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Appunti ed esercizi
di Meccanica Razionale
Università degli Studi di Trieste - Sede di Pordenone Facoltà di Ingegneria
Appunti ed esercizi
di Meccanica Razionale
Luciano Battaia
Versione del 27 settembre 2009
Testo composto con LATEX2ε e la classe di documento Komascript di Markus Kohm e Jens Uwe Morawski. Le immagini sono realizzate con il pacchetto PSTricks e le sue estensioni. Molte figure sono state prima costruite usando Geogebra e poi esportate direttamente in formato PSTricks. Nessuna parte di questo testo può essere riprodotta senza il consenso scritto dell’autore.
Indice
Premessa v
I. Teoria 1
1. Introduzione 3
2. Richiami di algebra vettoriale 5 2.1. Vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2. Operazioni tra vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3. Doppio prodotto vettoriale e prodotto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4. Parallelismo, perpendicolarità, complanarità . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.5. Scomposizione di vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.6. Vettori applicati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.7. Insiemi (o sistemi) di vettori applicati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.8. Asse centrale di un sistema di vettori applicati . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.9. Sistemi di vettori equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.10. Riduzione di un sistema di vettori applicati . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.11. Sistemi di vettori applicati paralleli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.12. Sistemi particellari e sistemi continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3. Vincoli e gradi di libertà 29 3.1. Vincoli e classificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2. Il vincolo di rigidità e gli angoli di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3. Rappresentazione analitica dei vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4. Coordinate lagrangiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.5. Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5.1. Aste rigide in moto piano variamente vincolate . . . . . . . . . . . . 35 3.5.2. Coppie di aste collegate, in un piano, mediante cerniere . . . . . . . 38
4. Cinematica dei rigidi 41 4.1. Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2. La formula di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3. Proprietà della velocità angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.4. Moti rigidi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.5. Punti di vista lagrangiano ed euleriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.6. Il teorema di Mozzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.7. Moti rigidi piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.8. Il vincolo di puro rotolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
i
Indice Appunti di meccanica razionale
5. Equazioni cardinali 57 5.1. Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.2. Classificazione delle forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.3. Equazioni cardinali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.4. Statica dei sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.5. Statica dei sistemi rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6. Lavori virtuali 65 6.1. Spostamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.2. Spostamenti di un rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6.3. Lavoro virtuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6.4. Principio delle reazioni vincolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.5. Il principio dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.6. Sistemi olonomi. Componenti lagrangiane della sollecitazione . . . . . . . . 70
7. Azioni interne in un rigido all’equilibrio (Cenni) 73 7.1. Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.2. Sforzi normali e di taglio. Momenti torcente e flettente . . . . . . . . . . . . 74 7.3. Il caso dei rigidi piani, con carichi nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 7.4. Il caso dei rigidi piani in una dimensione, con carichi nel piano . . . . . . . 76
7.4.1. Il caso di aste e archi “scarichi” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8. Operatore d’inerzia 79 8.1. Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 8.2. L’operatore di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 8.3. La matrice di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.3.1. Il caso piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 8.4. Ellissoide di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 8.5. Operatore di inerzia e autovalori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 8.6. Il caso di un rigido rettilineo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 8.7. Ricerca di una terna principale di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 8.8. Il teorema di Huygens-Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9. Cenni di cinematica delle masse 89 9.1. Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 9.2. Nuova forma delle equazioni cardinali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 9.3. Il caso dei corpi rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10.Sistemi conservativi 95 10.1. Campi conservativi - Energia potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 10.2. Esempi di forze conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 10.3. Sollecitazioni conservative nei sistemi olonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 10.4. Sollecitazioni conservative ed equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
11.Equazioni di Lagrange 99 11.1. Relazione ed equazione simbolica della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . 99 11.2. Il caso dei vincoli olonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 11.3. Equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
ii Luciano Battaia
Appunti di meccanica razionale Indice
11.4. Energia cinetica di un sistema olonomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 11.5. Teorema dell’energia cinetica o delle forze vive . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 11.6. Conservazione dell’energia in sistemi olonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 11.7. Macchine semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
II. Esercizi 105
12.Esercizi di algebra vettoriale 107
13.Esercizi di cinematica 109
14.Esercizi di statica 121
15.Esercizi sugli sforzi interni 159
16.Esercizi di cinematica delle masse. Momenti di inerzia 165
17.Esercizi di dinamica 185
18.Suggerimenti “spiccioli” per la risoluzione dei problemi 191 18.1. Analisi cinematica, determinazione dei gradi di libertà, della velocità angolare,
delle coordinate dei punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 18.2. Analisi dei carichi presenti e dei vincoli. Lavoro virtuale. Eventuale energia
potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 18.3. Risultante e momento risultante delle forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 18.4. Momenti di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 18.5. Momento delle quantità di moto di un rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 18.6. Energia cinetica di un rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 18.7. Equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 18.8. Macchine semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 18.9. Equazioni cardinali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
A. Richiami di algebra lineare 199 A.1. Funzioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 A.2. Problema agli autovalori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 A.3. Ricerca degli autovalori e autovettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Notazioni utilizzate 203
Indicazioni bibliografiche 205
Elenco delle figure 207
Indice analitico 209
Luciano Battaia iii
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Premessa
Questi appunti contengono solo lo schema delle lezioni tenute, presso la sede di Pordenone dell’Università degli Studi di Trieste, nell’anno accademico 2007/2008 e successivi. In particolare essi non possono essere considerati un libro di testo.
Per una puntuale preparazione all’esame è indispensabile consultare anche i testi indicati in bibliografia e le indicazioni fornite dal docente durante le lezioni. Molti dei contenuti proposti sono presi da appunti distribuiti dal prof. Giorgio Tondo
che ha tenuto questo corso negli anni accademici precedenti al 2007/2008. La lettura di un testo di Meccanica Razionale, anch