Semi-seminario: Espansioni asintotiche in

geometria quantisticadi Simone Camosso

Universita degli studi Milano BicoccaDottorato in matematica pura ed applicata

09/05/2012

Sia M una varieta simplettica di dimensione 2n e ω la forma simplettica asso-ciata. Per una funzione f su M il corrispondente campo hamiltoniano Xf e datoda ω(·, Xf ) = df . Le parentesi di Poisson sono definite dalla relazione f, g =−ω(Xf , Xg). L’obiettivo della quantizzazione geometrica e quello di assegnare adogni varieta (M,ω) uno spazio di Hilbert separabile H e una mappa Q : f 7→ Qf

da Obs sottospazio delle funzioni reali su M che e un’algebra di Lie con ·, · nelsottospazio degli operatori lineari autoaggiunti in H in modo che:

Q1 Q1 = Id.

Q2 f 7→ Qf e lineare per ogni f ∈ Obs.

Q3 [Qf , Qg] = −i~Qf,g per ogni f, g ∈ Obs.

Q4 e funtoriale, per ogni (M (1), ω(1)), (M (2), ω(2)) e ϕ diffeomorfismo diM (1) inM (2)

che manda ω(1) in ω(2) , la composizione con ϕ sara una mappa da Obs(2) inObs(1) e ci sara un operatore unitario Uϕ da H(1) in H(2) tale che:

Q(1)fϕ = U∗

ϕQ(2)f Uϕ ∀f ∈ Obs(2).

Q5 M = R2, ω standard, si pone Qqjψ = qjψ e Qpjψ = −i~ ∂ψ∂qj

con ψ ∈ L2(R2, dq).

La soluzione del problema e stata data da Kostant e Souriau, in due passi:1)PREQUANTIZZAZIONE: costruisco la mappa considerando prima il caso del fi-brato cotangente, M = T ∗N scelgo un potenziale simplettico θ tale che dθ = ω, sem ∈M e ξ ∈ TmM si pone θ(ξ) = m(π∗ξ) dove π :M → N e la proiezione del fibratocotangente e π∗ : TM → TN e la mappa derivata, in coordinate locali (pj, qj) su Msi ha che:

θ =n∑j=1

pjdqj ω =n∑j=1

dpj ∧ dqj

in queste coordinate Xf =∑n

j=1

(∂f∂pj

∂∂qj

− ∂f∂qj

∂∂pj

)e f, g = −ω(Xf , Xg) = Xfg.

Un semplice conto mostra che [Xf , Xg] = −Xf,g quindi Qf = −i~Xf soddisfa

1

Q2, Q3, Q4 ma non Q1 allora prendo Qf = −i~Xf+f e adesso vale Q1 ma [Qf , Qg] =i~(Qf,g + f, g) viola Q3 ma osservo che:

Xf (θ(Xg))−Xg(θ(Xf )) = −θ(Xf,g) + f, g

e prendo Qf = −i~Xf −θ(Xf )+f soddisfa Q1, · · · , Q4. La stessa procedura la sivuole ripetere in generale, effettuo una scelta diversa dei potenziali, ω = dθ = dθ′ ⇒θ′ = θ+ du allora localmente per qualche u reale θ′(Xf )− θ(Xf ) = Xfu = −euXfe

−u

quindi:

eui~Q′

fϕ = Qfeui~ϕ ∀ϕ ∈ C∞

ricordando che un fibrato in rette complesso e dato da un atlante Uα e unafamiglia di funzioni di transizione gαβ non nulle C∞ in Uα ∩ Uβ che soddisfanogαβgβγ = gαγ in Uα ∩Uβ ∩Uγ una sezione ϕ di L e una famiglia ϕα : Uα → C tale cheϕα = gαβϕβ in Uα ∩Uβ. L e hermitiano se e data una famiglia eα di funzioni positiveC∞ su Uα tale che

eα = |gαβ|−2eβ

in Uα∩Uβ. Risulta possibile definire un prodotto scalare (ϕ, ψ)m = eα(m)ϕα(m)ψα(m)con m ∈ Uα si definisce la mappa (ξ, ϕ) 7→ ∇ξϕ da H(M) ×M(L) → M(L) dettaconnessione lineare in ξ e ϕ tale per cui:

∇fξϕ = f∇ξϕ

∇ξ(fϕ) = (ξf)ϕ+ f∇ξϕ

per ogni f ∈ C∞(M). Si definisce curvatura della connessione la

curv(∇)(ξ, η)ϕ = i(∇ξ∇η −∇η∇ξ −∇[ξ,η])ϕ

per ogni ξ, η ∈ H(M), ϕ ∈M(L). La connessione ∇ e compatibile se

ξ(ϕ, ψ) = (∇ξϕ, ψ) + (ϕ,∇ξψ)

per ogni ϕ, ψ sezioni e ξ ∈ V (M)C, suppongo di avere Uα ricoprimento,θα, uαβe θα = θβ + duαβ in Uα prendo

gαβ = e−uαβi~

cosı i Qf possono essere incollati per formare un operatore globale sulle sezioni delcorrispondente fibrato in rette. Queste gαβ soddisfano la condizione di cociclicita se e

solo se e−1i~ (uαβ+uβγ+uγα) se e solo se uαβ+uβγ+uγα = nαβγh per ogni α, β, γ t.c.Uα∩

Uβ ∩ Uγ = ∅. Significa che[ωh

]e integrabile in H2(M,R) localmente definisco per

ξ ∈ H(M), ψ ∈M(L) in Uα:

2

(∇ξψ)α = ξψα +θα(ξ)

i~ψα

comparando con la situazione del caso particolare si trova:

Qf = −i~∇Xf+ f.

Osservazione 1. Dal fatto che le gαβ sono unimodulari possiamo dotare L con una

struttura hermitiana semplicemente prendendo eα = 1 cosı (ϕ, ψ)m = ϕα(m)ψα(m).

Osservazione 2. Per (M,ω) esiste L con ∇ compatibile con curv(∇) = 2πω see solo se ω soddisfa le condizioni di integrabilita, cioe

∫Σω = n2π dove Σ e una

superficie 2 dimensionale orientata di M .

2)POLARIZZAZIONE:una polarizzazione complessa e una distribuzione P su Mcioe una mappa che assegna ad ogni punto m ∈M un sottospazio lineare Pm di TmMtale che:

• dim(Pm) = 2n.

• per ogni m0 ∈ M esiste un intorno U di m0 e campi X1, · · · , Xk su U tale chePm e generato da X1|m0 , · · · , Xk|m0 .

• P e involutiva ( X, Y ∈ P ⇒ [X, Y ] ∈ P ).

• P e lagrangiana ( ω(X, Y ) = 0 ∀X,Y ∈ P ).

• dimC(Pm ∩ Pm) = n.

• P + P e involutiva.

0.1 Espansioni asintotiche

Idea: f(t, x) soddisfa f(0, ·) = f e (∂t − ∆x)f = 0 l’equazione del calore che hasoluzione:

f(t, y) = (4πt)−n∫e−

∥x−y∥24t f(x)dx

formalmente f(t, y) = fet∆x con un cambio di variabile ho che α = 14t

quindi(1

4πt

)n=

(απ

)ne ∫

U

e−α∥x−y∥2

f(x)dx =(πα

)n ∞∑k=0

α−k

4kk!∆kf(y)

e vera nel senso delle espansioni asintotiche per α→ ∞.

3

Teorema 0.1.1. Sia (M,J, ω) una varieta di Kahler, f ∈ C∞0 (M), D(z, w) =

Φ(z, z) + Φ(w,w) − Φ(z, w) − Φ(w, z) detta funzione di Diastasi non dipendente daΦ e ∈ Cω(U × U)con U ∈ Cd e dimC(M) = d allora:

∫e−αD(x,y)f(x)dV (x) ∼ 1

g

(πα

)d ∞∑m=0

α−m3m∑k=m

Lk(fgSk−m)

k!(k −m)!

con S resto del terzo ordine di D(·, y).

Piu compattamente Iα ∼(πα

)d∑∞m=0 α

−mRm(f) e si puo dare una interpretazioneintrinseca degli Rm, essi risultano essere operatori covarianti di grado ≤ 2m. Dalcalcolo diretto risulta che R0 = Id, R1 = L1− ρ

2. L1 e l’operatore di Laplace Beltrami

e ρ e la curvatura scalare.

0.2 Espansioni asintotiche per gli integrali di La-

place

La dimostrazione del risultato precedente si basa su stime asintotiche effettuate suintegrali di laplace. Per avere un’idea, un integrale di laplace e della forma:

∫ b

a

eλS(x)f(x)dx = I[λ].

Vediamo come e possibile ottenere uno sviluppo asintotico per questi integraliconsiderando per semplicita il caso di una dimensione. Iniziamo con l’osservare cheil maggiore contributo dell’integrale e dato da un intorno del punto di massimo dellafunzione S(x). Sia c questo punto di massimo, allora sviluppando la funzione in unopportuno intorno di c si ha S(x) = S(c) + 1

2S ′′(c)(x− c)2, pertanto:

I[λ] ∼∫ c+ε

c−εeλ[S(c)+

12 ]f(x)dx

∼ eλS(c)∫ c+ε

c−εe−

(−S′′(c))2

(x−c)2f(x)dx =eλS(c)

2π

∫ +∞

−∞F(f)(ξ)F

(e−

(−S′′(c))2

(x−c)2)(ξ)dξ =

=eλS(c)

2πeiξc

√1

−S ′′(c)λ

∫e− ξ2

(−S′′(c))2λF(f)(ξ)dξ.

dove si e utilizzata la trasformata di fourier della gaussiana:

4

F(e−

(−S′′(c))2

(x−c)2)(ξ) =

e−icξ√2π

∫ +∞

−∞e−iξte−λ

(−S′′(c))2

t2dt =

con t = x− c,

= e−iξc

√1

−S ′′(c)λe− ξ2

2(−S′′(c))λ .

Definiamo con h = 1/λ, l’integrale J(f, h) = eiξc∫ +∞−∞ e

− ξ2

(−S′′(c))2λF(f)(ξ)dξ allora

J(f, 0) = 2πf(c).

e

∂hJ(f, h) = J(pf, h) ∂khJ(h, f) = J(h, pkf)

in particolare si ha che:

∂khJ(f, 0) = 2π(pkf)(c)

vale quindi lo sviluppo:

J(f, h) =N−1∑k=0

hk

k!∂kJ(f, 0) +

hN

N !RN

quindi

I[λ] = eλS(c)

√1

−λS ′′(c)

+∞∑k=0

hk

k!pkf(c)

il primo termine mi da: I[λ] ∼ eλS(c)f(c)√

1−S′′(c)λ

.

0.3 Applicazioni alla quantizzazione di Berezin

Si consideri Ω ⊆ Cd, [gij] metrica di Kahler analitica, Φ potenziale di Kahler global-mente definito, sia

A2α(Ω,Φ) = f : Ω → C : ∂f = 0

∫Ω

|f(z)|2e−αΦ(z)dVg(z) <∞

A2α spazio di Hilbert, con nucleo Kα(z, ζ) =

∑∞j=1 ϕj(z)ϕj(ζ), con ϕj = ϕj,α,Φ

sistema ortonormale di A2α con Kα riproducente.

Osservazione 3. In pratica A2α e A2 con dµh(z) = e−αΦdV (z).

5

Suppongo di avere f ∈ C∞0 (Ω) considero:

Pf(z) =

∫Ω

K(z, ζ)f(ζ)dV (ζ).

E’ un proiettore ortogonale su A2(Ω). Considero Mf (g) = fg e

Tf =∏

Mf ∏

operatore di Toepliz. Tale che Tf : L2(Ω) → A2

α(Ω),

Tfg(z) =∏

Mf ∏

g(z) =

=

∫Ω

Tf (z, w)g(w)e−αΦ(w)dVg(w)

con Tf (z, w) =∫ΩKα(z, u)f(u)Kα(u,w)e

−αΦ(u)dVg(u).

Definizione 0.3.1. Si definisce α-esima trasformata di Berezin di f :

Berα(f)(w) =Tf (w,w)

Kα(w,w)=

1

Kα(w,w)

∫Ω

f(z)|Kα(z, w)|2e−αΦ(z)dVg(z)

Osservazione 4. Se f e olomorfa si ha Berα(f) = f inoltre la trasformata di Berezindipende solo dalla metrica e non dal potenziale.

In generale per α→ ∞ vale lo sviluppo:

Kα(x, y) ∼(απ

)deαΦ(x,y)

∞∑m=0

α−mBm(x, y)

con Bm(x, y) sesquiolomorfa.

• B0 = 1.

• |Kα(x,y)|2Kα(y,y)

∼(απ

)deα[Φ(x,y)+Φ(y,x)−Φ(y,y)]

∑∞m=0 α

−mBm(x, y). Con B0 = 1, B1 =

B1(x, y)+B1(y, x)−B1(y, y), in generale Bm e c.l. di Bk(x, y), Bl(y, x), Bm(y, y).

Berα(f) ∼(απ

)d ∞∑m=0

α−m∫Ω

e−α[Φ(x,x)+Φ(y,y)−Φ(x,y)−Φ(y,x)]fBm(x, y)dV (x)

∼(απ

)d ∞∑m=0

α−m∫Ω

e−αD(x,y)fBm(x, y)dV (x)

6

con D(x, y) Diastasi di gij

∼∞∑

k,m=0

α−k−mRk[fBm(·, y)]x=y

perche

(απ

)d ∫Ω

e−αD(x,y)Bm(x, y)dV (x)

∼∞∑k=0

α−kRk(Bm)|x=y =∞∑m=0

α−mm∑k=0

Rk[fBm−k(·, y)]|x=y

∼∞∑m=0

α−mQm(f)(y).

con calcoli espliciti si arriva

Berα(f) ∼ f + α−1L1(f) +O(α−2).

Grazie all’utilizzo di questa stima asintotica risulta ad esempio possibile dimo-strare la validita di Q3 asintoticamente per h→ 0 cioe che:

[Qf , Qg] = −i~Qf,g +O(h2).

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