiento

    O

    A

    Y

    R

    R

    B X

    2R

    Piden VRS (volumen del slido generado).

    Se observa

    VRS=Vesfricoanillo

    Por teorema

    VRS

    R R=

    ( )pi 26

    2

    VRSR

    =

    pi 3

    3

    Respuesta

    piR3

    3

    Alternativa B

  • U N I

    25

    MATEMTICA

    PREGUNTA N.o 33La figura representa un recipiente regular, en donde a y son dados en cm y el ngulo es variable. Deter-mine el volumen mximo de dicho recipiente en cm3.

    a

    a

    A) 2 2a

    B) 32

    2a

    C) 2

    2a2

    D) 12

    a2

    E) 3 22

    a2

    Resolucin

    Tema: Slidos - Prisma

    Recuerde

    h

    BB

    Vprisma=B h

    Anlisis y procedimiento

    BB

    aa

    a

    a

    Piden el volumen mximo

    V=b h=a2

    2 sen

    Para que el volumen sea mximo, sen=1.

    \ v =a2

    2

    Respuesta12

    2a

    Alternativa D

    PREGUNTA N.o 34En la siguiente ecuacin trigonomtrica

    cos cos42

    18

    278

    xx ( ) =

    El nmero de soluciones en [0; 2] es:

    A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

    Resolucin

    Tema: Ecuaciones trigonomtricas

    cos2=2cos2 1

    2cos2=1+cos2

    cos=1 =2n; n Z

    Anlisis y procedimiento

    Piden el nmero de soluciones en [0; 2] de la ecuacin

    cos cos4

    218

    278

    xx =

    2 2

    22 72

    2

    cos cosx

    x =

  • U N I

    26

    MATEMTICA

    2(1+cosx)2 cos2x=7 2(1+2cosx+cos2x) cos2x=7 2+4cosx+2cos2x (2cos2x 1)=7 cosx=1 x=0; 2Por lo tanto, el nmero de soluciones de la ecuacin es 2.

    Respuesta

    2

    Alternativa B

    PREGUNTA N.o 35Sea f una funcin definida porf(x)=|arc senx|+|arc tanx|

    Determine el rango de f.

    A) 02

    ;pi

    B) 02

    ;pi

    C) 034

    ;pi

    D) 034

    ;pi

    E) [0;

    Resolucin

    Tema: Funciones inversas

    2

    y=|arc senx|

    X11

    Y

    2

    y=|arc tanx|

    Y

    X

    Anlisis y procedimiento

    f(x)=|arc senx|+|arc tanx|

    f1(x)=|arc senx| 1x 1

    f2(x)=|arc tanx| x R

    x [ 1; 1]

    Por suma de funciones obtenemos la grfica de la

    funcin y=|arc senx|+|arc tanx|

    34

    y=f(x)

    X101

    Y

    Ran f 034

    ;pi

    Respuesta

    034

    ;pi

    Alternativa C

  • U N I

    27

    MATEMTICA

    PREGUNTA N.o 36

    Cul de los grficos mostrados representa a la funcin

    y=cos(2x p), en un intervalo de longitud un periodo.

    A)

    /2 /2

    B)

    /2 /2

    C) /2 /2

    D)

    /2 /2

    E) /2 /2

    Resolucin

    Tema: Funciones trigonomtricas directas

    Anlisis y procedimiento

    Piden la grfica de la funcin y=cos(2x p).

    y=cos(2x p)

    y=cos( (p 2x))

    y=cos(p 2x)

    y= cos2x

    Graficando y= cos2x

    y = cos2x

    y = cos2x

    0

    Y

    1

    1

    X /2 /2

    Respuesta

    /2 /2

    Alternativa C

    PREGUNTA N.o 37De la figura mostrada, AOB, COD y EOF son sectores circulares, donde el rea de las regiones EOF, COD y AOB son: s; 3s; 6s; respectivamente. Si LAB

    = 4 unidades, calcule L LCD EF + 3 .

    A

    B

    C

    D

    E

    F

    O

    A) 2 2

    B) 3 2

    C) 4 2

    D) 5 2

    E) 6 2

  • U N I

    28

    MATEMTICA

    Resolucin

    Tema: rea de un sector circular

    SSO

    A

    B

    Lrad

    S: rea del sector circular AOB

    S =

    L2

    2

    Anlisis y procedimiento

    Piden x y+ 3 .

    2S2SSS 3S3Syy xx

    F

    O

    AC

    D

    E

    B

    4rad

    S S= =y2 2

    26

    42 ( )

    = =6 2

    162

    3 2 22y

    y

    32

    642

    2 2S S= =

    x

    ( )

    = =6 6

    162

    2 22x

    x

    + =x y3 4 2

    Respuesta

    4 2

    Alternativa C

    PREGUNTA N.o 38En la figura mostrada, el valor de tanf tanb es

    X

    Y

    A) 2 B) 1 C) 1/2 D) 1/2 E) 1

    Resolucin

    Tema: ngulos en posicin normal

    Si AO=OA

    XO

    Y

    A( m; n)

    A ( n; m)'

    Anlisis y procedimiento

    Del grfico

    X

    Y

    P( a; b)

    P ( b; a)'

    Por definicin

    tan tan =

    ab

    ba

    tanf tanb= 1

    Respuesta 1

    Alternativa B

  • U N I

    29

    MATEMTICA

    PREGUNTA N.o 39

    Si tan54

    13 5

    pi

    = +x , cot

    32

    4pi

    = y , calcule x+y.

    A) 4/5 B) 3/4 C) 3/5

    D) 5/3 E) 8/3

    Resolucin

    Tema: Reduccin al primer cuadrante

    sen(p+q)= senq cos(p+q)= cosq tan(p+q)=tanq

    Anlisis y procedimiento

    De

    tan54

    13 5

    pi

    = +x

    tan pipi

    +

    = +4

    13 5x

    tanpi

    41

    3 5

    = +x

    11

    3 5=

    +x

    3x+5=1

    = x43

    De

    cot32

    4pi

    = y

    0=y 4

    y=4

    Nos preguntan

    x y+ = +43

    4

    + =x y83

    Respuesta83

    Alternativa E

    PREGUNTA N.o 40

    Al determinar la forma compleja de la ecuacin

    (x 1)2+(y 1)2=1 obtenemos

    A) zz (1 i)z (1 i)z+1=0

    B) zz+(1+i)z (1+i)z+1=0

    C) 3zz+(1 i)z+(1+i)z+1=0

    D) 2izz (1 i)z (1+i)z+1=0

    E) 4zz 2(1+i)z+(1 i)z+1=0

    Resolucin

    Tema: Nmeros complejos

    z C: |z|2=z z

    Ecuacindelacircunferencia

    (x x0)2+(y y0)

    2=r2

    o |z z0|=r con z=x+yi z0=x0+y0i

    Anlisis y procedimiento

    Tenemos que

    (x 1)2+(y 1)2=12

    |z (1+i)|2=12; z=x+yi

    (z (1+i))(z (1+i))=1 (z (1+i))(z (1+i))=1 (z (1+i))(z (1 i))=1 z z (1 i)z (1+i)z+(1+i)(1 i)=1

    z z (1 i)z (1 i) z+12 i2=1

    z z (1 i)z (1 i)z+1/ ( 1)=1/ zz (1 i)z (1 i)z+1=0

    Respuesta

    zz (1 i)z (1 i)z+1=0

    Alternativa A

    21-2526-3031-3536-40