INTEGRAL GANDAIntegral untuk fungsi satu variable, kita

membentuk suatu partisi dari interval [a,b] menjadi interval-interval yang panjangnya Δxk , k = 1, 2, 3, ….n

Dengan cara yang sama, Kita definisikan integral untuk fungsi dua variable. Misalkan fungsi z = f(x,y) didefinisikan pada suatu daerah tertutup R di bidang xoy. Kemudian daerah ini dibagi atas n buah sub daerah yang masing-masing luasnya A1 , A2 , A3 …… An

n

k

b

a

dxxf1

kkn

x )f(xlim )(

Dalam setiap sub daerah, pilih suatu titik Pk(xk, yk )

dan bentuklah jumlah :

Jika jumlah sub daerah makin besar (n→∞), maka integral rangkap (lipat dua) dari fungsi f(x,y) atas daerah R didefinisikan :

AyxfAyxfAyxfAyxf nnn

n

kkkk

),(.......),(),(),( 2221

111

n

kkkk

nR

AyxfdAyxf1

),(lim),(

Untuk menghitung integral lipat dua dapat digunakan integral berulang yang ditulis dalam bentuk :

a.

dimana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variabel y konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap y.

),( ),( RR

dxdyyxfdAyxf

b

a

yfy

yfy

dydxyxf)(

)(

2

1

),(

 b. dimana integral yang ada dalam kurung

harus dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variable x konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap x.

Jika integral lipat dua diatas ada, maka (a) dan (b) secara umum akan memberikan hasil yang sama.

RR

dydxyxfdAyxf ),(),(

b

a

yfy

yfy

dxdyyxf)(

)(

2

1

),(

INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS PERSEGI PANJANG

Bentuk umum :

dimana : R = { (x,y) ; a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } a,b,c dan d adalah konstanta

d R c

a b

dxdyyxfdAyxfR

),(),(

Contoh :

1.

2.

3.

4.

1

0

2

1

dxdy

4

2

2

1

22 )( dxdyyx

4

2

2

1

2 )3( dydxyxy

4

2

2

0

)2cos(sin

drdr

INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS BUKAN PERSEGI PANJANG

dimana : R = { (x,y) ; f1(x) ≤ y ≤ f2(x) ,a ≤ x ≤ b }

)(f

)(

2

1

dx ),( ),( .x

xfy

b

axR

dyyxfdAyxfa

dimana : R = { (x,y) ; f1(y) ≤ x ≤ f2(y) ,c ≤ y ≤ d }

)(f

)(

2

1

dy ),( ),( .y

yfx

d

cyR

dxyxfdAyxfb

Contoh

11

0

2

2

x

x

dydxxy

2

1

3

)( .2y

y

dxdyyx

1

0 2

2

2

.3xx

x

dydxx

2 2sin

2cos

2 .4

drd

APLIKASI INTEGRAL LIPAT DUAAplikasi integral lipat dua yang bentuk

umumnya :

dapat dijelaskan sbb :

1. LUASLuas bidang dapat dipandang sebagai

integral lipat dua jika f(x,y) = 1 , sehingga integral lipat dua menjadi :

R

dAyxf ),(

RR

dydx dxdy A atau R

dAA

Dalam koordinat polar :

contoh : 1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh y = 0, x

+ y = 2 dan 2y = x + 4 2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola-parabola : y2 = 4 – x dan y2 = 4 – 4x

3. Hitung :

dengan R adalah daerah dikuadran pertama yang

berada diluar lingkaran r=2 dan di dalam

kardioda r = 2(1+cos ѳ)

2

1

2

1

d d

R

dAA

R

dAA

2. VOLUME

Jika z=f(x,y) adalah persamaan permukaan , maka:

adalah volume benda antara permukaan dan bidang xoy.

Contoh :

Hitung volume benda yang dibatasi oleh selinder

x2 + y2 = 4 dan bidang-bidang y + z = 4 dan z = 0

R

dxdyyxfV ),(

3. Massa Jika f(x,y) dipandang sebagai massa jenis

(massa persatuan luas ), maka :

merupakan massa dari benda itu. contoh : Sebuah lamina (pelat tipis) dengan kerapatan

f(x,y)=xy dibatasi oleh sumbu x, garis x = 2 dan kurva y=x3

Tentukan massa totalnya.

R

dxdyyxf ),(

4. Pusat Massa Jika f(x,y) merupakan massa jenis dari lamina (pelat

tipis), maka pusat massanya : (x,y) adalah sbb :

,

Contoh :

Tentukan pusat massa dari lamina yang mempunyai

Kerapatan f(x,y) = xy dan dibatasi oleh sumbu x , garis

x = 2 dan kurva y = x3

S

SY

dAyxf

dAyxfx

M

Mx

),(

),(

S

SX

dAyxf

dAyxfy

M

My

),(

),(

5. Momen InersiaMomen Inersia dari pelat tipis yang mempunyai

Kerapatan f(x,y) terhadap sumbu x dan sumbu y

adalah :

,

Sedangkan momen inersia terhadap sumbu z ( titik

asal ) :

Contoh :

Tentukan momen inersia terhadap sumbu x, y dan z

Untuk lamina yang mempunyai kerapatan xy dan

dibatasi sumbu x , garis = 2 dan kurva y = x3

R

x dAyxfyI )..,(2 R

y dAyxfxI )..,(2

R

yxZ dAyxfyxIII )..,()( 22

INTEGRAL LIPAT TIGAIntegral lipat tiga dari suatu fungsi

tiga variabel bebas thd. daerah R, dimana fungsi bernilai tunggal dan kontinu, merupakan suatu pengembangandari integral tunggal dan integral lipat dua.

Jika f(x,y,z) = 1, maka integral menjadi :

dapat diartikan

pengukuran

volume daerah R

R

dVzyxf ),,(

dVdVzyxfR

),,(

Dalam koordinat tegak lurus , integral tersebut dapat

dinyatakan dalam bentuk :

dimana : x1 ≤ x ≤ x2

y1 (x) ≤ y ≤ y2(x)

z1 (x,y) ≤ z ≤ z2(x,y)

2

1

2

1

2

1

)(

)(y

),(

),(

z)dzdydxy,f(x, ),,(x

x

xy

x

yxz

yxzR

dVzyxf

Contoh :

2

1

3

2

4

3

dzdydx xyz .1

1

0 x 02

dzdydx 2z .2x xy

1

0 2-x 0

2

dzdydx 2xz .3x yx

1

0

2

x

2

0

dzdydx 2z)(x .4x yx