Integral Rangkap Edi

of 18/18
INTEGRAL GANDA Integral untuk fungsi satu variable, kita membentuk suatu partisi dari interval [a,b] menjadi interval- interval yang panjangnya Δx k , k = 1, 2, 3, ….n Dengan cara yang sama, Kita definisikan integral untuk fungsi dua variable. Misalkan fungsi z = f(x,y) didefinisikan pada suatu daerah tertutup R di bidang xoy. Kemudian daerah ini dibagi atas n buah sub n k b a dx x f 1 k k n x ) f(x lim ) (
  • date post

    20-Dec-2015
  • Category

    Documents

  • view

    228
  • download

    1

Embed Size (px)

description

integral

Transcript of Integral Rangkap Edi

  • INTEGRAL GANDAIntegral untuk fungsi satu variable, kita membentuk suatu partisi dari interval [a,b] menjadi interval-interval yang panjangnya xk , k = 1, 2, 3, .n

    Dengan cara yang sama, Kita definisikan integral untuk fungsi dua variable. Misalkan fungsi z = f(x,y) didefinisikan pada suatu daerah tertutup R di bidang xoy. Kemudian daerah ini dibagi atas n buah sub daerah yang masing-masing luasnya A1 , A2 , A3 An

  • Dalam setiap sub daerah, pilih suatu titik Pk(xk, yk ) dan bentuklah jumlah :

    Jika jumlah sub daerah makin besar (n), maka integral rangkap (lipat dua) dari fungsi f(x,y) atas daerah R didefinisikan :

  • Untuk menghitung integral lipat dua dapat digunakan integral berulang yang ditulis dalam bentuk :

    a.

    dimana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variabel y konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap y.

  • b. dimana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variable x konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap x.

    Jika integral lipat dua diatas ada, maka (a) dan (b) secara umum akan memberikan hasil yang sama.

  • INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS PERSEGI PANJANG

    Bentuk umum :

    dimana : R = { (x,y) ; a x b, c y d } a,b,c dan d adalah konstanta

    d R c

    a b

  • Contoh :

    1.

    2.

    3.

    4.

  • INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS BUKAN PERSEGI PANJANG

    dimana : R = { (x,y) ; f1(x) y f2(x) ,a x b }

  • dimana : R = { (x,y) ; f1(y) x f2(y) ,c y d }

  • Contoh1

  • APLIKASI INTEGRAL LIPAT DUAAplikasi integral lipat dua yang bentuk umumnya :

    dapat dijelaskan sbb : 1. LUASLuas bidang dapat dipandang sebagai integral lipat dua jika f(x,y) = 1 , sehingga integral lipat dua menjadi :

  • Dalam koordinat polar :

    contoh : 1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh y = 0, x + y = 2 dan 2y = x + 4 2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola-parabola : y2 = 4 x dan y2 = 4 4x 3. Hitung : dengan R adalah daerah dikuadran pertama yang berada diluar lingkaran r=2 dan di dalam kardioda r = 2(1+cos )

  • 2. VOLUMEJika z=f(x,y) adalah persamaan permukaan , maka:

    adalah volume benda antara permukaan dan bidang xoy.

    Contoh : Hitung volume benda yang dibatasi oleh selinder x2 + y2 = 4 dan bidang-bidang y + z = 4 dan z = 0

  • 3. Massa Jika f(x,y) dipandang sebagai massa jenis (massa persatuan luas ), maka :

    merupakan massa dari benda itu. contoh : Sebuah lamina (pelat tipis) dengan kerapatan f(x,y)=xy dibatasi oleh sumbu x, garis x = 2 dan kurva y=x3 Tentukan massa totalnya.

  • 4. Pusat Massa Jika f(x,y) merupakan massa jenis dari lamina (pelat tipis), maka pusat massanya : (x,y) adalah sbb :

    ,

    Contoh :Tentukan pusat massa dari lamina yang mempunyai Kerapatan f(x,y) = xy dan dibatasi oleh sumbu x , garisx = 2 dan kurva y = x3

  • 5. Momen InersiaMomen Inersia dari pelat tipis yang mempunyai Kerapatan f(x,y) terhadap sumbu x dan sumbu y adalah : , Sedangkan momen inersia terhadap sumbu z ( titik asal ) :

    Contoh :Tentukan momen inersia terhadap sumbu x, y dan z Untuk lamina yang mempunyai kerapatan xy dan dibatasi sumbu x , garis = 2 dan kurva y = x3

  • INTEGRAL LIPAT TIGAIntegral lipat tiga dari suatu fungsi tiga variabel bebas thd. daerah R, dimana fungsi bernilai tunggal dan kontinu, merupakan suatu pengembangandari integral tunggal dan integral lipat dua.Jika f(x,y,z) = 1, maka integral menjadi : dapat diartikan pengukuran volume daerah R

  • Dalam koordinat tegak lurus , integral tersebut dapatdinyatakan dalam bentuk :

    dimana : x1 x x2 y1 (x) y y2(x) z1 (x,y) z z2(x,y)

  • Contoh :

    *