PRAGMATIKES SINARTISIS

Σελίδα 1 από 24

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Του Αντώνη Κυριακόπουλου

1. Εισαγωγή Στην εργασία αυτή παραθέτω χρήσιµες επισηµάνσεις στις βασικές έννοιες των

πραγµατικών συναρτήσεων και δίνω παραδείγµατα εφαρµογής.

Στο τέλος παραθέτω µια σειρά ασκήσεων, πολλές από τις οποίες έχω φτιάξει ο

ίδιος .

2. Πότε µια συνάρτηση είναι ορισµένη

Μια (πραγµατική) συνάρτηση :f Α→ � είναι ορισµένη αν, και µόνο αν:

α) Γνωρίζουµε το σύνολο ορισµού της Α και

β) Γνωρίζουµε ή µπορούµε να βρούµε την τιµή της f(x), για κάθε .x∈Α

3. Πότε ένας αριθµός είναι τιµή µιας συνάρτησης Ένας αριθµός y∈� είναι τιµή µιας συνάρτησης :f Α→ � αν, και µόνο αν:

Υπάρχει x∈Α µε f(x)=y.

Ισοδύναµα αν, και µόνο αν:

Η εξίσωση f(x)=y έχει µία τουλάχιστον λύση .x∈Α

Συµβολικά: Έστω µία συνάρτηση :f Α→ � .

( ) ( )( ) τιµή της f x Α, fy x y∈ ⇔ ∃ ∈ =� .

Παράδειγµα. Να εξετάσετε αν ο αριθµός 5 είναι τιµή της συνάρτησης:

≥2

8ηµxσυνx - 1, αν x < 1f(x) =

x - x + 3, αν x 1

Λύση. Το σύνολο ορισµού της συνάρτησης f είναι το � . Λύνουµε την εξίσωση:

f(x)=5 µε .x∈�

• Με 1x < έχουµε:

3

( ) 5 8 1 5 4 2 6 22

f x x x x xηµ συν ηµ ηµ= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = , αδύνατη ( γιατί 3

12> ).

• Με 1x ≥ έχουµε:

2 2( ) 5 3 5 2 0 ( 2 ή x= 1).-f x x x x x x= ⇔ − + = ⇔ − − = ⇔ =

∆εκτή είναι µόνο η x=2 ( γιατί 1x ≥ ).

Συµπεραίνουµε ότι το 5 είναι τιµή τη συνάρτησης f ( για x=2).


Άσκηση. Να εξετάσετε αν ο αριθµός −1 είναι τιµή της συνάρτησης:

2 3 1, αν x 0( )

1 2 , αν χ>0

x xf x

xσυν

− + ≤=

−

Απάντηση. Όχι.

4. Σύνολο ορισµού συνάρτησης που ορίζεται από έναν τύπο Συµφωνούµε ότι ένας δοσµένος τύπος f(x) ορίζει µια συνάρτηση µε σύνολο

ορισµού το σύνολο: { }| ( )x f xΑ = ∈ ∈� � , µε την προϋπόθεση ότι .Α ≠ ∅

Παράδειγµα. Να βρείτε το σύνολο ορισµού της συνάρτησης:

2

3ηµx - 1f(x) =

x - x - 4

.

Λύση. Με x∈� έχουµε:

22

2 2

2

044 0

( ) 4 2.24 0

2

xx xx x

f x x x xxx

x

> > −− − >

∈ ⇔ ⇔ ⇔ > − ⇔ ≥ ≥− ≥ ≥

�

Άρα, το σύνολο ορισµού της συνάρτησης f είναι: Α=[ )2, +∞ .

Σηµείωση. ∆οθέντος ενώ τύπου f(x) το σύνολο ορισµού της: { }| ( )x f xΑ = ∈ ∈� �

είναι πλήρως ορισµένο. Έτσι θα έλεγε κάποιος ότι το σύνολο ορισµού της

προηγούµενης συνάρτησης είναι:

{ }2 2| 4 0 και 4 0 .x x x xΑ = ∈ − − > − ≥�

Σωστά. Αλλά όταν λέµε ότι θα βρούµε το σύνολο ορισµού µιας συνάρτησης που

ορίζεται από ένα δοσµένο τύπο f(x), σιωπηρά εννοούµε ότι το σύνολο

{ }∈ ∈Α = x R | f(x) R θα το θέσουµε υπό µορφή διαστήµατος ή ενώσεων

διαστηµάτων του � . Αυτό όµως σε πολλές περιπτώσεις δεν µπορεί να γίνει. Για

παράδειγµα, το σύνολο ορισµού της συνάρτησης:

3

7 2

2 1( )

3 2

x xg x

x x x

− +=

+ − +

είναι: { }7 2| 3 2 0x x x xΒ = ∈ + − + ≠� . Το σύνολο αυτό είναι πλήρως ορισµένο, αλλά

δεν µπορεί να τεθεί υπό µορφή διαστήµατος ή ενώσεων διαστηµάτων του � , γιατί

δεν λύνεται η εξίσωση: 7 23 2 0.x x x+ − + =

Άσκηση. Να βρείτε το σύνολο ορισµού Α της συνάρτησης:

2

3( )

2

xf x

x x

λλ

−=

− +, όπου λ∈� (δοσµένος).

Απάντηση. α) λ>1 : Α=� . β) λ=1: Α= { }1−� .

γ) λ<1: Α= { }1 1 , 1- 1λ λ− + − −� .

5. Σύνολο τιµών συνάρτησης Το σύνολο τιµών µιας συνάρτησης :f Α→ � είναι το σύνολο:

{ }( ) | τιµή της ff y yΑ = ∈� .

• { }( ) | x , f(x)=yf yΑ = ∈ ∃ ∈Α� .


• { }( ) | η εξίσωση f(x)=y έχει µία τουλάχιστο λύση x Αf yΑ = ∈ ∈� .

Με άλλα λόγια , το σύνολο τιµών µιας συνάρτησης →f :Α R είναι το σύνολο των

αριθµών ∈y R , για τους οποίους η εξίσωση f(x)=y ( µε άγνωστο το x) έχει µία

τουλάχιστον λύση στο Α.

Παράδειγµα. Nα βρείτε το σύνολο τιµών της συνάρτησης:

2

x - 3x + 1f(x) =

x - 3.

Λύση. Το σύνολο ορισµού της f είναι: { }3Α = −� . Θα βρούµε τους αριθµούς y∈� ,

για τους οποίους η εξίσωση f(x)=y ( µε άγνωστο το x) έχει µία τουλάχιστον λύση στο

Α. Με x∈Α και y∈� έχουµε:

2

23 1f (x) y ( 3) (3 1) 0 (1).

3

x xy x y x y

x

− += ⇔ = ⇔ − + + + =

−

Η εξίσωση (1) έχει µία τουλάχιστον λύση στο Α αν, και µόνο αν:

2 2

2

( )( 3) 4(3 1) 0 6 5 0( 1 ή y 5).

1 03 ( 3) 3 (3 1) 0

y y y yy

y y

∆ = + − + ≥ − + ≥⇔ ⇔ ≤ ≥

≠− + ⋅ + + ≠

Άρα, το ζητούµενο σύνολο τιµών είναι: ( ] [ )( ) ,1 5, .f Α = −∞ ∪ +∞

Άσκηση. Nα βρείτε το σύνολο τιµών της συνάρτησης: f(x)=3ηµx-4συνx.

Απάντηση. [ ]( ) 5,5 .f = −�

6. Ισότητα συναρτήσεων Θεωρούµε δύο συναρτήσεις :f Α→ � και :g Β→ � . Έχουµε:

x Α, f(x)=g(x)

f gΑ = Β

= ⇔ ∀ ∈

• Έτσι έχουµε: f g≠ αν, και µόνο αν:

Α ≠ Β ή (Α=Β και υπάρχει µε f(x) g(x))x∈Α ≠ .

Παράδειγµα. Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω δύο περιπτώσεις ισχύει

f=g:

i) f(x)=3 3

x και g(x)=x. ii)

1

3f(x) = x και g(x)= 3 x .

Λύση. i) Το σύνολο ορισµού της f είναι Α=[ )0,+∞ και της g είναι Β=� . ΆραΑ ≠ Β

και συνεπώς f g≠ .

ii) Το σύνολο ορισµού της f είναι Α=[ )0,+∞ και της g είναι Β=[ )0,+∞ και άρα

Α=Β. Για κάθε [ )0,x∈ +∞ έχουµε:1

33( ) ( ).f x x x g x= = = Άρα f=g.

Άσκηση. Nα εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις:

f(x)= 5 | | 8x x− και g(x)=8 | | 5x x− .

Απάντηση. Είναι ίσες.

7. Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ορισµός. Θεωρούµε µία συνάντηση →f :Α R . Ορίζουµε:

•••• (f άρτια) ( )⇔ ∀ ∈ ∈ x Α, (-x) Α και f -χ = f(x)

Η γραφική παράσταση µιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συµµετρίας

τον άξονα y΄y.


•••• (f περιττή) ( )⇔ ∀ ∈ ∈ x Α, (-x) Α και f -χ = -f(x)

Η γραφική παράσταση µιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συµµετρίας

την αρχή των αξόνων.

Παράδειγµα. Nα εξετάσετε αν είναι άρτια ή περιττή η συνάρτηση:

≤

≥

-3x - 4, αν x -2f(x) =

-3x + 4, αν x 2

Λύση. Το σύνολο ορισµού της f είναι ( ] [ ), 2 2,Α = −∞ − ∪ +∞ . Είναι φανερό ότι για

κάθε x∈Α ισχύει ( )x− ∈Α . Έστω τώρα ένας αριθµός x∈Α .

i) Έστω ότι 2x ≤ − . Τότε f(x)=−3x−4. Επίσης, τότε: 2x− ≥ και συνεπώς:

f(−x)=−3(−x)+4=3x+4=− f(x).

ii) Έστω ότι 2.x ≥ Τότε f(x)=−3x+4. Επίσης, τότε: 2x− ≤ − και συνεπώς:

f(−x)=−3(−x)−4=3x−4=− f(x).

Συµπεραίνουµε ότι , για κάθε x∈Α ισχύει: f(−x)=− f(x). Άρα η συνάρτηση f είναι

περιττή.

Άσκηση. H γραφική παράσταση µιας συνάρτησης :f →� � διέρχεται από τα

σηµεία Α(−2,3) και Β(2,1). Η συνάρτηση αυτή είναι:

Α. Άρτια . Β. Περιττή. Γ. Ούτε άρτια, ούτε περιττή.

Απάντηση. Γ ( δικαιολογήστε την απάντηση).

8. Μονότονες συναρτήσεις Ορισµός. Θεωρούµε µια συνάρτηση →f :Α R . Ορίζουµε:

•••• [ ] )∧↑ ⇔ ∀ ∈ ⇒1 2 1 2 1 2f (γνησίως αύξουσα Α x ,x Α, x < x f(x ) < f(x )

•••• [ ]( ) ⇔ ∀ ∈ ⇒ ≤↑ 1 2 1 2 1 2f αύξουσα Α x ,x Α, x < x f(x ) f(x )

•••• [ ]∨ ⇔ ∀ ∈ ⇒↓ 1 2 1 2 1 2f (γνησίως φθίνουσα)Α x ,x Α, x < x f(x ) > f(x )

•••• [ ]⇔ ∀ ∈ ⇒ ≥↓ 1 2 1 2 1 2f (φθίνουσα)Α x ,x Α, x < x f(x ) f(x )

Μία συνάρτηση →f :Α R λέµε ότι είναι:

••••Γνησίως µονότονη, αν και µόνο αν, είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα.

•••• Μονότονη αν, και µόνο αν, είναι αύξουσα ή φθίνουσα.

Παράδειγµα. Να µελετήσετε ως προς την µονοτονία τη συνάρτηση:

2

3x - 5, αν x < 2f(x) =

2x - 6x + 7, αν x > 2

Λύση. Το σύνολο ορισµού της f είναι ( ) ( ),2 2,Α = −∞ ∪ +∞ . Θεωρούµε δύο

αριθµούς ,α β ∈Α µε α<β (για ευκολία στη γραφή δεν χρησιµοποιούµε το x µε

δείκτες).

1). Έστω ότι α<β<2. Τότε:

f(β)− f(α)=(3β−5)− (3α−5)=3(β−α)>0 και άρα f(α)<f(β).

2) Έστω ότι 2<α<β. Τότε:

2 2( ) ( ) (2 6 7) (2 6 7) 2( )( 3) 0f fβ α β β α α β α β α− = − + − − + = − + − > (γιατί;)

και άρα f(α)<f(β).

3) Έστω ότι α<2<β. Τότε:

f(α)=3α−5<3.2−5=1 και άρα f(α)<1 (1).

f(β)=

2

2 3 5 52 6 7 2

2 4 2β β β

− + = − + >

και άρα f(β)>5

2(2).


Από τις (1) και (2) έπεται ότι f(α)<f(β).

Ώστε, σε κάθε περίπτωση ισχύει: f(α)<f(β). Συνεπώς η δοσµένη συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα.

Σηµείωση 1. Θεωρούµε µια γνησίως αύξουσα συνάρτηση :f Α→ � . Ισχύει:

∀ ∈ ⇔1 2 1 2 1 2x ,x Α, x < x f(x ) < f(x ) ,

Πράγµατι. Θεωρούµε δύο αριθµούς 1 2,x x ∈Α .

i) Έστω ότι 1 2x x< . Τότε, επειδή f ∧↑Α , έχουµε: 1 2( ) ( )f x f x< .

ii) Αντιστρόφως. Έστω ότι 1 2( ) ( )f x f x< .Αν 1 2x x= , τότε 1 2( ) ( )f x f x= , άτοπο.

Αν 1 2x x> , τότε, επειδή f ∧↑Α , θα είχαµε 1 2( ) ( )f x f x> , άτοπο. Άρα 1 2x x< .

Όµοια, για µια γνησίως φθίνουσα συνάρτηση :f Α→ � . Ισχύει:

∀ ∈ ⇔1 2 1 2 1 2x ,x Α, x < x f(x ) > f(x )

Σηµείωση 2. Αν µια συνάρτηση f είναι ορισµένη και µονότονη (ή γνησίως µονότονη)

σε δύο µη κενά σύνολα Α και Β ( )Α∩Β =∅ , δεν έπεται αναγκαίως ότι η f είναι

µονότονη (ή γνησίως µονότονη) στην ένωση Α∪Β .

Για παράδειγµα, η συνάρτηση 1

( )f xx

= είναι ορισµένη και γνησίως φθίνουσα

σε καθένα από τα διαστήµατα: ( ),0−∞ και ( )0,+∞ , αλλά η f δεν είναι γνησίως

φθίνουσα στην ένωση: ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞ .

Άσκηση. Μια συνάρτηση :f →� � είναι γνησίως αύξουσα. Μα λυθεί εξίσωση:

f(x)− f(3−x)=f(4−x)− f(x−1).

Απάντηση. x=2.

9. Μέγιστο και ελάχιστο συνάρτησης Ορισµός. Θεωρούµε µια συνάρτηση →f :Α R . Ορίζουµε:

•••• ( f έχει µέγιστη τιµή) [ ]⇔ ∃ ∈ ∀ ∈ ≤0 0x Α, x Α,f(x) f(x ) .

Στην περίπτωση που υπάρχει τέτοιο ∈0x Α λέµε ότι η f έχει µέγιστη τιµή

την 0f(x ) . Λέµε, επίσης, ότι η f παρουσιάζει µέγιστο στο ∈0x Α . Η δε τιµή

0f(x ) λέγεται µέγιστο της f.

•••• ( f έχει ελάχιστη τιµή) [ ]⇔ ∃ ∈ ∀ ∈ ≥0 0x Α, x Α,f(x) f(x ) .

Στην περίπτωση που υπάρχει τέτοιο ∈0x Α λέµε ότι η f έχει ελάχιστη

τιµή την 0f(x ) . Λέµε, επίσης, ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο ∈0x Α . Η δε τιµή

0f(x ) λέγεται ελάχιστο της f.

Σηµείωση. Έστω µια συνάρτηση :f Α→ � .

α) Αν για έναν αριθµό k ∈� ισχύει: ( )f x k≤ , για κάθε x∈Α , τότε το k δεν είναι

αναγκαίως µέγιστη τιµή της f. Αυτό συµβαίνει µόνο όταν το k είναι τιµή της f.

(k∈� µέγιστη τιµή της f)∃ ∈

⇔ ∀ ∈ ≤

x Α,f(x) = k

x Α,f(x) k

Για παράδειγµα, έστω η συνάρτηση f(x)=ηµx, x∈� .Για κάθε x∈� ισχύει: f(x)=ηµx 5≤ . Αλλά το 5 δεν είναι η µέγιστη τιµή της f . Το 5 δεν είναι τιµή της f. H

µέγιστη τιµή της f είναι το 1.


β) Αν για έναν αριθµό k ∈� ισχύει: ( )f x k≥ , για κάθε x∈Α , τότε το k δεν είναι

αναγκαίως ελάχιστη τιµή της f. Αυτό συµβαίνει µόνο όταν το k είναι τιµή της f.

(k∈� ελάχιστη τιµή της f)∃ ∈

⇔ ∀ ∈ ≥

x Α,f(x) = k

x Α,f(x) k

Παράδειγµα. Να βρείτε τους αριθµούς ∈λ R , για τους οποίους η

συνάρτηση:2

2

x - x + λf(x) =

x + x + 1 έχει µέγιστη τιµή το 2.

Λύση. Το τριώνυµο: 2 1x x+ + έχει διακρίνουσα αρνητική και άρα: 2 1 0x x+ + > ,για

κάθε x∈� .Έτσι, το σύνολο ορισµού της f είναι το � .Για να είναι το 2 µέγιστη τιµή

της f πρέπει και αρκεί:

2

22

2 2

2

, 2, ( ) 2 , 3 (2 ) 01

, ( ) 2 , 3 (2 ) 0, 2

1

x xx

x f x x x xx x

x f x x x x x xx

x x

λλ

λ λ

− +∃ ∈ = ∃ ∈ = ∃ ∈ + + − = + +⇔ ⇔

∀ ∈ ≤ − + ∀ ∈ + + − ≥ ∀ ∈ ≤ + +

��

� ��

⇔

9 4(2 ) 0 1

9 4(2 ) 09 4(2 ) 0 4

λλ λ

λ− − ≥

⇔ ⇔ − − = ⇔ = −− − ≤

.

Άρα, η ζητούµενη τιµή του λ είναι λ=1

4− .

Άσκηση. Να εξετάσετε ως προς το µέγιστο και το ελάχιστο τη συνάρτηση:

2

2( )

1

xf x

x=

+(χωρίς παραγώγους).

Απάντηση. Έχει ελάχιστο το −1, για x=−1 και µέγιστο το 1 για x=1.

10. Σύνθεση συναρτήσεων Ορισµός. Θεωρούµε δύο συναρτήσεις →f :Α R και →g :Β R . Θεωρούµε τώρα

το σύνολο: { }∈ ∈Α΄ = x Α | f(x) Β και υποθέτουµε ότι ΄Α ≠ ∅ . Η

συνάρτηση, την όποια συµβολίζουµε µε g f� και την οποία ορίζουµε

ως εξής:

→g o f :Α΄ R µε ( )( )(g o f)(x) = g f x ,

ονοµάζεται σύνθεση των f και g, κατ’ αυτή την τάξη.

Παράδειγµα. Να βρείτε τη συνάρτηση g o f , αν:

2f(x) = 4 - x και g(x) = x - 1.

Λύση. Το σύνολο ορισµού της f είναι Α=[ ]2,2− και της g είναι Β=[ )1,+∞ .

Βρίσκοµαι το σύνολο: { }| ( )΄ x f xΑ = ∈Α ∈Β .Με x∈� έχουµε:

22

2 2 2 22 23 3

( ) 4 1 3 34 1

x xxxx

f x x xx

− ≤ ≤ − ≤ ≤ − ≤ ≤ ∈Α ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤

∈Β − ≥ − ≤ ≤− ≥ .

Άρα 3, 3΄ Α = − . Συνεπώς:

( )( ) 2: 3, 3 µε (g f)(x)=g ( ) 1 4 1.g f f x f x x − → = − = − − � � �


Σηµείωση. Για δύο συναρτήσεις f και g δεν ισχύει πάντοτε: .f g g f=� �

Για τρεις συναρτήσεις f, g και h ισχύει πάντοτε: ( ) ( )f g h f g h=� � � � , µε την

προϋπόθεση ότι ορίζεται όλες οι αναφερόµενες συνθέσεις.

Άσκηση. Θεωρούµε δύο συναρτήσεις :f →� � και :g →� � . Υποθέτουµε ότι

f g g f=� � και ότι η εξίσωση f(x)=x έχει µια µοναδική λύση ρ∈� . Να αποδείξετε

ότι το ρ είναι και λύση τις εξίσωσης g(x)=x.

11. Συναρτήσεις 1-1 Ορισµός. Mια συνάρτηση →f :Α R λέµε ότι είναι 1-1 (ένα προς ένα) αν, και

µόνο αν:

•••• ∀ ∈ ≠ ⇒ ≠1 2 1 2 1 2x ,x Α, x x f(x ) f(x ) .

Ισοδύναµα, αν και µόνο αν:

•••• ∀ ∈Α ⇒1 2 1 2 1 2x ,x , f(x ) = f(x ) x = x .

Σηµείωση. Είναι φανερό ότι, αν µία συνάρτηση :f Α→ � είναι 1-1, τότε:

∀ ∈Α ⇔1 2 1 2 1 2x ,x , f(x ) = f(x ) x = x (γιατί;).

Παράδειγµα. Να αποδείξετε ότι είναι 1-1 η συνάρτηση:

[ )∞ →f : -2,+ R µε 2f(x) = 2x + 8x - 7 .

Λύση. Θεωρούµε δύο αριθµούς [ )1 2, 2,x x ∈ − +∞ , οπότε 1 2x ≥ − και 2 2.x ≥ −

Έχουµε:

2 2 2 2

1 2 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) 2 8 7 2 8 7 4 4f x f x x x x x x x x x= ⇒ + − = + − ⇒ + = + ⇒

2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 24 4 4 4 ( 2) ( 2) | 2 | | 2 |x x x x x x x x⇒ + + = + + ⇒ + = + ⇒ + = + ⇒

1 2 1 22 2x x x x⇒ + = + ⇒ = .

Άρα, η συνάντηση f είναι 1-1.

Άσκηση. Να αποδείξετε ότι είναι 1-1 η συνάρτηση:

2( ) 1f x x x= + − .

12. Τρείς χρήσιµες προτάσεις Πρόταση 1. Αν µια συνάρτηση →f :Α R είναι 1-1, τότε η εξίσωση f(x)=k, για

κάθε ∈k R , έχει το πολύ µία λύση στο Α.

Απόδειξη. Έστω ότι µία συνάρτηση :f Α→ � είναι 1-1. Θεωρούµε ένα αριθµό

κ ∈� . Έστω τώρα ότι η εξίσωση ( )f x k= έχει δύο λύσεις 1x και 2x στο Α µε

1 2x x≠ . Έχουµε:

1

1 2 1 2

2

( )( ) ( )

( )

f x kf x f x x x

f x k

=⇒ = ⇒ =

=,άτοπο.

Άρα, η εξίσωση ( )f x k= έχει το πολύ µία λύση στο Α.

Πρόταση 2. Αν µια συνάρτηση →f :Α R είναι γνησίως µονότονη, τότε είναι 1-1.

Απόδειξη. Έστω ότι f ∧↑Α (όµοια εργαζόµαστε αν f∨ Α↓ ).Θεωρούµε δύο αριθµούς

1 2, .x x ∈Α Έχουµε:

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

ή ( ) ( ) ή( ) ( )

( ) ( )

x x f x f xx x f x f x

x x f x f x

< < ≠ ⇒ ⇒ ⇒ ≠

> > .

Άρα, η f είναι 1-1.


Σηµείωση. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Για παράδειγµα, η συνάρτηση 1

( )f xx

= είναι

1-1,αλλά δεν είναι γνησίως µονότονη.

Πρόταση 3. Αν µια συνάρτηση →f :Α R είναι γνησίως µονότονη, τότε η

εξίσωση f(x)=k, για κάθε ∈k R , έχει το πολύ µία λύση στο Α.

Απόδειξη. Σύµφωνα µε την πρόταση 2, η συνάρτηση f είναι 1-1 και άρα, σύµφωνα

µε την πρόταση 1, η εξίσωση ( )f x k= έχει το πολύ µία λύση στο Α.

13. Αντίστροφες συναρτήσεις

Έστω ότι µια συνάρτηση :f Α→ � είναι 1-1. Τότε, για κάθε ( )y f∈ Α ,

υπάρχει ένας ακριβώς αριθµός x∈Α µε ( )f x y= ( γιατί;).

Έτσι, τότε, ορίζεται µια νέα συνάρτηση, την οποία συµβολίζουµε

µε 1-f , ως εξής:

→1-f : f(Α) R µε ⇔1-f (y) = x f(x) = y ,

για κάθε x∈Α και για κάθε ∈y f(Α) .

Η συνάρτηση αυτή 1-f ονοµάζεται αντίστροφη της f. Έτσι, αν µια συνάντηση f είναι 1-1, τότε ορίζεται η αντιστροφή της

συνάρτηση 1f − . Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται.

Ισχύουν:

•••• ( )1-f f(x) = x , για κάθε ∈x Α . •••• ( )1-f f (y) = y , για κάθε ∈y f(Α) .

Για να µελετήσουµε ως προς το «αντιστρέψιµο» µία δοσµένη συνάρτηση

:f Α→ � ,θα πρέπει πρώτα να εξετάσουµε αν είναι 1-1. Αν είναι 1-1, τότε για να

βρούµε την αντίστροφη συνάρτηση, θα πρέπει να βρούµε το σύνολο τιµών της f(Α)

και µετά να λύσουµε την εξίσωση f(x)=y,ως προς x. Όλα αυτά µπορούµε να τα

απλοποιήσουµε λίγο µε τον τρόπο που αναφέρουµε στην επόµενη παράγραφο.

14. Μελέτη για την αντίστροφη συνάρτηση Έστω µια συνάρτηση :f Α→ � . Αν λύσουµε (και διερευνήσουµε )την

εξίσωση: ( )f x y= , µε άγνωστο το x∈Α και παράµετρο το y∈� , τότε:

1) Είναι εύκολο να βρούµε το σύνολο τιµών ( )f Α της συνάρτησης f.

•••• Το f(Α) είναι το σύνολο των αριθµών y∈� , για τους οποίους η εξίσωση

( )f = yf = yf = yf = yx έχει µία τουλάχιστον λύση xxxx ∈ Α∈ Α∈ Α∈ Α .

2) Eίναι εύκολο να βρούµε αν η συνάρτηση f αντιστρέφεται ή όχι.

•••• 2α) Αν για ένα τουλάχιστον 0000yyyy ∈ f(Α)∈ f(Α)∈ f(Α)∈ f(Α) η εξίσωση: ( ) 0f = yf = yf = yf = yx έχει δύο ή

περισσότερες λύσεις στο Α, τότε η συνάρτηση f δεν είναι 1-1 και άρα δεν

αντιστρέφεται.

Πράγµατι, έστω ότι 1 2 1 2 και x , µε x ,x x≠ είναι δύο από τις λύσεις αυτές. Τότε θα

έχουµε: 1 0 2 0( ) και ( ) ,f x y f x y= = οπότε 1 2( ) ( ).f x f x= Και επειδή 1 2 x ,x≠ έπεται

ότι η συνάρτηση f δεν είναι 1-1 και άρα δεν αντιστρέφεται.

• 2β) Αν για κάθε yyyy ∈ f(Α)∈ f(Α)∈ f(Α)∈ f(Α) η εξίσωση: f(x)= yf(x)= yf(x)= yf(x)= y έχει µια µοναδική λύση στο Α,

τότε η συνάρτηση f είναι 1-1 και άρα αντιστρέφεται.

Πράγµατι, θεωρούµε δύο αριθµούς 1 2,x x ∈Α και υποθέτουµε


ότι: ( )( )1 2 0( ) ( )f x f x y f= = ∈ Α . Έτσι, οι αριθµοί 1 2 και x x είναι λύσεις τις

εξίσωσης: 0( )f x y= . Και επειδή η εξίσωση αυτή έχει µια µοναδική λύση, έπεται ότι

1 2x x= . Συνεπώς, η συνάρτηση f είναι 1-1 και άρα αντιστρέφεται.

3) Στην περίπτωση που αντιστρέφεται, θα έχουµε έτοιµο και τον τύπο της

αντίστροφης συνάρτησης 1 : ( ) ,f f− Α → � αφού θα έχουµε βρει το x συναρτήσει του

y.

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ . Να εξετάσετε αν η συνάρτηση ( )f x x x= αντιστρέφεται και

αν ναι να βρείτε την αντιστροφή της.

Λύση. Το σύνολο ορισµού της f είναι τo � . Λύνουµε την εξίσωση: ( )f x y= , µε

άγνωστο το x∈� και παράµετρο το y∈� .

1). Λύσεις στο ( ),0−∞ .Με x<0 έχουµε:

( )y f x y x x= ⇔ = − . (1)

Αν 0y ≥ , τότε η εξίσωση (1) είναι αδύνατη. Έστω ότι y<0. Τότε:

2 2 3 2 23(1) ( )y x x x y x y⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − (δεκτή).

2) Λύσεις στο [ )0,+∞ . Με 0x ≥ έχουµε:

( )y f x y x x= ⇔ = . (2)

Αν y<0, τότε η εξίσωση (2) είναι αδύνατη. Έστω ότι 0y ≥ . Τότε:

2 2 3 2 23(2) y x x x y x y⇔ = ⋅ ⇔ = ⇔ = (δεκτή).

• Ώστε, για κάθε y∈� , η εξίσωση y=f(x) µε x∈� , έχει µια µοναδική λύση, την:

23

23

, αν y<0

, αν y 0

yx

y

−=

≥

Συµπεράνουµε ότι: ( )f =� � . Επίσης, ότι η συνάρτηση f είναι 1-1 ( απόδειξη όπως

στην περίπτωση 2β).

Συνεπώς, η συνάρτηση f αντιστρέφεται και η αντιστροφή της είναι:

1 :f − →� � µε

23

1

23

,αν y<0( )

, αν y 0

yf y

y

−−

= ≥

Μπορούµε στη θέση του y να βάλουµε το x ή οποιοδήποτε άλλο γράµµα).

ΑΣΚΗΣΗ. Έστω η συνάρτηση: f(x)=|x-3|+2x. Να αποδείξετε ότι:

1) Η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντιστροφή της 1f − .

2) Υπάρχουν τρεις πραγµατικοί αριθµοί α, β και γ, για τους οποίους ισχύει:

1( ) 6f x x xα β γ− = − + + .

Απάντηση. 1) 1 1

3 , αν y 6

: µε f ( ) 3

3 , αν y<6

y

f y

y

− −

+ ≥→ =

−

� �

2) α=1

3− , β=

2

3 και γ=-1, οπότε: 1 1 2

( ) 6 13 3

f x x x− = − − + − .


15.Τρεις ακόµα χρήσιµες προτάσεις Πρόταση 1. Αν µία συνάρτηση →f :Α R είναι γνησίως µονότονη, τότε

αντιστρέφεται και η αντιστροφή της συνάρτηση: →1-f : f(Α) R είναι

επίσης γνησίως µονότονη και µάλιστα µε το ίδιο είδος µονοτονίας.

Απόδειξη. Έστω ότι f ∧↑Α (όµοια εργαζόµαστε αν f∨ Α↓ ). Σύµφωνα µε την πρόταση

2 της §13, η f είναι 1-1 και άρα αντιστρέφεται. Θα αποδείξουµε τώρα ότι: 1 ( ).f f−

∧↑ Α ∆ηλαδή θα αποδείξουµε ότι:

1 1

1 2 1 2 1 2, ( ), y ( ) ( )y y f y f y f y− −∀ ∈ Α < ⇒ < . (1)

Έστω ότι η πρόταση (1) δεν ισχύει. Τότε, θα ισχύει η άρνησή της, που είναι:

1 1

1 2 1 2 1 2, ( ), y και ( ) ( )y y f y f y f y− −∃ ∈ Α < ≥ .

Έτσι, και επειδή f ∧↑Α , από την 1 1

1 2 ( ) ( )f y f y− −≥ , έπεται ότι :

( ) ( )1 1

1 2( ) ( )f f y f f y− −≥ , δηλαδή : 1 2y y≥ ,άτοπο.

Άρα, η πρόταση (1) ισχύει και συνεπώς 1 ( ).f f−

∧↑ Α

Πρόταση 2. Αν µία συνάρτηση →f :Α R αντιστρέφεται, τότε οι γραφικές

παραστάσεις fC της f και 1f -C της 1-f είναι συµµετρικές ως προς

την ευθεία: y=x (διχοτόµο της 1ης

και της 3ης

γωνίας των αξόνων).

Απόδειξη. . Έστω ότι µια συνάρτηση :f Α→� αντιστρέφεται. Έχουµε:

1

1( , ) ( ) ( ) ( , ) .f f

C f f ΄ Cα β β α α β β α −−Μ ∈ ⇔ = ⇔ = ⇔Μ ∈

Και επειδή τα σηµεία ( , )M α β και ( , )M΄ β α είναι συµµετρικά προς την ευθεία

y x= , έπεται ότι οι γραµµές f

C και 1f

C − είναι συµµετρικές ως προς την ευθεία

αυτή y x= .

Πρόταση 3. Έστω ότι µια συνάρτηση :f Α→Α→Α→Α→ �� είναι γνησίως αύξουσα (οπότε

αντιστρέφεται). Τότε, τα κοινά σηµεία των f

C και 1fC −−−− (αν

υπάρχουν) ανήκουν στην ευθεία y x==== .

Απόδειξη. Έστω ότι 0 0( , )x yΜ είναι ένα κοινό σηµείο των γραµµών f

C και 1fC − .

Τότε:

0 ( ( ))x f∈ Α∩ Α και 1

0 0( ) ( )f x f x−= (1).

Θα αποδείξουµε ότι: 0 0( ) .f x x= Πράγµατι, έστω ότι: 0 0( ) .f x x> Τότε, από την

(1) και επειδή f ∧↑Α , έχουµε:

1 1

0 0 0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )f x x f x x f f x f x x f x− −> ⇒ > ⇒ > ⇒ >

που είναι άτοπο. Όµοια φτάνουµε σε άτοπο αν υποθέσουµε ότι 0 0( ) .f x x<

Άρα 0 0( )f x x= και συνεπώς το σηµείο 0 0( , )x yΜ ανήκει στην ευθεία y x= .

Σηµείωση. Όπως θα δούµε παρακάτω, η παραπάνω πρόταση δεν ισχύει αν η

συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα.


16. Κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων δύο αντιστρόφων

συναρτήσεων Οι συντεταγµένες των κοινών σηµείων των γραφικών παραστάσεων

fC και 1

fC −

δύο αντιστρόφων συναρτήσεων :f Α→� και 1 : ( )f f− Α →� , είναι οι πραγµατικές

λύσεις του συστήµατος:

1

( )

( )

y f x

y f x−

=

= µε ( ( ))x f∈ Α∩ Α .

Όσες πραγµατικές λύσεις έχει το σύστηµα αυτό, τόσα είναι και τα κοινά σηµεία

των δύο αυτών γραµµών. Αν το σύστηµα αυτό είναι αδύνατο, τότε οι γραµµές αυτές

δεν έχουν κοινό σηµείο. Συνεπώς:

Οι γραφικές παραστάσεις δύο αντιστρόφων συναντήσεων µπορεί να µην έχουν

κοινά σηµεία. Μπορεί όµως να έχουν ένα ή περισσότερα. Στην περίπτωση που

έχουν κοινά σηµεία, αυτά δεν ανήκουν αναγκαίως στη διχοτόµο y x==== , εκτός αν

η f είναι γνησίως αύξουσα (πρόταση 3, §15).

Σηµειώνουµε ότι:

•••• Αν µια συνάρτηση :f Α→ � αντιστρέφεται και οι γραφικές τους

παραστάσειςf

C και 1fC − έχουν ένα µοναδικό κοινό σηµείο, αυτό ανήκει στη

διχοτόµο: y=x.

Πράγµατι. Έστω ότι οι f

C και 1fC − έχουν ένα µοναδικό κοινό σηµείο, το (α, β).

Τότε:1 1

11

( )

( )

( , ) ( , )( )

( , ) ( , )( )

f f

f f

f

f

C Cf

C Cf

α βα β

α β β αβ αα β β αβ α

− −

−−

= ⇒ ⇒

=

∈ ∈=⇒

∈ ∈=

Άρα, το σηµείο (β, α) είναι επίσης κοινό των f

C και 1fC − . Έτσι , από την υπόθεση.

Έχουµε: (α, β)=(β, α) και συνεπώς α = β. Άρα, το κοινό σηµείο ανήκει στη διχοτόµο:

y=x.

Αναφέρουµε τα παρακάτω παραδείγµατα:

1) Όπως βρίσκουµε , η συνάρτηση: 3( )f x x= − , x∈� , έχει αντίστροφη τη

συνάρτηση: 3

1

3

, αν 0( )

, αν 0

x xf x

x x

− − <

= − ≥

Όπως µπορούµε να βρούµε εύκολα, οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν τρία

κοινά σηµεία, τα εξής: ( 1,1)− , (1, 1)− και (0,0) . Από αυτά µόνο το (0,0) ανήκει στην

ευθεία =y x . ∆εν εφαρµόζεται η πρόταση 3 της §15, γιατί η f δεν είναι γνησίως

αύξουσα. Είναι γνησίως φθίνουσα.

Οι γραφικές παραστάσεις των δύο αυτών συναρτήσεων δίνονται στο παρακάτω

σχήµα


2) Η συνάρτηση : (0, )f +∞ →� µε ( ) lnf x x= έχει αντίστροφη τη συνάρτηση 1 :f − →� � µε 1( ) exf x− = . Οι γραφικές τους παραστάσεις (βλέπε παρακάτω

σχήµα) δεν έχουν κανένα κοινό σηµείο.

3) Η συνάρτηση ( ) 2 3f x x= − , x∈� έχει αντίστροφη τη συνάρτηση

1 3( )

2

xf x− +

= , x∈� . Οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν ένα µοναδικό κοινό

σηµείο, το (3,3). Το σηµείο αυτό ανήκει στην ευθεία =y x .

4) Η συνάρτηση ( ) 4 , f x x x= − ∈� έχει αντίστροφη τη συνάρτηση 1( ) 4f x x− = − ,

x∈� . Οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν όλα τα σηµεία τους κοινά (ταυτίζονται,

άπειρα κοινά σηµεία). Από αυτά µόνο ένα ανήκει στην ευθεία =y x , το (2,2).

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Σύνολο ορισµού- σύνολο τιµών συνάρτησης. Ισότητα συναρτήσεων.

1. Να εξετάσετε αν ο αριθµός 4− είναι τιµή της συνάρτησης:

2( ) 2 3f x x x x= + − − .

2. Να βρείτε το σύνολο ορισµού της συνάρτησης:


( ) 2 | 1| 12

xf x x

x= − − − −

−.

3. Έστω η συνάρτηση:

( ) 10 6 1f x x x= + − + .

Nα βρείτε το σύνολο ορισµού της f. Μετά, να γράψετε τον τύπο της f µε ένα

µόνο ριζικό και χωρίς το σύµβολο της απόλυτης τιµής.


2

2

( 1)( )

( 1) 2( 1) 3

x xf x

x x

λ λ

λ λ

− + −=

− − − +.

Nα βρείτε τους αριθµούςλ∈� , για τους οποίους το σύνολο ορισµού της f είναι

το� .

5. Έστω η συνάρτηση: ( ) xf x x= . Ο αριθµός 2− ανήκει το σύνολο ορισµού της f;

Nα βρείτε το σύνολο ορισµό της f.


12 1( ) ( 3 2) xf x x x −= − + .

Ο αριθµός 3

2 ανήκει το σύνολο ορισµού της f; Nα βρείτε το σύνολο ορισµό της f.


1

( ) (ln )xf x x= .

Ο αριθµός 1

2 ανήκει το σύνολο ορισµού της f; Nα βρείτε το σύνολο ορισµό της f.

8. Να βρείτε το σύνολο τιµών της συνάρτησης:

2

2( ) | | 2

1

xf x x

x= + −

+.


2

2

1( )

2

x xf x

x x

+ +=

+ +.


2

2

5 6( )

3 2

x xf x

x x

− +=

− +.


2( ) 4f x x x= − − .


2

2

1( )

1

x xf x

x x

λ+ +=

+ +.

Να βρείτε τους αριθµούς λ∈� , για τους οποίους το σύνολο τιµών της f είναι το

διάστηµα [ ]2,2− .



1 | |

( ) ln1 | |

xf x

x

−=

+.


( )2( ) ln 5 4f x x= − − .

15. Θεωρούµε δύο αριθµούς ,α β ∈� και τη συνάρτηση: f(x)=|x−α|+|x −β|. Να

αποδείξετε ότι: ( ) [0, + )f = ∞� αν, και µόνο αν, α=β.

16. Να βρείτε τους αριθµούς λ∈� , για τους οποίους είναι ίσες οι συναρτήσεις:

3 2

2

1( )

1

x x xf x

x

λ+ + −=

+ και

3 2 2

2

( 1) 2( )

1

x xg x

x x

λ λ λλ

− + + + −=

− +.

17. Θεωρούµε ένα µη κενό υποσύνολο Α του � , το οποίο περιέχει τουλάχιστον τρία

διαφορετικά στοιχεία και δύο συναρτήσεις f:Α→� και g: Α→� .Υποθέτουµε

ότι , για κάθε ,x y∈Α µε x y≠ , ισχύει:

f(x)+f(y)=g(x)+g(y).

Να αποδείξετε ότι f=g.

18. Θεωρούµε ένα µη κενό υποσύνολο Α του � , το οποίο περιέχει τουλάχιστον

τρία διαφορετικά στοιχεία και δύο συναρτήσεις f:Α→� και g: Α→� µε f(x)>0

και g(x)>0 για κάθε x .∈Α Υποθέτουµε ότι , για κάθε ,x y∈Α µε x y≠ , ισχύει:

f(x)f(y)=g(x)g(y).

Να αποδείξετε ότι f=g.

19. Να αποδείξετε ότι είναι σταθερή η συνάρτηση:

3 3( ) 3 2 ( 2) 1 3 2 ( 2) 1f x x x x x x x= − + + − + − − + − .

20. Για µια συνάρτηση :f →� � , ισχύει: f(2x−3y)=f(x+y), για κάθε ,x y∈� . Να

αποδείξετε ότι η συνάρτηση αυτή είναι σταθερή.

21. δύο συναρτήσεις f και g είναι ορισµένες στο � και για κάθε ,x y∈� ισχύει:

[ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) 0f x f y g x g y− ⋅ − = .

Να αποδείξετε ότι µια τουλάχιστον από τις συναρτήσεις f και g είναι σταθερή

στο� .

22. Για µια συνάρτηση f:Α→� το σύνολο τιµών της f(Α) είναι διάστηµα και

ισχύει ( ) 0f x ≠ , για κάθε x∈Α . Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση f έχει σταθερό

πρόσηµο στο Α.

Άρτιες και περιττές συναρτήσεις

23. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση:

2 , αν x>1

( ) 2, αν -2 2

2 , χ< 1-

x

f x x

x αν

= ≤ ≤−

είναι άρτια.



2

2

1 1( )

1 1

x x xf x

x x x

+ + − +=

− + − −

α) Να βρείτε το σύνολο ορισµού της f.

β) να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή.

25. Να βρείτε τους αριθµούς λ∈� , για τους οποίους η συνάρτηση:

3 2( ) 4f x x x xλ= + + είναι περιττή.

26. Nα εξετάσετε αν είναι άρτια ή περιττή η συνάρτηση:3

( ) ln3

xf x

x

−=

+.

Μονότονες συναρτήσεις.


( )1 | |

xf x

x=

+

είναι γνησίως αύξησα. Μετά, να συµπεράνετε ότι, για κάθε ,α β ∈� , ισχύει:

| | | | | |

1 | | 1 | | 1 | |

α β α βα β α β+

≤ ++ + + +

.

28. θεωρούµε ένα αριθµό k>0 και τη συνάρτηση: ( )x

f xx k

=+

. Να αποδείξετε ότι η

συνάρτηση f είναι γνησίως αύξησα στο διάστηµα ( , )k− +∞ . Μετά, να

συµπεράνετε ότι, για κάθε , ,α β γ ∈� ισχύει:

| | | | | |

| | | | | |k k k

α γ α β β γα γ α β β γ− − −

≤ ++ − + − + −

.

29. Θεωρούµε µια συνάρτηση : (0, )f +∞ → � και υποθέτουµε ότι η συνάρτηση

: (0, )g +∞ → � µε ( )

( )f x

g xx

= είναι φθίνουσα. Να αποδείξετε ότι, για

κάθε , (0, )x y∈ +∞ , ισχύουν:

α) ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ ≤ + . β) (2 3 ) 2 ( ) 3 ( )f x y f x f y+ ≤ + .

30. Θεωρούµε µια συνάρτηση : (0, )f +∞ → � και υποθέτουµε ότι η συνάρτηση

: (0, )g +∞ → � µε ( )

( )f x

g xx

= είναι αύξουσα . Να αποδείξετε ότι, για

κάθε , [1, )α β ∈ +∞ και για κάθε , (0, )x y∈ +∞ , ισχύει:

( ) ( ) ( )f x y f x f yα β α β+ ≥ + .

31. Μία συνάρτηση [ ]: ,f α β → � µε [( , )] (0, )f α β ⊆ +∞ είναι µονότονη. Να

αποδείξετε ότι, για κάθε , [ , ]x y α β∈ ισχύουν:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

min , max ,( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f f f x f f

f f f y f f

α β α ββ α β α

≤ ≤

.

32. Θεωρούµε δύο αριθµούς λ,α∈� µε λ>0 και µία φθίνουσα συνάρτηση

:f →� � .Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: f(x+α)=f(α)+λx, µε άγνωστο το x, έχει

µοναδική λύση το 0.

33. ∆ίνεται ένας αριθµός α∈� και µια αύξουσα συνάρτηση :f →� � . Να λυθεί η

εξίσωση: ( ( ))f x f xα α+ = −


34. Μια συνάρτηση f είναι ορισµένη και µονότονη σε ένα διάστηµα ∆ και δεν

υπάρχει υπoδιάστηµα του ∆, στο οποίο η f να είναι σταθερή. Να αποδείξετε ότι η

f είναι γνησίως µονότονη στο ∆.

35. Να αποδείξετε ότι οι εξίσωση: 2 3 5yx + = έχει µοναδική ρίζα το 1.

36. Να αποδείξετε ότι οι εξίσωση: 15 1 2x x+− = έχει µοναδική ρίζα το 1.

37. Να αποδείξετε ότι οι εξίσωση: 2

10x x xx −= έχει µοναδική θετική ρίζα το 1.

38. Να αποδείξετε ότι οι εξίσωση: lne

xx

= έχει µοναδική ρίζα το e.

Μέγιστο και ελάχιστο συνάρτησης.

39. Για µια συνάρτηση :f →� � ισχύουν:

( ) 3f x ≤ και ( ) 4f x ≥ − , για κάθε x∈� .

α) Μπορεί να συµπεράνετε ότι η f έχει µέγιστη τιµή το3; Επίσης. ότι έχει

ελάχιστη τιµή το -4; Γιατί;

β) Έστω ότι επιπλέον ισχύουν:

2 ( 1) (2) 2f f− + = και ( 1) (2) 7f f− − = .

Tώρα, µπορείτε να συµπεράνετε ότι η f έχει µέγιστη τιµή το3 και ελάχιστη τιµή

το −4; ∆ικαιολογήστε την απάντηση.

40. Να αποδείξετε ότι η παρακάτω συνάρτηση έχει ελάχιστη τιµή το 3:

4 2

4 2

4 7( )

1

x xf x

x x

− +=+ +

.

41. Να αποδείξετε ότι η παρακάτω συνάρτηση έχει µέγιστη τιµή το 1− :

( ) 2 3f x x x= − − .

42. Να αποδείξετε ότι η παρακάτω συνάρτηση έχει ελάχιστη τιµή το 2:

2 2( ) 1 1f x x x x x= + + + − + .

43. Να αποδείξετε ότι η παρακάτω συνάρτηση έχει µέγιστη τιµή το 2

3:

| 2 | | |

( )1 | 2 | 1 | |

x xf x

x x

−= −

+ − +.

44. Να βρείτε την ελάχιστη και τη µέγιστη τιµή ( αν έχει), καθώς και τις αντίστοιχες

τιµές του x, της συνάρτησης:2

4

6 2( )

3 1

xf x

x

−=+

.

45. Έστω η συνάρτηση:2

2

2( )

1

xf x

x

+=+

. Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση αυτή έχει

ελάχιστη τιµή, την οποία να βρείτε.

46. Nα βρείτε τους αριθµούς λ∈� , για τους οποίους η παρακάτω συνάρτηση f έχει

ελάχιστη τιµή το 3− :

2

2

2( )

1

x xf x

x x

λ+ −=− +



( ) ( )( ) 2 3 2 3x x

f x = + + − .

Να αποδείξετε ότι:

α) Η f είναι άρτια. β) Η f έχει ελάχιστη τιµή το 2.


τιµές του x, της συνάρτησης:

| |

| |

2 1( )

2

x

x

ef x

e

−=+

.


τιµές του x, της συνάρτησης:

( )2 2( ) lnf x e x e= − −

Σύνθεση συναρτήσεων.

50. Να βρείτε τη συνάρτηση g f� , όπου:

1

( )1

x

x

ef x

e

−=+

και 1

( ) ln1

xg x

x

+=

−.

51. Θεωρούµε τις συναρτήσεις: 2( ) 1f x x x= − + και ( )g x xα β= + . Να βρείτε

τους αριθµούς α, β∈� ,για τους οποίους ισχύει: f g g f=� � .

52. Για µία συνάρτηση :f →� � ,ισχύει:

( ) 2( ) 3 4f f x x x= − +� ,για κάθε x∈� .

Να λυθεί η εξίσωση: f(x)=x.

53. Μία συνάρτηση f είναι ορισµένη και γνησίως αύξουσα στο � .Να αποδείξετε

ότι, για κάθε x∈� , ισχύει:

( )( ) ( )f f x x f x x= ⇔ =� .

54. Για µία συνάρτηση :f →� � ,ισχύει:

( )( )f f x xα β= +� ,για κάθε χ ∈� ,

όπου α και β είναι δύο δοσµένοι πραγµατικοί αριθµοί µε α+β=1 και β 0≠ .Να

αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=x έχει µία µοναδική ρίζα στο � .

55. Θεωρούµε µια συνάρτηση :f →� � και τη συνάρτηση 2( )g x x xα β γ= + + ,

όπου , ,α β γ ∈� µε 0α ≠ και 2( 1) 4β αγ− = .

α) Να λυθεί η εξίσωση: g(x)=x.

β) Να αποδείξετε ότι, αν f g g f=� � , τότε υπάρχει ξ ∈� µε f(ξ)=ξ.

Συναρτήσεις 1-1. Αντίστροφες συναρτήσεις.

56. Να αποδείξετε ότι είναι 1-1 η συνάρτηση:

2( ) 1f x x x= + − .

57. Για µία συνάρτηση :f →� � ισχύει:

2( ) ( ) (10 )f x f x f x≤ − , για κάθε x∈� .

Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι 1-1.



( )2 210 25 ( )f x f x− ≥ , για κάθε x∈� .

Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι 1-1.

59. Για µία συνάρτηση :f →� � υποθέτουµε ότι ισχύει: ( )( )f f x x=� ,για κάθε

x∈� και ότι η συνάρτηση ( ) ( )g x x f x= + είναι 1-1.Να αποδείξετε ότι f(x)=x.

για κάθε x∈� .

60. Θεωρούµε δύο συναρτήσεις :f →� � και :g →� � µε ( ) 0f x > και

( ) 0g x > ,για κάθε x∈� . Ακόµα, η f είναι αύξουσα και η g είναι γνησίως

αύξουσα. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: f(x)+g(x)=f(x)g(x) έχει το πολύ µία

ρίζα στο � .

61. Για µία συνάρτηση :f →� � ,ισχύει: f f f f=� � . Να αποδείξετε ότι:

( 1-1) f( )f ⇔ =� � .


: (1, )f +∞ → � µε 1 1

( )2

f x xx

= +

αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.

63. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση: ( ) 4 3f x x= − − αντιστρέφεται και να

βρείτε την αντίστροφή της.

64. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση: ( ) | |f x x x= αντιστρέφεται και να βρείτε την

αντίστροφή της.

65. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση: ( )1 | |

xf x

x=

+ αντιστρέφεται και να βρείτε την


66. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση:3 1

( )3 2

x

xf x

−=+

αντιστρέφεται και να βρείτε την


67. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση: ( )2

x xe ef x

−−= αντιστρέφεται και να βρείτε

την αντίστροφή της.

68. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση: ( )x x

x x

e ef x

e e

−

−−=+

αντιστρέφεται και να βρείτε

την αντίστροφή της.

69. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση:ln 1

( )ln 1

xf x

x

−=

+ αντιστρέφεται και να βρείτε την


70. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση:3 1( ) xf x e += αντιστρέφεται και να βρείτε την


71. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση: ( )2( ) lnf x e x e= − − αντιστρέφεται και να

βρείτε την αντίστροφή της.


72. Έστω ότι µία συνάρτηση :f Α→ � είναι γνησίως αύξουσα (οπότε

αντιστρέφεται). Να αποδείξετε ότι:

( )1( ) ( ) ( ) , x ( )f x f x f x x f−= ⇔ = ∈ Α∩ Α . (1)

Λύση.i) Έστω α µία ρίζα της εξίσωσης:1( ) ( )f x f x−= . Τότε:

( ) ( ) ( )1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2).f f f f f f f fα α α α α α− −= ⇒ = ⇒ =

•Έστω ότι f(α)>α. Τότε: f(f(α))>f(α), οπότε, λόγω της (2), έχουµε: α>f(α), άτοπο.

•Έστω ότι f(α)<α. Όµοια φθάνουµε σε άτοπο.

Άρα: f(α)=α και συνεπώς το α είναι ρίζα της εξίσωσης: f(x)=x.

ii) Αντιστρόφως. Έστω α µία ρίζα της εξίσωσης: f(x)=x. Τότε: f(α)=α και συνεπώς 1( )fα α−= . Άρα:

1( ) ( )f fα α−= και συνεπώς το α είναι ρίζα της

εξίσωσης:1( ) ( )f x f x−= .

Άρα, η ισοδυναµία (1) ισχύει.

Σηµείωση. ∆εν ισχύει το ίδιο αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα Πράγµατι ,η

συνάρτηση f(x)= x− είναι γνησίως φθίνουσα και έχει αντίστροφη την 1( ) .f x x− = − Έχουµε:

1( ) ( ) 0 0f x f x x x x x−= ⇔ − = − ⇔ = ⇔ ∈� (αόριστη).

( ) 2 0 0.f x x x x x x= ⇔ − = ⇔ = ⇔ =

Άρα, οι εξισώσεις: 1( ) ( )f x f x−= και f(x)=x δεν είναι ισοδύναµες.

73. ∆ίνεται µία συνάρτηση :f →� � , για την οποία ισχύει: ( )( )f f x x=� ,για κάθε

x∈� .Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.

74. Μία συνάρτηση :f →� � µε ( )f =� � είναι γνησίως µονότονη και η γραφική

της παράσταση διέρχεται από τα σηµεία Α(3,5) και Β(1,2).

α) Να βρείτε το είδος της µονοτονία της f.

β) Να λύσετε την εξίσωση: ( )( )1 22 5f x xf −+ + = .

75. Μία συνάρτηση :f →� � µε ( )f =� � είναι γνησίως µονότονη και η γραφική

της παράσταση διέρχεται από τα σηµεία Α(2,3) και Β(4,5).

α) Να βρείτε το είδος της µονοτονία της f.

β) Να λύσετε την ανίσωση: ( )( )1 1 21 4 2.f f x− −− + + <

76.Μία συνάρτηση :f →� � µε ( )f =� � είναι γνησίως µονότονη και

ισχύει: ( ) 5 3( ) 2 6f f x x x x= − +� ,για κάθε x∈� . Να αποδείξετε ότι οι

γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και 1f − έχουν ένα µοναδικό κοινό

σηµείο.

77. Για µία συνάρτηση :f →� � , ισχύει: ( ) 3( )f f x x=� , για κάθε x∈� .

α) Να αποδείξετε ότι:

i) Η f αντιστρέφεται. ii) 3 3( ) ( )f x f x= ,για κάθε x∈� .

β) Να λύσετε την εξίσωση: f(x)=x.

γ) Να αποδείξετε ότι: 3 3( 1) (1) (0).f f f− + = .

78. Μία συνάρτηση :f Α→ � είναι περιττή και αντιστρέφεται. Να αποδείξετε ότι η

συνάντηση 1f − είναι επίσης περιττή.


79. Έστω η συνάρτηση

: [1, )f +∞ → � µε 5( ) 2 10 1.f x x x= − +

α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.

β) Να λύσετε τις εξισώσεις: 1( ) 0f x− = και 1( ) 1.f x− =

80. Έστω η συνάρτηση 3( ) 27.f x x x= + −


β) Να βρείτε τα κοινά σηµεία τωνf

C και 1fC − .

γ) Να λύσετε τις εξισώσεις: 1( ) 2f x− = και ( )1 ( ) 2f f x− = .

Ασκήσεις διάφορες.

81. Για µια µη σταθερή συνάρτηση :f →� � , ισχύει:

( ) ( ) 2 ( ) ( )f x y f x y f x f y+ + − = ,για κάθε ,x y∈� .

α) Nα βρείτε το f(0).

β) Να αποδείξετε ότι ( ) 1f x ≥ − ,για κάθε x∈� .

γ) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια.

82. Για µια συνάρτηση :f →� � , ισχύει: ( ) 3( ) 0f f x x+ = , για κάθε x∈� . Να

αποδείξετε ότι: α) f(0)=0. β) H f είναι 1-1.

83. Για µια συνάρτηση :f →� � , ισχύει:

f(x+1)f(x)+f(x+1)+1=f(x), για κάθε x∈� .

Nα αποδείξετε ότι, για κάθε x∈� , ισχύουν:

α) f(x)≠ -1. β) f(x) ≠ 0. γ) f(x+4) = f(x).


( ) 3 2( ) 2 3 1f f x x x x= − + − , για κάθε x∈� .

α) Να βρείτε το f(1).

β) Να εξετάσετε αν είναι 1-1 η συνάρτηση: 3 2 2( ) ( ) 2 ( ) 3.g x x x f x xf x= + − +

85. Για µια συνάρτηση :f →� � µε f(0)≠ 0, ισχύει:

f(x+y)=f(x)f(-y)+f(-x)f(y), για κάθε ,x y∈� .


α) f(0)=1

2. β) Η f είναι άρτια. γ) Η f είναι σταθερή.


( ) ( )( ) ( ) ( )f x y f f x f f y+ = + , για κάθε ,x y∈� .


α) f(x+y)=f(x)+f(y)− f(0), για κάθε ,x y∈� . β) Αν επιπλέον η f είναι άρτια , τότε είναι σταθερή.

87. Θεωρούµε ένα αριθµό α∈� και µία συνάρτηση :f →� � µε 1

(0)2

f = και

f(x+y)=f(x)f(α−y)+f(y)f(α−x), για κάθε ,x y∈� .



α) 1

( )2

f α = . β) f(x)=f(α−x), για κάθε x∈� .

γ) Η f είναι άρτια.. δ)Η f είναι σταθερή.

88. Μία συνάρτηση :f →� � είναι 1-1 και υπάρχουν α, β∈� µε:

f(x)f(1−x)=f(αx+β), για κάθε x∈� .


α) α=0. β) f(1−β)=1. γ) ( )f ≠� � .

89. Για µία συνάρτηση :f →� � ισχύει: ( )( ) 2 1f f x x= − , για κάθε x∈� . Να

αποδείξετε ότι:

α) (2 1) 2 ( ) 1f x f x− = − , για κάθε x∈� .

β) Η εξίσωση: f(x)=1 έχει µοναδική ρίζα to 1.

90. Μια συνάρτηση :f ∗ →� � έχει µια µοναδική ρίζα και ισχύει:

( ) ( )x

f x f y fy

− =

, για κάθε ,x y ∗∈� .


β) Να λυθεί η εξίσωση:

( ) ( )2 21 ( 1) ( ) 3f x f x f x f x+ + + = + + .


( ) 2( ) ( ) 2xf f x f x e+ = + , για κάθε x∈� .

Να λυθεί η εξίσωση: ( ) ( )3 25 4 2f x x f x+ = + .

92. Θεωρούµε δύο φυσικούς θετικούς αριθµούς µ και ν και υποθέτουµε ότι υπάρχει

συνάρτηση ( ): 0,f +∞ → � µε ( ) (0, )f ⊆ +∞� και για την οποία ισχύει:

( )( )f xf y x yµ ν= ⋅ , για κάθε , (0, )x y∈ +∞ .

Να αποδείξετε ότι: 2ν µ= .

93. Για µια συνάρτηση: : [0,1]f → � , ισχύουν: ( )[0,1] [0,1]f ⊆ , f(0)=0 και

( ) ( )f x f y x y− ≥ − , για κάθε , [0,1]x y∈ .

Να αποδείξετε ότι f(x)=x.

94. Θεωρούµε µια συνάρτηση : [0,1]f → � µε f(0)=f(1)=0 και

( ) ( ) | |f x f y x y− < − , για κάθε , [0,1]x y∈ µε x y≠ .

Να αποδείξετε ότι: 1

( ) ( )2

f x f y− < , για κάθε , [0,1]x y∈ .

95. Θεωρούµε δύο συναρτήσεις : [0,1]f → � και : [0,1]g → � . Να αποδείξετε ότι,

υπάρχουν αριθµοί , [0,1]x y∈ µε: 1

( ) ( )4

f x g x xy+ − ≥ .

96. Θεωρούµε τη συνάρτηση ( )1 | |

xf x

x=

+ και θέτουµε:

1f f= και 1 1f f fνν + = � , για κάθε ν ∗∈� .

Να βρείτε τη συνάρτηση fν (ν ∗∈� ).


97. Για µια συνάρτηση: :f →� � , ισχύουν:

( ) ( ) ( )x yfe f x f y x y+ ≤ ≤ + , για κάθε ,x y∈� .

α) Να αποδείξετε ότι (0) 1.f =

β) Να αποδείξετε ότι, για κάθε x∈� , ισχύουν: ( ) 0f x ≠ και1

( )( )

f xf x

− = .

γ) Να βρείτε τον τύπο της f.

98. Για µια συνάρτηση : [0, )f +∞ → � , ισχύει:

( )2

x yf xy f

+ ≤

, για κάθε ,x y∈� .

Να αποδείξετε ότι η f είναι αύξουσα.

99. Για µια συνάρτηση: :f →� � , ισχύουν:

( 3) ( ) 3f x f x+ ≤ + και ( 5) ( ) 5f x f x+ ≥ + , για κάθε x∈� .

Να αποδείξετε ότι: ( 1) ( ) 1f x f x+ = + , για κάθε x∈� .


2 2( ) ( ) ( ) ( )f x y f x y f x f y+ ⋅ − ≤ − , για κάθε ,x y∈� .


2 2( ) ( ) ( ) ( )f x y f x y f x f y+ ⋅ − = − , για κάθε ,x y∈� .

(∆εν υπάρχει συνάρτηση…)

101. Nα αποδείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση :f →� � , για την οποία ισχύουν:

( )f =� � και f(x+y)=f(x)f(y), για κάθε ,x y∈� .

102. Nα αποδείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση ( ): 0,f +∞ → � , για την οποία

ισχύει:

2 1( )

1

xx f f x

x x

+ = + , για κάθε ( )0,1x∈ .


( )( )f f x x= και ( )( ) 1 1f f x x+ = − , για κάθε x∈� .


( )f ⊆� � και ( )( ) ( )f x f y f x y+ = − , για κάθε ,x y∈� .


( )f ⊆� � και ( )( ) 1f f x x= + , για κάθε x∈� .

106∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση :f →� � ,για την οποία ισχύει:

( ) 2( ) 2f f x x= −� , για κάθε x∈� .

(Συναρτησιακές εξισώσεις)

107. Να βρείτε τις γνησίως µονότονες συναρτήσεις :f →� � , για τις οποίες

ισχύει:

( )( ) 1 2 ( ) (0)f f x y f x y f+ − = + − , για κάθε ,x y∈� .


108. Να βρείτε τις γνησίως µονότονες συναρτήσεις :f →� � , για τις οποίες

ισχύει:

( )( ) ( ) (0)f f x y f x y f+ = + + , για κάθε ,x y∈� .

109. Να βρείτε τις συναρτήσεις :f →� � , για τις οποίες ισχύει:

( 1) ( 2) 2 1f x xf x x+ + − + = + , για κάθε x∈� .

110. Να βρείτε τις συναρτήσεις :f ∗ →� � , για τις οποίες ισχύει:

2 212 ( )f x x f x

x

+ = , για κάθε x∗∈� .

111. Να βρείτε τις συναρτήσεις :f →� � µε (1) 0f ≠ , για τις οποίες ισχύει:

( ) ( ) ( )f x f y f x y xy= + − , για κάθε ,x y∈� .

112. Να βρείτε τις συναρτήσεις :f →� � µε (1) 0f ≠ , για τις οποίες ισχύει:

( ) ( ) ( )f x f y xf x y xy= + − , για κάθε ,x y∈� .


f(x+y)+2f(x−y)+f(x)+2f(y)=4x+y, για κάθε ,x y∈� .

114. Να βρείτε τις συναρτήσεις :f ∗ →� � , για τις οποίες ισχύει:

xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x)f(y), για κάθε ,x y ∗∈� .

115. Να βρείτε τις συναρτήσεις :f →� � , για τις οποίες ισχύει: f(x)f(y) − f(xy)=x+y, για κάθε ,x y∈� .

116. Θέτουµε: { }0,1Α = −� . Να βρείτε τις συναρτήσεις f: Α→� , για τις οποίες

ισχύει:

1

( ) 1 1f x f xx

+ − = +

, για κάθε x∈Α .

117. Να βρείτε τις συναρτήσεις :f →� � και τους αριθµούς α ∈� , έτσι ώστε

να ισχύουν: f(1)=5 και

2( ) ( ) 2f x y f x xy xα+ − = + , για κάθε ,x y∈� .


f(x)f(y)=f(x-y) , για κάθε ,x y∈� .


f(x+y)− f(x−y)=4xy, για κάθε ,x y∈� .


f(x+y)+f(x-y)=2f(x)συνy, για κάθε ,x y∈� .


2 2( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + , για κάθε ,x y∈� .

122. Ν βρείτε τις συναρτήσεις :f →� � , για τις οποίες ισχύουν:

( 1) 3 2 ( 1) 1f x x f x− + ≤ ≤ + − , για κάθε x∈�


123. Να βρείτε τις συναρτήσεις :f →� � , για τις οποίες, για κάθε ,x y∈� ,

ισχύουν:

( )f x x≤ και ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ ≤ + .

124. Να βρείτε τις συναρτήσεις ( ): 0,f →+∞ � , για τις οποίες ισχύουν:

ln ( ) 1x

f x f xe

≤ ≤ − , για κάθε x>0.

125. Να βρείτε τις συναρτήσεις :f →� � , για τις οποίες ισχύουν:

( ) ( )

2 2

f x f xx xe e e ef x

−−

− −≤ ≤ , για κάθε x∈� .


( ) ( ) | |f x f y x y− = − , για κάθε ,x y∈� .


( ) ( ) | |f x f y x y+ = + , για κάθε ,x y∈� .

128. Να βρείτε τις συναρτήσεις :f →� � , για τις οποίες ισχύουν:

f(0)=1 και 3 3( ) ( )f x f y x y− = − , για κάθε ,x y∈� .

129. ∆ίνονται δύο αριθµοί α, β∈� µε α<β. Να βρείτε τις συναρτήσεις

: [ , ]f α β → � , για τις οποίες ισχύουν:

( )[ , ] [ , ]f α β α β⊆ και ( ) ( ) | |f x f y x y− ≥ − , για κάθε x,y∈[α, β].

130. Να βρείτε τις συναρτήσεις : (0,1)f → � , για τις οποίες ισχύει:

( ) ( ) ( )f xy xf x yf y= + , για κάθε , (0,1)x y∈ .

Βιβλιογραφία

1.ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ , Α.Κ.Κυριακόπουλου(1977).

2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ, Α.Κ.Κυριακόπουλου(1993). 3.ΠΕΡΙΟ∆ΙΚΟ «ΕΥΚΛΕΙ∆ΗΣ Β΄»(τεύχος 69),άρθρο µε τίτλο: «Οι αντίστροφες

συναρτήσεις και τα κοινά τους σηµεία» των Αντώνη Κυριακόπουλου και Νίκου

Φωτιάδη.

4. ΠΕΡΙΟ∆ΙΚΟ «Το φ»(τεύχος 4),άρθρο µε τίτλο: «Χρήσιµες επισηµάνσεις στις

βασικές έννοιες των συναρτήσεων» του Αντώνη Κυριακόπουλου.

5. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ, Α.Κ.Κυριακόπουλου.

PRAGMATIKES SINARTISIS

Documents

Transcript of PRAGMATIKES SINARTISIS