Integral Triple

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I N TE G R A L E S T R I P L E S. Dada una función f x, y, z en R 3 ; donde Ω es un paralelepípedo rectangular definida por el producto cartesiano de 3 intervalos de R: a, bc, d e, f / x a, by c, d z e, f . Dividimos al intervalo a, b, c, d y e, f en “n” particiones. Queda dividida en “n” paralelepípedos y cada uno tiene un volumen x y z . Definimos el producto: I f x, y, z zyx Si consideramos I como la suma de todos los I : I lim f ijk x, n k 1 j 1 i 1 f d b I f x, y, z x y z Integrales Triples UNJFSC Página 1
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I N TEG R AL ES T RI PLE S.Dadaunafuncinf (x, y, z )en R3 ;dondeesun paraleleppedorectangular definida por el producto cartesiano de 3 intervalos de R:=[a, b][c, d ][e, f ] / x [a, b] y [c, d ]z [e, f ].Dividimosalintervalo[a, b], [c, d ]y[e, f]ennparticiones.Queda divididaennparaleleppedosycadaunotieneunvolumen( x y z). Definimos el producto: I= f (x, y, z ) z y xSi consideramos I como la suma de todos los I :n n nI = I = fijk (x, y, z )xi y j zkk = 1 j = 1 i = 1Cuando se toma un nmero de particiones n muy grande entonces tendremos:I = lim fijk (x, y, z )xi y j zkn k = 1 j = 1 i = 1f dbI = f (x, y, z )xyzIntegrales TriplesUNJFSCPgina 1integral triple(x 2 + 2 y + z )dV ,Ejemplo Resolver dondeQ=[1,2][2,3][3,1]Solucin:324 32 (x 2 + 2 y + z )z x y = [x2 z + 2 yz + z]z x y213 21327= " x 2+ 2 y + x y" 2 21 23 x3+ 2xy + 7 xy= - 3 22 13 "7 7 "+ 2 y + y 2 3 2 3= 7 y + y 2 + 7 y- 3 22=21 + 9 + 21 14 9 143 2 3 2=356I N TEG R AL ES T RI PLE S EN R EGI ONE S G E NE R ALES.Adoptaremos cuatro tipos de regiones elementales:Tipo 1 : Superficies variables arriba y abajoIntegrales TriplesUNJFSCPgina 2De este tipo podemos encontrar en dos formas:a)zf1 (x, y ) z f 2 (x, y )%2: (x, y, z ) R3 / g(x) y g (x) l1 2 a x b bg 2 ( x )f 2 ( x , y ) f (x, y, z ) dV = f (x, y, z ) z y xa g1 ( x )f1 ( x , y )b)f1 (x, y ) z f 2 (x, y )%2y: (x, y, z ) R3 /h ( y ) x h ( y )l1 2c y d dh2 ( y ) f 2 ( x , y )x f (x, y, z )dV = f (x, y, z )z x ych1 ( y )f1 ( x , y )Tipo 2: Superficies variables a los costadosDe este tipo podemos encontrar en dos formas:c)zf1 (x, z ) y f 2 (x, z )%2: (x, y, z ) R3 / g(x ) z g (x) l1 2 a x b bg 2 ( x ) f 2 ( x , z ) f (x, y, z )dV = f (x, y, z )y z xag1 ( x )f1( x , z )d)f1 (x, z ) y f 2 (x, z )%2y: (x, y, z ) R3 /h (z ) x h (z )l1 2 e z f fh2 ( z ) f 2 ( x , z )x f (x, y, z )dV = f (x, y, z )y x zeh1 ( z )f1 ( x , z )Tipo 3: Superficies variables delante y atrsIntegrales TriplesUNJFSCPgina 3De este tipo podemos encontrar en dos formas:e)zf1 ( y, z ) x f 2 ( y, z )%2: (x, y, z ) R3 / g(z ) y g (z ) l1 2 e z f fg 2 ( z ) f 2 ( y , z ) f (x, y, z )dV = f (x, y, z )x y zeg1 ( z )f1( y , z )f)f1 ( y, z ) x f 2 ( y, z )%2y: (x, y, z ) R3 /h ( y ) z h ( y )l1 2c y d dh2 ( y ) f 2 ( y , z )x f (x, y, z )dV = f (x, y, z ) x z ych1 ( y )f1 ( y , z )Tipo 4Cuando laregin es tal quepuede serconsiderada como unaregin tipo1,tipo 2 o tipo 3 indistintamente. Es el nico caso que permite hacer cambio en el ordende integracin y generalmente se refiere a slidos limitados por la interseccin de dos superficies (slidos cerrados)Evaluarlaintegraltripledelafuncin f (x, y, z ) =2 xyz enla reginEjemplolimitadaporelcilindro z =1 1 x 2 ylosplanos z =0 , y =x y2y =0Integrales TriplesUNJFSCPgina 4Solucin: Graficamos la regin de integracin:Definimos la integral tomando la regin de integracin como tipo 1:1 2222x12 x2 x 2 x"y x = xy"1 x y x[xyz 2 ]1 2 x1 2 0 0 0 "2xyz z y x =02 00 00x2 xy 2 "2x 2 2x 22 x3"= "1 x = "1 x- 222 20 0022" x3x5 x7 x 4x6 x8= " 2 + 4 x = 8 +12 64 20 - 0=1 2 + 1 =12 3 4 12Ahora definimos la integral tomando la regin de integracin como tipo 2:Integrales TriplesUNJFSCPgina 52(1z ) 2(1z ) 2(1z )10x 1 1[xy 2 z ]x x z =00 0 0x 3 zx z2xyz y x z =00 02(1z )11 4x= zx = z(1 z )2 x40- 001412 3= (z 2z 2+ z 3 )x = z2 z+ z- 2 3 4 0 0=1 2 + 1 =12 3 4 12Ahora definimos la integral tomando la regin de integracin como tipo 3:2 11 y2211 y22(1z )2 22xyzx z y = [x2 yz] 2(1z ) z y00yy 0 0211 y22= yz(2(1z) y2 )z y211 y22= (2yz 2yz2 y3 z)z y0 011 y21 2yz3y3 z2 2= yz2 y 03 20 -2y2 2y "3y22y2 2" " y3"=" y"1 "1 "1 y " " " "02 3 2 2 2 2" yy3y5 y7= " + x0 3 2 4 24 2 y2y4y6 y8= +- 6 8 24 1920=1 1 + 1 1 =13 2 3 12 12Integrales TriplesUNJFSCPgina 6CA MBI O DE VAR I A BL E E N UNAIN TEG R AL T RI PLE .Al igual que par las integrales dobles, se puede usar un cambio de variable en lasintegrales triples.Para una funcin f: U R3 R : f (x, y, z )xyz = f ( (u, v, w))uvw TSi (u, v, w) =(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) es una funcin uno a uno yR3 R3 , geomtricamente transforma la regin de integracin D en otra regin J (u, v, w) =: se llama jacobiano de la transformacin y es el valorabsoluto del determinante de la matriz diferencial de.C ambio dev ar ia bles u s u al:Cil n dr ic asLa funcinque define el cambio de variable para coordenadas polares es: (r,, z ) =(r cos, r sen , z ) =(x, y, z )cossen r cos0J (r,, z ) =0 = r cos2 + r sin 2 =abs r sen =r0 1Por lo tanto el cambio de variable usando coordenadas cilndricas queda: f (x, y, z )xyz = f (r cos , r sen , z )r r z Tzzyx ,dondeWesla Ejemplo Calcularlaintegraltriple2 2x+ yWregin de la esferax 2 + y 2 + z 2=10 , dondez 2 .(x, y, z )(r, , z )(x, y, z )(u, v, (x, y, z )(u, v, Integrales TriplesUNJFSCPgina 7Solucin: El cambio de coordenadas ms conveniente es el esfrico.De acuerdo al cambio de variable transformamos la regin de integracin.QT (r, ,z)Comoesuncambiodevariableconocidoreemplazamos directamenteen la integral:zzyx =z r z r W rx 2 + y 2T2 6 10r 2= z z r 0 0 2210r26 z 2 = r 0- 2 2026=1 (10 r 2 4)r 20 062r 3 =1 6r 2 3 00-2= 2 6 =46C ambio dev ar ia bles u s u al: Es f r ic as La funcinque define el cambio de variable para coordenadas polares es:Integrales TriplesUNJFSCPgina 8 (,,) =(cossen , sen sen , cos) =(x, y, z )cossen sen sen cossen coscossen cosJ (,,) =(x, y, z ) =sen sen (,,)cos=cos(2 sen 2 sen cos2 cos2 sen cos)sen (cos2 sen 2 + sen 2 sen 2 )=2 sen Por lo tanto el cambio de variable usando coordenadas esfricas queda: f (x, y, z )xyz =Evaluar la integral e(x+ y+ z) V , donde Q es la esfera unitaria23 / 222EjemploQSolucin: El cambio de coordenadas ms conveniente es el esfrico.De acuerdo al cambiointegracin.de variable transformamos la regin deQT ( ,, )Integrales TriplesUNJFSCPgina 9Comoesuncambiodevariableconocidoreemplazamos directamenteen la integral:(x 2 + y 2 + z 2 )32QV = e 2 sen T21e3= e 2 sen 0001sen 32 e = - 3002=e 1 sen 3002=e 1[cos ]0302(e 1) 2 =30=4 (e 1)3A PL I C AC I ONE S V OL ME N E S.DEL AI NT EG R AL T R I PL EALC L C UL O DE Dadaunafuncincontinuaypositiva f (x, y, z )sobreunaregin R3 .Al integrar esta funcin, sobre la regin , obtendremos el hipervolumen debajo de la grfica f (x, y, z )sobre . Si la funcin f (x, y, z ) =1 , entonces numricamente elvalor de este hipervolumen sobre es igual al volumen de la regin de integracin . f (x, y, z )xyz = xyz = V [ ] Ejemplo Calcular el volumen del tetraedro acotado por los planos coordenados y el plano3x + 6 y + 4z 12 =0Integrales TriplesUNJFSCPgina 10Solucin: Graficamos la regin de integracin:Definimos y resolvemos la integral:Integrales TriplesUNJFSCPgina 111 334 22 x 34 x 2 yV [ ] = V = z y x0 0 04 22 x1= [z]3 4 x 2 y y x330 0014 22 x= (3 x 2y )y x3 340 0122 x4= 3 y 3 xy 3 y 2 x4 4004 "2= " 3" 2 1 x 3 x" 2 1 x 3 " 2 1 x x" " ""02 4 2 4 2 3 43 " 2 = " 3 x +x x2 16 04313 =23x x+x-4 016=4Ejemplo Se hace un agujero de 1 cm de dimetro a travs de una esfera de 2 cmde radio, simtrica a un dimetro de la esfera. Encontrar el volumen del slido resultanteIntegrales TriplesUNJFSCPgina 12Solucin: Graficamos la regin de integracin:Definimos las superficies que limitan la regin:Esfera:x 2 + y 2 + z 2=42 2Cilindro:x+ y =41Debidoalanaturalezadelareginresultaconvenienteefectuaruncambio a variables cilndricas:Esfera:r 2 + z 2=4Cilindro:r=21Entonces determinamos los lmites constantes de la regin:1 + z 2=44z 2=4z =152Comoesuncambiodevariableconocidoreemplazamos directamente en la integral:Integrales TriplesUNJFSCPgina 13 15 224z2V = r r z 0 15 22215 4z2 r 2 2= z 0 15- 2 12 212 2" 4 z 21 = " z 2 8 00 15 215z 3 2= z 0- 8 6 15215 25 =40=5 152Ejemplo Hallarelvolumen deunslidolimitado porlahojasuperior delconoz 2=x 2+ y 2y por la esfera:x 2+ y 2+ z 2=9Integrales TriplesUNJFSCPgina 14Solucin: Graficamos la regin de integracin:Debidoalanaturalezadelareginresultaconvenienteefectuaruncambio a variables esfricas:Esfera:=3Cono superior:=43Cono inferior:=4Comoesuncambiodevariableconocidoreemplazamos directamenteen la integral:Integrales TriplesUNJFSCPgina 153 2 4 3V [ ] = V = 2 sen 0 0433sen 02

4 3= 0 - 343 2 4= 9 sen 423= 9 [cos ]44 02= 9 2 =18 2Integrales TriplesUNJFSCPgina 16