PREMIER PRINCIPE POUR LES SYSTEMES FERMES (Corrigé)

1. Travail reçu dans une transformation adiabatique.

a) ∆U = W (adiabatique). avec ∆U = (5nR/2).(Tf- Ti) où n = 0,1 kg / 29.10-3

kg d’où W = 2,87 kJ

b) ∆U = [(5nR/2) + mac].(Tf- Ti) dont on tire T’f = 323 K.

2. Carabine à air comprimé.

a) V1 = 100. 0,25 = 25 cm3. P1 = Po(Vo/V1)

γ donne P1 = 1,1.10

5 Pa ;

b) En injectant la relation PV = nRT dans l’équation P.Vγ =cste,on aura Tf =Ti.(V/V1)

γ-1qui

amène Tf = 151 K ;

c) nair = PoV/(RTi) = 2,09.10-3

mol ; avec Wfourni = - W = - ∆U = - (nR/(γ – 1))(Tf – Ti) d’où

Wfourni = 5,9 J.

d) Par Ec = mv²/2 = Wf on tire v = 110 m.s-1

.

3. Echauffement d’un gaz par compression.

faire le bilan énergétique ∆U = W ; en explicitant ∆U = (5nR/2).(Tf – Ti) et W1 = (F – Ff).∆L et

le travail de l’atmosphère Wa = Patm.S.∆L on tire

avec n = Pi.Vi/(R.Ti).

AN : n = 6,22.10-4

mol ; Tf = 719 K = 446°C

4. Compression isotherme ou monotherme d’un gaz parfait : 1°) Transformation isotherme (et donc quasi statique) d’un gaz parfait.

δW = -Pext.dV. La transformation emprunte un chemin réversible, donc quasistatique : P = Pext.

Elle concerne un Gaz Parfait, respectant : P = nRT/V

Elle est isotherme : T = To = cste tout au long du chemin suivi lors de la transformation.

Il vient donc : δW = -nRTo.dV/V qui s'intègre en : W = -nRTo.ln(Vf/Vi)

avec PiVi = PfVf = nRTo donc : Vf/Vi = Pi/Pf où Pi = Po et Pf = Po + mg/S

Soit finalement : ln 1o

o

mgW nRT

P S

= +

.

Comme Ti = Tf et que l’on a un GP : ∆U = 0. D’où par le premier principe : Q = -W.

A l’état final, Vf = S.hf avec Vf = Vi.(Pi / Pf) où Vi = Sho.

Il vient : . of o

o

Ph h

mgP

S

=

+

et . . of o

o

PV S h

mgP

S

=

+

AN : ). h = 0,67 m ; W = 405 J.

2°) Transformation monotherme. Elle ne sera pas quasi-statique, ou du moins la température T

du système ne restera pas invariante dans la transformation (et l’on ne connaît pas son évolution

de façon simple et précise). Par contre, l’évolution est monobare : Pext = Cste = Po + mg/S.

On calcule donc facilement : ( )EF EF

ext o o f i

EI EI

mg mgW P dV P dV P V V

S S

= − = − + = − + −

∫ ∫

2

L’équilibre final du gaz reste néanmoins identique : Pf = Pext = Po + mg/S , Tf = To et donc Vf et

hf restent inchangés.

Le travail reçu par le gaz est différent, mais le bilan énergétique s’écrit toujours :

∆U = Q + W = 0 puisque la température initiale et la température finale restent identiques.

Il vient donc Q = -W = ( )o f i

mgP V V

S

+ −

. AN : , hf = 0,67 m inchangée. W = -Q = 500 J

5. Pertes thermiques : δQpertes = K(T(t) – To).dt ; système = {maison} de capacité

thermique Cp.

Le système subit une évolution isobare = P = Patm = Cste.

Ecrivons un bilan thermique sur une durée dt :

EI : T(t) → EF : T(t +dt) = T(t) + dT

On raisonne sur l’enthalpie : dH = H(t+dt) – H(t) = δQ

où δQ est l’énergie reçue par transfert thermique par la

maison : δQ = -δQpertes .

et dH = Cp.dT puisque la transformation est isobare.

D’où l’équation : Cp.dT = -K(T(t) – To).dt

Séparons les variables : ( )

o p

dT Kdt

T t T C= −

− qui s’intègre entre T(t = 0) = T1 et T(t) :

1

( ) .ln o

o p

T t T K t

T T C

− −=

− soit en passant à l’exponentielle : ( ) /

1( ) pKt C

o oT t T T T e−

= + −

6. Mesure de la capacité thermique massique (ou "chaleur massique") d'un solide : a) Expérience adiabatique, sous la pression atmosphérique (le système {eau initiale, eau ajoutée,

calorimètre} est thermiquemen isolé). Equation calorimétrique : ∆H = Qp = 0.

Soit en détaillant chaque terme de variation d'enthalpie, relatif à des phases condensées :

m1.cO.(téq – t1) + m2.cO.(téq – t2) = 0 (en négligeant ici la capacité thermique du calorimètre).

On tire : téq = (m1.t1 + m2.t2) / (m1 + m2) = 32,8 °C.

b) Même mise en équation, mais en tenant compte de la capacité thermique du calorimètre :

(m1 + µ).cO.(téq – t1) + m2.cO.(téq – t2) = 0

On tire : ( )

1

12

22

'

''m

tt

ttm e −−

−=µ soit numériquement : µ = 22,5 g.

c) La nouvelle équation calorimétrique est maintenant :

(m'1 + µ).cO.(t – t'1) + m.cmét.(t – t'2) = 0

qui amène : ( )

omét ctt

tt

m

mc

−

−+=

2

11

'

''µ A.N.: cmét = 443 J.kg-1K-1.

T(t) δQpertes

Text = To

t

T(t) T1

To

3

7. Etude d'un cycle de Stirling. rendement thermodynamique.

1°) T1 > T2, donc pour un même volume VA = VD ,

on aura PA > PD .

Le cycle, moteur, doit être parcouru dans le sens

horaire.

A→B : isotherme donc par la première loi de

Joule : ∆U = 0, donc QAB = -WAB,

avec ici WAB < 0 (détente) ; donc QAB > 0.

B→C : isochore. ∆U = QBC

d’où QBC = mcv(T2 – T1) < 0.

C→D : isotherme donc par la première loi de Joule : ∆U = 0, donc QCD = -WCD,

avec ici WCD > 0 (compression) ; donc QCD < 0.

D→A : isochore. ∆U = QDA d’où QDA = mcv(T1 – T2) > 0.

Remarquons que : QBC + QDA = 0.

2°) Q1 est le transfert thermique reçu à la température T1 (isotherme AB).

Q1 = -WAB avec : 1

Vf Vf

ext

Vi Vi

dVW P dV nRT

V= − = −∫ ∫ donc Q1 = nRT1ln(VB/VA)

Or nRT2 = PCVC et nRT1 = PAVA et VB = VC.

D’où VB/VA = (T2/T1).(PA/PC) = (nRT2)/(PCVA).

Finalement : 21 1 ln

C A

nRTQ nRT

P V

=

De même, Q2 est le transfert thermique reçu à la température T2 (isotherme CD).

Q2 = -WCD avec : 2

Vf Vf

ext

Vi Vi

dVW P dV nRT

V= − = −∫ ∫ donc Q2 = nRT2ln(VD/VC)

Or nRT2 = PCVC et nRT1 = PAVA et VD = VA.

D’où VD/VC = (PCVA)/ (nRT2).

Finalement : 2 2

2

ln C AP V

Q nRTnRT

=

Calcul du rendement du moteur : ρ = -Wcy/Q1.

Par le premier principe, écrit sur le cycle : ∆U = 0 = Q1 + Q2 + Wcy donc -Wcy = Q1 + Q2

Il vient :

2

22 2

1 1

1

2

ln

1 1 1

ln

C A

C A

P VnRT

nRTQ T

Q TP VnRT

nRT

ρ

= + = + = −

−

on constate : ρ = ρcarnot.

d) nRT1 = PA.VA ; avec m = 0,10 kg, qui détermine la quantité de matière n = m/M.

T1 = ((M/m).PAVA)/R = 400 K valeur de température située à un écart de 100 K vis à vis de la

température de la source froide T2 ;

V

VB VA

P

A

D

C T = T2

T = T1

B

4

QDA = mcv(T1 – T2) = m(T1 – T2).(R/M)/(γ – 1) > 0 (échauffement de T2 à T1)

et QBC = mcv(T2 – T1) = m(T2 – T1).(R/M)/(γ – 1) < 0 (refroidissement de T2 à T1)

numériquement : QDA = -QBC = 8,6.102 J.

Q1 = PA.VA.ln((PA.T2)/(PC.T1)) = 39 kJ

et Q2 = PA.VA.(T2/T1).ln((PA.T2)/(PC.T1)) = -29 kJ ; ρ = 0,25.

Le régénérateur doit réchauffer le gaz de T2 à T1 dans la transformation DA et refroidir le gaz de

T2 à T1 dans la transformation BC. Il devrait donc au moins avoir la température T1 (et une très

grande capacité thermique) sur DA et au plus avoir la température T2 (et une très grande capacité

thermique) sur BC.

C’est évidemment impossible et en pratique il aura une température intermédiaire (≈ (T1 + T2)/2)

et relativement stationnaire, ce qui écarte le cycle réel du tracé théorique étudié.

Les échanges thermiques avec les sources ne sont alors plus réversibles, puisque la source chaude

doit échauffer le fluide en fin de phase DA et la source froide doit le refroidir en fin de phase BC.

De plus, les échanges thermiques devant être rapides, le régénérateur doit offrir une grande

surface d’échange thermique.

Les transferts thermiques entre les sources et un fluide de température différente introduisent en

effet une irréversibilité.

e) La fréquence des cycles est f = 9/60 = 0,15 cycle.s-1

. D’où la puissance P = (-W).f = 1,5 kW.

8. Cycle d'un moteur Diesel.

Analyse des transferts thermiques reçus :

A→B et C→D : transformations adiabatiques : Q = 0 ;

B→C : isobare : QBC = ∆H = Cp(TC – TB) > 0 (phase de

combustion avec injection) ;

D→A : isochore : QBC = ∆U = CV(TA – TD) < 0

(refroidissement) ;

Par le premier principe, écrit sur le cycle : ∆U = 0 = QBC + QDA + Wcy

donc -Wcy = QBC + QDA

soit : η = -W / QBC = 1 + QBC / QDA .

Ceci amène : ( )

1 1DA A D

BC C B

Q T T

Q T Tη

γ

−= + = +

−

On relie les températures par les adiabatiques répondant à la loi de Laplace : T.Vγ-1

= Cste

Il vient :

1

1AB A A

B

VT T T a

V

γ

γ

−

− = =

et

1

1CD C B

D

VT T T b

V

γ

γ

−

− = =

B et C étant de même pression : PB = PC = nRTB/VB = nRTC/VC dont on tire TC = TB(a/b).

Donc : /C A

T T a bγ= et ( / )

D AT T a b

γ= .

En rassemblant ces informations on obtient finalement : ηγ

γ γ

= + ×−

−

− −

11

1 1

a b

b a

A

B C

D

V

P

Ao