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Sexta Lista - Fontes de Campo Magnetico

FGE211 - Fsica III

Sumario

A Lei de Biot-Savart afirma que o campo magnetico d ~B em um certoponto devido a um elemento de comprimento d~l que carrega consigouma corrente I e esta a uma distancia ~r e

d ~B =04

Id~l rr2

,

onde r = |~r| e 0 = 4 107T m/A.

A magnitude do campo magnetico produzido por um fio infinito poronde passa uma corrente I a uma distancia r do fio e

B =0I

2r.

A magnitude da forca magnetica FB entre dois fios de comprimento lpor onde passam correntes I1 e I2 separados por uma distancia r e

FB =0I1I2l

2r.

A Lei de Ampere afirma que a integral de linha de ~B d~l atraves deum circuito fechado e proporcional a corrente que passa por qualquersuperfcie que o circuito encubra:

C

~B d~l = 0IC .

O campo magnetico dentro de um toroide de N espiras por onde passauma corrente I e

B =0NI

2r.

O campo magnetico dentro de um solenoide de comprimento l que temN espiras por onde passa uma corrente I e

B = 0N

lI = 0nI,

onde n e o numero de espiras por unidade de comprimento.

1

Estrategia para resolucao de problemas

A Lei de Biot-Savart

A lei de Biot-Savart afirma que o campo magnetico em um ponto P auma distancia r de um elemento de comprimento d~l por onde passa umacorrente I e

d ~B =04

Id~l rr2

=04

Id~l ~rr3

.

Para calcular o campo magnetico, os passos abaixo podem ser uteis:

1. Posicao da fonte: escolha um sistema de coordenadas apropriado paraescrever o elemento de corrente Id~l e o vetor ~r que descreve a suaposicao. Em eletromagnetismo e comum usarmos variaveis com umalinha para descrever a posicao das fontes de campo.

2. Posicao do ponto: usando o mesmo sistema de coordenadas, ache aposicao do ponto P com relacao a origem ~rP .

3. Posicao relativa: geometricamente, e trivial de mostrar que ~rP = ~r+~r.Ou seja, a posicao relativa entre o elemento de corrente e o ponto P e~r = ~rP ~r. O versor nesta direcao se torna entao

r =~r

r=

~rP ~r

|~rP ~r|.

4. Ache d~l

5. Calcule o produto vetorial d~l r ou d~l ~r.

6. Substitua o resultado em d ~B e efetue a integracao para achar ~B.

A Lei de Ampere

A lei de Ampere afirma que a integral de linha de ~B d~l sobre um circuitofechado e proporcional a corrente total que passa por qualquer superfcie queo circuito encubra:

C

~B d~l = 0IC .

Os passos abaixos podem ser uteis para calcular campos magneticos a partirda lei de Ampere:

1. Desenho um circuito de Ampere a partir de argumentos de simetria.

2. Ache a corrente que passa pelo circuito.

3. Calcule a integral~B d~l sobre o circuito.

4. Iguale os termos e ache ~B.

2

Questoes conceituais

1. Compare as semelhancas e diferencas entre a lei de Biot-Savart e a leide Coulomb.

2. Se uma corrente passa por uma mola, a mola se comprime ou se ex-pande?

3. Quais argumentos deve se usar para escolher o caminho de integracaoao usar a lei de Ampere?

4. Duas espiras concentricas de diametros diferentes tem correntes cons-tantes. As espiras se atraem ou se repelem?

5. Suponha que tres fios paralelos sao arranjados de tal forma que, seolharmos para suas secoes transversais, eles correspondem aos cantosde um triangulo equilatero. E possvel fazer uma combinacao de cor-rentes tal que (a) todos os tres fios se atraiam e (b) todos os tres fiosse repilam?

Problemas

1. Campo magnetico de um fio finito em um ponto qualquer

Este problema e um pouco mais complicado que os resolvidos em salade aula uma vez que argumentos de simetria nao podem ser utilizados.Considere um fio de comprimento L que carrega em si uma correnteI na direcao do eixo dos x como mostra a figura 1. Qual o campomagnetico em um ponto arbitrario do plano x-y? Sugestao: siga exa-tamente os passos descritos na secao acima. Este problema deve sersuficiente para entender a essencia da lei de Biot-Savart.

Figura 1: Fio finito de comprimento L e corrente I.

2. Campo devido a quatro fios

3

Quatro fios infinitos carregam consigo uma corrente I e estao dispostosde tal forma que, ao olhar para suas secoes transversais, compreendemos vertices de um quadrado de lado a como mostra a figura 2. Ascorrentes dos fios A e D apontam para foram da pagina e a dos fios Be C para dentro. Qual o campo magnetico no centro do quadrado.

Figura 2: Quatro fios dispostos nos vertices de um quadrado de lado a.

3. Corrente passando por um arco

Considere um arco como o mostrado na figura 3 por onde passa umacorrente I. Calcule o campo magnetico no ponto P .

Figura 3: Arco com uma corrente I passando por ele.

4. Fio em forma de ferradura

Um fio infinito por onde passa uma corrente I e dobrado na formamostrada na figura 4. Ache o campo magnetico no ponto P .

5. Dois fios infinitos

Considere dois fios infinitos alinhados com o eixo dos x e separadospor uma distancia 2a como mostra a figura 5.

4

Figura 4: Fio dobrado em forma de ferradura.

Figura 5: Dois fios infinitos.

(a) Esquematize as linhas de campo se olhando em uma vista trans-versal.

(b) Ache a distancia d com relacao ao eixo dos z (posicao (0,0,z))onde o campo magnetico e maximo.

6. Lei de Ampere

A aplicacao mais simples da lei de Ampere e um fio infinito. Calcularo campo magnetico de varios fios infinitos e uma boa forma de verificarse voce de fato entendeu o significado da lei.

(a) Usando a lei de Ampere, calcule o campo magnetico gerado porum fio infinito pelo qual passa uma corrente I a uma distancia rdele. Tente ser claro com relacao a qual caminho voce escolheue quais argumentos de simetria utilizou. Qual o campo a umadistancia de 10mm do fio se a corrente for 10A?

(b) Oito fios paralelos cortam perpendicularmente a pagina comomostra a figura 6. O fio i (i = 1, 2, 3, ..., 8) carrega consigo umacorrente 2iI0. Para os fios i = 1 a i = 4 a corrente tem a direcaosaindo da pagina. Para os outros, a corrente tem a direcao en-trando na pagina. Calcule

~B d~l para o caminho descrito na

figura na direcao das flechas. (cuidado com os sinais).

5

Figura 6: Oito fios que entram perpendicularmente na pagina. Os fios 1a 4 tem correntes saindo da folha ao passo que os fios 5 a 8 tem correnteentrando nela. A linha e o caminho pelo qual a lei de Ampere deve seraplicada.

(c) E possivel aplicar a lei de Ampere apenas uma vez para calcular ocampo na vizinhanca dos oito fios? Como voce faria para calcularo campo em um ponto P qualquer?

7. Campo magnetico de uma distribuicao de corrente a partirda lei de Ampere

Considere um cilindro condutor furado no centro como mostra a figura7. O cilindro e feito de cobre e tem raio interno a e raio externo b.Uma corrente uniforme I flui pelo cilindro.

Figura 7: Cilindro semi-macico infinito.

(a) Calcule a magnitude do campo magnetico fora do condutor (r >b).

(b) Calcule o campo magnetico, dentro do condutor para r < a.

(c) Calcule o campo magnetico na parte interna do condutor (a