Questão 24 Lista Gonzaga
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Questão 26 – Lista 3 - Os esquiadores experientes costumam dar um pequeno salto antes de
chegar a uma encosta. Considere um salto no qual a velocidade inicial é v0 = 10,0 m/s e ângulo
θ0 = 9,0o, a pista antes do salto é aproximadamente plana e a encosta tem uma inclinação de
aproximadamente 11,3o. A figura 24a mostra um pré-salto no qual um esquiador desce
aproximadamente no início da encosta. A figura 24b mostra um salto que começa no
momento em que o esquiador está chegando à encosta. Na figura 24ª o esquiador desce
aproximadamente na mesma altura em que começou o salto. (a) Qual é o ângulo θ entre a
trajetória do esquiador e a encosta na situação da figura 24a? Na situação da figura 24b (b) o
esquiador desce quantos metros abaixo da altura em que começou o salto e (c) qual é o valor
de θ?
a) Isto é bastante simples desde que sabemos que no ponto em que esquiador atinge
novamente o solo, é exatamente no início da encosta na mesma altura em que iniciou
o salto. Logo, este deve ter um vetor posição abaixo da horizontal mas com um
ˆangulo igual ao ângulo θ0. Assim, o ângulo entre a encosta e o esquiador é dado por:
𝜙 = 𝛼 − 𝜃0 = 11, 3𝑜 − 9, 0𝑜
= 2, 3𝑜
b) Vamos considerar que o esquiador aterriza em uma distância d da rampa. Assim
usamos as seguintes equações:
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑦𝑡 −1
2𝑔𝑡2
𝑥 = 𝑥 0 + 𝑣0𝑥𝑡
e considerando um triângulo retângulo com hipotenusa igual à d fazendo um ângulo α com
o prolongamento horizontal, então temos que,
𝑥 − 𝑥0 = 𝑑 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑦 − 𝑦0 = −𝑑 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝛼
𝑣0𝑥 = 𝑣0 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃0
e, substituindo na equação para x(t), obtemos:
𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝑣0 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃0 ∙ 𝑡 ∴ 𝑡 =𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑣0 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃0
Para o movimento vertical temos que:
−𝑑 𝑠𝑖𝑛 𝛼 = 𝑣0𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝜃0 −1
2𝑔𝑡2
e substituindo o tempo obtido da equação para o movimento na direção horizontal,
obtemos ainda:
−𝑑 𝑠𝑖𝑛 𝛼 = 𝑣0 ∙ 𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑣0 𝑐𝑜𝑠 𝜃0 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜃0 –
1
2𝑔
𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑣0 𝑐𝑜𝑠 𝜃0
2
Ou ainda:
−𝑑 𝑠𝑖𝑛 𝛼 = 𝑑 𝑡𝑎𝑛 𝜃0 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 −𝑔𝑑2 𝑐𝑜𝑠2 𝛼
2𝑣02 𝑐𝑜𝑠2𝜃0
e simplificando a distância d em ambos os membros, temos:
𝑑 =2𝑣0
2 ∙ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃0
𝑑 𝑐𝑜𝑠2 𝛼(𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑡𝑎𝑛 𝜃0)
𝑑 =2𝑣0
2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃0
𝑔 𝑐𝑜𝑠2 𝛼(𝑠𝑖𝑛 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃0 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜃0)
e a soma entre parênteses pode agrupada usando o seno da soma,
𝑑 =2𝑣0
2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃0
𝑔 𝑐𝑜𝑠2 𝛼𝑠𝑖𝑛(𝛼 + 𝜃0)
Substituindo-se os valores correspondentes, obtemos ainda:
𝑑 =2 ∙ (10 𝑚/𝑠)2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 9, 0°
9, 8 𝑚/𝑠² ∙ 𝑐𝑜𝑠² 11, 3°∙ 𝑠𝑖𝑛(9° + 11, 3°)
𝑑 = 7, 27 𝑚
o que nos fornece,
𝑦 = −𝑑 𝑠𝑖𝑛 𝛼 = 7, 27 𝑚 ∙ 𝑠𝑖𝑛 11, 3° = −1, 42 𝑚
ou seja, o esquiador desceu 1,42 m abaixo da altura em que começou o salto.
c) O tempo que o esquiador gasta para aterrizar pode ser determinado pela equação do
movimento horizontal, assim:
𝑡 =𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑣0 𝑐𝑜𝑠 𝜃0=
7, 27 𝑚 ∙ 𝑐𝑜𝑠(11, 3°)
10 𝑚/𝑠 ∙ 𝑐𝑜𝑠(9, 0°)
logo,
𝑡 = 0, 72 𝑠
Com este tempo somos capazes de determinar a componente da velocidade vy, assim,
𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡 = 𝑣0 𝑠𝑖𝑛 𝜃0 − 𝑔𝑡
e substituindo os valores correspondentes segue que:
𝑣𝑦 = 10𝑚
𝑠∙ 𝑠𝑖𝑛 9, 0° − 9, 8 𝑚/𝑠22 ∙ 0, 72 𝑠
logo,
𝑣𝑦 = −5, 5 𝑚/𝑠
Desde que temos também a componente horizontal da velocidade que não muda com o
tempo, podemos determinar o ângulo que a velocidade faz com a direção horizontal:
𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝜃0 = 10 𝑚/𝑠 ∙ 𝑐𝑜𝑠 9, 0° = 9, 9 𝑚/𝑠
E, substituindo os valores na expressão para o ângulo θ :
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑣𝑦
𝑣𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
−5, 5 𝑚/𝑠
9, 9 𝑚/𝑠
vamos obter:
𝜃 ≈ −29, 1°
ou seja, 29,1° abaixo da horizontal.