Sinais e Sistemas

Formulario completo

Prof. Dr. Marcelo de Oliveira Rosa

26 de setembro de 2013

1 Eletricidade

Descritivo básico de equações em circuitos elétricos

(para facilitar modelagem).

Corrente no indutor

il(t) =1

L

∫ t

−∞vl(τ)dτ

= il(t0) +1

L

∫ t

t0

vl(τ)dτ

(1)

Tensão no indutor

vl(t) = Ld

dtil(t) (2)

Corrente no capacitor

ic(t) = Cd

dtvc(t) (3)

Tensão no capacitor

vc(t) =1

C

∫ t

−∞ic(τ)dτ

= vc(t0) +1

C

∫ t

t0

ic(τ)dτ

(4)

2 Domínio do tempo

Ex =

∫ +∞

−∞|x(t)|2 dt (5)

Px = limT→+∞

1

T

∫ t0+T

t0

|x(t)|2 dt (6)

y(t) =

∫ +∞

−∞x(τ)h(t− τ)dτ (7)

y(t) = x(t) ∗ h(t) ⇔d

dty(t) =

d

dtx(t) ∗ h(t)

= x(t) ∗ d

dth(t)

(8)

y(t) = x(t) ∗ h(t) ⇔y(at) = |a|x(at) ∗ h(at)

(9)

2.1 EDO

Seja n a ordem da maior diferencial de y(t) e m a

ordem da maior diferencial de x(t) de uma EDO

linear com coecientes constantes.

yp(t) =

0 n > m

Kδ(t) n = m

Km−ndm−n

dtm−nδ(t)+

Km−n−1dm−n−1

dtm−n−1δ(t)+

· · ·+K0δ(t)

n < m

(10)

3 Domínio de Fourier

e±ȷx = cos(x)± ȷ sen(x) (11)

cos(x) =e+ȷx + e−ȷx

2

sen(x) =e+ȷx − e−ȷx

2ȷ

(12)

cos(a± b) = cos(a) cos(b)∓ sen(a) sen(b)

sen(a± b) = sen(a) cos(b)± sen(b) cos(a)(13)

X[k] =1

T

∫ t0+T

t0

x(t)e−ȷkΩtdt (14)

Xc[k] =2

T

∫ t0+T

t0

x(t) cos(ȷkΩt)dt

Xc[k] = X[k] +X[−k]

Xs[k] =2

T

∫ t0+T

t0

x(t) sen(ȷkΩt)dt

Xs[k] = ȷ(X[k]−X[−k])

(15)

x(t) =+∞∑

k=−∞X[k]e+ȷkΩt (16)

1

x(t) = X[0]

++∞∑k=1

Xc[k] cos(kΩt)

+ Xs[k] sen(kΩt)

(17)

SF x(−t) = X[−k] (18)

SF x(at) = X[k], TSF = aTx

= X[k/a], TSF = Tx(19)

SF

d

dtx(t)

= ȷkΩX[k] (20)

SF

∫ t

−∞x(τ)dτ

=

X[k]

ȷkΩ(21)

SF x∗(t) = X∗[−k] (22)

SF δT0(t) =Ω0

2πδm[k], T = mT0 (23)

SF

1

arect

(t

a

)∗ δT0

=

Ω0

2πsinc

(ak

Ω0

2π

)(24)

SF

1

atri

(t

a

)∗ δT0

=

Ω0

2πsinc2

(ak

Ω0

2π

)(25)

X(ȷΩ) =

∫ +∞

−∞x(t)e−ȷΩtdt (26)

x(t) =1

2π

∫ +∞

−∞X(ȷΩ)e+ȷΩtdΩ (27)

TF x(at) =1

|a|X

(ȷΩ

a

)(28)

TF

1

ax(t/a)

= X(ȷaΩ) (29)

TF x∗(t) = X∗(−ȷΩ) (30)

TF

d

dtx(t)

= ȷΩX(ȷΩ) (31)

TF

∫ t

−∞x(τ)dτ

=

X(ȷΩ)

ȷΩ+ πX(0)δ(Ω) (32)

x(t) ⇔ X(ȷΩ)

TF X(ȷt) = 2πx(−Ω)(33)

TF

+∞∑k=∞

X[k]eȷkΩat

= 2π

+∞∑k=−∞

X[k]δ(Ω− kΩa)

(34)

TF δT0(t) = Ω0δΩ0(Ω) (35)

TF rect(t) = sinc

(Ω

2π

)(36)

TF tri(t) = sinc2(

Ω

2π

)(37)

TFe−atu(t)

=

1

a+ ȷΩ(38)

TF 1 = 2πδ(Ω) (39)

TF δ(t) = 1 (40)

TF u(t) =1

ȷΩ+ πδ(Ω) (41)

TF cos(Ω0t) = π [δ(Ω + Ω0) + δ(Ω− Ω0)] (42)

TF sen(Ω0t) = ȷπ [δ(Ω + Ω0)− δ(Ω− Ω0)](43)

4 Domínio de Laplace

X(s) =

∫ +∞

−∞x(t)e−stdt (44)

x(t) =1

ȷ2π

∫ σ−j∞

σ+j∞X(s)e+stds (45)

TL x(at) =1

|a|X

(sa

)(46)

TL

1

ax(t/a)

= X(as) (47)

TL x∗(t) = X∗(−s) (48)

TL

d

dtx(t)

= sX(s)− x(0−) (49)

TL

dN

dtNx(t)

= sNX(s)

−N∑

n=1

sN−n

[dn−1

dtn−1x(t)

]t=0−

(50)

2

TL

∫ t

−∞x(τ)dτ

=

X(ȷΩ)

ȷΩ(51)

TL −tx(t) =d

dsX(s) (52)

TLe−atu(t)

=

1

s+ a, ℜ(s) > −a (53)

TL−e−atu(−t)

=

1

s+ a, ℜ(s) < −a (54)

TL δ(t) = 1 (55)

TL u(t) =1

s, ℜ(s) > 0 (56)

TL −u(−t) =1

s, ℜ(s) < 0 (57)

TL tnu(t) =n!

sn+1, ℜ(s) > 0 (58)

TL −tnu(−t) =n!

sn+1, ℜ(s) < 0 (59)

TL cos(Ω0t)u(t) =s

s2 +Ω20

, ℜ(s) > 0 (60)

TL sen(Ω0t)u(t) =Ω0

s2 +Ω20

, ℜ(s) > 0 (61)

3