I N TE G R A L E S T R I P L E S.

Dada una función f x, y, z en R3 ; donde Ω es un

paralelepípedo

rectangular definida por el producto cartesiano de 3 intervalos de R:

a, b c, d e, f / x a, b y c, d z e, f .

Dividimos al intervalo a, b , c, d y e, f en “n” particiones. Queda

Ω dividida en “n” paralelepípedos y cada uno tiene un volumen x y z . Definimos el producto:

I f x, y, z zyxSi consideramos I como la suma de todos los I :

n n n

I ∑ I ∑ ∑ ∑ fijk x, y, z xi y j zkk 1 j 1 i 1

Cuando se toma un número de particiones “n” muy grande entonces tendremos:I lim ∑ ∑ ∑ fijk x, y, z xi y

n k 1 j 1 i 1

f d b

I ∫ ∫ ∫ f x, y, z

xyz

Integrales Triples

UNJFSC Página 1

integral triple ∫∫∫x 2 2 y z

dV ,

Ejemplo Resolver dondeQ

1,2

2,3 3,1Solución:

3 2 4 3 2

∫ ∫ ∫ x 2 2 y z z x y ∫ ∫ x2 z 2 yz

zz x y2 1 3 2 1

3 2 7 ∫ ∫ x 2 2 y x y

2 2 1

23 x3

2xy 7

x

y

∫

3 2 2 1

3 7 7

∫ 2 y y

2 3 2 3

7

y y 2 7

y 3

2

2

21

9 21

14

9 143 2 3 2

356

I N TE G R A L E S T R I P L E S E N R E GI O N E S G E N E R A LE S.

Adoptaremos cuatro tipos de regiones elementales:Tipo 1: Superficies variables arriba y abajo

Integrales Triples

UNJFSC Página 2

De este tipo podemos encontrar en dos formas:a) zf1 x, y z f 2 x,

y

: x, y, z R3 / g x y g

x 1 2

a x b

b g 2 x f 2 x

, y ∫∫∫ f x, y, z dV

∫∫ f x, y, z z y

x

∫a g1 x f1 x ,

y

b)

f1 x, y z f 2 x,

y y

: x, y, z R3

/

h y x h

y 1 2

c y d

d h2 y f 2 x ,

y x

∫∫∫ f x, y, z dV

∫∫ f x, y, z z x

y

∫c h1 y f1 x ,

y

Tipo 2: Superficies variables a los costadosDe este tipo podemos encontrar en dos formas:c) zf1 x, z y f 2 x,

z

: x, y, z R3 / g x z g

x 1 2

a x b

b g 2 x f 2 x

, z ∫∫∫ f x, y, z dV

∫∫ f x, y, z y z

x

∫a g1 x f1 x ,

z

d)

f1 x, z y f 2 x,

z y

: x, y, z R3

/

h z x h

z 1 2

e z f

f h2 z f 2 x

, z x

∫∫∫ f x, y, z dV

∫∫ f x, y, z y x

z

∫e h1 z f1 x ,

z

Tipo 3: Superficies variables delante y atrás

Integrales Triples

UNJFSC Página 3

De este tipo podemos encontrar en dos formas:e) zf1 y, z x f 2

y, z

: x, y, z R3 / g z y g

z 1 2

e z f

f g 2 z f 2 y

, z ∫∫∫ f x, y, z dV

∫∫ f x, y, z x y

z

∫e g1 z f1 y ,

z

f)

f1 y, z x f 2 y, z

y

: x, y, z R3

/

h y z h

y 1 2

c y d

d h2 y f 2 y ,

z x

∫∫∫ f x, y, z dV

∫∫ f x, y, z x z

y

∫c h1 y f1 y ,

z

Tipo 4Cuando la región es tal que puede ser considerada como una región tipo 1,

tipo 2 o tipo 3 indistintamente. Es el único caso que permite hacer cambio en el ordende integración y generalmente se refiere a sólidos limitados por la intersección de dos superficies (sólidos cerrados)

Evaluar la integral triple de la función f x, y, z 2 xyz en la

región

Ejemplo

limitada por el cilindro z 1 1 x 2 y los planos z 0 , y

x y2

y 0

Integrales Triples

UNJFSC Página 4

Solución: Graficamos la región de integración:

Definimos la integral tomando la región de integración como tipo 1: 1 2 22 2 x 1 2

x 2 x 2 x y x xy1

x y

x

xyz 2 1 2

x

1 2

∫ ∫ ∫0 0 0

∫ ∫

∫ ∫ 2xyz z y x

0 2 0 0 0 0

x2 xy 2

2x 2

2x 2 2

x3 ∫ 1 x ∫ 1 x

2

2 2 2 000

22 x3

x5 x7 x 4 x6 x8

∫ 2

4 x

8

12 6420 0

1

2

1

12 3 4 12

Ahora definimos la integral tomando la región de integración como tipo 2:

Integrales Triples

UNJFSC Página 5

21 z

21 z

21 z

1

∫0

x 1 1

xy 2 z x x z

∫0

∫0

∫ ∫ ∫ ∫0 0

x 3 zx z

2xyz y x z

0

0 0

21 z

1 14x ∫

z

x ∫ z1 z 2

x40 0 0

14 1 2 3

∫ z 2z 2 z 3 x

z

2 z

z

2 3 4 0 0

1

2

1

1

2 3 4 12Ahora definimos la integral tomando la región de integración como tipo 3:

2 11 y2

21 1 21z

2 2

∫2xyzx z y ∫ x2 yz 21z z

y

∫0

∫0

∫ y

y 0 0

21 1

y22

∫ ∫ yz21 z y2 z

y21 1

y22

∫ ∫2yz 2yz2 y3 zz

y0 0

1 1 y2

1 2yz3

y3 z2 2

∫ yz2

y

0

3 20 2

y2 2y

3y2 2

y2 2 y3 y1 1 1

y∫ 0

2 3 2 2 2 2 y3 y5 y7

∫ x0 3 2 4 24

2 y2

y4 y6 y8 6 8 24 192 0

1

1

1

1

1 3 2 3 12 12

Integrales Triples

UNJFSC Página 6

CA M B I O DE VAR I A B L E E N UNA I N TE G R A L T R I P LE .

Al igual que par las integrales dobles, se puede usar un cambio de variable en lasintegrales triples.

Para una función f : U R3 R :

∫∫∫ f x, y, z xyz ∫∫∫ f u, v,

wuvw T

Si u, v, w xu, v, w, yu, v, w, zu, v, w es una función uno

a uno y

R3 R3 , geométricamente transforma la región de integración D en otra región

J u, v, w

: se llama jacobiano de la transformación y es el valor

absoluto del determinante de la matriz diferencial de .C a m b io d e v a r i a b les u s u a l: C ilí n d r ic a s La función que define el cambio de variable para coordenadas polares

es:

r, , z r cos , r sen , z x, y, z cos sen

r cos0

0

J r, , z

0 r cos2 r sin 2

abs r sen

r0 1

Por lo tanto el cambio de variable usando coordenadas cilíndricas queda:

∫∫∫ f x, y, z xyz ∫∫∫ f r cos , r sen , z r rz T

z∫∫∫ zyx , donde W es

laEjemplo Calcular la integral triple

2 2x y

W

región de la esfera x 2 y 2 z 2 10 , donde z 2 .

∂x, y, z ∂r, , z

∂x, y, z ∂u, v,

∂x, y, z ∂u, v,

Integrales Triples

UNJFSC Página 7

Solución: El cambio de coordenadas más conveniente es el esférico.De acuerdo al cambio de variable transformamos la región de integración.

QT

r,

,z

Como es un cambio de variable conocido reemplazamos directamenteen la integral:

zzyx

z r z r

∫∫∫W

∫∫∫

r

x 2 y 2

T

2 6 10 r 2

∫ ∫

∫ z z r

0 0 2

210r2 6 z 2

∫ ∫

r

0 2 20

2 6

1

∫ ∫ 10 r 2 4r

2

0 0

62 r 3 1

∫ 6r

2 3 0

0 2

2 6 ∫ 4 6

C a m b io d e v a r i a b les u s u a l: E s f é r ic a s La función que define el cambio de variable para coordenadas polares es:

Integrales Triples

UNJFSC Página 8

, , cos sen , sen sen , cos x, y, z

cos sen

sen sen

cos sen 0

cos cos sen

cos sen

J , , x, y, z

sen

sen , , cos

cos 2 sen 2 sen cos 2 cos2 sen

cos sen cos2 sen 2 sen 2 sen 2 2 sen

Por lo tanto el cambio de variable usando coordenadas esféricas queda:

∫∫∫ f x, y, z xyz

∫∫∫ f cos sen , sen sen , cos 2 sen r

Evaluar la integral ∫∫∫ex y z V , donde Q es la esfera

unitaria

2 3 / 22 2

EjemploQ

Solución: El cambio de coordenadas más conveniente es el esférico.De acuerdo al cambiointegración.

de variable transformamos la región de

Q T,

,

Integrales Triples

UNJFSC Página 9

Como es un cambio de variable conocido reemplazamos directamenteen la integral:

x 2 y 2 z 2

3 / 2 3∫∫∫

Q

V e 2 sen

∫∫∫T

2 1

e

3

∫ ∫ ∫ e

2 sen 0 0 0

1

sen

32 e ∫ ∫

3

0 0

2

e 1

∫ ∫ sen

3

0 0

2

∫ e

1 cos

03

0

2e 1 2 ∫

3 0

4 e

13

A P L I C A C I O N E S V O L Ú M E N E S.

DE L A I N T E G R A L T R I P L E AL C Á L C U L O D E

Dada una función continua y positiva f x, y, z sobre una región R3

.Al integrar esta función, sobre la región Ω, obtendremos el hipervolumen debajo de la gráfica f x, y, z sobre Ω. Si la función f x, y, z 1 , entonces numéricamente elvalor de este hipervolumen sobre Ω es igual al volumen de la región de integración Ω.

∫∫∫ f x, y, z xyz ∫∫∫xyz V

Ejemplo Calcular el volumen del tetraedro acotado por los planos coordenados y el plano 3x 6 y 4z 12 0

Integrales Triples

UNJFSC Página 10

Solución: Graficamos la región de integración:

Definimos y resolvemos la integral:

Integrales Triples

UNJFSC Página 11

1 3 34 2 2

x 3 4 x 2

y

V ∫∫∫V

∫∫ ∫ z y

x 0 0

4 2 2 x1

z3 4 x 2 y y

x

3 3

∫ ∫0 0

0

14 2 2 x

3 x 2 y y

x∫ ∫ 3 3

4

0 0

12 2 x

4 3 y

3 xy

3 y 2

∫ x4 4 00

4 2 ∫ 3 2

1 x

3 x 2

1 x

3 2

1 x

x

02 4 2 4 2

3

4 3

2 ∫ 3 x x x

2 16 0

43 1 3

23x x x 4

0

16

4

Ejemplo Se hace un agujero de 1 cm de diámetro a través de una esfera de 2 cmde radio, simétrica a un diámetro de la esfera. Encontrar el volumen del sólido resultante

Integrales Triples

UNJFSC Página 12

Solución: Graficamos la región de integración:

Definimos las superficies que limitan la región:

Esfera: x 2 y 2 z 2 42 2Cilindro: x y

4

1

Debido a la naturaleza de la región resulta conveniente efectuar uncambio a variables cilíndricas:

Esfera: r 2 z 2 4Cilindro: r

2

1

Entonces determinamos los límites constantes de la región:1 z 2 44

z 2 4

z

152

Como es un cambio de variable conocido reemplazamos directamente en la integral:

Integrales Triples

UNJFSC Página 13

15 22 4 z2

∫∫∫V ∫ ∫

∫ r r z

0 15 22

2 15 4 z2 r 2 2

∫∫ z

0 15 2 122

12 2 4 z 2

1 ∫ ∫

z 2 8 0 0

15 2 15 z 3

2 ∫

z 0 8 6 15

2

15 2

5∫

4

0

5

15 2

Ejemplo Hallar el volumen de un sólido limitado por la hoja superior del cono

z 2 x 2 y 2 y por la esfera: x 2 y 2 z 2 9

Integrales Triples

UNJFSC Página 14

Solución: Graficamos la región de integración:

Debido a la naturaleza de la región resulta conveniente efectuar uncambio a variables esféricas:Esfera: 3

Cono superior: 4

3Cono inferior:

4Como es un cambio de variable conocido reemplazamos directamenteen la integral:

Integrales Triples

UNJFSC Página 15

32 4 3

V ∫∫∫V ∫ ∫ ∫ 2 sen

0 ú

0

4

33

sen

2 4 3

∫ ∫ 0

3 4

32 4

9 ∫ ∫ sen

4

2 3

9 ∫ cos

4

40

2

9 2 ∫ 18 2

Integrales Triples

UNJFSC Página 16