Prediction des proprietes mecaniques des polymeres charges des fibres courtes

Prediction des proprietes mecaniques des

polymeres charges des fibres courtes

Dr. Andri Andriyana

Centre de Mise en Forme des Materiaux, CEMEF UMR CNRS 7635

Ecole des Mines de Paris, 06904 Sophia Antipolis, France

Prediction des proprietes mecaniques des polymeres charges des fibres courtes

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Sommaire

1 Introduction

2 Determination des proprietes unidirectionnelles

3 Prise en compte de l’orientation de fibres

Prediction des proprietes mecaniques des polymeres charges des fibres courtes

Introduction

Introduction

Prediction des proprietes mecaniques des polymeres charges des fibres courtes

Introduction

Principe de base

Objectif : construire un VER homogene equivalent

Prediction des proprietes mecaniques des polymeres charges des fibres courtes

Introduction

Principe de base

Methode d’homogeneisation :

1 Determination des proprietes unidirectionnelles

2 Prise en compte de l’orientation des fibres

Prediction des proprietes mecaniques des polymeres charges des fibres courtes

Determination des proprietes unidirectionnelles

Determination des proprietes unidirectionnelles

Prediction des proprietes mecaniques des polymeres charges des fibres courtes

Determination des proprietes unidirectionnelles

Principe de base

Hypotheses :

1 Matrice et fibres sont lineairement elastiques et isotropes

2 Fibres sont axisymetriques, identiques en forme et taille,caracterisees par un rapport de forme β = l

D

3 Pas de glissement aux interfaces des matrice et fibres

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Determination des proprietes unidirectionnelles

Principe de base

1. Elasticite lineaire sur chaque phase (matrice et fibres)

σm = Cm : εm et σf = Cf : εf

σ : tenseur de contrainte

ε : tenseur de deformation

C : tenseur de rigidite (ordre 4)

2. Contrainte et deformation moyennes

σ = υf σf + υm σm et ε = υf εf + υm εm

υm, υf : fraction volumique de matrice, de fibre

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Determination des proprietes unidirectionnelles

Principe de base

3. Relation contrainte moyenne - deformation moyenne

σ = C : ε ou ε = S : σ

S = C−1 : tenseur de souplesse (ordre 4)

4. Localisation des deformations et des contraintes

εf = A : ε et σf = B : σ

A, B : tenseurs de localisation des deformations, descontraintes (ordre 4) - Hill (1963)

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Determination des proprietes unidirectionnelles

Principe de base

Finalement, on obtient des proprietes du composite unidirectionnel

C = Cm + υf (Cf − Cm) A et S = Sm + υf (Sf − Sm) B

Comment determiner A et B ...?

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Modeles micro-mecaniques

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Determination des proprietes unidirectionnelles

Modeles micro-mecaniques

Principe de base

Estimation de repartition de contrainte/deformation dans lesphases, i.e. estimation des A et B

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Determination des proprietes unidirectionnelles

Modeles micro-mecaniques

Bornes de Voigt et ReussVoigt (1889, 1910), Reuss (1929)

Modele d’Halpin-TsaiHalpin (1969), Halpin et al. (1976)

Modele d’EshelbyEshelby (1957, 1961)

Modele de Mori-TanakaMori et Tanaka (1973)

Modele auto-coherente (self-consistent)Hershey (1954), Kroner (1958)

...

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Determination des proprietes unidirectionnelles

Modeles micro-mecaniques

Bornes de Voigt et Reuss

Modele de VoigtDeformation uniforme : A = I, εf = εm = ε

Voigt (1889, 1910)

CVoigt = Cm + υf (Cf − Cm)

Modele de ReussContrainte uniforme : B = I, σf = σm = σ

Reuss (1929)

SReuss = Sm + υf (Sf − Sm)

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Determination des proprietes unidirectionnelles

Modeles micro-mecaniques

Modele d’Eshelby

Aucune interaction entre les fibresEshelby (1957, 1961)

AEshelby =[

I + E C−1

m (Cf − Cm)]

−1

E: tenseur d’Eshelby (ordre 4) dependant de lamatrice et de la forme de fibres

Base de presque toutes les theories posterieures

Independant de υf, donc valable pour υf ≤ 1% ...!!!

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Determination des proprietes unidirectionnelles

Modeles micro-mecaniques

Modele de Mori-Tanaka

Deformation moyenne dans la matrice = deformationmacroscopique ε corrigee par une terme de perturbation due auxfibres εf

Mori et Tanaka (1973)

AMT = AEshelby [(1 − υf) I + υf AEshelby]−1

Valable pour 20% ≤ υf ≤ 30%

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Determination des proprietes unidirectionnelles

Modeles micro-mecaniques

Modele auto-coherente (self-consistent)

Hershey (1954), Kroner (1958)

ASC =[

I + E C−1 (Cf − C)

]

−1

Valable pour le taux de renforts important

C est inconnu, il faut donc une methode iterative...!!!

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Prise en compte de l’orientation de fibres

Prise en compte de l’orientation de fibres

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Prise en compte de l’orientation de fibres

Proprietes du composite equivalent

Utilisation des tenseurs d’orientation K et K

Advani et Tucker (1987), Lielens et al. (1998), Mlekusch (1999), ...

Si la matrice et la fibre sont isotropes, une fois C ou S est connu,la souplesse de composite equivalent s’ecrit:

(

S)

ijkl= α1 Kijkl + α2 (Kijδkl + Kklδij)

+ α3 (Kikδjl + Kilδjk + Kjlδik + Kjkδil)

+ α4 δijδkl + α5 (δikδjl + δilδjk)

(αi)i=1,2,3,4,5: constantes dependant de S

K est exprime en fonction de K (equation de fermeture)

K depend de la caracteristique d’ecoulement pendantl’injection (condition d’injection)

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Prise en compte de l’orientation de fibres

Proprietes du composite equivalent

Si le plan d’isotrope est y − z :

α1 = S1111 − 2S1122 + S2233

−4S1212 + 2S2323

α2 = S1122 − S2233

α3 = S1212 − S2323

α4 = S2233

α5 = S2323

S1111 =1

Ex

S1122 =−νxy

Ex

S1212 =1

Gxy

S2233 =−νyz

Ey

S2323 =2 (1 + νyz)

Ey

5 constantes independantes : Ex Ey Gxy νxy νyz