INTEGRAL DEFINIDA

Integral definida. El problema del área .Sea f(x) una función continua en el intervalo I [a, b]. Queremos calcular el área

comprendida entre la gráfica de la función, el eje OX, la recta x=a y la recta x=b.

Dividimos el I [a, b] en "n" particiones iguales y le llamamos Δx a la longitud de cada partición.

Llamamos S a la suma de todos los rectángulos grandes de la figura.

S= Δx · f(x0) + Δx · f(x1) +... + Δx · f(xn-1) = Δx · f(xi)

Llamamos s a la suma de las áreas de los rectángulos pequeños.

s= Δx · f(x1) + Δx · f(x2) +... + Δx · f(xn) = Δx · f(xi)

El área pedida A está entre ambas: S<A<s.Cuando el número de particiones se hace muy grande (n ∞) la longitud Δx se hace

muy pequeña y el A buscada se puede aproximar a “S” o a “s” con lo que podemos poner A =

Δx f(xi) .

Pues precisamente a este A se le denomina integral definida entre a y b de la f(x) =

f(x)dx.

Propiedades de la Integral Definida

1. - f(x)dx = - f(x)dx.

1

2. - f{x)dx = f(x)dx + f(x)dx

3. - [f (x) ± g(x)]dx = f(x)dx ± g(x)dx

4. - k · f(x)dx = k· f(x)dx

5. - f(x)dx ≥ 0 si f(x)=0 xє [a,b]

Teorema del valor medio del cálculo integral:

Si f(x) es una función continua en [a, b] existe al menos una punto c perteneciente a dicho

intervalo tal que la f(x)dx = f(c)(b-a) cє [a,b]

2

Sea M y m el máximo y mínimo de la función en dicho intervalo:

m(b-a) A M(b-a) ¡vi

m(b-a) f(x)dx M(b-a)

Por ser la función continua en [a, b] podemos asegurar un

= f(c) = f(c)(b-a)

Interpretación geométrica del teorema del valor medio del cálculo integral.

Geométricamente este teorema nos dice que se puede encontrar un punto c

perteneciente al I[a, b] de tal forma que el rectángulo de altura f(c) tiene por área A.

M

m

3

= f(c)(b-a)

4

Teorema fundamental del cálculo integral. Reala de Barrow.

5

A(x) =

6

Vamos a demostrar que el A(x) así definida es una primitiva de f(x), es decir, queremos demostrar: A'(x)=f(x).

A'(x) = = = = T. V. M. =

= = = f(x)

7

Regla de Barrow.Como A(x)=F(x)+c

A(a) = = 0

F(a) + c = 0; c = -F(a) A(a)= F(a) + c

A(b) = = 0

= F(b) + c = F(b) – F(a)

A(b) = F(b) + cAplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas

8

A=

A=

A= +

9

10

Área comprendida entre las gráficas de dos funciones:

11

A=

A=

A=

A= porque y1= f(x) + k; y2= g(x) + k

A= =

A=

Funciones primitiva

Sean dos funciones f(x) y F(x), tales que : F'(x)=f(x) , es decir la derivada de F(x), es f(x). A

cualquier función F(x)+k, donde k es una constante, se la llama función primitiva de f(x). Por

ejemplo si f(x)=x, la función primitiva será cualquier función de la forma:

12

Teorema Fundamental del Cálculo.

 

El Teorema Fundamental del Cálculo proporciona un método abreviado para calcular integrales

definidas, sin necesidad de tener que calcular los límites de las sumas de Riemann.

 Conceptualmente, dicho teorema unifica los estudios de la derivación e integración, mostrando

que ambos procesos son mutuamente inversos.

Teorema fundamental del cálculo:

Sea f  una función integrable en el intervalo [a, b], entonces:

 

i) F es continua en [a, b]

ii) En todo punto c de [a, b] en el que f sea continua se verifica que F es derivable en dicho

punto, y F'(c) = f(c).

El Teorema Fundamental del Cálculo Integral nos muestra que F(x) es precisamente el área

limitada por la gráfica de una función continua f(x).

 

13

 

A cada punto c en [a, b] se le hace corresponder el área Tc.

 

Si calculamos la derivada de esa función:

 

 

 

 

Luego F'(c) = f(c), para todo c en [a, b]

 

Aparentemente, diferenciación e integración son dos procesos completamente diferentes.

La diferenciación corresponde a un proceso de obtención de la tangente a una curva en un

punto (o también el cambio en la velocidad), mientras que la integracióncorresponde a un

14

proceso encaminado a encontrar el área bajo una curva. El Teorema Fundamental afirma que

ambos procesos son inversos el uno del otro.

 

 

Regla de Barrow.

Sea f(x) una función Riemann-integrable en el intervalo [a, b], y sea F(x) cualquier función

primitiva de f(x) en [a, b], es decir:

F'(x)=f(x) para todo x en [a, b], entonces:

La importancia de la regla de Barrow es doble: Por una parte es un método que nos permite

calcular integrales definidas obteniendo únicamente una función tal que F’(x)=f(x) y luego

calcularla en los límites de integración y por otro representa una conexión entre el Cálculo

Diferencial y el Cálculo Integral.

Generalización. Regla de la cadena:

 

Sea f(x) una función Riemann-integrable en el intervalo [a, b], y sea F(x) una función primitiva

de f(x) en [a, b], sea g(x) una función diferenciable, entonces:

 Integral impropia

Introducción

"Si la función f al ser integrada de a a c tiene una discontinuidad en c, especialmente en la

forma de una asíntota vertical, o si c = ∞, entonces la integral

15

Puede ser más conveniente redefinirla de la siguiente forma:

En algunos casos, la integral de a a c ni siquiera está definida, puesto que las integrales de la

parte positiva y negativa de f(x) dx entre a y c son ambas infinitas, sin embargo el límite puede

existir. Estos casos corresponden a las llamadas "integrales impropias", es decir, aquellas cuyos

valores no pueden definirse excepto como límites.

La integral

puede interpretarse como

pero desde el punto de vista del análisis matemático no es obligatorio interpretarla de tal

manera, ya que puede interpretarse como una integral de Lebesgue sobre el intervalo (0, ∞).

Por otro lado, el uso del límite de integrales definidas en intervalos finitos es útil, aunque no

sea como forma de calcular su valor.

En contraste al caso anterior,

no puede ser interpretada como una integral de Lebesgue, ya que

Ésta es una "verdadera" integral impropia, cuyo valor está dado por

Llamamos singularidades de una integral impropia a los puntos de la recta extendida de

números reales en los cuales debemos utilizar límites.

Tales integrales son frecuentemente escritas en forma simbólica de igual forma que una integral

definida, utilizando un infinito como límite de integración. Esto no hace más que "ocultar" el

debido proceso de calcular los límites de la integral. Utilizando la más avanzada integral de

16

Lebesgue en lugar de una integral de Riemann, uno puede a veces evitar tal operación. Pero si

sólo se desea evaluar el límite para obtener un valor definido, tal mecanismo pudiera no resultar

de ayuda. El concepto de integral de Lebesgue es más o menos esencial en el tratamiento

teórico de la transformada de Fourier que hace uso extensivo de integrales sobre el total de la

recta real.

Definición de integral impropia:

Las denominadas integrales impropias son una clase especial de integrales definidas

(integrales de Riemann) en las que el intervalo de integración o la función en el integrando o

ambos presentan ciertas particularidades.

si los límites existen.

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Cuando los límites, en las definiciones anteriores, existen, se dice que la integral es

convergente, en caso contrario, se dice que la integral es divergente.

Carácter y valor de las Integrales Impropias

Si la integral que nos ocupa es de fácil resolución podemos determinar su carácter mediante el

cálculo de la integral impropia. Según el resultado que obtengamos sabremos si es convergente

o divergente. Primero clasifiquemos las integrales en 3 tipos:

1-Primera especie

Son del tipo:

ó

Para poder determinar su carácter realizamos la siguiente operación (suponemos el primer caso

de primera especie, con el segundo es equivalente):

Si existe el

18

y es finito y en ese caso

entonces se dice que la integral es convergente o que la integral converge. Se dice que es

divergente si

es + ó - infinito, y se dice que es una integral oscilante si el limite no existe.

2-Segunda Especie

Son del tipo:

y que f(x) no está definida en el intervalo de integración o en los extremos de integración.

Para poder determinar su carácter realizamos la siguiente operación (suponemos que el punto

conflictivo se encuentra en x = a):

Si el

existe y es finito y en este caso

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entonces se dice que la integral es convergente o que la integral converge. Se dice que es

divergente en cualquier otro caso.

3-Tercera Especie

Son mezclas de los dos tipos anteriores, es decir, que presentan un infinito en los extremos de

integración y la función se hace infinito en uno o más puntos del intervalo de integración.

Este tipo de integrales impropias se pueden dividir en suma de dos integrales: una de primera

especie y otra de segunda especie. Por lo tanto deberemos seguir los pasos anteriores para

determinar su carácter, y tener en cuenta que para que sea convergente tanto la integral de

primera especie como la de segunda especie tienen que ser convergentes, si no, en cualquier

otro caso, diverge.

Ejemplos de Integrales impropias

Ejemplo 1: Encontrar el área de la región limitada por la curva la recta y el

eje

Como la curva es siempre positiva

Area

Es decir que el área si se puede medir y vale 1. Uno podría pensar que la curva se vuelve

asíntotica al eje ``rapidamente'' y que por lo tanto la porción que hay entre la curva y el eje

se vuelve muy pequeña y llega a ser despreciable.

Integral impropia de 1ra clase. (divergente)

Ejemplo 2: Mirar si es convergente

luego es

convergente; mirando que la curva es positiva en el intervalo se puede decir que éste

valor es el área bajo la curva

20

Ejemplo 3: Calcular si esto es posible el área bajo la curva con

Como para Area =

Entonces el área no se puede medir porque la integral es divergente.

2)

Se toma un valor para calcular y luego se hace tender hacia - Es decir

Ejemplo 4: La región limitada por la curva el eje , el eje rota alrededor del eje ;

encontrar el volumen del sólido obtenido.

Utilizando discos

Volumen =

Ejemplo 5: Determinar si es convergente o divergente

21

utilizando fracciones parciales

=

Como es una forma indeterminada se debe mirar si se puede levantar la indeterminación

Así :

3)

Este caso sería una combinación de los dos numerales anteriores

Pero si la curva tiene alguna simetría se puede aprovechar este hecho para que la integral sea

impropia en uno solo de los límites de integración

Ejemplo 6: Encontrar el área limitada por la curva y el eje

Por lo que la curva es siempre positiva Area= . Pero como la curva es simétrica con

respecto al eje

Area =222

Ejemplo 7: Determinar si converge o diverge

como se ve en la gráfica es una función impar por lo cual si existe

por lo tanto

Esto no se hubiera podido decir desde el principio porque perfectamente podía

haber sido divergente y el resultado no da cero.

<U< INTEGRANDOS CON>Si es una función contínua en un intervalo

23

existe

Si es discontínua en se hace y si este límite existe se dirá

que la integral es convergente si no que es divergente.

Si es discontínua en se hace con la misma observación

anterior

Si es discontínua en algún número pero contínua en todos los demás valores

aplicándose sobre el número lo que se describió

Integral impropia de 2da clase.(convergentes)

Ejemplo 8: Decir si la integral converge o diverge

El integrando es discontínuo en 0 entonces

Como siempre, este resultado me está dando el área bajo la curva

24

Ejemplo 9: Decir si la integral es convergente o divergente

El integrando es discontínuo en luego la integral

diverge

Ejemplo 10: Decir si converge o diverge

Si se pasa por encima de la discontinuidad haciendo !!!

Resultado absurdo puesto que en todo el intervalo la función es positiva!

Como es discontínua en 0

Como la región es simétrica con respecto al eje si converge también;

luego es divergente

Ejemplo 11: Muestre que el perímetro de una circunferencia de radio es

La ecuación de una circunferencia de centro en y de radio es

El perímetro de la circunferencia será la longitud de un cuarto de arco multiplicado por cuatro.

El integrando es discontínuo en (el denominador se hace );

25

En muchas de las aplicaciones que vimos de la integral se presentan estos casos donde hay que

hacer uso de integrales impropias.

Integrales Impropias especiales

FUNCIÓN GAMMA

Ahora estudiaremos una función conocida como la función gamma , la cual es de gran

importacia en análisis y en aplicaciones. Esta función se define en términos de una integral

impropia, la cual no puede calcularse en términos de funciones elementales.

 

   Definición  [Función Gamma]

 

La función     dada por

 

se conoce como la función gamma. Su gráfica se muestra en la figura 1.9.

 

26

Figura 1.9

 

El siguiente teorema establece una de las propiedades más importantes de la función gamma.

 

   Teorema [Recursividad de gamma]

 

Para toda se tiene que

 

Demostración

Integrando por partes

 

   

   

Ejemplo

Calcule .

27

Solución 

 

   

   

El resultado anterior puede generalizarse, como muestra en el siguiente corolario.

 

   Corolario [Recursividad de Gamma]

 

Para , y se tiene que

 

Observación: de los resultados anteriores obtenemos que , por esta razón se

conoce a esta función como el factorial generalizado.

Ejemplo

Calcular los valores de , , .

Solución

Usando la propiedad recursiva, tenemos que

Para :

 

   

28

   

Para :

 

   

   

   

Para :

 

 

De donde

29

CÁLCULO FRACCIONARIO

La n-ésima derivada de axb (donde n es un número natural) se puede ver de la siguiente manera:

Como n! = Γ(n + 1) entonces donde n puede ser

cualquier número donde gamma esté definido o se pueda definir mediante límites.

De esta manera se puede calcular por ejemplo, la 1/2 derivada de x, de x2 e inclusive de una

constante c = cx0:

FUNCION BETA

A siguiente integral

se conoce como la función beta.  

El siguiente teorema enuncia algunas de las propiedades de la función Beta.

 

   Teorema [Propiedades de la función beta]

 

1. La función converge para , .

2. .

30

3. Para , se tiene que

4. Para , se tiene que

5. Para , se tiene que

 

Demostración

1. Para demostrar que la integral convege, separemos la integral en dos partes

 

   

   

Ahora, observe que la primera integral convwerge si

31

y de igual manera, la segunda integral converge si

2. Para demostrar esta propiedad basta hacer un cambio de variable

 

   

   

3. Haciendo el cambio de variable

tenemos que

 

   

   

4. Haciendo el cambio de variable

32

tenemos que

 

   

   

5. La demostración de este resultado es un tanto más compleja y se sale de los objetivos

del curso, por esta razón no la haremos.

 

Ejemplo

Calcule el valor de la siguiente integral

Solución 

Usando los resultados del teorema anterior

 

   

   

33

   

Observe que cuando es muy grande es extremadamente difícil calcular , aún con la ayuda

de logaritmos. Por ejemplo, la tarea de determinar el número de posibles formas de barajar un

maso de cartas podría tomar mucho tiempo, pues involucra el cálculo de . El siguiente

teorema establece que es una buena aproximación de , cuando es muy

grande.

 

   Teorema [Fórmula de Stirling]

 

Observación: del la fórmula de Stirling1.4 tenemos que

Y por último el siguiente teorema expresa la relación entre la función y la transformada.

Equivalencia entre la función Gamma y Beta

La función beta[1] fue estudiada por Euler y Legendre pero su nombre le fue dado por Jacques

Binet.

En matemática, dada una función f, muchas veces es útil expresar f (x + y) en términos de f (x)

y f (y). Por ejemplo, para la exponencial se tiene

Este análisis, aplicado a la función gamma, conduce a la definición de la función beta. Para x e

y, dos números complejos, con sus partes reales positivas, consideremos el producto Γ(x)Γ(y):

Para escribir esta integral doble en coordenadas polares, hagamos primero el cambio de

variables t = u2 y s = v2:

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Pasando a coordenadas polares u = rcosθ, v = rsinθ esta integral doble arroja

Haciendo t = r2 obtenemos

Definiendo la función beta

se obtiene

o

Propiedades

1. La primera propiedad que satisface la función beta, ya se ha mostrado

2. La función beta es simétrica

3. Haciendo cambios de variables en la integral que define a la función beta

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Derivadas

Las derivadas de la función beta, pueden expresarse en términos de la función digamma y las

funciones poligamma

donde ψ(x) es la función digamma.

Aplicación

Puesto que Γ(1) = 1, se deduce de la definición de la función beta y de la primera propiedad

enunciada que

de donde .

Supongamos que n es un entero no negativo y queremos calcular

Entonces podemos[2]

Usando la primera propiedad de la función beta, tenemos

De manera que

36

37