abXy = f(x)Yi Zf (xi,yi)INTEGRAL LIPAT (MULTIPLE INTEGRAL)1. Integral Ganda atas Persegi PanjangIngat kembali padafungsi satuvariabelf(x), interval [a,b]dibagimenjadi interval-interval dengan panjang xk,k=1,2,,n, .Kemudian diberikan fungsif(x,y) kontinu pada himpunan berbentuk persegi panjang: R = {(x,y) : a x b dan c y d}.Dengan demikian akan dapat dibangun integral dengan cara serupa seperti pada integral fungsi satu variabel. Luas bidang yang dibatasi oleh kurva y=f(x) dan interval [a,b] dapat dituliskan sebagai berikut:

1]1

baixdx x f xi xi f ) ) ( ) ( lim10 Selanjutnya dapat pula diperlihatkan hal-hal sebagai berikut:yXyjdcADBCbaxi

gambar diatas merupakan volume benda dengan luas alasvi dan tinggif(xi,yj) yang dapat dinyatakan sebagai berikut: 0lim i 1]1

1) , (ii yi xi f = dydx y x f ) , (dengan demikian terbentuklah 2.INTEGRALLIPAT SEBAGAIINTEGRALULANGAN

Sebagaimana pada fungsi variabel satu, maka [a,b] dibagi menjadi n bagian yang sama dan [c,d] dibagi m bagian yang sama sehingga didapat: 1) , (ii yj xi f = = mjnixi yj xi f yj1 1) , ( nimjyj yj xi f xi1 1) , (XY 1]1

10) , ( ) , ( ) , ( lim : Jadiibadcdcbaidx y x f dy dy y x f dx i yi xi f terlihat bahwa seluruh batas integrasi merupakan konstantaContohsoal : 1. 10304xdy dx = 104xdx 30dyatau 10304xdy dx = 10304x dxdy=55x10 . y 30 = 104xy 30 dx=

,_

51 = -53 = 3 104xdx = 53 x5 10= - 532. 20dy 10(x2 + 2y) dx =

,_

+20323yxx10dy =

,_

+20231ydy =

,_

+231y y20 = ( ( 2 / 3 ) + 4 )=14 / 3Soal-soal:1. 1020) 2 3 ( dydx y x 2.

,_

+21311 2dydxyx3. 12212) 3 4 ( dydx y x4. +2132y xdydxBila batas integrasi tidak seluruhnya merupakan konstanta maka dapat diperoleh :( ) 3 bax gx gdydx y x f) () (21) , (Atau dapat pula diperoleh seperti berikut ini: dcy hy hdxdy y x f) () (21) , (Jadi Integral lipat dua diatas dapat menunjukkan Luas dari bidang datar yang dibatasi oleh dua kurva atau lebihContoh soal:1.Tentukan luas bidang yang dibatasi olehy=2x dan y=x2 di kuadran IPenyelesaian:Cara pertama:-tentukan titik potong kedua kurva yaitu di (2,4)-tentukanbatasdi sumbuxdanluasdaerahyangdibatasi oleh kedua kurva tersebut-Luas daerah yang dicari adalah adalah:A=02dx y=x2y=2xdy=02(2x-x2)dx= (x2-13x3) | 0 2= 22-1323= 43 Cara Kedua: -tentukan titik potong kedua kurva yaitu di (2,4) - tentukan batas di sumbu y dan luas daerah yang dibatasi oleh kedua kurva tersebut - Luas daerah yang dicari adalah adalah:A=04dy x =y2x=ydx=04(y-y2)dy= (23yy -14y2 ) | 0 4= 234.2 -1442 = 43

127213221102213322110221102 221101221101) ( | ) ( ) 2 ( } ) 1 {( | ) ( . 2 + + + + ++x xdx x xdx x x xdx y x xydydxxxxx

2321102121021102 221101221101) 1 ( | ) ( )} 1 2 ( { }] ) 1 {( ) 1 ( [ | ) ( ) ( . 3 + + + + + + + + + ++x xdx x xdx x x x x xdx y xy dydx y xxxxx4.Hitung luas bidang yang dibatasi oleh y = x dan y = xJawab : y = xx = x y = x x= 1 L =01dxx32xdy =01(x-x32)dx=12x - 25 x5201 = 12-25=110 5.Hitung luas yang di arsir ! Jawab: Garis harus melalui (2,0) dan (0,2) y y1 = m( x x1 ) y = -1 ( x 2 ) y = -x + 2Lingkaran dengan pusat (0,1) jari-jari = 1(x-0) + (y-1) = 1 x +(y-1) = 1y = -x + 2x + (-x + 2 1) = 1x + (y-1) = 1x + ( 1 x) = 1 x + 1 2x + x = 1 2 x - 2x = 0 2x ( x 1 ) = 0sehingga:titik potong berada padaX = 0dan X = 1Jadi :L = 12dy 2-y1 (y-1) dxL= 121-(y-1) - (2-y)dy= .. ???Mencari Volume Benda dengan integral lipat dua:Perhatikan gambar berikut ini:Atau dapat pula dilakukan dengan cara berikut ini:Contoh : 1.Hitung volume yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat serta bidang 3x + 6y +4z 12 = 0Jawab: Bila z = 0 3x + 6y = 12 x + 2y = 4Bidang R 3x + 6y + 4z 12 = 0z = 34 ( 4 x 2y ) V =(34 4-x-2ydA V = 04dx 02- x234(4 x 2y) dy Jadi V=34044y-xy-y2|2-x2 dx= 3160416-8x+x2dx=316 (16x 4x + x3 ) |4 = 42). Tentukan volume yang dibatasi oleh silinder x + y = 4 dan bidang-bidangy + z = 4 dan z = 0. Jawab : Volume yang harus dicari terletak dibawah permukaan z = 4 y dan diatas bidang z = 0 (bidang XOY). Batas kiri dan kanan oleh lingkaran x + y = 4. V = z dA = -22-4-y2+4-y24-ydx dy= 2 -2204-y24-ydx dy= 2 -224-y4-ydy= 8 -224-ydy - 2 -22y 4-y dy = 16 Soal : 1).Hitung luas bidang yangdibatasi oleh y = 4 x dan y = 4 4x.2).Hitung luas yang dibatasi: * R {P(x,y)| -1 x 0, ex y 2e-x}.* R {P(x,y)| 0 x 4, x y x +1}.3).Tentukan volume benda di oktan 1 yang dibatasi oleh z = x + y, dan tabungx + y = 4 serta bidang-bidang koordinat.4). Hitung volume di kuadran 1 terletak di dalam y + z = 9 dan diluar y = 3x.5). Hitung volume dari satu bagian yang dipotong dari silinder x + y = a oleh bidang-bidang z = 0 dan z = 3y.

5).Ys y x X123 4(s)2=(x)2 + (y)2s2= (x)2 +(y)2s = 1+yx2. x s =1+xy2. y ds =1+dydx2. dx ds =1+dxdy2. dy Bila proyeksikan ke Bidang XOYS = 1+zx2+zy2.dydxBila diproyeksikan ke bidang YOZS = 1+xy2+xz2.dydzBila diproyeksikan kebidang ZOXS = 1+yx2+yz2.dzdxContoh Soal:1. Carilah luas permukaan yang diproyeksikan ke bidang xoy dengan pembatas x=0, x=1, y=0 dan y=2 serta tabungz=4-x2di-oktan I :z=f(x,y)=4-x2 fx =-x4-x2 dan fy =os YXSRyzxZSRXYS= 1+x4-x22+0. dAS =020124-x2 dx.dyS = 202sin-1x201dyS = 202( 6 )dyS = 23 2. Hitung luas dari bagian silinder x2+z2=16 terletak di dalam silinder x2+y2=16Solusi :Ambil benda tersebut di oktan I Z SR Y 4XZ=16-x2zx= - x16-x2zy=01+ zx2+zy2=1+x216-x2 = 1616-x2S= 04016-x21616-x2dydx=404116-x2 y|016-x2dx=404dx=16 Luas permukaan seluruhnya=8 16=128Soal :1. Hitung luas bagian paraboloid z=x2+y2 yang dipotong oleh f2. Hitung luas yang merupakan bagian bidang x+y+z=6 didalam silinder x2+y2=4 pada kuadran I3. Hitung luas yang merupakan sebagian dari bola x2+y2+z2=25 terletak antara bidang z=2 dan z=4zxyIntegral Lipat Tiga ( Triple Integrals )fx,y,zdv= aby1y2z1z2fx,y,zdzdydxZ2= f2(x,y) z y2=2 (x) Z2=f1(x,y)y1=1(x)

ya x Contohsoal : 1) -2503xyx+24 dz dydx = 4 -25 03x x+2-y dy dx= 4 -25 (xy+2y-12 y2)03x dx= 4 -25 (3x2+ 6x- 92x2)dx = 4 -25 (6x- 32 x2) dx= 4 3x2- 12 x35-2= 4 75-1252- (12+4)= 4 252- 16=-142) Hitung volume dari R yang dibatasi oleh silinder z=4-x2 Dan bidang-bidangx=0, y=0dan z=0 , y=6Solusi: V= k dzdydx= 02 06 04-x2 dzdydx = 02 06 (4-x2) dydx = 02 (4-x2) y 60 dx= 602(4-x2) dx = 6 4x- x33 20 = 6 8-83=32PR1) 0/2 0z 0y sinx+y+zdxdydz2) /3 cosy 0xycoszxdzdxdy 3) Hitung k (x2+y2+z2) dzdydx bila R dibatasi oleh x+y+z= x=0, y=0 danz=04) Hitung volume yang dibatasi oleh x+z2 = 1 dan y2+ z2=1 dan bidang xoy 36yyyy123o x x x 1 2 3xAP Q RBCLABCD = 2 ABCxyABCDxABCDy TRANSFORMASIKOORDINAT Akan dilakukan transformasi koordinat sebagai berikut:xx = x (u,v)y y = y (u,v) sehingga didapats (x,y) dxdy = s F{x(u,v), y(u,v)}() du dvSekarang tinjau persoalan berikut: LuasABC = ?LuasABC = Luas PQCA + LuasQRBC - Luas PRBA= 12 PQ(AP +QC ) + 12QR (CQ+BR ) - 12 PR(AP +BR)= 12 (x3 - x1) (y1 + y3) + 12 (x2 x3) (y3 + y2) 12 (x2-x1) (y1+y2)= 12[ x3 (y1+y3-y3-y2) + x2 (y3+y2-y1-y2)+x1 (y1+y2-y1-y3)]= 12 [ x3 (y1-y2)+ x2 (y3 -y1) +x1 (y2- y3)]= 12 [(x2y3-x3y2) + (x3y1-x1y3) + (x1y2-x2y1)]= 12 x2x3y2y3-x1x3y1y3+x1x2y1y2 = 12 111 x1x2x3 y1y2y3 Luas ABC = 12111x1x2x3y1y2y3 dx dyTinjau Bidang Lengkung (u,v)

Koordinat dapat dinyatakan sbb:A {x(u,v), y(u,v)}B {x(u+u,v), y(u+u,v)}C {x(u+u,v+v), y(u+u,v+v)}D {x(u,v+v), y(u,v+v)}Bilax=x(u,v) dx= xudu+ xvdvy=y(u,v) dy= yudu+ yvdvx(u,v) x(u+u,v) ini menunjukkan bahwa v konstan sehingga dv = 0 dx= xudux(u,v) x(u,v+v) ini menunjukkan bahwa u konstan sehingga du = 0 dx= xvdvkoordinat A,B dan D akan dapat dinyatakan sbb:A {x(u,v), y(u,v)}B {x(u,v)+x(u,v)udu, y(u,v)+y(u,v)udu}D {x(u,v)+x(u,v)vdv, y(u,v)+y(u,v)vdv}atauA {x,y}B {x+xudu, y+yudu}D {x+xvdv, y+yvdv}Jadi Luas ABCD = 2 Luas ABD = 2 12 111xx+xudux+xvdvyy+yuduy+xvdvkurang satu halaman (Siapa ya ????)Telah Diketahui bahwa : (x,y)(u,v)= xuxvyuyv =D D=xuyv-xvyuPers 3xuhx-yuhy=1 xuyuxvyv hxhy = 10 Pers 5 xvhx-yvhy=0melalaui rumus Crammer didapat:hx = 1yu0yv xuyuxvyv =yvxuyv-xvyu=yvDu v D CA BA (u,v)B (u+u,v)C (u+u,v+v)hy = xu1xv0 D=-xvDPers 4xugx-yugy=0 xuyuxvyv gxgy = 01 Pers 6 xvgx-yvgy=1gx = 0yu1yv D=-yuDgy = xu0xv1 D=xuDu,vx,y= hxhygxgy =hxgy-hygx=yvDxuD-xvDyuD =xuyv-xvyuD2=DD2=1Du,vx,y=1(x,y)(u,v)Disebut invers jacobianContoh Soal : 1. Hitunglah : s xy dx dy, bila s adalah luas bagian bidang yang dibatasi oleh : y=x2 dan x=y2 dan y=2x2 x=2y2Jawab:Luas daerah dapat dicari dengan cara:S xy dxdy= x1x2dx x22x2xy dy+ x2x3dx x2xxy dy+ x3x4dx x2xxy dyCara lain adalah dengan menggunakan transformasi sebagai berikut:Misal : U= x2yV= y2x UV= x2y . y2x=xyBilay= x2 U=1 y= 2x2 U=12 x= y2 V=1 x= 2y2 V=12(u,v)(x,y)=uxuyvxvy =2xy-x2y2-y2x22yx

= 4 1 = 3jadi :(x,y)(u,v)=13, sehingga didapat :u v D CA B S xy dxdy= S UV Jdudv

=121du 121uv (13) dv =13 121u du 121v dv =13u22 1 12v22 1 12 = 13[(12 -18). (12 -18)] =3642. Hitunglah : 0~e-x2 dxSolusi: Misal : 0~e-x2 dx=I 0~e-x2 dx=20~e-x2 dx = 2.Idv =dx dy dz= r d(r sin d) dr=r2 sin dr d dJ=xrxdxddydrdyddyddzdrdzddzd=r2sinContoh :1. Hitung volume bola dengan jari-jari = aSolusi :v= dx dy dz= 0200ar2 sin dr d d=02d 0sin d0ar2dr = 2 -cos 0 r330a=-23 a3 cos- cos0V=43a32. Hitung : x2+y2dx dy bila s adalah lingakaran dengan persamaan : x2+y2 = 2axSolusi: Mis: x=rcos x2+y2=r2 y=rsindx dy=r dr dsx2+y2 dx dy= 002a cosr3 dr d=1402 a cos4 d= 14 016a4cos4 d= a404 cos4 d= a40(2 cos2)2 d= a40(1+cos2)2 = a40(1+2cos2+cos22)d= a40[1+2cos2+12(1+cos4 )]dt =. . . . . . . . . . . . = 32a4Hitung momen Inersia dari suatu bola yg berjari-jari = 1 dengan masa M homogen terhadap poros yang melalui pusat bola!u v D CA BSolusi: R= r sin I = R2 dm = r2 sin2dm= r2 sin2 dv= r2 sin2 ().r 2 sin drd d I = 02d0sin3 d0ar4 dr= 2 0(cos2 -1)d( cos)-r550a = 2 a55 (cos33 - cos) 0= 25 a5[(cos3 3- cos) (cos03-cos0)]= 25 a5[(-13+1)-(13 - 1)] = 25(.43a3)a2I = 25 Ma2Soal :1. s 1- x2- y2 dimana s = lingkaran dengan pusat (0,0),jari-jari = 12. s y dxdy dimana s = lingkaran dengan pusat a2,0 , jari-jari = a23. s a2+x2+y2 dxdy dimana s = x2+y2=a2x2-y24. R x2+y2 dxdy dimana R dibatasi oleh x2+y2= 4 dan x2+y2=au v D CA B