07 Aplikasi Integral-stt

6. APLIKASI INTEGRAL6. APLIKASI INTEGRAL

MA1114 KALKULUS I 1

6.1 Menghitung Luas Daerah

a.Misalkan daerah { })(0,|),( xfybxayxD ≤≤≤≤=

Luas D = ?f(x)

D

Langkah :

1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah

a b

D

xΔ

1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buahirisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi f(x) alas(lebar) xΔ

fA ΔΔ )( xxfA Δ≈Δ )(2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh: b

MA1114 KALKULUS I 2∫a

dxxf )(Luas D = A =

Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh k b d 22kurva sumbu x, dan x = 2.,2xy =

Luas irisan

A ΔΔ 22xy =

2x

xxA Δ≈Δ 2

Luas daerah

81 222 ⎤

2xΔ

38

31 2

0

32

0

22

0

2 =⎥⎦⎤=== ∫∫ xdxxdxxA

MA1114 KALKULUS I 3

b) Mi lk d h { })()(|)( hbb) Misalkan daerah { })()(,|),( xhyxgbxayxD ≤≤≤≤=

h(x)Luas D = ?Luas D = ?

Langkah :

1 I i D j di b i d l t b h

D h(x)-g(x)

xΔg(x)

a b

1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buahirisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi h(x)-g(x) alas(lebar)

xΔxxgxhA Δ−≈Δ )()(

a bxΔ

2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil p j p g p j g g glimitnya diperoleh:

Luas D = A = ∫ −b

dxxgxh )()(

MA1114 KALKULUS I 4

∫a

g )()(

C t h Hit l d h dib t i l h i +4Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh garis y = x+4 dan parabola 22 −= xy

Titik potong antara garis dan

24 2 −=+ xx

Titik potong antara garis dan parabola

)2()4( 2 −−+ xx22 −= xy 062 =−− xx

0)2)(3( =+− xxy=x+4-2 3-2 3

x = -2, x = 3xΔ

Luas irisan

xxxA Δ−−+≈Δ ))2()4(( 2

MA1114 KALKULUS I 5

Sehingga luas daerah :

∫ ∫ ++−=−−+=3 3

22 )6())2()4(( dxxxdxxxA

Sehingga luas daerah :

∫ ∫− −

+++2 2

)6())2()4(( dxxxdxxxA

125611 323

⎥⎤++ xxx

66

23 2

=⎥⎦++−=

−

xxx

Ctt :

Jika irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu x maka tinggi irisanadalah kurva yang terletak disebelah atas dikurangi kurva yang b d di b l h b h Jik b t t d b h i i b b hberada disebelah bawah. Jika batas atas dan bawah irisan berubahuntuk sembarang irisan di D maka daerah D harus dibagi dua ataulebih

MA1114 KALKULUS I 6

Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh sumbu xContoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh sumbu x,2xy = dan y = -x + 2

Jawab

Titik potong

22 +−= xx 022 =−+ xx 0)1)(2( =−+ xx2+xx 02+ xx 0)1)(2( + xx

x = -2, x = 1

Jika dibuat irisan tegak maka daerah harus

2xy =

2

y=-x+2

Jika dibuat irisan tegak, maka daerah harusdibagi menjadi dua bagian

Luas irisan I

xxA Δ≈Δ 21

21 xΔxΔ

A ΔΔ )2(Luas irisan II

MA1114 KALKULUS I 7

xxA Δ+−≈Δ )2(2

Luas daerah I

∫ ===1

0

10

3312

1 31|xdxxA

0

Luas daerah II

2

∫ 21

221

12 |22 xxdxxA +−=+−= ∫

121)2()42( 2

1 =+−−+−=

Sehingga luas daerahSehingga luas daerah

65

21

31

21 =+=+= AAA

MA1114 KALKULUS I 8

623

c). Misalkan daerah { })()(,|),( yhxygdycyxD ≤≤≤≤=c). Misalkan daerah { })()(,|),( yhxygdycyxD ≤≤≤≤

d Luas D = ?

yΔ h(y)g(y) D Luas D = ?

Langkah :yΔh(y)-g(y)

c1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah

irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi h(y)-g(y) alas(lebar) yΔ

h(y) g(y)

yygyhA Δ−≈Δ )()(

∫d

dyygyh )()(

2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh:

Luas D A

MA1114 KALKULUS I 9

∫ −c

dyygyh )()(Luas D = A =

23 yx −=Contoh: Hitung luas daerah yang dibatasi oleh 3 yxg y g

dan 1−= xyJawab : Titik potong antara garis dan

231 yy −=+

Titik potong antara garis danparabola

1−= xy

022 =−+ yy0)1)(2( =−+ yy

1

yΔ

23 yx −=

y = -2 dan y = 1)1()3( 2 +−− yy

Luas irisan

-2 yyyA Δ+−−=Δ )1()3( 2

MA1114 KALKULUS I 10

Sehingga luas daerah :Sehingga luas daerah :

∫ +−−=1

2 ))1()3(( dyyyL ∫ +−−=1

2 )2( dyyy∫−2

))()(( yyy ∫−2

)( yyy

.292

21

31 1

23 =⎥⎦⎤+−−= yyy

223 2⎥⎦ −

Ctt :

Jika irisan sejajar dengan sumbu x maka tinggi irisan adalah kurva yang terletak disebelah kanan dikurangi kurva yang berada disebelah kiri.Jik b t k d ki i i i b b h t k b i i di DJika batas kanan dan kiri irisan berubah untuk sembarang irisan di D maka daerah D harus dibagi dua atau lebih


Soal Latihan

A. Gambarkan dan hitung luas daerah yang dibatasi oleh

2 2dan2 +== xyxy1.

8dan,,3 =−== yxyxy2. ,, yyy3. y = x , y = 4x , y = -x +2

4 y = sin x y = cos x x = 0 x = 2π4. y = sin x, y = cos x, x = 0 , x = 2π.

5. x = 4 - y2 dan y = x + 26 y x2 3x + 2 sumbu y dan sumbu x6. y = x2 – 3x + 2, sumbu y, dan sumbu x


6.2 Menghitung volume benda putar

6.2.1 Metoda Cakram

{ })(0|)( xfybxayxD ≤≤≤≤=a Daerah diputar terhadap sumbu x{ })(0,|),( xfybxayxD ≤≤≤≤=a. Daerah diputar terhadap sumbu x

f(x)

D

a b

Daerah D


Benda putarDaerah D? Volume benda putar

U t k hit l b d t k d k tUntuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatanIris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.

f(x) Jika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi f(x) dan alas diputarterhadap sumbu x akan diperoleh suatu

xΔ

a b

D

xΔ

cakram lingkaran dengan tebal danjari-jari f(x).

xΔ

sehinggaa bxΔxxfV Δ≈Δ )(2π

f(x)

∫=b

dxxfV )(2π

f(x)


∫a

xΔ

Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jikaContoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jikadaerah D yang dibatasi oleh , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu x

2xy =

Jika irisan diputar terhadap sumbu x k di l h k d j i j i2xy =

2x

akan diperoleh cakram dengan jari-jaridan tebal 2x xΔ

Sehingga

2xΔ

Sehingga

xxxxV Δ=Δ≈Δ 422 )( ππVolume benda putarVolume benda putar

∫ ===2

20

54

532|

5πππ xdxxV

2x


∫0 55

xΔ

{ })(0,|),( ygxdycyxD ≤≤≤≤=b. Daerah

di t t h d bdiputar terhadap sumbu y

dd

x=g(y)

D

d

c c

Daerah D Benda putar

? Volume benda putar



U t k hit l b d t k d k tUntuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatanIris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.

d

Jika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi g(y) dan alas diputarterhadap sumbu y akan diperoleh suatu

yΔd

x=g(y)

D

yΔcakram lingkaran dengan tebal danJari-jari g(y).

yΔ

sehinggac

gg

yygV Δ≈Δ )(2π

yΔ

)(yg

∫=d

dyygV )(2π


yΔ ∫c

Contoh : Tentukan volume benda putar yang terjadi jikaContoh : Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh garis y = 4, dan sumbu y diputar terhadap sumbu y

2xy =

4Jika irisan dengan tinggi dan tebal diputar terhadap sumbu y akan diperoleh

k d j i j i

y yΔ

Δ

2xy =

yΔcakram dengan jari-jari dan tebal

y

y yΔ

Sehingga yx =⇔

yyyyV Δ=Δ=Δ ππ 2)(Volume benda putar

y

Δ∫ ===4

0

40

2 8|2

πππ yydyV


yΔ 0

B Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang diB. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap sumbu x

1. 2dan,0,3 === xyxy

2. 0dan9 2 =−= yxy2. 0dan9 yxy

C. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap

3. 0dan ,4,2 === xyxy

batasi oleh grafik fungsi fungsi berikut diputar terhadap sumbu y

di kuadran I

4. x = y2, y = 2, dan x = 0

0dan13 === xyxy5


0dan ,1, xyxy5.

6.2.2 Metoda Cincin6.2.2 Metoda Cincin{ })()(,|),( xhyxgbxayxD ≤≤≤≤=a. Daerah

diputar terhadap sumbu xdiputar terhadap sumbu x

h(x)

D

g(x)

a b

Daerah DBenda putar

l b d



Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatanh l hk d b l l

h(x)

Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.

Jik i i b b t k i jD

Jika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi h(x)-g(x) dan alas diputarterhadap sumbu x akan diperoleh suatucincin dengan tebal dan jari –jari luar h(x)xΔ

xΔ

g(x)

a bxΔ

cincin dengan tebal dan jari –jari luar h(x)dan jari-jari dalam g(x).

xΔ

sehingga

xΔ xxgxhV Δ−≈Δ ))()(( 22πh(x)

∫ −=b

dxxgxhV ))()(( 22πg(x)


∫a

Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jikadaerah D yang dibatasi oleh sumbu x dan2daerah D yang dibatasi oleh , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap garis y=-1

2xy =

Jika irisan diputar terhadap garis y 1Jika irisan diputar terhadap garis y=1Akan diperoleh suatu cincin denganJari-jari dalam 1 dan jari-jari luar 21 x+

2xy =

21 x+D

Sehingga

xxV Δ+=Δ )1)1(( 222πxΔ 2

1

1 x+D xxV Δ−+=Δ )1)1((π

xxx Δ−++= )112( 24πy=-1 xxx Δ+= )2( 24π

2Volume benda putar :


∫ =+=+=+=0

15186

316

5322

03

325

5124 )()|(2 ππππ xxdxxxV

C t tCatatan :

-Metoda cakram/cincin

I i dib t t k l t h d b tIrisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu putar

- Metoda kulit tabungIrisan dibuat sejajar dengan sumbu putar

Jika daerah dan sumbu putarnya sama maka perhitungan dengan menggunakan metoda cakram/cincin dan metoda kulit tabung akan menghasilkan hasil yang sama

Contoh Tentukan benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasiOl h b l i 2 d b di t t h d2Oleh parabola ,garis x = 2, dan sumbu x diputar terhadap

a. Garis y = 4b. Garis x = 3

2xy =


a. Sumbu putar y = 4a. Sumbu putar y 4

(i) Metoda cincin

Jika irisan diputar terhadap garis y=4y=4

Jika irisan diputar terhadap garis y=4akan diperoleh cincin dengan

Jari-jari dalam = )4( 2xrd −=)4( 2x−

2xy = Jari-jari luar =4 4=lr

Sehingga

2

D

xΔxxV Δ−−≈Δ ))4()4(( 222π

xxx Δ−= )8( 42π )(

Volume benda putar

∫2


∫ =−=−=−=0

15224

532

3642

05

513

3842 )(|)()8( ππππ xxdxxxV

b. Sumbu putar x=3b. Sumbu putar x 3

(i) Metoda cincinx=3 Jika irisan diputar terhadap garis x=3

di l h i i ddiperoleh cincin dengan

Jari-jari dalam = 1=dr

J i j i l 32xy =

D

yΔ 1

Jari-jari luar =

y 3

yrl −= 3

Sehingga 22

2

D

3

y y−3 yyV Δ−−≈Δ ))1()3(( 22π

yyy Δ+−= )68(π

Volume benda putar

dyyyV ∫ +4

)68(π ππ 8)|848( 42/3 +yy


dyyyV ∫ +−=0

)68(π ππ 8)|848( 0 =+−= yy

D Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang diD. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap sumbu x

1.

2.

xyxy 4dan2 ==

y = sin x, y = cos x, x = 0 , x = π/42.

3.

y sin x, y cos x, x 0 , x π/4

1kuadrandi,dan3 xyxy ==2

4.

5.

xyxy == dan ,2

xyxy == dan,5. xyxy dan ,


E Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang diE. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap sumbu y

1.

2.

xyxy 4dan2 ==

y = -x+1, y = x2, dan x = 0 di kuadran 12.

3.

y x+1, y x , dan x 0 di kuadran 1

1kuadrandi,dan3 xyxy ==2

4.

5.

xyxy == dan ,2

xyxy == dan,5. xyxy dan ,


6.2.3 Metoda Kulit Tabung

{ })(0,|),( xfybxayxD ≤≤≤≤=Diketahui

Jika D diputar terhadap sumbu y diperoleh benda putar

f(x)

D

a b

Daerah D Benda putarDaerah D Benda putar

Volume benda putar ?


Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatanUntuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatanIris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.

f(x) xΔJika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi f(x) dan alas serta berjarakx dari sumbu y diputar terhadap sumbu y

a b

D

xΔ

akan diperoleh suatu kulit tabung dengan tinggi f(x), jari-jari x, dan tebal xΔ

a bxΔ

xΔ

x sehingga

xxfxV Δ≈Δ )(2πf(x)

x

∫b

dfV )(2MA1114 KALKULUS I 29

∫=a

dxxxfV )(2π

Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jikad h D dib t i l h b d2daerah D yang dibatasi oleh , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu y

2xy =

xΔJika irisan dengan tinggi tebal2x xΔJika irisan dengan tinggi ,tebal dan berjarak x dari sumbu y diputar terhadapsumbu y akan diperoleh kulit tabung dengan tinggi , tebal dan jari

x

2x xΔ2xy =

2xD

g gg , jjari x

Sehingga

xΔ 2

D

x

Sehingga

xxxxxV Δ=Δ=Δ 32 22 ππ

Volume benda putarVolume benda putar

∫ ===2

0

20

43 8|2

2 πππ xdxxV


0 2

C t tCatatan :

-Metoda cakram/cincin

I i dib t t k l t h d b tIrisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu putar

- Metoda kulit tabungIrisan dibuat sejajar dengan sumbu putar

Jika daerah dan sumbu putarnya sama maka perhitungan dengan menggunakan metoda cakram/cincin dan metoda kulit tabung akan menghasilkan hasil yang sama

Contoh Tentukan benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasiOl h b l i 2 d b di t t h d2Oleh parabola ,garis x = 2, dan sumbu x diputar terhadap

a. Garis y = 4b. Garis x = 3

2xy =


(ii) Metoda kulit tabung(ii) Metoda kulit tabung

y=4Jika irisan diputar terhadap garis y=4

2xy =

y=4 akan diperoleh kulit tabung dengan

Jari-jari = r =y−4

y−4y

D

yΔ

y y−2

Tinggi = h = y−2

Tebal = yΔS hi2 Sehingga

yyyV Δ−−≈Δ )2)(4(2π

yyyyy Δ+−−= )248(2πVolume benda putar

∫ +=4

)248(2 dyyyyyV π 42/5222/38 |)8(2 yyyy +π π224=


∫ +−−=0

)248(2 dyyyyyV π05

238 |)8(2 yyyy +−−= π π15=

(ii) Metoda kulit tabung(ii) Metoda kulit tabungx=3

Jika irisan diputar terhadap garis x=3diperoleh kulit tabung dengan

2xy =

diperoleh kulit tabung dengan

Tinggi = h =

2

2xJari-jari = r = 3-x

2

DxΔx

2xj

3-x

Tebal = xΔ

Sehingga x

3

3 xxxxV Δ−≈Δ 2)3(2π

xxx Δ−= )3(2 32πVolume benda putar

∫ −=2

32 )3(2 dxxxV π πππ 8)48(2|)(2 20

4413 =−=−= xx


∫0

)( πππ 8)48(2|)(2 04 xx

F Daerah D dibatasi oleh kurva dan garis x = 2yF. Daerah D dibatasi oleh kurva dan garis x = 2y. Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :

xy =

(1) sumbu x (4) sumbu y( ) ( ) y(2) garis x = -1 (5) garis y = -2 (3) garis y = 4 (6) garis x = 4

G. Daerah D dibatasi oleh parabol dan garis x+ y = 4. Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :

24 xxy −=

(1) sumbu x (3) sumbu y(1) sumbu x (3) sumbu y(2) garis x = 6 (4) garis y = -1


6 3 Panjang Kurva6.3 Panjang Kurva

Persamaan parameter kurva dibidang

x = f(t)y = g(t)

bta ≤≤,

Titik A(f( ) ( )) di b t titik k l k d titik B(f(b) (b)) di b t

(1)

Titik A(f(a),g(a)) disebut titik pangkal kurva dan titik B(f(b),g(b)) disebuttitik ujung dari kurva.

Definisi : Suatu kurva dalam bentuk parameter seperti (1) disebut mulusDefinisi : Suatu kurva dalam bentuk parameter seperti (1) disebut mulus jika

(i) 'f 'gdan kontinu pada [a,b]

Kurva tidak berubah sekonyong-konyong

(ii) 'f 'gdan tidak secara bersamaan nol pada (a,b)


Misal diberikan kurva dalam bentuk parameter (1), akan dihitungp ( ) gpanjang kurva

Langkah

1. Partisi [a,b] menjadi n bagian, dengan titik-titik pembagian

btttta =<<<<= btttta no =<<<<= ...21

● ●●Q

1−iQ iQnQ

a b● ●● ●1t it1−it 1−nt ●1Q

●●oQ

Partisi pada [a,b]

Paritisi pada kurva


2. Hampiri panjang kurva p p j g

Q

isΔ panjang busur ii QQ 1−

wΔ panjang tali busur QQiQ

isΔ

wΔ

iwΔ panjang tali busur ii QQ 1−

ΔΔ

Panjang busur dihampiri dengan panjang tali busur

iyΔ

1−iQ

iwΔii ws Δ≈Δ

ixΔ

iyΔ

22 )()( ii yx Δ+Δ=2

12

1 )]()([)]()([ −− −+−= iiii tgtgtftfDengan menggunakan teorema nilai rata-rata untuk turunan terdapat sehingga)(ˆ ttttturunan, terdapat sehingga ),(, 1 iiii tttt −∈

ttftftf iii Δ=− − )(')()( 1

tttt Δ)ˆ(')()(


ttgtgtg iii Δ=− − )(')()( 1

dengan Δ tttdengan 1−−=Δ iii ttt

sehingga

22 ])ˆ('[])('[ iiiii ttgttfw Δ+Δ=Δ

iii ttgtf Δ+= 22 )]ˆ('[)]('[ iii gf )]([)]([

Panjang kurva dihampiri oleh jumlah panjang tali busur

∑=

Δ+≈n

iiii ttgtfL

1

22 )]ˆ('[)]('[

Dengan mengambil panjang partisi(||P||) menuju nol diperolehDengan mengambil panjang partisi(||P||) menuju nol diperoleh

dttgtfLb

∫ += 22 )]('[)]('[


a∫

Ctt:

Jika persamaan kurva y=f(x), bxa ≤≤

( )bf −1b

( )

( )

dttgtfLf

af∫−

+=1

22 )]('[)]('[ dtdtdy

dtdxb

a∫ += 22 ][][

bb 22

dxdxdydt

dxdy

dtdx b

a

b

a∫∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

222 1)1()(

( )

dfLdg

∫−1

22 )]('[)]('[

Jika persamaan kurva x=g(y), dyc ≤≤

dydxd

∫( )

dttgtfLcg∫−

+=1

22 )]('[)]('[ dtdtdy

dtdx

c∫ += 22 ][][

dydxdtdxdy dd

∫∫ ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+⎟⎞

⎜⎛

+⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

222 11)(


dydy

dtdydt cc

∫∫ ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

+=⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝+⎟⎟

⎠⎜⎜⎝

= 11)(

Contoh : Hitung panjang kurvag p j g

40;, 23 ≤≤== ttytx1.

23)(' ttx = tty 2)(', =

Panjang kurva

dtttL ∫ +=4

0

222 )2()3( dttt∫ +=4

0

24 49 ∫ +=4

0

22 )49( dttt

∫ +=4

0

2 49 dttt ∫+

+=4

0

22/12

18)49()49(

ttdtt

40

2/3232

181 |)49( += t )81080()84040( 27

1271 −=−=


2. 2/32xy = antara x =1/3 dan x=72. 2xy = antara x =1/3 dan x=7

Jawab :

dy 2/13xdxdy

=

( )∫ ∫7 7

22/1 9131 ddL )91()91(7

2/11 d∫( )∫ ∫ +=+=3/1 3/1

2/1 9131 dxxdxxL )91()91(3/1

2/191 xdx ++= ∫

31

2727

3/12/3

272 37)8512(|)91( =−=+= x 3273/127 )(|)(


H. Hitung panjang kurva berikut

≤≤ ttt 0;5cos4sin41

41;2/12,23 32 ≤≤−=+= ttytx

π≤≤−== ttytx 0;5cos4,sin41.

2.

10,)2(31 2/32 ≤≤+= xxy

ln2 xx

3.

42,4

ln2

≤≤−= xxxy

2/10)1ln( 2 ≤≤−= xxy

4.

5 2/10),1ln( ≤≤= xxy

90),3(31

≤≤−= yyyx

5.

6.


07 Aplikasi Integral-stt

Documents

Transcript of 07 Aplikasi Integral-stt