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  • Appunti ed esercizi

    di Meccanica Razionale

  • Università degli Studi di Trieste - Sede di Pordenone Facoltà di Ingegneria

    Appunti ed esercizi

    di Meccanica Razionale

    Luciano Battaia

    Versione del 27 settembre 2009

  • Testo composto con LATEX2ε e la classe di documento Komascript di Markus Kohm e Jens Uwe Morawski. Le immagini sono realizzate con il pacchetto PSTricks e le sue estensioni. Molte figure sono state prima costruite usando Geogebra e poi esportate direttamente in formato PSTricks. Nessuna parte di questo testo può essere riprodotta senza il consenso scritto dell’autore.

  • Indice

    Premessa v

    I. Teoria 1

    1. Introduzione 3

    2. Richiami di algebra vettoriale 5 2.1. Vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2. Operazioni tra vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3. Doppio prodotto vettoriale e prodotto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4. Parallelismo, perpendicolarità, complanarità . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.5. Scomposizione di vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.6. Vettori applicati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.7. Insiemi (o sistemi) di vettori applicati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.8. Asse centrale di un sistema di vettori applicati . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.9. Sistemi di vettori equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.10. Riduzione di un sistema di vettori applicati . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.11. Sistemi di vettori applicati paralleli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.12. Sistemi particellari e sistemi continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    3. Vincoli e gradi di libertà 29 3.1. Vincoli e classificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2. Il vincolo di rigidità e gli angoli di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3. Rappresentazione analitica dei vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4. Coordinate lagrangiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.5. Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    3.5.1. Aste rigide in moto piano variamente vincolate . . . . . . . . . . . . 35 3.5.2. Coppie di aste collegate, in un piano, mediante cerniere . . . . . . . 38

    4. Cinematica dei rigidi 41 4.1. Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2. La formula di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3. Proprietà della velocità angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.4. Moti rigidi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.5. Punti di vista lagrangiano ed euleriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.6. Il teorema di Mozzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.7. Moti rigidi piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.8. Il vincolo di puro rotolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    i

  • Indice Appunti di meccanica razionale

    5. Equazioni cardinali 57 5.1. Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.2. Classificazione delle forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.3. Equazioni cardinali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.4. Statica dei sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.5. Statica dei sistemi rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    6. Lavori virtuali 65 6.1. Spostamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.2. Spostamenti di un rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6.3. Lavoro virtuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6.4. Principio delle reazioni vincolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.5. Il principio dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.6. Sistemi olonomi. Componenti lagrangiane della sollecitazione . . . . . . . . 70

    7. Azioni interne in un rigido all’equilibrio (Cenni) 73 7.1. Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.2. Sforzi normali e di taglio. Momenti torcente e flettente . . . . . . . . . . . . 74 7.3. Il caso dei rigidi piani, con carichi nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 7.4. Il caso dei rigidi piani in una dimensione, con carichi nel piano . . . . . . . 76

    7.4.1. Il caso di aste e archi “scarichi” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    8. Operatore d’inerzia 79 8.1. Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 8.2. L’operatore di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 8.3. La matrice di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    8.3.1. Il caso piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 8.4. Ellissoide di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 8.5. Operatore di inerzia e autovalori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 8.6. Il caso di un rigido rettilineo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 8.7. Ricerca di una terna principale di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 8.8. Il teorema di Huygens-Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    9. Cenni di cinematica delle masse 89 9.1. Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 9.2. Nuova forma delle equazioni cardinali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 9.3. Il caso dei corpi rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    10.Sistemi conservativi 95 10.1. Campi conservativi - Energia potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 10.2. Esempi di forze conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 10.3. Sollecitazioni conservative nei sistemi olonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 10.4. Sollecitazioni conservative ed equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    11.Equazioni di Lagrange 99 11.1. Relazione ed equazione simbolica della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . 99 11.2. Il caso dei vincoli olonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 11.3. Equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    ii Luciano Battaia

  • Appunti di meccanica razionale Indice

    11.4. Energia cinetica di un sistema olonomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 11.5. Teorema dell’energia cinetica o delle forze vive . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 11.6. Conservazione dell’energia in sistemi olonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 11.7. Macchine semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    II. Esercizi 105

    12.Esercizi di algebra vettoriale 107

    13.Esercizi di cinematica 109

    14.Esercizi di statica 121

    15.Esercizi sugli sforzi interni 159

    16.Esercizi di cinematica delle masse. Momenti di inerzia 165

    17.Esercizi di dinamica 185

    18.Suggerimenti “spiccioli” per la risoluzione dei problemi 191 18.1. Analisi cinematica, determinazione dei gradi di libertà, della velocità angolare,

    delle coordinate dei punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 18.2. Analisi dei carichi presenti e dei vincoli. Lavoro virtuale. Eventuale energia

    potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 18.3. Risultante e momento risultante delle forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 18.4. Momenti di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 18.5. Momento delle quantità di moto di un rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 18.6. Energia cinetica di un rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 18.7. Equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 18.8. Macchine semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 18.9. Equazioni cardinali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

    A. Richiami di algebra lineare 199 A.1. Funzioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 A.2. Problema agli autovalori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 A.3. Ricerca degli autovalori e autovettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

    Notazioni utilizzate 203

    Indicazioni bibliografiche 205

    Elenco delle figure 207

    Indice analitico 209

    Luciano Battaia iii

  • iv

  • Premessa

    Questi appunti contengono solo lo schema delle lezioni tenute, presso la sede di Pordenone dell’Università degli Studi di Trieste, nell’anno accademico 2007/2008 e successivi. In particolare essi non possono essere considerati un libro di testo.

    Per una puntuale preparazione all’esame è indispensabile consultare anche i testi indicati in bibliografia e le indicazioni fornite dal docente durante le lezioni. Molti dei contenuti proposti sono presi da appunti distribuiti dal prof. Giorgio Tondo

    che ha tenuto questo corso negli anni accademici precedenti al 2007/2008. La lettura di un testo di Meccanica Razionale, anch

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