Portafolio de algebra

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EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

Introducción

El ente básico de la parte de la matemática conocida como análisis lo constituye el

llamado sistema de los números reales.

Números tales como 1, 3,√

, π , e, y sus correspondientes negativos, son usados en

mediciones cuantitativas.

Existen dos métodos principales para estudiar el sistema de los números reales. Uno

de ellos comienza con un sistema más primitivo –tal como el conjunto de los

números naturales o enteros positivos 1, 2, 3, 4, ... −, y a partir de él, por medio de

una secuencia lógica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los

números reales1.

En el segundo método se hace una descripción formal del sistema de los números

reales (asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de

propiedades (axiomas), de las cuales pueden deducirse muchas otras propiedades.

En esta primera parte se hará una presentación intuitiva del conjunto R de los

números reales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto` de los

números naturales y se efectúan las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo

más a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones en las cuales los conjuntos que se

van definiendo resultan insuficientes para la solución, que a un desarrollo axiomático

del mismo.

Conjunto de los números reales

El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números.

Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes subconjuntos:

Conjunto de los números naturales

El conjunto de los números naturales, que se denota por N o también por Z

corrientemente se presenta así:

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N = {1, 2, 3, 4, 5,...}.

La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal.

Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los

sistemas numéricos y lleva principalmente a la consideración de los números reales.

Conjunto de los números enteros

El conjunto de los números enteros, que se denota por Z, corrientemente se presenta

así:

Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}.

En el conjunto de los números enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen

solución en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es

x = –2.

Puede notarse que N ⊂ Z.

Conjunto de los números racionales

El conjunto de los números racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente

manera

{

}

La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la

ecuación

ax = b, con a, b ∈ Z, a ≠ 0.

Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso particular en que a sea un divisor de b.

Conjunto de los números reales

Se define como. ℜ= ∪

En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones: adición (+) y

multiplicación (·), las cuales verifican las siguientes propiedades AC (llamadas

también axiomas de campo). (Peano, 1889)

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.

LOS NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL

En la geometría analítica el paso importante fue establecer una correspondencia

entre los números reales y los puntos de la recta. Existe una condición que cumplen

los números reales llamada axioma de completitud que garantiza una

correspondencia biunívoca (uno a uno) entre el conjunto de los números reales y el

conjunto de puntos en la recta o eje. A cada número real le corresponde un único

punto sobre la recta y a cada punto en la recta o eje se le asocia un único número

real. Como se observa en el gráfico, se elige un punto de referencia arbitrario sobre

la recta al que se denomina origen. Se selecciona además una unidad de longitud

para medir distancias. Se elige también un sentido a lo largo de la recta a la que se

llama positivo y se considera como negativo al sentido opuesto. A cada número real

entonces se le asocia un punto de la recta teniendo en cuenta lo siguiente:

Se asocia al origen el número 0,

Se asocia a cada número positivo p un punto que está a una distancia de p

unidades del origen en la dirección positiva,

Se asocia a cada número negativo - p el punto que está a p unidades de

distancia del origen en la dirección negativa.

Los puntos en la recta se identifican con los números que representan. El número

real que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa

del punto y la recta recibe el nombre de recta real, recta coordenada, recta numérica

o recta de los números reales. También se la conoce como eje coordenado o eje

real.

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El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos".

Ejemplo.

Orden

Los números reales están ordenados cumpliendo sólo una de las afirmaciones

siguientes: dados dos números reales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea

mayor que b o a sea igual a b.

Puede observarse en la recta que a < b si y sólo si el punto que representa al

númeroa está a la izquierda del punto que representa al número b.

.([email protected], s.f.)

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PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS

En álgebra las operaciones binarias internas en el conjunto A, o bien las aplicaciones

de A x A en A:

son las de mayor interés, porque se utilizan tanto en los sistemas numéricos o,

más abstractamente, en los sistemas algebraicos. Las operaciones gozan de

ciertas propiedades, usadas con frecuencia en la axiomatización de los diversos

sistemas matemáticos

Propiedad conmutativa.

Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición

interna *:

se dice que * tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:

Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de

operar b con a.

Del mismo modo podemos decir que la ley de composición interna *, no es

conmutativa en A si:

Si existe algún a, b en A, que cumple que el resultado de operar a con b es distinto

de operar b con a.

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Propiedad distributiva.

Dado un conjunto A no vacío en el que se han definidos dos operaciones internas:

Que expresaremos se dice que la operación es distributiva por la derecha de si

se cumple:

Ejemplos el producto vectorial de vectores respecto de la suma de vectores ux (v+ w)

=uxv + uxw

Otro ejemplo: el producto de matrices respecto a la suma de matrices. M(N+Q)= MN

+ MQ.

Es importante el orden de factor en la definición de R-módulos a izquierda.

Del mismo modo se dice que la operación es distributiva por la izquierda de si se

cumple:

Divisores del cero

.

Sea el conjunto A y la operación * , siendo a ≠ 0, b≠ 0 se deduce que a*b = 0 , se

dice que a y b son divisores del 0.

Hay matrices cuadradas de orden 2 no nulas cuyo producto es la matriz 0.

En el conjunto Z[6]= {0,1,2,3,4,5} de los restos módulo 6 con la multiplicación * de

restos, resulta 2*3=0.

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Elementos distinguidos

Elemento involutivo

Se llama así al elemento d de A, con la operación binaria *, tal que d*d= d.

el 0 y 1 son elementos involutivos respecto de la multiplicación en el conjunto Z de

los enteros.

Elemento absorbente

Se denomina así al elemento s de A, tal que s * a= s, para todo a de A, provisto de la

operación *.

0 es elemento absorbente se un sistema numérico multiplicativo.

El conjunto vacío Ø es elemento absorbente para la intersección definida en el

conjunto de partes de U.

POTENCIACION Y RADICACION

POTENCIACION

ROF. José Luis Gallardo

La potenciación es una nueva forma de escribir el producto de un número por él

mismo. Es muy práctica, elegante, útil y fácil.

Fíjate que la base es el número que multiplicas varias veces por sí mismo, el

exponente es la cantidad de veces que lo haces y la potencia es el resultado.

Así por ejemplo:

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Significa que a 5 (la base) lo multiplicamos 3 veces (el exponente) por sí mismo y

obtenemos 125 (la potencia) ya que: 5 x 5 x 5 = 125.

Cuando un número se multiplica por sí mismo una cantidad definida de veces

es una potenciación.

Por ejemplo, si se multiplica ocho por sí mismo cinco veces se tendrá 8 X 8 X 8 X 8 X

8.

Si se escribe en forma exponencial se anota, 85.

Propiedades de la potenciación

Las propiedades de la potenciación son las siguientes:

Potencia de potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente

igual a la multiplicación de los primeros exponentes.

Multiplicación de potencias de igual base

La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de

base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes.

División de potencias de igual base

La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y

exponente igual a la resta de los exponentes respectivos.

Propiedad distributiva

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no

lo es con respecto a la suma ni a la resta.

En particular:

(a + b)m = am + bm

(a &#8722; b)m = am &#8722; bm

Se cumple en los siguientes casos:

Si m=1.

Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0.

Si a y b son iguales a 0 y m&#8800;0.

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Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos

casos en que base y exponente son el mismo número / la misma cifra o equivalentes.

En particular:

ab = ba

Si y sólo si a=b.

a1 = a

Potencia de base 10

Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como

unidades posee el exponente.

101 = 10

Como también pues ser unos conjuntos de números potenciados o elevados a un

exponente

106 = 1000000

104 = 10000

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RADICACIÓN

ROF. José Luis Gallardo

Vos sabes que la resta es la operación inversa de la suma y la división es

la operación inversa de la multiplicación.

La potenciación tiene también su operación inversa; y se llama ―radicación‖.

Observa que 82=64 entonces 64 = 8 8 es la raíz cuadrada de 64.

De la misma manera calcular la raíz cuadrada de 25 significa buscar un

número que elevado al cuadrado dé como resultado 25. Es decir que:

Por ahora sólo trabajaremos con raíces cuadradas (las que corresponden al

exponente dos), pero estas no son las únicas que existen, como podrás ver en

cursos posteriores.

Cálculo de raíces cuadradas por aproximaciones sucesivas

Este método se debe a Newton

Si conocemos una aproximación de la raíz, podemos calcular una aproximación

mejor utilizando la siguiente fórmula:

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OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y

DIVISIÓN.

SUMA:

Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos

del mismo grado El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro

término del mismo grado. Si falta algún término de alguno de los grados, se puede

completar con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se completó con 0x2.

Y se los suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden

los términos de igual grado.

También se los puede sumar de otra forma (sin ponerlos uno sobre otro), y en la

EXPLICACIÓN de cada ejercicio lo mostraré resuelto de las dos maneras.

EJEMPLO 1: (Suma de polinomios de igual grado)

A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x

B = -5x4 - 10 + 3x + 7x3

2x4 - x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo)

+

-5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo)

______________________________

-3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18

A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18

En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con

ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios,

para que quede encolumnado término a término con el otro polinomio.

EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de distinto grado)

A = -3x2 + 5x - 4 (grado 2)

B = 4x3 - 5x2 + 2x + 1 (grado 3)

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0x3 - 3x2 + 5x - 4 (el polinomio A ordenado y completo)

+

4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo)

____________________

4x3 - 8x2 + 7x - 3

A + B = 4x3 - 8x2 + 7x – 3

La suma de los términos de grado 2 dió 0x2. Luego, en el resultado final ya no se

ponen los términos con coeficiente cero.

EJEMPLO 3: (Uno de los términos del resultado es cero)

A = 9 + 5x3 - 4x2 + x

B = 4x2 - 3 - 2x

5x3 - 4x2 + x + 9

+

0x3 + 4x2 - 2x - 3

____________________

5x3 + 0x2 - x + 6

A + B = 5x3 - x + 6

Se llama términos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los polinomios

con un solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay términos semejantes.

Se puede observar que el resultado es la suma de todos términos de los dos

polinomios, sin modificarse ninguno, ya que a cada uno se le sumó cero, por no tener

otro término semejante.

EJEMPLO 4: (No hay términos semejantes)

A = 4x3 + 5

B = -2x + x2

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4x3 + 0x2 + 0x + 5

+

0x3 + x2 - 2x + 0

____________________

4x3 + x2 - 2x + 5

A + B = 4x3 + x2 - 2x + 5

Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los términos semejantes, que

son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma"parte

literal"). Para sumar estos polinomios, no es práctico usar el procedimiento de

ordenarlos y sumarlos "en columnas", porque en general hay pocas coincidencias

entre sus partes literales. Así que es mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar"

los términos de igual parte literal.

EJEMPLO 5: (Suma de polinomios de varias letras)

A = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy

B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y

A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y) =

-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y =

-3xy2 - 6x2y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2 =

-9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2

RESTA:

EJEMPLO 1: (Resta de polinomios de igual grado)

A = - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3 + 1/2 x

B = 5x4 - 10 + 3x + 7x3

9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo)

-

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5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo)

______________________________

La resta se puede transformar en suma, cambiando todos los signos del segundo

polinomio:

9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8

+

-5x4 - 7x3 + 0x2 - 3x + 10 (el polinomio B con los signos cambiados)

______________________________

4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2

A - B = 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2

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MULTIPLICACIÓN:

¿Cómo se multiplican los polinomios?

Multiplicando todos los términos de uno de ellos por todos los términos del otro. Se

aplica la Propiedad distributiva entre en la multiplicación y la suma. Antes de

aprender polinomios, muchas veces ya se ha aprendido a multiplicar "expresiones

algebraicas", que son polinomios. Incluso en las ecuaciones. Por ejemplo:

(x + 5).(x - 3) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1

2x.(x + 1) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1

Y en general, a hacer esas "distributivas" ya se aprende antes de ver el tema

"Polinomios". Lo que había que hacer era "multiplicar todo con todo", es decir, cada

término de una expresión con cada término de la otra:

(x + 5).(x - 3) = x.x - 3.x + 5.x - 15 = x2 - 3x + 5x - 15 =

Y luego "juntar las x con las x, los números con los números, las x2 con las x2...".

"Juntar era en realidad: "hacer la cuenta entre los números que tienen delante". En

este ejemplo sólo tenemos para juntar las x. Son -3 + 5 = 2. Es decir que quedan 2x.

Como otro número no hay, queda -15. Y como otra x2 no hay, queda x2. Eso de

juntar se ve también la suma de polinomios: "juntar las x con las x, los números con

los números..." es en realidad "sumar los términos semejantes o de igual grado".

(ver: suma de polinomios)

= x2 + 2x - 15

Y multiplicar a dos polinomios no es otra cosa que aplicar la Propiedad distributiva de

la multiplicación con la suma a esos dos polinomios. Es lo mismo que se hacía en las

ecuaciones, pero ahora los polinomios pueden ser de grados mayores que 1, y tener

muchos términos. Por ejemplo:

A = -9x3 + x + 4x5

B = 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x

(-9x3 - x + 4x5).(3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x) =

Se trata, como antes, de multiplicar cada término de uno por todos los términos del

otro.

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EJEMPLO 1: (Multiplicación por un monomio)

A = -3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x

B = -5x4

-3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x

X -5x4

______________________________

15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5

A x B = 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5

Se multiplica al monomio por cada término del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la letra

con la letra. Al multiplicar las letras iguales se suman los exponentes, ya que es una

multiplicación de potencias de igual base.

También se pueden multiplicar "en el mismo renglón": poniendo el polinomio entre paréntesis y

luego aplicando la propiedad distributiva. En las EXPLICACIONES muestro los ejemplos

resueltos de las dos maneras.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 2: (Multiplicación de polinomios completos)

A = 4x3 - 5x2 + 2x + 1

B = 3x - 6

4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio A ordenado y completo)

X 3x - 6 (el polinomio B ordenado y completo)

____________________

-24x3 + 30x2 - 12x - 6

+

12x4 - 15x3 + 6x2 + 3x

_________________________

12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6

Page 18: Portafolio de algebra

A x B = 12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6

A cada término del segundo polinomio hay que multiplicarlo por cada término del primer

polinomio. Si ambos polinomios están completos y ordenados, los resultados quedan también

completos y ordenados, y es más fácil en columnarlos según su grado, porque van saliendo en

orden. Luego hay que sumar los resultados como se suman los polinomios. Es un

procedimiento similar al de la multiplicación de números de varias cifras, con la diferencia de

que no se "llevan" números a la columna siguiente, sino que se baja el resultado completo. Al

empezar la segunda fila, por la derecha hay que saltearse una columna, tal como en la

multiplicación de números de varias cifras, y así se logra que los términos de igual grado

queden en la misma columna.

explicación ejemplo 2

EJEMPLO 3: (Multiplicación de polinomios incompletos y desordenados,

completándolos y ordenándolos)

A = -9x2 + x + 5x4

B = 3 - 2x2

5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado)

X -2x2 + 0x + 3 (polinomio B completo y ordenado)

______________________________

15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0

0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x

-10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2

________________________________________

-10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0

A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

Page 19: Portafolio de algebra

Aunque no es obligatorio, se pueden completar y ordenar los dos polinomios. Así es

más fácil ubicar en la columna correspondiente a cada uno de los resultados, porque

todo va saliendo en orden de grado. Incluso si se completa con 0 en el segundo

polinomio, se puede multiplicar todo el primer polinomio por cero. Esto puede servir

cuando uno recién aprende el tema, pero luego cuando se tiene más práctica se

preferirá no completar ni multiplicar por cero. En el EJEMPLO 4 se puede ver hecha

esta misma multiplicación sin completar los polinomios.

En el resultado final ya no se ponen los términos con 0.

EJEMPLO 4: (Multiplicación de polinomios incompletos; sin completarlos, pero sí

ordenándolos)

A = -9x2 + x + 5x4

B = 3 - 2x2

5x4 - 9x2 + x (polinomio A incompleto pero ordenado)

X -2x2 + 3 (polinomio B incompleto pero ordenado)

_____________________

15x4 - 27x2 + 3x

-10x6 + 18x4 - 2x3

____________________________

-10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

Page 20: Portafolio de algebra

EJEMPLO 5: (Multiplicación de polinomios de varias letras)

A = -3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3

B = 5x4y + 8x - 2x3y - 10

A x B = (-3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3).(5x4y + 8x - 2x3y - 10) =

-15x6y4 - 24x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3

- 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4 + 60x3y3 =

-15x6y4 + 12x6y4 - 24x3y3 + 60x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x

- 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3

+ 12x6y4 =

-3x6y4 + 36x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 +

28x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4

EJEMPLO 6: (Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no

completando el segundo)

A = -9x2 + x + 5x4

B = 3 - 2x2

5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado)

X -2x2 + 3 (polinomio B completo y ordenado)

______________________________

15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0

-10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2

________________________________________

-10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0

Page 21: Portafolio de algebra

A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

EJEMPLO 7: (Sin ordenar ni completar)

A = -9x2 + x + 5x4

B = 3 - 2x2

9x2 + x + 5x4 (polinomio A incompleto y desordenado)

X 3 - 2x2 (polinomio B incompleto y desordenado)

__________________________

- 10x6 + 18x4 - 2x3

+ 15x4 - 27x2 + 3x

_________________________________________

- 10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

A x B = - 10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

Los resultados no salen en orden. Pero podemos ubicarlos calculando más o menos

el espacio que necesitamos para todos los grados. Por ejemplo, si el primer resultado

que obtenemos es -10x6, sabemos que a su derecha tiene a haber 6 columnas más

para los grados anteriores (grado 5 a 0). Entonces lo ponemos bien a la izquierda,

dejando a su derecha el lugar necesario para los otros grados que puedan aparecer

en los siguientes resultados. Si el segundo resultado es -2x3, dejamos un espacio

entre -10x6 y este nuevo término, para los grados intermedios que faltan. Así quedan

más o menos acomodados, para que en la próxima fila podamos poner los

resultados debajo en la columna correspondiente.

Page 22: Portafolio de algebra

DIVISION:

División entre fracciones

En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de

monomios y las reglas de división de fracciones de la aritmética.

Se aplica ley de signos

Se multiplica el dividendo del primer término por el divisor del segundo para crear el

dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para

crear el divisor de la división (esto se llama división cruzada)

Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor

Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como

elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.

Ejemplos:

División de polinomios entre monomios.

Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el

monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.

Pasos:

Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.

Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno

dividido por el monomio.

Page 23: Portafolio de algebra

Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el

capitulo anterior.

Se realizan las sumas y restas necesarias.

Ejemplos:

División entre polinomios.

En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los

pasos a seguir son los siguientes.

Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en

orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los

espacios de los términos que faltan.

El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo

entre el primer miembro del divisor.

Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se

coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.

El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo

parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer término del divisor.

Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se

coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.

Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo

primer término no pueda ser dividido por el primer término del divisor.

Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.

Page 24: Portafolio de algebra

La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el

término que se encuentra más a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.

Ejemplos:

PRODUCTOS NOTABLES

Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También

sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.

Page 25: Portafolio de algebra

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran

frecuentemente y que es preciso saber factoriza las a simple vista; es decir, sin

necesidad de hacerlo paso por paso.

Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente

porque son muy utilizados en los ejercicios.

A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la

igualdad se muestra la forma de factoriza las (mostrada como un producto notable).

Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera

cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el

cuadrado de la segunda cantidad.

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una

expresión de la forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que

podemos factoriza la como (a + b)2

Nota:

Se recomienda volver al tema factorización para reforzar su comprensión.

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

Page 26: Portafolio de algebra

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera

cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el

cuadrado de la segunda cantidad.

Demostración:

(a + b) (a – b) = a2 – b2

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la

primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una

expresión de la forma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que

podemos factoriza la como a2 – b2

Cubo de una suma

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

Page 27: Portafolio de algebra

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una

expresión de la forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3debemos identificarla de inmediato y

saber que podemos factorizarla como (a + b)3.

Cubo de una diferencia

a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una

expresión de la forma a3 – 3a2b + 3ab2 – b3debemos identificarla de inmediato y

saber que podemos factorizarla como (a – b)3.

A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la

expresión algebraica que lo representa:

Producto notable Expresión algebraica Nombre

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Binomio al cuadrado

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Binomio al cubo

a2 - b2 = (a + b) (a - b) Diferencia de cuadrados

a3 - b3 = (a - b) (a2 + b2 + ab) Diferencia de cubos

a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 - ab) Suma de cubos

a4 - b4 = (a + b) (a - b) (a2 + b2) Diferencia cuarta

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac +

2bc

Trinomio al cuadrado

MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS

El problema de calcular el máximo común divisor (MCD) de dos polinomios es de

importancia fundamental en álgebra computacional. Estos cálculos aparecen como

subproblemas en operaciones aritméticas sobre funciones racionales o aparecen

como cálculo prominente en factorización de polinomios y en integración simbólica,

además de otros cálculos en álgebra.

Page 28: Portafolio de algebra

En general, podemos calcular el MCD de dos polinomios usando una variación del

algoritmo de Euclides. El algoritmo de Euclides es conocido desde mucho tiempo

atrás, es fácil de entender y de implementar. Sin embargo, desde el punto de vista

del álgebra computacional, este algoritmo tiene varios inconvenientes. Desde finales

de los sesentas se han desarrollado algoritmos mejorados usando técnicas un poco

más sofisticadas.

En esta primera parte vamos a entrar en la teoría básica y en los algoritmos

(relativamente) más sencillos, el algoritmo "subresultant PRS'' (aquí lo llamaremos

PRS subresultante) y el algoritmo heurístico (conocido como "GCDHEU''). Este

último algoritmo es muy eficiente en problemas de pocas variables y

se usa también como complemento de otros algoritmos. De hecho, se estima que el

90% de los cálculos de MCD's en MAPLE se hacen con este algoritmo [13].

No se puede decir con certeza que haya un "mejor'' algoritmo para el cálculo del

MCD de dos polinomios.

Los algoritmos más usados, para calcular MCD en son "EZ-GCD'' (Extended

Zassenhaus GCD), GCDHEU y "SPMOD'' (Sparse Modular Algorithm) [16]

GCDHEU es más veloz que EZGCD y SPMOD en algunos casos, especialmente

para polinomios con cuatro o menos variables. En general, SPMOD es más veloz

que EZGCD y GCDHEU en problemas donde los polinomios son "ralos'', es decir con

muchos coeficientes nulos y éstos, en la práctica, son la mayoría.

EJERCICIOS

Ejemplo a) Hallar el m.c.d. de 4a^2+4ab y 2a^4-2a^2b^2

1°) Se factorizan las expresiones dadas:

–> 4a^2 + 4ab = 4a(a+b) (Se aplicó Caso I de Factorización)

Page 29: Portafolio de algebra

–> 2a^4 -2a^2b^2 = 2a^2(a^2 – b^2) = 2a^2(a+b)(a-b) (Se aplicó Caso I y IV de

Factorización)

2°) Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:

Factor común de 4a y 2a^2 son 2a

Factor común de (a+b) y (a+b)(a-b) son (a+b)

por lo tanto, el m.c.d. de 4a(a+b) y 2a^2(a+b)a-b es = 2a(a+b) , que es la

Solución.

NOTA : Al factorizar es necesario aplicar las reglas para la Descomposición de

Factores o Factorización, según el Caso que le corresponda.

___________________________________________________________

Ejemplo b) Hallar el m.c.d. de x^2 – 4 , x^2 -x -6 , x^2 +4x +4

1°) Se factorizan las expresiones dadas:

–> x^2 -4 = (x -2)(x +2) Se aplicó el Caso IV de Factorización

–> x^2 -x -6 = (x -3)(x +2) Se aplicó el Caso III de Factorización.

–> x^2 +4x +4 = (x +2)^2 = (x +2)(x +2) Se aplicó el Caso III de

Factorización.

Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:

Factor común de las 3 expresiones es = (x +2)

por lo tanto, el m.c.d. de x^2 -4, x^2 -x -6 y x^2 +4x +4 es = x +2 Solución.

___________________________________________________________

1. Reducir fracciones a común denominador.

Ejemplo: Reducir a común denominador las siguientes fracciones:

Factor izamos los denominadores:

12 = 22 x 3

9 = 32

18 = 2 x 32

Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor

exponente. El m.c.m (12, 9, 18) = 22 • 32 = 4 • 9 = 36. Ya tenemos el nuevo

denominador.

Page 30: Portafolio de algebra

Aplicaciones del m.c.d.

1. Simplificar una fracción hasta su irreducible.

Ejemplo: Simplifica hasta su equivalente irreducible la siguiente fracción:

Hallamos el M.C.D. (360, 336).

Para ello factorizamos el numerador y el denominador.

360 = 23 x 32 x 5

336 = 24 x 3 x 7

Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que:

M.C.D. (360, 336) = 23 • 3 = 8 • 3 = 24.

Dividimos el numerador y el denominador entre 24

360 = 360 : 24 = 15

336 336 : 24 14

y obtenemos la fracción equivalente irreducible:

2. Resolver problemas de la vida práctica.

Ejemplo: Queremos embaldosar el suelo de una cocina rectangular con baldosas

cuadradas. La cocina mide 270 cm de largo por 180 cm de ancho. ¿De qué tamaño

tengo que comprar las baldosas de manera que encajen enteras en estas

dimensiones y sean lo más grande posible? ¿Cuántas baldosas tengo que comprar?

Solución: la longitud del lado de la baldosa ha de ser un divisor común de 270 y 180,

y el más grande posible. Por lo tanto, estamos buscando el máximo común divisor de

270 y 180.

Factorizamos 270 y 180:

270 = 2 x 33 x 5

180 = 22 x 33 x 5

Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que:

M.C.D. (270,180) = 2 • 32 • 5 = 2 • 9 • 5 = 90.

Por lo tanto, comprando baldosas de 90 cm de lado podremos pavimentar la cocina

sin tener que romper ninguna. Ahora vamos a calcular cuántas necesitamos:

270 : 90 = 3. Tres baldosas de largo.

180 : 90 = 2. Dos baldosas de ancho.

Page 31: Portafolio de algebra

Respuesta: Necesitamos 6 baldosas.

Page 32: Portafolio de algebra

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR

FACTORIZACIÓN

Descripción:

La función cuadrática es una función de los reales en los reales

cuya regla de correspondencia está dada por f(x) = ax2 + bx + c (a≠0) y cuyo

dominio incluye todos los números reales. Para resolver ecuaciones cuadráticas

utilizamos principalmente el método de factorización.

Ejemplos:

1) Resuelva x 3 2x − 1 9 .

Solución:

Lo primero es lograr que la ecuación se iguale a cero. Para esto, primero

multiplicaremos el lado izquierdo y luego restaremos el nueve. Después

factorizaremos la ecuación resultante para obtener la solución final. Es

conveniente verificar la solución final en la ecuación original.

x 3 2x 1 9

2x2 x 6x 3 9

2x2 5x 3 9 0

2x2 5x 12 0

2x 3 x 4 0

2x 3 0

2x 3

x 3/2

Page 33: Portafolio de algebra

ó x 4 0 x 4

2) Halle las soluciones de x3 8x

2 16x 0 .

Solución:

Como la ecuación ya está igualada a cero solamente hay que factorizar e

igualar sus factores a cero y resolver en términos de x .

x x 2 8x 16 0

x x 4 x 4 0

x 0

ó

x 4

0

x 4

Page 34: Portafolio de algebra

Ecuaciones de primer grado

Una ecuación de primer grado es una igualdad de dos expresiones en las que aparece una incógnita cuyo valor está relacionado a través de operaciones aritméticas. Se denominan ecuaciones de primer grado si el exponente de la incógnita es uno.

Para resolver una ecuación de primer grado se deben traspasar los términos de un lado a otro de la ecuación, de manera que todos los términos que tengan la incógnita queden a un lado y los demás al otro, teniendo la precaución de mantener la igualdad de la expresión.

Por eso, cada vez que trasponemos un término se aplica el opuesto (inverso aditivo), tal como se ilustra en el siguiente ejemplo:

Resolver la ecuación:

(x + 3)2 – (x - 1)2 = 3x – (x – 4)

a) Primero desarrollamos todas las operaciones de la expresión

x2 + 6x + 9 – (x2 – 2x + 1) = 3x – x + 4

x2 + 6x + 9 – x2 + 2x – 1 = 3x – x + 4

b) Trasponemos los términos:

x2 + 6x – x2 + 2x –3x + x = 4 – 9 + 1;

c) Reducimos términos semejantes:

6x = -4 ;

d) Dividimos por 6:

x = -4/6

e) Simplificamos por 2:

x = -2/3

Ecuaciones literales de primer grado

Una ecuación de primer grado literal es aquella que contiene expresiones literales

además de la incógnita. Por convención, se identifica como incógnitas a las

Page 35: Portafolio de algebra

últimas letras del alfabeto y como literales a las primeras letras del alfabeto (estos

literales se suponen valores constantes). Para resolver ecuaciones literales se

efectúa el mismo procedimiento aplicado en la ecuación del ejemplo anterior. La

variante es que cuando tengamos todas las incógnitas a un lado de la ecuación,

factorizaremos por ella para poder despejarla.

Desarrollemos un ejemplo: ax – b(x – 1) = 3(x + a)

Tal como en el caso anterior, efectuamos las operaciones, reducimos términos

semejantes y trasponemos términos:

a) Resolvemos las operaciones ax – bx + b = 3x + 3a

b) Reducimos términos semejantes y trasponemos términos: ax – bx – 3x = 3a – b

c) Factorizamos al lado izquierdo por la incógnita: x(a – b – 3) = 3a – b

d) Para despejar x y calcular su valor, debemos dividir por (a – b – 3):

(¿Por qué se divide? Porque el factor de la incógnita es diferente de 1)

Ejemplos de planteo de ecuaciones:

Ejemplo 1:

Encuentra dos números consecutivos cuya diferencia de cuadrados sea igual a 9.

Sean x y x + 1 los números. Entonces, según el enunciado dado:

(x + 1)2 – x2 = 9; desarrollando el cuadrado de binomio, tenemos:

x2 + 2x + 1 – x2 = 9

2x + 1 = 9

x = 4;

Por lo tanto los números son 4 y 5.

Page 36: Portafolio de algebra

Ejemplo 2:

Sergio tiene un año más que el doble de la edad de Humberto, y sus edades

suman 97. ¿Qué edad tiene el menor?

Si x es la edad de Humberto, entonces la edad de Sergio es 2x + 1. Planteando

que la suma de las edades es 97, obtenemos la ecuación:

x + 2x + 1 = 97

3x = 96

x = 32

Reemplazando este valor de x, se concluye que la edad de Humberto es 32 y la de Sergio es 65.

Respuesta: la edad del menor es 32.

Ejemplo:

1.-Resolución de la ecuación 2x - 3 = 2

1º paso: Se suma a los dos miembros 3.

2x -3 + 3 = 2 + 3

2x = 5

2º pasó. Se divide los dos miembros por 2.

2x /2 = 5/2

2.- Resolución de la ecuación 3x -2 = x + 5

1º paso: Restamos x a los dos miembros.

3x -2 -x = x - x + 5; 2x - 2 = 5

2º pasó. Sumamos 2 a los dos miembros.

2x - 2 + 2 = 5 + 2; 2x = 7

Page 37: Portafolio de algebra

3º pasó. Dividimos por 2, el coeficiente de la x

2x/2 = 7/2

SOLUCIÓN: x = 7 / 2

3.- Resolución de la ecuación 5x - 4 + x = 7 - 3x + 5

1º paso: Se simplifica los dos miembros.

6x - 4 = 12 - 3x

2º paso: Sumamos 3x a los dos miembros.

6x + 3x - 4 = 12 - 3x + 3x; 9x -4 = 12

3º paso. Sumamos 4 a los dos miembros.

9x - 4 + 4 = 12 + 4; 9x = 16

4º paso: Dividimos por 9

SOLUCIÓN: x = 16 / 9

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRÁTICAS)

Ecuaciones de segundo grado y una incógnita

Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras.

Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra,

llamada incógnita, que suele ser la x.

Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo

por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad.

Ese valor es la solución de la ecuación.

Ejemplo: Resolver la ecuación x − 1 = 0

El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo

tanto, 1 es la solución de la ecuación.

Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es

una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas),

Page 38: Portafolio de algebra

que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una

sola, e incluso ninguna).

Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la

siguiente forma:

ax2 + bx + c = 0

Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números

reales que corresponda en cada caso particular.

Solución de ecuaciones cuadráticas

Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx +

c = 0, donde a, b, y c son números reales.

Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:

Ejemplos:

9x2 + 6x + 10 = 0 a = 9, b = 6, c = 10

3x2 – 9x + 0 = 0 a = 3, b = –9, c = 0 (el cero, la c, no se escribe, no está)

–6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)

Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de

las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:

Solución por factorización

En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo

grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda

factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.

Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.

Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable.

Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus

multiplicandos, o ambos, es igual a cero.

Ejemplos

Page 39: Portafolio de algebra

1) Resolver

(x + 3)(2x − 1) = 9

Lo primero es igualar la ecuación a cero.

Para hacerlo, multiplicamos los binomios:

Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:

Ahora podemos factorizar esta ecuación:

(2x − 3)(x + 4) = 0

Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las

incógnitas:

Si

2x − 3 = 0

2x = 3

Si

x + 4 = 0

x = −4

Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:

(x + 3)(2x − 1) = 9

2x2 + 5x − 12 = 0

2x2 + 5x = 12

2x2 − 12 = − 5x

2) Halle las soluciones de

La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus

factores a cero y luego resolver en términos de x:

Page 40: Portafolio de algebra

Ahora, si

x = 0

o si

x− 4 = 0

x = 4

Solución por completación de cuadrados

Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar

un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden

realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:

(ax + b)2 = n

en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2, es el cuadrado de la suma

de un binomio.

Partiendo de una ecuación del tipo

x2 + bx + c = 0

por ejemplo, la ecuación

x2 + 8x = 48, que también puede escribirse x2 + 8x − 48 = 0

Al primer miembro de la ecuación (x2 + 8x) le falta un término para completar

el cuadrado de la suma de un binomio del tipo

(ax + b)2

Que es lo mismo que

(ax + b) (ax + b)

Que es lo mismo que

ax2 + 2axb + b2

En nuestro ejemplo

Page 41: Portafolio de algebra

x2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo

tanto, ese número debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4,

y como en el cuadrado de la suma de un binomio ( a2 + 2ab + b2) el tercer término

corresponde al cuadrado del segundo término (42 = 16) amplificamos ambos

miembros de la ecuación por 16, así tenemos

x2 + 8x + 16 = 48 + 16

x2 + 8x + 16 = 64

la cual, factorizando, podemos escribir como sigue:

(x + 4) (x + 4) = 64

Que es igual a

(x + 4)2 = 64

Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos

Nos queda

x + 4 = 8

Entonces

x = 8 − 4

x = 4

Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la

ecuación se logró obtener la expresión (x + 4)2, que es el cuadrado perfecto de un

binomio.

Veamos otro ejemplo:

Partamos con la ecuación

x2 + 6x − 16 = 0

Hacemos

x2 + 6x = 16

Luego, a partir de la expresión x2 + 6x (primer miembro de la ecuación) debemos

obtener una expresión de la forma (ax + b)2 (cuadrado de la suma de un binomio).

Page 42: Portafolio de algebra

Para encontrar el término que falta hacemos

(Para encontrar dicho término en cualquier ecuación siempre debemos dividir por

2 el valor real del segundo término y el resultado elevarlo al cuadrado).

Ahora, para obtener la expresión completa se suma 9 a ambos miembros de la

ecuación:

x2 + 6x = 16

x2 + 6x + 9 = 16 + 9

x2 + 6x + 9 = 25

factorizamos, y queda

(x +3) (x + 3) = 25

(x + 3)2 = 25

La expresión x2 + 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este

caso (x + 3)2, y así la ecuación se resuelve con facilidad:

Extraemos raíz cuadrada

y queda

x + 3 = 5 y x + 3 = −5

(pues 52 = 5 y también (−5)2 = 5

Entonces

x = 5 − 3

x = 2

Y

x = − 5 − 3

x = − 8

La ecuación 1 da x = 2 y la ecuación 2 da x = −8.

Page 43: Portafolio de algebra

Solución por la fórmula general

Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado,

que es la siguiente:

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el

signo menos (−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se

limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la

fórmula.

La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para

resolver cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y

obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.

Resolver la ecuación 2x2 + 3x − 5 = 0

Vemos claramente que a = 2, b = 3 y c = −5, así es que:

Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el –

Así es que las soluciones son

Page 44: Portafolio de algebra

PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES

Para tener éxito en algebra, debe entender como sumar, restar, multiplicar y dividir

números Reales.

Dos números, en la recta numérica, que están a la misma distancia del cero pero

en direcciones opuestas se denominan:

Inversos aditivos, opuestos o simétricos uno del otro. Por ejemplo.

3 es el inverso aditivo de -3, y -3 es el inverso aditivo de 3

El numero 0 (cero) es su propio inverso aditivo.

La suma de un número y su inverso aditivo es 0 (cero).

Inverso aditivo

Para cualquier número real de a, su inverso aditivo es –a.

Considere el número -4. Su inverso aditivo es -(-4). Como sabemos que este

número debe ser positivo, esto implica que -(-4) = 4. Éste es un ejemplo de la

propiedad del doble negativo.

Propiedad del doble negativo

Para cualquier número real a, -(-a) = a

Por la propiedad del doble negativo, -(-6.9) = 6.9

Valor absoluto

El valor de cualquier número distinto del cero siempre será un nuero positivo, y el

valor absoluto de 0 es 0.

Para determinar el valor absoluto de un número real, use la definición siguiente.

La definición de valor absoluto indica que el valor absoluto de cualquier número no

negativo, es el mismo, y el valor absoluto de cualquier número negativo es el

inverso aditivo (opuesto9 del número.

Page 45: Portafolio de algebra

El valor absoluto de un número puede determinarse por medio de la definición. Por

ejemplo.

Operaciones con los números Reales

1. Sumar números reales

Para sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos

negativos)

Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo común antes de la suma.

La suma de dos números positivos será un número positivo, y la suma de dos

números negativos será un número negativo.

Ejemplo.

-5 + (-9)

Solución:

Como ambos números que se suman son negativos, la suma será negativa.

Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos números y coloque

un signo negativo antes del valor.

Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro

negativo)

Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el

signo del número con el valor absoluto más grande.

La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva, negativa

o cero, el signo de la respuesta será el mismo signo que el numero con mayor

valor absoluto.

Ejemplo.

3 + (-8)

Page 46: Portafolio de algebra

Como los números que se suman son de signos opuestos, restamos el valor

absoluto más pequeño del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor

absoluto.

Ahora determinamos la diferencia, 8 – 3 = 5. El número -8 tiene un valor absoluto

mayor que el número 3, por lo que la suma es negativa.

3 + (-8) = -5

Restar números reales

Todo problema de sustracción puede expresarse como un problema de suma por

medio de la regla siguiente.

a – b = a + (-b)

Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a

Ejemplo.

5 - 8 significa 5 – (+8). Para restar 5 – 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5.

5 – 8 = 5 + (-8) = -3

Multiplicar números reales

Para multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos

negativos, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva.

Para multiplicar dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo,

multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa.

Ejemplo

Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando

exista un número impar de números negativos. El producto será positivo cuando

exista un número par de números negativos.

Propiedad del cero en la multiplicación

Para cualquier número a,

Dividir números reales

Para dividir dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos,

divida sus valores absolutos. La respuesta es positiva.

Page 47: Portafolio de algebra

Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo,

divida sus valores absolutos. La respuesta es negativa.

Ejemplos.

Cuando el denominador de una fracción es un numero negativo, por lo común

reescribimos la fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el

hecho siguiente.

Propiedades de los números reales.

Propiedades de los números reales.

b) ecuaciones fraccionarias

En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).

Para proceder a la resolución se debe:

Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)

Ejemplo:

m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12

Page 48: Portafolio de algebra

c) ecuaciones literales

Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.

Ejemplo:

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente la forma:

Donde cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuación de una recta.

Page 49: Portafolio de algebra

Determinar la solución del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambas

ecuaciones, esto es, hallar el punto donde se intersectan ambas rectas.

Gráficamente, la situación es la siguiente

Sistema compatible indeterminado

Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas

Se puede ver:

Con lo que podemos decir que la primera ecuación multiplicada por

tres da la segunda ecuación, por lo tanto no son dos ecuaciones

independientes, sino dos formas de expresar la misma ecuación.

Tomando una de las ecuaciones, por ejemplo la primera, tenemos:

Page 50: Portafolio de algebra

CLASIFICAMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

a) 2 x + y = 6 2 x - y = 2

a) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación:

Dos soluciones de la primera ecuación son:

x = 1, y = 4; x = 2, y = 2

Dos soluciones de la segunda ecuación son:

x = 1, y= 0; x = 2, y = 2

Las rectas se cortan en un punto que será la solución:x = 2, y = 2. Por

tanto, el sistema será compatible determinado. Vemos la representación

más abajo

Page 51: Portafolio de algebra

.x + y = 3 2

x + 2 y = 6

b) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación:

Dos soluciones de la primera ecuación son:

x = 0, y = 3; x = 3, y = 0

Dos soluciones de la segunda ecuación son:

x = 1, y = 2; x = 2, y = 1

Las rectas coinciden, toda la recta es solución del sistema (infinitas

soluciones). Por tanto, el sistema será compatible indeterminado. Vemos

la representación más abajo

b) x + y = 3

x + y = - 1

c) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación:

Dos soluciones de la primera ecuación son:

x = 0,y = 3; x = 3,y = 0

Dos soluciones de la segunda ecuación son:

x = 0, y =-1; x = -2, y = 1

Las rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, luego el

sistema no tiene solución. Por tanto, el sistema será incompatible. Vemos

la representación siguiente

Page 52: Portafolio de algebra

Método de reducción

Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número

de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita.

Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros

de la ecuación por dicho número.

Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro

derecho (izquierdo) es la suma de los miembros derechos (izquierdos ) de las

ecuaciones que se suman.

Ejemplo

Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las

ecuaciones

El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación

Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es

La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la

desaparezca al sumar ambas ecuaciones.

Page 53: Portafolio de algebra

Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de

partida, se obtiene

Que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .

Método de igualación

El método de igualación consiste en lo siguiente:

Supongamos que tenemos dos ecuaciones:

Donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son

expresiones algebraicas ).

De las dos igualdades anteriores se deduce que

Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en ,

entonces la ecuación

No contendría dicha incógnita.

Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta

llegar a una ecuación con solo una incógnita, digamos .

Page 54: Portafolio de algebra

Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por su solución

en otras ecuaciones donde aparezca para reducir el número de incógnitas en

dichas ecuaciones.

Ejemplo

El sistema de ecuaciones

Es equivalente a este otro

El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en del miembro de la

izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer

sistema.

Del segundo sistema se deduce que

Que es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es .

Sustituyendo por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que

Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .

Método de sustitución

Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma

Entonces podemos despejar en la segunda ecuación y sustituirla en la primera,

para obtener la ecuación:

Page 55: Portafolio de algebra

Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de partida.

Aquí y son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema.

Ejemplo

Intentemos resolver

La primera ecuación se puede reescribir de la forma

Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que

Sustituyendo por en

Se tiene que

Que es una ecuación con solo una incógnita y cuya solución es .

Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de

partida obtenemos una ecuación de una sola incógnita

Cuya solución es .

Page 56: Portafolio de algebra

Método de Gauss

Gauss es uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos. ¡Fue un

GENIO!

El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente.

Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones

elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o

inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy

fácil de resolver.

Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con

ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el

escribir las incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre

en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que

multiplican.

Ejemplo

La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

Es:

Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:

Page 57: Portafolio de algebra

Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda

ecuación la primera.

Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas (ecuaciones ), obtenemos la

siguiente matriz triangular superior:

Que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

Que es equivalente al inicial.

Solucionamos la tercera ocupación para obtener :

En la primera y segunda ecuación, sustituimos por la solución de la tercera

ecuación ( ), para obtener:

La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incógnita, , que

resolvemos para obtener . Sustituimos, en la primera ecuación, por 1

( ). Esto nos da una ecuación en :

Que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:

Page 58: Portafolio de algebra

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Es la representación de un símbolo algebraico o de

una o más operaciones algebraicas.

TÉRMINO. Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios

símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Los elementos de un término

son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.

GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO. Es la suma de los exponentes de sus

factores literales.

GRADO DE UN TÉRMINO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el exponente de

dicha letra.

CLASES DE TÉRMINOS. El término entero es el que no tiene denominador literal,

el término fraccionario es el que tiene denominador literal. El término racional es el

que no tiene radical, e irracional el que tiene radical.

TÉRMINOS HOMOGÉNEOS. Son los que tienen el mismo grado absoluto.

TÉRMINOS HETEROGÉNEOS. Son los de distinto grado absoluto.

TÉRMINOS SEMEJANTES. Dos términos son semejantes cuando tienen la

misma parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales

exponentes.

10 Ejemplos de Términos Semejantes:

1. x es semejante con 3x ya que ambos términos tienen la misma literal (x).

2. xy2 es un término semejante a -3y2x ya que ambos tienen la misma literal

(xy2 = y2x)

3. 5xyrb es un término semejante con –xyrb

Page 59: Portafolio de algebra

4. 4bx2 no es semejante a 4b2x ya que el literal bx2 no es igual al b2x.

5. 5hk es semejante a 6hk porque tiene la misma literal (hk)

6. 4(jk)3 es semejante a 9j3k3 porque (jk)3 = j3k3

7. 5ty es semejante a 3ty

8. 5kl4 es semejante a -2kl4

9. 68lky5 es semejante a -96lky5

10. 378ab3c2 no es semejante a 378a2b3c

CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA

MONOMIO. Es una expresión algebraica que consta de un solo término.

BINOMIO. Es un polinomio que consta de dos términos.

TRINOMIO. Es un polinomio que consta de tres términos.

Page 60: Portafolio de algebra

POLINOMIO. Es una expresión algebraica que consta de más de un término.

GRADO DE UN MONOMIOS

Llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de su parte literal: El

monomio es de grado: 2 + 3 + 1 = 6º grado.

El grado lo podemos considerar respecto a una letra. En el ejemplo anterior, el

grado respecto a la letra a es 2, respecto a b es 3 y respecto a c es 1.

GRADO DE UN POLINOMIO

Es el mayor de los grados de los monomios que contiene el polinomio:

9.5 ¿Cuál es el grado de: ?

9.6 ¿Cuál es el grado de: ?

ORDENAR UN POLINOMIO

Ordenar un polinomio es colocar los monomios de mayor a menor teniendo en

cuenta su grado:

9.8 Ordena el polinomio:

Respuesta:

Page 61: Portafolio de algebra

NOMENCLATURA ALGEBRAICA

1. Dígase qué clase de términos son los siguientes atendiendo al signo, a si

tienen o no denominador y a si tienen o no radical:

S o l u c i ó n :

2. Dígase el grado absoluto de los términos seguientes:

S o l u c i ó n :

3. Dígase el grado de los términos siguientes respecto de cada uno de sus

factores literales:

Page 62: Portafolio de algebra

4. De los términos siguientes escoger cuatro que sean homogéneos y tre

hetereogéneos

S o l u c i ó n :

5. Escribir tres términos enteros; dos fraccionarios; dos positivos, enteros y

racionales; tres negativos, fraccionarios e irracionales

S o l u c i ó n :

6. Escribir un término de cada uno de los grados absolutos siguientes: tercer

grado, quinto grado, undécimo grado, décimo quinto grado, vigésimo grado

S o l u c i ó n :

Page 63: Portafolio de algebra

7. Escribir un término de dos factores literales que sea de cuarto grado con

relación a la x; otro de cuatro factores literales que sea de séptimo grado con

relación a la y; otro de cinco factores literales que sea de décimo grado con

relación a la b

S o l u c i ó n :

DESCOMPOSICIÒN FACTORIAL

- Factores

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a los que el producto entre sí (de estos factores) nos da la expresión primitiva. Así, efectuando el producto entre a y a + b, se obtiene:

a y abe, cuyo producto entre sí dan la expresión a2 + ab, estos son los divisores de a2 + ab de tal manera que:

(X+3)(X+5) = x2 + 8x + 15

Donde (x+3) (X+5) son los factores de x2 + 8x + 15

Métodos para la factorización de polinomios

Todo Polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.

Binomios

Diferencia de Cuadrados

Suma o diferencia de Cubos

Suma o diferencia de potencias impares iguales

Trinomios

Trinomio cuadrado perfecto

Trinomio de la forma x²+bx+c

Trinomio de la forma ax²+bx+c

Page 64: Portafolio de algebra

Polinomios

Factor común

Factorizar un monomio

Se descompone el término en el producto de factores primos.

Ejemplo:

Factorizar un polinomio

No todo polinomio se puede descomponer en un producto indicado de dos o más

factores distintos de 1, ya que de la misma forma que en Aritmética, hay números

primos que sólo son divisibles por la unidad y por sí mismos, en Algebra, hay

expresiones algebraicas que sólo son divisibles por la unidad y por ellas mismas,

en consecuencia, no son el producto de otras expresiones algebraicas. Así a + b

no puede descomponerse en dos factores distintos de 1 porque sólo es divisible

por a + b y por la unidad.

A continuación diferentes casos de descomposición factorial.

Caso I: Factor común

Factor común.

Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.

Ejemplos:

a) Descomponer en factores a2 + 2a

a2 y 2a contienen el factor común a. Se escribe este factor común como

coeficiente de un paréntesis, dentro de este paréntesis se escriben los cocientes

obtenidos de efectuar el cociente entre a2 y a y 2a ya

Obteniendo como resultado: a2 + 2a = a(a + 2)

Page 65: Portafolio de algebra

b) Factorizar 10b - 40ab2

Los coeficientes numéricos tienen los factores 2,5 y 10. Se toma el 10 porque

siempre se escoge el mayor factor común. De las variables, el único factor común

es b ya que se haya en los dos términos del binomio y se toma con su menor

exponente. El factor común será 10b

Obteniendo: 10b - 40ab2 = 10b(1 - 4ab)

c) Descomponer en factores:

10a2 - 5a + 15a3 = 5a (2a - 1 + 3a2)

Factor común de un polinomio

a) Descomponer en factores: x(a+b)+y(a+b)

Los dos términos de la expresión tienen como factor común (a+b). Se

escribe (a+b) como coeficiente de un paréntesis, dentro del paréntesis se escriben

los cocientes de dividir x(a+b) entre (a+b) y y(a+b) entre (a+b).

Factorizando se obtiene:

x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y)

x(a+b)+y(a+b) = ax+bx+ay+yb y (a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by

Obteniendo:

x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y) y ax+bx+ay+yb = ax+ay+bx+by

Factor común por agrupación de términos

Se agrupan los términos que tengan factor común, asociándolos entre paréntesis y

luego se extrae el factor común de cada uno.

Ejemplos

a) Factorizar ax + by +ay + by

Los dos primeros términos tienen el factor común x, y los dos últimos tienen el

factor común y, asociando los dos primeros términos en un paréntesis y los dos

Page 66: Portafolio de algebra

últimos también en un paréntesis precedido de un signo + ya que el tercer término

es positivo se obtiene:

ax+bx+ay+by = (ax+bx)(ay+by)

ax+bx+ay+by = x(a+b) + y(a+b) extrayendo los factores comunes

ax+bx+ay+by = (a+b)(x+y) factorizando

Nota: La asociación de términos puede hacerse de varios modos y siempre se obtendrá el mismo resultado.

Trinomio cuadrado perfecto

Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales.

Asi, 16a2 es cuadrado perfecto de 4a.

En efecto (4a2) = 4a x 4a = 16a2, 4a cantidad que multiplicada por si misma da 16a2, 4a es la raíz cuadrada de 16a2.

Sin embargo (-4a2) = (-4a)((-4a) = 16a2, luego (-4a) es también raíz de 16a2, por lo que la raiz cuadrada de una cantidad positiva tiene los signos (+) y (-).

Raíz cuadrada de un monomio

Para extraer la raíz cuadrada de un monomio, se saca la raíz cuadrada de su

coeficiente numérico y se dividen los exponentes de cada cantidad literal entre 2.

Ejemplo: La raíz cuadrada de 25a2b4 es 5ab2

Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, es decir,

es el producto de dos binomios iguales.

Así, a2 + 2ab + b2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a + b

Por tanto:

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2

Page 67: Portafolio de algebra

Trinomios de la forma x2 + px + q

En el producto notable (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab observa que se obtiene

un trinomio de la forma x2 + px + q, haciendo para ello a + b = p y ab = q

Por tanto:

Un trinomio de la forma x2 + px + q se puede descomponer en el producto de dos

factores: (x + a) y (x + b) si podemos encontrar dos números a y b cuya suma

algebraica sea p y cuyo producto sea

(Baldor, 2013)

OPERACIONES CON FRACCIONES

SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES

Para entender mejor este tema, lo que haremos primero es repasar como se

resuelven las sumas y las restas cuando tenemos fracciones.

En principio podemos distinguir dos situaciones diferentes; cuando las fracciones tienen igual denominador, y cuando tienen distintos denominadores. En el primer caso, el resultado de una suma algebraica de fracciones de igual denominador, es una fracción que tendrá el mismo denominador que las fracciones dadas y su numerador será la suma algebraica de los numeradores de las fracciones dadas.

En el segundo caso, cuando se tienen distintos denominadores, se puede optar por dos caminos. Uno de ellos, implica determinar el mínimo común múltiplo de los denominadores, el cual será el denominador de la fracción resultado, en tanto que el numerador será la suma algebraica de números que surgen de dividir el mínimo común múltiplo que hemos determinado, por cada uno de los denominadores de las fracciones dadas, y al resultado de cada una de estas divisiones se lo multiplica por su respectivo numerador, se hace la suma algebraica del numerador y ya está.

Page 68: Portafolio de algebra

El otro camino implica determinar el mínimo común múltiplo de los

denominadores, y después, expresar cada una de las fracciones como fracciones

equivalentes cuyos denominadores serán el mínimo común múltiplo que se ha

determinado, con lo cual se consigue transformar una suma algebraica de

fracciones de distinto denominador en una suma algebraica de igual denominador,

que se resuelve como ya hemos visto.

Ahora bien, todo lo que hemos desarrollado se aplica, para las expresiones algebraicas fraccionarias. De modo tal que si se tiene una expresión con igual denominador, se mantiene el denominador y se suman o restan sus denominadores según sea el caso.

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Multiplicar fracciones es muy sencillo, solo hay que multiplicar los numeradores y

los denominadores entre sí.

Para las fracciones algebraicas, pasa lo mismo. Es decir hay que multiplicar los

polinomios que están en los numeradores, entre sí, y de igual manera se

multiplican entre sí los polinomios que están en los denominadores.

En la práctica, procederemos de la siguiente manera:

1) Factoramos todos los polinomios.

Page 69: Portafolio de algebra

2) Simplificamos lo que se pueda.

3) Ponemos como resultado, los factores que no se cancelaron.

Veamos un ejemplo:

DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

La división de fracciones tampoco es muy complicada. Se realiza el producto

cruzado entre los numeradores y los denominadores.

Caso contrario, se multiplica la primera por la recíproca de la segunda.

(Traducción: se invierte la segunda de las fracciones, con lo cual se transforma la

división en una multiplicación, y se resuelve el ejercicio como un producto).

Desarrollando por el segundo método.

Page 70: Portafolio de algebra

Ahora, cuando tenemos fracciones algebraicas, se procede de la misma manera.

Es decir hay que invertir la segunda fracción y resolverla como una multiplicación.

Formula:

RESOLUCION POR COMPLEMENTACION DE UN TRINOMIO CUADRADO

En este tipo de expresión, hace falta un término cuadrático, para transformar a la

expresión original en un trinomio cuadrado perfecto.

Dicho término cuadrático se suma y se resta, al mismo tiempo, garantizando que

en realidad estamos agregando 0, es decir que no estamos alterando la expresión

básica en nada.

La parte positiva de las dos que se han agregado, se suma a la parte de la

expresión básica que necesitaba esa adición para transformar dicha parte básica

en un trinomio cuadrado perfecto. La parte negativa queda agregada al final de

todo.

Se factoriza la parte que ha quedado transformada en un trinomio cuadrado

perfecto.

Ahora se tendrá una diferencia de cuadrados, en la cual el primer término es el

trinomio cuadrado perfecto factorizado, y la otra es la parte negativa de las dos

expresiones cuadráticas que se agregaron.

Dicha diferencia de cuadrados se vuelve a factorizar, como tal, y deja la expresión

original totalmente factorizada, mediante la completación de un trinomio cuadrado

perfecto y de llevar todo a una diferencia de cuadrados.

Page 71: Portafolio de algebra

Cuando mencionamos el caso cinco es porque un autor decidió enumerar los

casos, para nosotros es conocido como completación del trinomio cuadrado

perfecto, entonces para hacerlo recordemos que es el trinomio cuadrado perfecto.

Recordemos que sabíamos que era un trinomio cuadrado perfecto si tomábamos

las raíces y encontrábamos el doble producto. En este caso la factorización es

muy simple, pongamos las raíces en un paréntesis y pongamos entre ellas el

signo del doble producto y elevemos al cuadrado, esa es la factorización del

trinomio cuadrado perfecto. Pero vamos a ver ahora trinomios donde no

encontramos ese doble producto pero haciendo un artilugio matemático podemos

lograrlo para luego volver esa expresión en una diferencia de cuadrados que es

otro caso distinto. Para averiguar si es cuadrado perfecto tomamos las raíces

siempre de los que estén solos. El problema de las matemáticas es que si yo

sumo algo también se lo debo restar porque al restarlo no afectó la expresión.

Luego de eso si se puede factorizar. Aunque hagamos la completación y

obtuvimos un trinomio, simplemente tuve una diferencia y para factorizar se deben

obtener productos. Entonces se debe hacer una diferencia de cuadrados porque lo

bueno del trinomio cuadrado perfecto es que cuando yo lo factorizo siempre se me

genera un cuadrado y si la expresión que sume y reste no me queda al cuadrado

entonces el caso no aplica, o sea que no podemos usar el caso cinco. Siempre

que haya completación tengo que darme cuenta que lo que vaya a sumar o restar

tenga raíz. Al tener las dos raíces y el doble producto ya puedo empezar a

factorizar, poniendo entre paréntesis las raíces, el signo de la mitad que en este

caso si importa. Con esto dejamos por explicado como se resuelven trinomios y

binomios utilizando la completación del trinomio cuadrado perfecto.

2 Comentarios en: factorización por completación del trinomio cuadrado perfecto

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS

Las funciones cuadráticas son más que curiosidades algebraicas — son

ampliamente usadas en la ciencia, los negocios, y la ingeniería. La parábola con

forma de U puede describir trayectorias de chorros de agua en una fuente y el

Page 72: Portafolio de algebra

botar de una pelota, o pueden ser incorporadas en estructuras como reflectores

parabólicos que forman la base de los platos satelitales y faros de los carros. Las

funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y pérdidas en los negocios,

graficar el curso de objetos en movimiento, y asistir en la determinación de valores

mínimos y máximos. Muchos de los objetos que usamos hoy en día, desde los

carros hasta los relojes, no existirían si alguien, en alguna parte, no hubiera

aplicado funciones cuadráticas para su diseño.

Ejemplos:

Resolver la siguiente ecuación x 2 + 4 x = 12

Solución:

Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general.

x 2 + 4 x - 12 = 0

Paso 2: Factorizar

x 2 + 4 x - 12 = 0 ( x + 6 ) ( x - 2 ) = 0

Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x

x + 6 = 0 x = - 6 x - 2 = 0 x = 2

Paso 4: Verificar la solución.

Verificar x=-6

x 2 + 4 x - 12 = 0 ( -

6 ) 2 + 4 ( - 6 ) -12 = 0 36 -

24 - 12 = 0 0 = 0

Verificar x=2

x 2 + 4 x - 12 = 0 ( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) -

12 = 0 4 + 8 - 12 = 0 0 = 0

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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI ESCUELA DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO ÁLGEBRA NOMBRE: GABRIELA GONZÁLEZ PRIMERO “A” 01/08/2013. FRACCIONES ALGEBRAICAS DEFINICION Se llama fracción algebraica al cociente indicado de dos polinomios P(x)/Q(x). El dividendo se llama numerador y el divisor se llama denominador. EJEMPLO: Para simplificar fracciones algebraicas se factoriza tanto el numerador como el denominador y se aplica la ley de cancelación. Si A y B son dos expresiones algebraicas con B ≠ 0, y en B aparece al menos una variable con exponente entero positivo, el cociente indicado recibe el nombre de fracción algebraica. Son fracciones algebraicas:

Son fracciones algebraicas: (CHARRIS, 2011)

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Bibliografía CHARRIS, M. (17 de 03 de 2011). PROGRAMA DE NIVELACION EN MATEMÁTICA. Obtenido de PROGRAMA DE NIVELACION EN MATEMÁTICA: http://nivelandomatematica.blogspot.com/2011/03/fracciones-algebraicas_17.html OPERACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Las operaciones que se pueden realizar con las fracciones algebraicas son:

Suma y Resta

Multiplicación

División SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Se dice que una fracción está reducida a sus términos más sencillos o totalmente simplificados, cuando no existe ningún factor común al numerador y denominador. Evidentemente una fracción dada puede reducirse a sus términos más sencillos dividiendo el numerador y el denominador entre los factores que tengan en común. Ejemplo: Simplifica la siguiente fracción: Operaciones con fracciones algebraicas Multiplicación Para multiplicar fracciones algebraicas se procede de forma análoga que para multiplicar fracciones comunes. Con el objetivo de obtener un resultado ya simplificado, es conveniente proceder de la forma siguiente: Factoriza los numeradores y denominadores de las fracciones dadas (cuando no lo estén ya).

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Simplificar los factores que se comunes a los numeradores y denominadores.

Efectuar las multiplicaciones indicadas. Ejemplo: Efectúa las multiplicaciones siguientes: Como los denominadores y los numeradores son monomios, se procede a simplificar y después efectuamos los productos indicados. Descomponemos en este caso el numerador del primer factor (diferencia de cuadrado), el numerador del segundo factor (binomio, extracción de factor común) y el denominador del segundo factor (trinomio) Simplificamos y efectuamos la multiplicación Eliminamos el paréntesis multiplicando 2porm+2 División El procedimiento para dividir fracciones algebraicas es el mismo que ya conoces para dividir fracciones comunes. Si tenemos las fracciones algebraicasse cumple que: Luego: Para dividir una fracción algebraica por otra, se efectúa el producto del dividendo por el recíproco del divisor. Ejemplo: Efectúa las divisiones siguientes:

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1. Efectuamos el producto del dividendo por el recíproco del divisor.

2. Descomponemos: en el numerador del primer factor la diferencia de cuadrado y extraemos factor común en el denominador del segundo factor.

3. Efectuamos la multiplicación y eliminamos el paréntesis. Adición y sustracción Para adicionar o sustraer fracciones algebraicas se procede de forma análoga que para multiplicar fracciones comunes. Luego aplicaremos el procedimiento siguiente: Determinar el m.c.m de los denominadores, que será el denominador común.

Dividir el denominador común por cada uno de los denominadores y ampliar los numeradores

Efectuar los productos indicados en el numerador y reducir términos semejantes, en caso de que existan.

Simplificar el resultado si es posible. CLASES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Fracción algebraica simple Es la que el numerador y denominador son expresiones racionales enteras.

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Fracción propia e impropia Una fracción simple se llama propia si el grado del numerador es menor que el grado del denominador; y se llama impropia si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador. Fracción compuesta Una fracción compuesta es aquella que contiene una o más fracciones ya sea en su numerador o en su denominador, o en ambos. DEFINICION y SIGNOS DE UNA FRACCION SIGNOS: Toda fracción algebraica tiene tres signos:

DEFINICION Se llama fracción algebraica al cociente indicado de dos polinomios P(x): Q(x). El dividendo se llama numerador y el divisor se llama denominador. CONCLUSION: Este trabajo ha servido para poder reforzar algunos contenidos y para recordar lo ya aprendido de modo que se pueda ayudar a comprender mejor el tema.

Page 106: Portafolio de algebra

Al finalizar este trabajo dominare el concepto de fracción, y clasificar según lo aprendido las fracciones encontradas en nuestro día a día y nos permiten repartir un todo en partes iguales. (SOFIA, 2008) Bibliografía CHARRIS, M. (17 de 03 de 2011). PROGRAMA DE NIVELACION EN MATEMÁTICA. Obtenido de PROGRAMA DE NIVELACION EN MATEMÁTICA: http://nivelandomatematica.blogspot.com/2011/03/fracciones-algebraicas_17.html SOFIA, A. (03 de 05 de 2008). FRACCIONES ALGEBRAICAS. Obtenido de FRACCIONES

ALGEBRAICAS.

Page 107: Portafolio de algebra

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI

ÁLGEBRA

TEMA: ECUACIONES LINEALES

GABRIELA GONZÁLEZ

PRIMERO ―A‖

ING: OSCAR LOMAS

CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES

Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra

solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a

uno, que no se escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar

como rectas en el sistema cartesiano.

Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:

a) ecuaciones lineales propiamente tales

En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es

igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo).

Para proceder a la resolución se debe:

Eliminar paréntesis.

Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el

otro.

Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes. Ejemplo:

4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)

4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192

4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10

–35x = 182

b) ecuaciones fraccionarias

Page 108: Portafolio de algebra

En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las

expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).

Para proceder a la resolución se debe:

Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el

mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)

Ejemplo:

m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12

c) ecuaciones literales

Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal,

pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para

despejarla.

Ejemplo:

(LINEA, 2013)

Bibliografía

LINEA, P. E. (01 de 08 de 2013). PROFESOR EN LINEA. Obtenido de

PROFESOR EN LINEA:

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_lineales_tipos.html

GRÁFICAS DE ECUACIONES LINEALES

Page 109: Portafolio de algebra

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI ÁLGEBRA

TEMA: SISTEMA DE ECUACIONES

GABRIELA GONZÁLEZ

PRIMERO “A”

QUE ES SISTEMA DE ECUACION

¿Cuántos puntos vale cada bola?

Existen dos datos que no conocemos, los puntos

que vale una bola roja, y los que vale una bola

amarilla.

A estos datos que no conocemos los llamamos incógnitas, x e y.

x = Puntos bola roja

y = Puntos bola amarilla

Ya que 2 bolas rojas (2x) y una bola amarilla (y) son 5 puntos, se debe cumplir

que:

2x + y = 5

Por otro lado, 3 bolas rojas (3x) y cuatro bolas amarillas (4y) son 10 puntos, así

Page 110: Portafolio de algebra

que:

3x + 4y = 10

CONCLUSIÓN

Al concluir esta clase el estudiante deberá identificar los siguientes objetivos:

ógnitas por los distintos

métodos.

dos incógnitas.

incógnita

(vivos.net, 2013)

Bibliografía

vivos.net, libros. 2013. sistemsa de ecuaciones. sistema de ecuaciones . [En línea]

01 de 08 de

2013. http://www.librosvivos.net/smtc/hometc.asp?temaclave=1069.

Page 111: Portafolio de algebra

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA

ESTATAL DEL CARCHI

ÁLGEBRA

GABRIELA GONZÁLEZ

PRIMERO “A”

ING: OSCAR LOMAS

FUNCIONES CUADRÁTICAS

Definición de función cuadrática

•Sea a, b y c números reales con a‡0. La función de x dada por:

–f(x)= ax²+ bx + c

Será llamada una función cuadrática. La gráfica de una función cuadrática

•La gráfica de una función cuadrática tiene forma de U y se le llama parábola.

Formas…f(x) = x²f(x) = -x²

Punto mínimo Punto máximo La gráfica es cóncava hacia arriba

Page 112: Portafolio de algebra

La gráfica es cóncava hacia abajo con el punto mínimo

La forma estándar de la función cuadrática

•Una función cuadrática en la forma de f(x) = ax²+ bx+ c

•Se puede escribir en la forma estándar:

f(x) = a(x-h)²+ k, donde(h,k) representan el vértice de la función.

(Santiago, 2013)

Bibliografía

Santiago, Dra: Carmen Ivelisse. 2013. FUNCIONES CUADRATICAS.

FUNCIONES CUADRATICAS. [En

línea] 01 de 08 de 2013.

http://facultad.bayamon.inter.edu/csantiagor/math1500/funciones%20cuadr%C3%

A1ticas.pdf

Page 113: Portafolio de algebra

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL

DEL CARCHI

ÁLGEBRA

GABRIELA GONZÁLEZ

PRIMERO “A”

ING: OSCAR LOMAS

EJERCICIOS

1.- Resolver la ecuación

x² + 5x + 6 =0

δ₁ ●δ₂= 6 -> elemento libre

δ₁ + δ₂= - 5 -> coeficiente de x, con signo opuesto.

(x + 3)(x + 2) = 0; x₁ = - 3 y x₂ = - 2

2.- Resolvamos la ecuación.

. x ² + 3x =0

Factorizando obtenemos:

x ² + 3x = 0

X (x – 3) =0

Y aplicando la propiedad indicada, nos queda:

x₁ = 0 ó.... x₂ – 3 =0

x₁= 0 ó....... x₂ = 3

3.- Resolver la ecuación

9 – (x – 6)²= 2x – 2

9–(x –6)² =2x–2

9 – (x² - 12 x + 36) = 2x – 2

>- x² + 12 x – 36 = 2x – 11

Page 114: Portafolio de algebra

-x² + 10x – 25= 0 / -1

X² - 10x +25= 0

Factorizando y aplicando la propiedad indicada, nos queda:

X² - 10x +25= 0

δ₁ ●δ₂= 25 ->

Elemento libre

δ₁ + δ₂= 10 -> coeficiente de x, con signo opuesto.

δ₁ δ₂ δ₁ ●δ₂ δ₁ + δ₂5 25 -10

(x – 5)(x – 5)= 0

X – 5 = 0 => x₁ = 5

X – 5 => x₂ = 5

4.- Resolvamos la ecuación.....5x² + 11x =0

5x² + 11x =0

=> x (5x + 11) = 0

=> x = 0

=>5 x + 11 = 0

= > X = - 11/5

5.- Resolvamos la ecuación...... x² - 64= 0

x² - 64= 0

->x² - 8²= 0

Factorizando como suma por su diferencia nos queda:

ð (x – 8) (x + 8) = 0

ð x₁ = 8

ð x₂= -8

6.- Resolvamos la ecuación..... x² - 5=0

Page 115: Portafolio de algebra

x² - 5= 0

ð) x² - (√5)² =0

ð (x - √5) (x + √5)=0

ð x₁ = √5

ð x₂ = - √5

7.- Resolvamos la ecuación....... 2 x² - 50 = 0

ð) 2 x² - 50 = 0

ð 2x² = 50

ð x² = 50/2

ð x² = 25

ð x = √25

ð x = ± 5

ð x₁= 5

ð x₂= - 5

8.- Resolvamos la ecuación.....49x² - 1= 0

49x² - 1= 0

. ð 49 x² =1

ð x²= 1/49

ð x = √1/49

ð x = ± 1/ 7

ð x₁= 1/7

ð x₂= -1/7

10.- Resolvamos la ecuación... x² - 7x – 18 = 0

x² - 7x – 18 = 0

ð δ₁ ●δ₂= - 18 -> elemento libre

Page 116: Portafolio de algebra

ð δ₁ + δ₂= 7 -> coeficiente de x, con signo opuesto.

δ₁ δ₂ δ₁ ●δ₂ δ₁ + δ₂

- 6 3 -18 -3

-3 6 -18 3

9 -2 -18 7

-9 2 -18 -7

(x - 9)(x+2) = 0

x₁= 9; x₂= - 2

Page 117: Portafolio de algebra

(CUADRATICA, 2013)

Bibliografía

CUADRATICA, F. 2013. ECA Estudio y Centro de Aprendizaje . ECA Estudio y

Centro de Aprendizaje .

[En línea] 01 de 08 de 2013. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-

02/indice.htm..

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