Integral de Lebesgue

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Integral de Lebesgue Camacho Ibarra Oscar

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Resumen

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Integral de Lebesgue

Camacho Ibarra Oscar

Función de Dirichlet

F(x)=1 si x es irracional

0 si x es racional

¿Puede integrarse por la integral de Riemann?

Conocimientos previos

Un conjunto está cerrado sí cuando se realiza una operación sobre los miembros del conjunto siempre produce un miembro del mismo conjunto

Una σ-álgebra de un conjunto A es la colección de los subconjuntos de A, donde A es cerrado bajo un número de operaciones contables.

La medida de Lebesgue

Es la forma estándar de asignar una longitud, área o volumen a los subconjuntos del espacio euclídeo.

A todo conjunto que se le pueda asignar un tamaño se le llama conjunto de Lebesguemedible o conjunto medible

La medida de Lebesgue

Los conjuntos mediblescumplen ciertas propiedades y todas estas propiedadespueden resumirse como:

Una σ-álgebra de un conjunto A es la colección de los subconjuntos de A, donde A es cerrado bajo un número de operaciones contables.

Los conjuntos medibles forman una σ-álgebra

Propiedades que hacen a un conjunto medible

Si A es un producto cartesiano de intervalos I1 × I2 × ... × In , es Lebesgue-medible y m*A = | I1 | · | I2 | · ... · | In |, donde | I | denota la longitud del intervalo I.

Si A es una unión disjunta de finitos o contables conjuntos Lebesgue-medibles, A mismo es Lebesgue-medible y m*A es igual a la suma (o serie) de las medidas de los conjuntos correspondientes.

Si A es Lebesgue-medible, también lo es su complemento.

m*A ≥ 0 para todo conjunto Lebesgue-medible A.

Si A y B son Lebesgue-medibles, y A⊆ B, m*A ≤ m*B).

Las uniones e intersecciones contables de conjuntos Lebesgue-medibles son asimismo Lebesgue-medibles.

Si A es un subconjunto abierto o cerrado deℝn, es Lebesgue-medible.

Si A es un conjunto Lebesgue-medible con m*A = 0 (o conjunto nulo), todo subconjunto de A es también un conjunto nulo.

Si A es Lebesgue-medible y x es un elemento deℝn, la traslación definida por A + x = {a + x : a ∈ A} es también Lebesgue-medible y, más aún, tiene la misma medida que A.

Funcion medible

El cálculo de integrales se restringe a un tipo de funciones llamadas funciones medibles.

Una función es medible si su conjunto solución lo es.

La integral de Lebesgue:

Es una generalización de la integral de Riemann, manteniendo las propiedades básicas de linealidad pero aplicable a familias más amplias de funciones.

En vez de dividir el dominio de la función, la integral de Lebesgue divide el rango de la función.

Integral de funciones no negativas

Si E es un subconjunto del espacio euclidiano ℝn y f : ℝn

→ℝ una función no negativa sobre E , para cada descomposición del conjunto E como una unión finita de conjuntos disjuntos E1, E2, . . . , EN , podemos calcular la suma:

𝑖=1𝑛 𝑣𝑖𝑚

∗𝐸𝑖

donde 𝑣𝑖 es el ínfimo de los valores que toma la función f sobre el conjunto Ei

𝐸

𝑓 =

𝐸

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = sup

𝑖=𝑖

𝑛

𝑣𝑖𝑚∗𝐸𝑖

Teorema

Si A y B son dos conjuntos disjuntos cuya unión es E, entonces para cualquier función f no negativa sobre E tenemos

𝐸 𝑓 = 𝐴 𝑓 + 𝐵 𝑓

Integral de funciones simples

Para un integral de una función simple no negativa sobre algún conjunto E:

Sean B1, B2, . . . , BN conjuntos disjuntos cuya unión es E , y sean C1, . . . , CN números no negativos. Si la función f toma el valor constante βi sobre el conjunto Ci , entonces

𝐸 𝑓 = 𝐶1𝑚∗𝐵1 +⋯+ 𝐶𝑛𝑚

∗𝐵𝑛

y en virtud del anterior teorema

𝐸 𝑓 = 𝐵1𝑓 +⋯+ 𝐵𝑛

𝑓

Diferencias entre la integral de Riemann y Lebesgue

La integral de Riemann solo puede llevarse acabo en un intervalo acotado

La integral de Riemann no puede extrapolarse

La integral de Lebesgue nos permite saber mejor cuando es posible tomar límites bajo el signo de la integral.

La integral de Lebesgue puede realizarse sobre funciones más generales

En probabilidad se confina el estudio a conjuntos medibles cuya medida sea 1 es decir se satisface m*(E)=1.

Viendo de nuevo la función de Dirichlet

A diferencia de la integral de Riemann de Direchlet la integral de Lebesgue de Dirichlet si está definida

(m*(racionales)) = 0

m*(irracionales) = 1

en [0,1]

01𝑓 = 0

10 + 0

11

010 + 0

11 = 𝑖=0

1 0 𝑚∗(𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠) + 𝑖=01 1 𝑚∗(𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠)

𝑖=01 0 𝑚∗(𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠) + 𝑖=0

1 1 𝑚∗(𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠) = 𝑖=01 (0) (0) + 𝑖=0

1 1 1 = 1

Gracias