Seminarul 1: Spatiu vectorial. Subspatiuvectorial

1 Notiuni teoretice

Definitia 1.1. Fie (K, +, ·) un corp comutativ si fie V 6= φ o multimeınzestrata cu o lege de compozitie interna, notata cu ” + ” : V × V → V , cucare formeaza un grup abelian. Spunem ca V este spatiu vectorial peste Kdaca putem introduce o operatie algebrica externa, notata ” · ” : K×V → V ,astfel ıncat sa fie ındeplinite urmatoarele conditii:i) (α + β) · v = α · v + β · v, ∀α, β ∈ K, ∀v ∈ V ;ii) (αβ) · v = α · (β · v), ∀α, β ∈ K, ∀v ∈ V ;iii)α · (v1 + v2) = α · v1 + α · v2,∀α ∈ K, ∀v1, v2 ∈ V ;iv) 1 · v = v, ∀v ∈ V.

Definitia 1.2. Fie V un spatiu vectorial si W o submultime nevida a lui V.Spunem ca W este subspatiu vectorial al lui V daca sunt verificate relatiile:i) ∀v1, v2 ∈ W ⇒ v1 + v2 ∈ W ;ii)∀α ∈ K, v ∈ W ⇒ α · v ∈ W.

Teorema 1.3. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:i) W subspatiu vectorial al lui V;ii)∀α, β ∈ K, v1, v2 ∈ W ⇒ α · v1 + β · v2 ∈ W.

2 Exercitii

Exercitiul 2.1. Fie V = (0,∞). Definim ” + ” : V × V → V si” · ” : R× V → V astfel:i) x⊕ y = xy, ∀x, y ∈ Vii) α · x = xα,∀α ∈ R,∀x ∈ V.Aratati ca (V,⊕, ·) este spatiu vectorial real.

Solutie. Pentru a arata ca (V,⊕, ·) este spatiu vectorial real verificammai ıntai ca (V,⊕) este grup abelian.

1

a)Partea stabila:Fie x, y ∈ V. Vreau x⊕ y ∈ V. Cum:x ∈ (0,∞) ⇒ x > 0;y ∈ (0,∞) ⇒ y > 0;Dar x⊕ y = xy si xy > 0 deci x⊕ y > 0 ⇒ x⊕ y ∈ V.

b)Asociativitatea:(x⊕ y)⊕ z = xy ⊕ z = xyz six⊕ (y ⊕ z) = x⊕ yz = xyz ⇒ (x⊕ y)⊕ z = x⊕ (y ⊕ z), ∀x, y, z ∈ V .

c)Element neutru:(∃)1 ∈ V astfel ıncat 1⊕ x = x⊕ 1 = x1 = x

d)Element simetric:∀x ∈ V, (∃)x−1 = 1

x> 0 ∈ V, aı x⊕ x−1 = x−1 ⊕ x = 1 (deoarece x 1

x= 1

xx =

1).e)Comutativitatea:

x⊕ y = y ⊕ x∀x, y ∈ V (deoarece xy = yx).

Sa mai aratam acum ca axiomele spatiului vectorial sunt satisfacute:i) α · (x ⊕ y) = α · x ⊕ α · y, ∀x, y ∈ V si ∀α ∈ R. Cum α · (x ⊕ y) =

α · (xy) = (xy)α = (x)α(y)α = (α · x)⊕ (β · y), pentru orice α, β ∈ R si oricex, y ∈ V.

ii)(α + β) · x = xα+β = xαxβ = (α · x)⊕ (β · y),∀ α, β ∈ R si orice x ∈ V.iii)(αβ) ·x = xαβ = (xβ)

α= (β · x)α = α ·(β ·x), ∀ α, β ∈ R si orice x ∈ V.

iv)1 · x = x1 = x,∀x ∈ V.

Exercitiul 2.2. Fie corpul K = Z2. Consideram Z2- spatiu vectorial

Zn2 := {x = (x1, ...., xn) | xi ∈ Z2, i = 1, ..., n} .

1. Cate elemente are acest spatiu vectorial ?

2. Verificati ca pentru orice x ∈ Zn2 , x + x = 0.

Solutie. Sa observam ca:Z2 = { 0, 1} deci are 2 elemente.Z2

2 = { (0, 0); (0, 1); (1, 0); (1, 1) } are 22 elemente.Z3

2 are 8 elemente. Demonstram prin inductie ca Zn2 are 2n elemente. Lucrul

acesta este evident daca privim la trecerea de la Z2 la Z22 sau de la Z2

2 la Z32.

Adica, cum Zn2 presupun ca are 2n elemente, deoarece la fiecare element din

Zn2 = adaug 0 sau 1 ⇒ Zn+1

2 = 2 · 2n = 2n+1.

Exercitiul 2.3. Fie (V, +, ·) un spatiu vectorial real, v0 ∈ V \ {0} fixat sif : R→ R o functie. Definim operatiile

x⊕ y = x + y − v0,

α¯ x = α · x + f (α) · v0.

2

Sa se determine functia f astfel ıncat (V,⊕,¯) sa fie spatiu vectorial real.

Solutie. Pentru det. functiei f sa punem conditia ca axiomele de spatiuvectorial sa fie verificate:i) α¯ (x⊕ y) = (α¯ x)⊕ (α¯ y) conduce laα¯ (x + y − v0) = (αx + f(α)v0)⊕ (αy + f(α)v0) ⇔α(x + y − v0) + f(α)v0 = αx + αy + f(α)v0 + f(α)v0 − v0 ⇔αx + αy − αv0 + f(α)v0 = αx + αy + f(α)v0 + f(α)v0 − v0 ⇔− αv0 = f(α)v0 − v0 ⇒ f(α) = 1− α.Verificam acum si celelalte trei axiome:ii) (α + β)¯ x = (α¯ x)⊕ (β ¯ x) ⇔(α + β)x + (1− α− β)v0 = (αx + (1− α)v0)⊕ (βx + (1− β)v0) ⇔αx + βx + v0 − αv0 − βv0 = αx + (1− α)v0 + βx + (1− β)v0 − v0.Analog se verifica iii) si iv).

Exercitiul 2.4. Aratati ca urmatoarele multimi formeaza subspatii vectorialeın R2 si reprezentati-le geometric:

1. W1 = {(x1, x2) ∈ R2 | x1 = x2} ;

2. W2 = {(x1, x2) ∈ R2 | x1 − 2x2 = 0} ;

3. W3 = {(x1, x2) ∈ R2 | x1 + 5x2 = 0} .

Solutie.1. Sa utilizam pentru demonstratie Teorema 1.0.3. Astfel, tinand cont

de proprietatea din definitie, putem scrie pe W1 ca: W1 = {(x, x)|x ∈R}. Fie α, β ∈ R si x, y ∈ W1. Sa aratam ca αx + βy ∈ W1. Cumx, y ∈ W1 ⇒ x = (x1, x1), y = (y1, y1). Calculand αx + βy obtinemαx + βy = (αx1, αx1) + (βy1, βy1) = (αx1 + βy1, αx1 + βy1) ∈ R. Samai precizam ca reprezentarea geometrica duce la prima bisectoare. ¤

2. In acest exemplu sa utilizam pentru demonstratie Definitia 1.0.2. Dacax, y ∈ W2 ⇒ x = (x1, x2), x1 − 2x2 = 0 si y = (y1, y2), y1 − 2y2 = 0. Sumax + y se scrie x + y = (x1 + y1, x2 + y2).i) Vreau x+y ∈ W2 adica (x1+y1)−2(x2+y2) = 0. Dar adunand x1−2x2 = 0cu y1− 2y2 = 0 si grupand termenii obtinem chiar (x1 + y1)− 2(x2 + y2) = 0.ii) Verific daca αx ∈ W2. Se obtine α(x1, x2) = (αx1, αx2) cu αx1−2αx2 = 0pentru ca x1 − 2x2 = 0. Din punct de vedere geometric, W2 este o dreaptacare trece prin origine. ¤

3. Sa utilizam pentru demonstratie Definitia 1.0.2. Consideram x, y ∈ W3

si verific daca x + y ∈ W3 si αx ∈ W3.

3

i) x + y ∈ W3 ⇔ (x1 + y1, x2 + y2) ∈ W3 si (x1 + y1) + 5(x2 + y2) =(x1 + 5x2) + (y1 + 5y2) = 0 + 0 = 0.ii) αx ∈ W3 ⇒ (αx1, αx2) ∈ W3 si αx1 +5αx2 = 0. ¤

Exercitiul 2.5. Fie spatiul vectorial real R3. Care din urmatoarele multimide vectori formeaza subspatii vectoriale ın R3?

1. W1 = {x = (x1, x2, x3) ∈ R3 | x1 = x2 = −x3} ;

2. W2 = {x = (x1, x2, x3) ∈ R3 | 2x1 + 3x2 = x3} ;

3. W3 = {x = (x1, x2, x3) ∈ R3 | x21 = x1 + x3} ;

4. W4 = {x = (x1, x2, x3) ∈ R3 | x2 = x33 − 1} ;

5. W5 = {x = (x1, x2, x3) ∈ R3 | x1 + x2 = 0} .

Solutie.1. Utilizam Teorema 1.0.3. Fie α, β ∈ R si x, y ∈ W1. Sa aratam ca

αx + βy ∈ W1. Din x ∈ W1 si y ∈ W1 ⇒ x = (x1, x1,−x1); y = (y1, y1,−y1).Se obtine deci ca αx + βy = (αx1 + βy1, αx2 + βy2, −(αx3 + βy3)) ∈ W1,adica W1 este subspatiu al lui R3. Din punct de vedere geometric, W1 este odreapta care trece prin origine. ¤

Exemplele de la 2, 3, 4 se verifica analog cu punctul 1.

Exercitiul 2.6. Fie

W1 = {f ∈ R[X] | f(0) = 1} ;

W2 = {f ∈ R[X] | f(0) = 0} ;

W3 = {f ∈ R[X] | 2f(0)− 3f(1) = 0} ;

W4 = {f ∈ R[X] | f(1) + f(2) + ... + f(k) = 0} , cu k ∈ N∗fixat.

Care din aceste multimi este subspatiu ın R[X]?

Solutie.1. Considerand f, g ∈ W1 ⇒ f(0) = 1 si g(0) = 1. Vreau (f + g)(0) = 1.

Dar (f + g)(0) = f(0) + g(0) = 1 + 1 = 2 ⇒ W1 nu este subspatiu.

2. Asemanator cu 1. se obtine W2 subspatiu ın R[X].

3. Este.

4

4. Consideram f, g ∈ W4. Calculand (f +g)(x) obtinem (f +g)(1)+(f +g)(2)+ ...+(f +g)(n) = (f(1)+f(2)+ ...+f(n))+(g(1)+g(2)+ ...+g(n)) =0 + 0 = 0. Asemanator, αf(x) = α((f(1) + f(2) + ... + f(n)) = α · 0 = 0.Deci W4 este subspatiu ın R[X].

Exercitiul 2.7. Fie n ∈ N, n ≥ 3. Fie

W1 = {(x1, ...xn) | x1 + x2 + ....xn = 0} ,

W2 = {(x1, ...xn) | x1 + x3 + ....xn = 0, x2 + xn = 0} .

Sa se verifice daca W1 si W2 sunt subspatii vectoriale ale lui Rn.

Solutie.Se poate utiliza Definitia 1.0.2. Considerand x, y ∈ W1 se verifica daca

x + y ∈ W1 si αx ∈ W1. Analog pentru W2.

Exercitiul 2.8. Fie V un K-spatiu vectorial si W1,W2 ∈ S(V ) doua subspatiiale lui V . Sa se arate ca W1 ∪W2 ∈ S(V ) ⇔ W1 ⊆ W2 sau W2 ⊆ W1

Solutie.⇐ Evident.⇒ Presupunem ca W1∪W2 ∈ S(V ). Consideram ca W1 * W2 si demonstramatunci ca W2 ⊆ W1. Din W1 * W2 ⇒ (∃)v1 ∈ W1 astfel ıncat v1 * W2. Fiev2 ∈ W2. Arat ca el este ın W1.Cum v1, v2 ∈ W1 ∪W2 ∈ S(V ) ⇒ v1 + v2 ∈ W1 ∪W2 si deci v1 + v2 ∈ W1 sauv1 + v2 ∈ W2.Cazul I: v1 + v2 ∈ W1 conduce la v2 ∈ W1 ¤Cazul II: v1 + v2 ∈ W2 si v2 ∈ W2 ⇒ (v1 + v2)− v2 = v1 ∈ W2. Contradictie!

5

Seminarul 2: Operatii cu subspatii vectoriale

1 Notiuni teoretice

Definitia 1.1. Fie V un spatiu vectorial real si W1, W2 ∈ S(V ). MultimeaW1 + W2 = {v = v1 + v2|v1 ∈ W1, v2 ∈ W2} se numeste suma subspatiilorW1 si W2.

Definitia 1.2. Fie V un spatiu vectorial real si W1,W2 ∈ S(V ) astfel ıncatW1

⋂W2 = {0v}. Atunci suma W1+W2 se numeste suma directa a subspatiilor

W1 si W2 si se noteaza cu W1 ⊕W2 .

Definitia 1.3. Fie V un spatiu vectorial real si W1,W2 ∈ S(V ) astfel ıncatW1

⋂W2 = {0v} si W1 ⊕ W2 = V . Atunci, W1 si W2 se numesc subspatii

complementare.

Definitia 1.4. Numim subspatiu generat de multimea S = {v1, v2, ..., vr}, subspatiulvectorial < S >=< v1, v2, ..., vr >= {∑r

i=1 αivi|αi ∈ K, i = 1, r}.

2 Exercitii

Exercitiul 2.1. In R2 consideram subspatiile:

W1 ={x = (x1, x2) ∈ R2 | x1 = x2

},

W2 ={x = (x1, x2) ∈ R2 | x2 = −x1

}.

1. Aratati ca W1,W2 ∈ S(R2).

2. Calculati W1 ∩W2 si W1 + W2.

3. Deduceti ca W1 si W2 sunt complementare.

Solutie.

1. Fie x ∈ W1 si y ∈ W1 ⇒ x = (x1, x1) si y = (y1, y1). Vreau sa demonstrezca ın aceste ipoteze αx + βy ∈ W1,∀α, β ∈ R. Darαx + βy = (αx1 + βy1, αx1 + βy1) = (γ, γ) ∈ W1. Pentru W2 se demon-streaza analog.

2. Observam ca W1

⋂W2 = {0, 0}. Evident (0, 0) apartine atat lui W1 cat

si lui W2 deci ”⊇” este demonstrata. Pentru ”⊆” sa consideram x =(x1, x2) ∈ W1

⋂W2. Din x ∈ W1 ⇒ x1 = x2 iar din x ∈ W2 ⇒ x1 = −x2.

Singura solutie este deci x1 = x2 = 0.Sa mai observam ca W1 + W2 = R2. ”⊆” este evidenta. Sa studiem ”⊇”.Fie x = (x1, x2) ∈ R2. Scriind (x1, x2) = (α, α) + (β,−β) se obtine α =x1+x2

2 si β = x1−x22 deci x = (x1, x2) = (x1+x2

2 , x1+x22 )+(x1−x2

2 , −x1+x22 ) ∈

W1 + W2.

1

3. Din 1. si 2., conform definitiei 2.0.3, rezulta ca W1 si W2 sunt comple-mentare.

Exercitiul 2.2. In R2, fie

W1 = {(x1, 0) | x1 ∈ R} ,

W2 = {(0, x2) | x2 ∈ R} ,

W3 = {(x1, x2) | x1 = x2, x1, x2 ∈ R} .

1. Aratati ca W1, W2, W3 ∈ S(R2).

2. Demonstrati ca W1 ⊕W2 = R2.

3. Calculati W1 + (W2 ∩W3) si (W1 + W2) ∩ (W1 + W3) si apoi deduceti caW1 + (W2 ∩W3) 6= (W1 + W2) ∩ (W1 + W3).

4. Determinati (W1 + W2)∩W3 si (W1 ∩W3)+(W2 ∩W3) si aratati ca suntdiferite.

Solutie. La fel ca la exercitiul 1.1.4 (Seminarul 1) si exercitiul 2.1.1. Seobtine W2

⋂W3 = {(0, 0)};W1+(W2

⋂W3) = W1; (W1+W2)

⋂(W1+W3) = R2.

Exercitiul 2.3. In spatiul vectorial real R3, consideram multimile:

W1 ={x = (x1, x2, x3) ∈ R3 | x3 = x1 − x2

},

W2 ={x = (x1, x2, x3) ∈ R3 | x2 = x3 = 0

}.

1. Verificati ca W1 si W2 sunt spatii ın R3.

2. Aratati ca W1 ⊕W2 = R3.

3. Descompuneti vectorul v = (8,−4, 7) din R3 sub forma v = v1 + v2, cuv1 ∈ W1 si v2 ∈ W2. Este aceasta descompunere unica?

Solutie. Punctele 1. si 2. sunt asemanatoare cu exercitiile precedente. Sarezolvam 3. Fie x ∈ W1 ⇒ x = (x1, x2, x1 − x2) si y ∈ W2 ⇒ y = (y1, 0, 0).Vreau x + y = v ⇒ x1 + y1 = 8; x2 = −4; x1 − x2 = 7 ⇒ y1 = 5 si x1 = 3. Deciv = (8,−4, 7) se scrie ın mod unic astfel: v = (8,−4, 7) = (3,−4, 7) + (5, 0, 0).

Exercitiul 2.4. In R3, consideram multimile:

W1 ={x = (x1, x2, x3) ∈ R3 | x1 = x2

},

W2 ={x = (x1, x2, x3) ∈ R3 | x1 = x3, x2 = 0

}.

1. Aratati ca W1 si W2 ∈ S(R3

).

2. Demonstrati ca W1 ⊕W2 = R3.

3. Descompuneti vectorul v = (2, 4, 10) sub forma v = v1 + v2, cu v1 ∈ W1 siv2 ∈ W2.

Solutie. 3. La fel ca ın exercitiul precedent putem scrie pe v = (2, 4, 10) =(4, 4, 12) + (−2, 0,−2).

2

Exercitiul 2.5. In spatiul vectorial real R3, fie

W1 ={x = (x1, x2, x3) ∈ R3 | x2 − 2x1 = 0

},

W2 ={x = (x1, x2, x3) ∈ R3 | x3 = 0

}.

1. Aratati ca W1 si W2 ∈ S(R3

).

2. Calculati W1 ∩W2 si W1 + W2.

3. Sunt subspatiile W1 si W2 complementare ? Gasiti doua descompuneridiferite ale vectorului v = (−1, 7, 5) sub forma v = v1 + v2, cu v1 ∈ W1 siv2 ∈ W2.

Solutie.2. Sa observam ca W1 este din punct de vedere geometric un plan. La felsi W2. Fie x = (x1, x2, x3) ∈ W1

⋂W2 ⇒ x2 = 2x1 si x3 = 0 ⇒ W1

⋂W2 =

{(α, 2α, 0)|α ∈ R} - o dreapta din planul XOY ce trece prin origine. Asemanatorca ın exercitiile precedente se mai arata ca W1 + W2 = R3.3. Nu sunt complementare deoarece W1

⋂W2 6= {0v}. Pentru a gasi doua

descompuneri diferite pentru v scriem (−1, 7, 5) = (x1, 2x1, x2) + (y1, y2, 0).Rezolvand sistemul obtinut ajungem la y1 = −1−x1 si y2 = 7−2x1. Deci douadescompuneri diferite ar fi v = (0, 0, 5) + (−1, 7, 0) si v = (3, 6, 5) + (−4, 1, 0).

Exercitiul 2.6. In spatiu vectorial V consideram U si W doua subspatii gen-erate de vectorii:

1. V = R2, u1 = (6, 9), u2 = (2, 3), u3 = (4, 6); w1 = (0, 1), w2 = (−1,−1),w3 = (2, 2).

2. V = R2, u1 = (1, 5), u2 = (−2,−10), u3 = (3, 15); w1 = (−1,−4),w2 = (−1, 2), w3 = (2, 0).

3. V = R3, u1 = (1, 2, 1), u2 = (2, 3, 1), u3 = (3, 1, 1); w1 = (0, 4, 1),w2 = (1, 0,−2), w3 = (1, 0, 3).

Determinati U + W si U ∩W.

Solutie. 1. Sa observam ca u1 = 3u2 si u3 = 2u2 deci u1, u3 ∈ 〈u2〉 siputem scrie ca U = 〈u1, u2, u3〉 = 〈u2〉 = {αu2|α ∈ R} = {(2α, 3α)|α ∈ R}.Pentru W, deoarece rangul matricei

(0 −1 21 −1 2

)este egal cu 2, putem scrie

W = 〈w1, w2, w3〉 = 〈w1, w2〉 = {(−β, α− β|α, β ∈ R)}.2. La fel ca mai sus obtinem W = {(−α − β,−4α + 2β)|α, β ∈ R} si U ={(γ, 5γ)|γ ∈ R}. Fie x ∈ W

⋂U . Atunci x verifica, ın acelasi timp, relatiile:

x = (γ, 5γ) si x = (−α − β,−4α + 2β) ⇒ x = (6β, 30β). Deci U⋂

W = {x ∈R2|x = (6β, 30β), β ∈ R} = {x ∈ R2|x = 6β(1, 5), β ∈ R} = 〈(1, 5)〉. Se arata ınplus ca U + W = R2.

Exercitiul 2.7. Care este subspatiul vectorial generat de vectorii:

1. In R2: x = (2, 5), y = (4, 10), z = (6, 15); 〈x, y, z〉 =?;

2. In R3: x = (1, 2, 3), y = (5, 10, 15); 〈x, y〉 =?

3. In R3: x = (1, 2,−5), y = (−3, 1, 2), z = (−2, 3,−3); 〈x, y, z〉 =?

3

4. In R4: x = (1, 5, 7, 3), y = (4, 2, 1, 0), z = (−1, 4, 5, 7); 〈x, y, z〉 =?

Solutie.

1. Sa observam ca y = 2x si z = 3x deci y, z ∈ 〈x〉 si putem scrie ca 〈x, y, z〉 =〈x〉 = {αx|α ∈ R}.

2. 〈x, y〉 = 〈x〉 = {αx|α ∈ R}.3. Asemanator.

4. Scriind matricea

1 4 −15 2 47 1 53 0 7

observam ca are rangul 3 ⇒

〈x, y, z〉 = {(αx, βy, γz)|α, β, γ ∈ R} == {(α + 4β − γ, 5α + 2β + 4γ, 7α + β + 5γ, 3α + 7γ)|α, β, γ ∈ R}

Exercitiul 2.8. In spatiul vectorial real R3[x] al polinoamelor de grad cel mult3, consideram S =

{t3 − t + 1, 3t2 + 2t, t3

}.

Sa se arate ca:

1. t2 /∈ 〈S〉;2. t− 1 ∈ 〈S〉.Solutie.

1. Putem scrie 〈S〉 = {f ∈ R3[x]|f = α(t3 − t + 1) + β(3t2 + 2t) + γt3} == {f ∈ R3[x]|f = (α + γ)t3 + 3βt2 + (2β − α)t + α}. Sa presupunem cat2 ∈ 〈S〉. Atunci t2 = (α + γ)t3 + 3βt2 + (2β − α)t + α ⇒ β = 0 si β = 1

3ın acelasi timp, deci se ajunge la o contradictie si deci t2 /∈ 〈S〉.

2. t − 1 = (α + γ)t3 + 3βt2 + (2β − α)t + α conduce la α = 1 si β = 0 siputem deci scrie pe ”t− 1” ca −1 · (t3 − t + 1) + 0(3t2 + 2t) + 1 · t3 ∈ 〈S〉.

4

Seminarul 3: Dependenta si independentaliniara

1 Notiuni teoretice

Definitia 1.1. Fie S = (vi)i∈I un sistem de vectori din spatiul vectorial V.Spunem ca S formeaza un sistem de vectori liniar independenti ⇔ din oricecombinatie liniara de forma a1v1 + a2v2 + ... + anvn, ai ∈ K, i = 1, n ⇒ a1 =a2 = ... = an = 0 (ca unica solutie).

2 Exercitii

Exercitiul 2.1. Demonstrati ca urmatorii vectori din R2 sunt liniar independeti:

1. x = (1, 1) si y = (2, 0);

2. x = (1, 0) si y = (−2, 1);

3. x = (1, 2) si y = (1, 3);

4. x = (2, 1) si y = (1,−1);

5. x = (4, 3) si y = (2, 1);

6. x = (1, 1) si y = (−1, 2);

Solutie.

1. Utilizam definitia 3.0.1. Fie a1, a2 ∈ R si vrem sa aratam ca a1x+a2y =0 ⇒ a1 = a2 = 0. Cum a1x+a2y = (a1, a1)+(2a2, 0) = (a1 +2a2, a1) =(0, 0) conduce la un sistem care are a1 = a2 = 0 si demonstratia esteıncheiata.

2. O alta metoda se bazeaza pe calculul determinantului

∣∣∣∣1 −20 1

∣∣∣∣. Cum

el este nenul rezulta ca cei doi vectori sunt liniari independenti.

1

Celelalte exemple se verifica analog.

Exercitiul 2.2. Fie x = (x1, x2) si y = (y1, y2) doi vectori din R2. Aratatica:

1. Daca x1y2 − x2y1 6= 0, atunci x si y sunt liniar independenti.

2. Daca x si y sunt liniar independenti, atunci x1y2 − x2y1 6= 0.

Solutie. La fel ca la exercitiul precedent, expresia x1y2−x2y1 fiind chiardezvoltarea determinantului matricei formata din cei doi vectori.

Exercitiul 2.3. Care din urmatoarele multimi de vectori din R3 sunt liniardependenti si care sunt liniar independenti:

1. S1 = {x = (1, 0, 0), y = (1, 1, 0), z = (1, 1, 1)};2. S2 = {x = (1, 0, 0), y = (0, 1, 0), z = (1, 1, 1)};3. S3 = {x = (1, 1, 1), y = (0, 1, 1), z = (0, 0, 1)};4. S4 = {x = (1, 1, 1), y = (1, 1, 0), z = (1, 0, 1)};5. S5 = {x = (1, 0, 0), y = (0, 1, 1), z = (1, 0, 1)};6. S6 = {x = (1, 1, 0), y = (1, 0, 1), z = (0, 1, 1)}.Solutie. La fel ca la 3.1.1

Exercitiul 2.4. Fie x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) si z = (z1, z2, z3) treivectori din R3. Aratati ca x, y, z sunt liniar independenti daca si numai

daca

∣∣∣∣∣∣

x1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y3 z3

∣∣∣∣∣∣6= 0.

Solutie. La fel ca la 3.1.2

Exercitiul 2.5. Care din urmatoarele multimi de vectori din R2[X] suntliniar dependente si care sunt liniar independente?

1. S1 = {1, X, X2};2. S2 = {X −X2, X2 −X};3. S3 = {1−X, 1 + X,X2, 1};4. S4 = {1, 1 + X, 1 + X2};

2

5. S5 ={

1, X1!

, X2

2!

};

6. S6 = {X −X2, X + X2};Solutie.

1. Fie a1, a2, a3 ∈ R. Evident a1 · 1 + a2 · x + a3 · x2 = 0 ⇒ a1 = a2 = a3 = 0si deci multimea de vectori data formeaza un sistem liniar independent.2. In acest caz se obtine a1 = a2, deci nu este un sistem de vectori liniarindependenti.Asemanator se trateaza celelalte cazuri.

Exercitiul 2.6. Studiati dependenta liniara a urmatoarei multimi de vectoridin M22(R):

{A1 =

(2 −24 −6

), A2 =

(1 −45 3

), A3 =

(0 −44 8

)}.

Solutie. Scriind expresia:

a1

(2 −24 −6

)+ a2

(1 −45 3

)+ a3

(0 −44 8

)=

(0 00 0

)

obtinem un sistem de ecuatii care ne conduce la 2a1 = −a2 si 3a1 = 2a3 sideci multimea data este un sistem liniar dependent.

Exercitiul 2.7. Aratati ca multimea de vectori din R3

S = {x = (1, 1, 1), y = (1, 0, 0), z = (0, 1, 0), t = (0, 0, 1)}

este liniar dependenta, dar oricare trei vectori dintre acestia sunt liniar independenti.

Solutie. Se arata usor utilizand exercitiul 3.1.4.

Exercitiul 2.8. Demonstrati ca:

1. Oricare trei vectori din R2 sunt liniar dependenti.

2. Oricare patru vectori din R3 sunt liniar dependenti.

Solutie.1. Afirmatia este evidenta daca tinem seama de faptul ca rangul matriceiformate cu cei trei vectori poate fi maxim 2.2. Acelasi rationament.

Exercitiul 2.9. 1. Verificati daca in spatiul vectorial real C, perechea devectori {1, i} este liniar independenta.

3

2. Doua numere complexe conjugate nenule formeaza un sistem de vectoriliniar independenti din C?

Solutie.1. Este sistem liniar independent deoarece a1·1+a2·i = 0+0·i ⇒ a1 = a2 = 0.2. Fie numerele complexe x + iy si x − iy si punand conditia a1(x + iy) +a2(x− iy) = (a1 + a2)x + (a1 − a2)yi = 0 + 0 · i ⇒ a1 = a2 = 0.

Exercitiul 2.10. 1. Aratati ca multimea de polinoame S = {X−X2, X+X2} formeaza un sistem liniar independent ın R2[X].

2. Care este subspatiul < S > generat de S? Este adevarat ca < S >=R2[X]? Daca nu, gasiti un vector din R2[X] care nu apartine subspatiul< S > si aratati ca ımpreuna cu S acesta formeaza un sistem liniarindependent din R2[X].

Solutie. 1. Se arata la fel ca la exercitiul 3.1.5.2. Se demonstreazan cu usurinta ca 1+x+x2 este un vector care nu apartinesubspatiul < S > si ımpreuna cu S formeaza un sistem liniar independentdin R2[X] .

Exercitiul 2.11. Fie V un K-spatiu vectorial si S1 si S2 doua multimi devectori liniar independente din V . Aratati ca:

1. Intersectia lor este un sistem liniar independent.

2. S1 ∪ S2 este un sistem liniar independent daca si numai daca < S1 >∩ < S2 >= {0V }.

Solutie. 1. Deoarece, de exemplu, S1

⋂S2 ⊆ S1 si S1 este sistem liniar

independent ⇒ S1

⋂S2 - sistem liniar independent.

2. ”⇒” Fie v ∈ S1

⋂S2 si vreau v = 0. Din v ∈< S1 >⇒ v = α1u1+...+αrur

si din v ∈< S2 >⇒ v = β1v1 + ... + βsus. Scazand cele doua relatii si tinandcont ca S1 ∪ S2 - s.l.i. se obtine chiar relatia care trebuia demonstrata.Cealalta implicatie se obtine analog.

Exercitiul 2.12. Fie V un K-spatiu vectorial si S = {v1, v2, v3} un sistem detrei vectori din V . Sa se arate ca vectorii {v1, v2, v3} sunt liniar independentidaca si numai daca {v1 + v2, v2 + v3, v3 + v1} sunt liniar independenti.

Solutie. Considerand ca {v1, v2, v3} formeaza un sistem liniar indepen-dent sa aratam ca {v1 + v2, v2 + v3, v3 + v1} sunt tot liniar independenti.Deoarece a1(v1 + v2) + a2(v2 + v3) + a3(v3 + v1) = (a1 + a3)v1 + (a1 + a2)v2 +(a2 +a3)v3 = 0 ⇒ a1 = a2 = a3 = 0 rezulta chiar ceea ce trebuia demonstrat.Cealalta implicatie se obtine analog.

4

Exercitiul 2.13. Fie V un K-spatiu vectorial. Daca v1, v2, ..., vn ∈ V suntliniar independenti, sa se studieze independenta liniara a sistemelor de vec-tori:

1. S1 = {u1 := v1 + v2, u2 := v2 + v3, ..., un−1 := vn−1 + vn, un = vn + v1};2. S2 = {u1 := v1 − v2, u2 := v2 − v3, ..., un−1 := vn−1 − vn, un = vn − v1};3. S3 = {u1 := v1, u2 := v1 + v2, ..., un = v1 + ... + vn};Solutie. Asemanator cu exercitiul precedent.

Exercitiul 2.14. Fie V un K-spatiu vectorial, S1 = {u1, u2, ..., un} si S2 ={v1, v2, ..., vn} doua submultimi ale lui V astfel ıncat orice vector din S1 sescrie ca o combinatie liniara de vectori din S2 si invers. Sa se arate ca:

1. < S1 >=< S2 >.

2. S1 este un sistem liniar independent daca si numai daca S2 este unsistem liniar independent.

5

Seminarul 4: Baza si dimensiune ıntr-un sp.vect. finit generat

1 Notiuni teoretice

Definitia 1.1. Fie V un K−spatiu vectorial. O submultime S = {v1, ..., vn}a lui V se numeste baza a lui V peste K daca:

1. S este sistem liniar independent al lui V peste K (i.e. din oricecombinatie liniara de forma α1v1 + ... + αnvn = 0, rezulta α1 = ... =αn = 0 ca unica posibilitate);

2. S este sistem de generatori ai lui V peste K (i.e. pentru orice v ∈ V ,exista α1, ..., αn ∈ K astfel ıncat v = α1v1 + ... + αnvn).

Definitia 1.2. Fie V un spatiu vectorial finit generat si fie S ⊆ V . U.A.S.E.:

1. S este baza;

2. S este sistem liniar independent maximal;

3. S este sistem de generatori minimal.

2 Exercitii

Exercitiul 2.1. Aratati ca vectorii de mai jos formeaza baza ın R2:

1. v1 = (1, 1), v2 = (−1, 2);

2. v1 = (2, 3), v2 = (0, 1);

3. v1 = (6, 4), v2 = (4, 8);

4. v1 = (1, 1), v2 = (0, 1);

5. v1 = (−1, 1), v2 = (0,−1).

1

Solutie. 1. Pentru a forma o baza ın R2 trebuie ca vectorii sa fieliniar independenti si sa formeze un sistem de generatori. Verificam liniarindependenta vectorilor v1 si v2.

Fie α, β ∈ R. Din αv1 + βv2 = 0 se obtine (−α, α − β) = (0, 0) si deciα = 0 si β = 0 adica v1 si v2 sunt vectori liniari independenti. Cum numarulvectorilor liniar independenti este egal cu dimensiunea spatiului rezulta caformeaza baza. Totusi sa aratam, ın acest prim exemplu, ca formeaza sisistem de generatori: Fie v = (a, b) un vector arbitrar din R2. Sa demonstramca ∃α, β ∈ R astfel ıncat v = αv1 + βv2. Se obtine −α = a si α − β = b.Cum determinantul sistemului este 1 6= 0 ⇒ admite solutie ⇒ v1 si v2 sistemde generatori.

2. ... 5. se demonstreaza analog.

Exercitiul 2.2. Precizati care din urmatoarele multimi de vectori formeazabaza ın R3:

1. B1 = {(1, 0, 0) , (1, 1, 0) , (1, 1, 1)};2. B2 = {(1, 0, 1) , (1, 1, 0) , (0, 1, 1)};3. B3 = {(−1, 1, 1) , (1,−1, 1) , (1, 1,−1)};4. B4 = {(1,−1, 0) , (1, 0,−1) , (−1, 0, 1)}.Solutie. Se utilizeaza modul de rezolvare de la exercitiul 1.

Exercitiul 2.3. Precizati care din urmatoarele multimi de vectori formeazabaza ın R2[X]?:

1. B1 = {1, X,X2};

2. B2 ={

1, X1!

, X2

2!

};

3. B3 = {1, X + 1, (X + 1) (X + 2)};4. B4 = {1, X + 1, X2 + X + 1};5. B5 = {X2 + X + 1, X2 −X + 1, X2 −X − 1};6. B6 = {X2 + X + X2 + 1, X + 1, }.Solutie. 3. B3 = {1, X + 1, (X + 1) (X + 2)}.Fie a, b, c ∈ R astfel ıncat a · 1 + b(x + 1) + c(x + 1)(x + 2) = (0, 0, 0) ⇒

c = 0; 3c + b = 0; a + b + 2c = 0 ⇒ a = b = c = 0 ⇒ cei trei vectori formeazaun s.l.i. Cum dimRR2[x] = 3 ⇒ {1, X + 1, (X + 1) (X + 2)} formeaza baza.

2

6. Vectorii dati nu formeaza baza deoarece dimRR2[x] = 3 ın timp cedimB6 = 2. Intradevar, desi cei doi vectori sunt liniar independenti ei nuformeaza un sistem de generatori. Astfel, daca vom considera un elementoarecare αx2 + βx + γ ∈ R2[x] atunci ar trebui sa existe a, b ∈ R astfel ıncata(2X2 +X +1)+ b(X +1) = αX2 +βX +γ. Dar se obtine γ = β ceea ce esteo contradictie cu presupunerea ca α, β, γ sunt oarecare. Deci cei doi vectorinu formeaza un sistem de generatori.

Celelalte subpuncte se demonstreaza asemanator.

Exercitiul 2.4. Gasiti cate o baza pentru fiecare din urmatoarele subspatiiale lui R3:

1. W1 = {x = (x1, x2, x3) ∈ R3 | x1 + x2 + x3 = 0};2. W2 = {x = (x1, x2, x3) ∈ R3 | x3 = 0};3. W3 = {x = (x1, x2, x3) ∈ R3 | x1 − x2 + x3 = 0};4. W4 = {x = (x1, x2, x3) ∈ R3 | x1 = 0, x2 + x3 = 0};5. W5 = {x = (x1, x2, x3) ∈ R3 | 2x1 − x2 = 0, x2 − x3 = 0}.Solutie. 1. Putem scrie pe W1 astfel:

W1 = {x = (x1, x2, x3) ∈ R3|x1 + x2 + x3 = 0} == {x = (x1, x2, x3) ∈ R3|x3 = −x1 − x2} == {x = (x1, x2,−x1 − x2)|x1, x2 ∈ R} == {x = x1(1, 0,−1) + x2(0, 1,−1)|x1, x2 ∈ R} =< (1, 0,−1), (0, 1,−1) >⇒< (1, 0,−1), (0, 1,−1) > este sistem de generatori pentru W1. Mai aratam caacesti doi vectori sunt si liniar independenti si obtinem deci ca {(1, 0,−1), (0, 1,−1)}este o baza pentru W1. Sa mai facem observatia ca dimW1R3 = 2.

Exercitiul 2.5. Sa se determine o baza ın subspatiul generat de vectorii:

1. In R2: v1 = (2, 5), v2 = (4, 10), v3 = (6, 15);

2. In R3: v1 = (1, 2,−5), v2 = (−3, 1, 2), v3 = (−2, 3,−3);

3. In R3: v1 = (1, 2, 3), v2 = (5, 10, 15);

4. In R4: v1 = (1, 5, 7, 3), v2 = (−4, 10, 1, 0), v3 = (−1, 4, 5, 7).

Solutie. Asemanator cu exercitiul precedent.

Exercitiul 2.6. Precizati o baza a urmatoarelor subspatii din R3[X]:

1. W1 = {f ∈ R3[X] | f(0) = 0};

3

2. W2 = {f ∈ R3[X] | f(X) = aX3 + bX + c};3. W3 = {f ∈ R3[X] | f(−X) = f(X)}.Solutie. Asemanator cu exercitiul 4.1.4.

Exercitiul 2.7. Calculati dimensiunea fiecarui subspatiu de la exercitiile ??,??, ??.

Solutie. Asemanator cu exercitiul 4.1.4.

Exercitiul 2.8. Determinati α ∈ R astfel ıncat vectorii

(0, 1, α) , (1, α, 1) , (α, 1, 0)

sa formeze o baza a lui R3.

Solutie. Punand conditia ca determinantul format cu cei trei vectori safie diferit de zero obtinem α3 − 2α 6= 0. Deci pentru ca cei trei vectori saformeze o baza trebuie ca α ∈ R\{−√2, 0,

√2}.

Exercitiul 2.9. Calculati coordonatele vectorului x = (−1, 3) ∈ R2 ın fiecaredin bazele de la exercitiul ??.

Solutie. Daca α si β sunt coordonatele vectorului x = (−1, 3) ın bazav1 = (1, 1), v2 = (−1, 2) atunci ele sunt solutiile sistemului de ecuatii formatdin α−β = −1 si α+2β = 3. Se obtine α = 1/3 si β = 4/3 deci x = (−1, 3)se poate scrie (−1, 3) = 1

3(1, 1) + 4

3(−1, 2).

Exercitiul 2.10. Calculati coordonatele vectorului x = (3,−1, 2) ∈ R3 ınfiecare din bazele de la exercitiul ??.

Solutie. Asemanator cu exercitiul 9.

Exercitiul 2.11. Aratati ca polinoamele

f1 = 1, f2 = 1−X, f3 = (1−X)2

formeaza o baza ın R2[X] si calculati coordonatele vectorului f = 2X2−5X+6relativ la baza {f1, f2, f3}.

Solutie. Asemanator cu exercitiul 9.

Exercitiul 2.12. In R4, fie W1 si W2 doua subspatii definite astfel:

W1 ={x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | x1 − x2 + x3 − x4 = 0

}

W2 ={x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | x1 + x2 + x3 + x4 = 0

}

Gasiti o baza ın W1∩W2 si precizati dimRW1, dimRW2, dimR (W1 ∩W2).

4

Solutie.Putem scrie ca W1 = {x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | x1 − x2 + x3 − x4 = 0} == {(x1, x2, x3, x1−x2 +x3)| x1, x2, x3 ∈ R} = {x1(1, 0, 0, 1)+x2(0, 1, 0,−1)+x3(0, 0, 1, 1)| x1, x2, x3 ∈ R} ⇒ dimRW1 = 3. Analog dimRW2 = 3 iardimR (W1 ∩W2) = 2.

Exercitiul 2.13. Fie W multimea solutiilor ecuatiei x− 2y + 3z = 0.

1. Aratati ca W este un subspatiu vectorial al lui R3.

2. Determinati o baza a lui W .

3. Precizati dimRW .

Solutie. Din modul ın care este definita multimea W putem scrieW = {(x, y, z) |x = 2y − 3z} = {(2y − 3z, y, z)| y, z ∈ R} == {y(2, 1, 0) + z(−3, 0, 1)| y, z ∈ R} =< (2, 1, 0), (−3, 0, 1) >. In plusdimRW = 2.

5

Seminarul 5: Baza si dimensiune ıntr-un sp.vect. finit generat

1 Notiuni teoretice

Definitia 1.1. Fie V un K−spatiu vectorial. O submultime S = {v1, ..., vn}a lui V se numeste baza a lui V peste K daca:

1. S este sistem liniar independent al lui V peste K (i.e. din oricecombinatie liniara de forma α1v1 + ... + αnvn = 0, rezulta α1 = ... =αn = 0 ca unica posibilitate);

2. S este sistem de generatori ai lui V peste K (i.e. pentru orice v ∈ V ,exista α1, ..., αn ∈ K astfel ıncat v = α1v1 + ... + αnvn).

Definitia 1.2. Fie V un K-spatiu vectorial finit generat. Daca V 6= 0V

se numeste dimensiune a lui V peste K si se noteaza dimKV numarulelementelor unei baze a lui V (peste K).

2 Exercitii

Exercitiul 2.1. In R3 se dau vectorii v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 1, 2), v3 =(1, 2, 3).

1. Sa se arate ca B = {v1, v2, v3} este o baza a lui R3.

2. Sa se determine coordonatele vectorilor v = (5,−1, 3) si w = (2, 3,−1)ın aceasta baza.

Solutie. 1. Pentru a arata ca B este o baza ın R3 vom demonstra (asacum am facut ın seminarul precedent) ca {v1, v2, v3} formeaza un sistem liniarindependent si un sistem de generatori. 2. Daca α, β si γ sunt coordonatelevectorului v = (5,−1, 3) ın baza v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 1, 2) si v3 = (1, 2, 3)atunci ele sunt solutiile sistemului de ecuatii format din α + β + γ = 5, α +β + 2γ = −1 si α + 2β + 3γ = 3. Se obtine solutia α = 1, β = 10 si γ = −6.Analog se calculeaza pentru w.

1

Exercitiul 2.2. Sa se determine coordonatele vectorului v = (2,−3, 5) ınraport cu urmatoarele baze:

1. v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 1, 1);

2. v1 = (1,−1, 0), v2 = (−4, 6,−10), v3 = (−1, 3,−9);

3. v1 = (1, 1, 0), v2 = (0, 1, 1), v3 = (1, 0, 1);

4. v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0), v3 = (0,−5, 5).

Solutie. La fel ca la exercitiul precedent.

Exercitiul 2.3. Sa se determine coordonatele vectorilor dati ın raport cubazele precizate:

1. u1 = X2 + 1, u2 = X3, u3 = 4, u4 = X2, u5 = X3 − X2 si u6 =X2−X ın baza B = {v1 = X3, v2 = X3 + X, v3 = X2 + 1, v4 = X + 1}din R4 [X].

2. u1 = 3 − i, u2 = i, u3 = −5, u4 = 1 + 3i, u5 = 3 + 4i ın bazaB = {v1 = 1− 2i, v2 = i− 3} din C.

Solutie. Se utilizeaza metoda de la exercitiul 1.

Exercitiul 2.4. Completati urmatoarele multimi de vectori ca sa fie baze ınspatiile considerate:

1. v1 = (4,−7) ın R2;

2. v1 = (2,−1, 3), v2 = (4, 1, 1) ın R3;

3. v1 = X, v2 = X2 + 4 ın R3 [X];

4. v1 = X − 1, v2 = X2 + 5 ın R3 [X].

Solutie. 1. v2 = (1, 1). 3. v3 = X3 + 1, v4 = 1.

Exercitiul 2.5. In R3 consideram vectorii:

v1 = (1, 2, 1), v2 = (1, 1,−1), v3 = (1, 3, 3),

u1 = (2, 3,−1), u2 = (1, 2, 2), u3 = (1, 1,−3).

si V = 〈v1, v2, v3〉, U = 〈u1, u2, u3〉 subspatii liniare ale lui R3.Determinati dimensiunile sumei si intersectiei acestor spatii, precum si

baze ın subspatiul suma si ın subspatiul intersectie.

2

Exercitiul 2.6. Sa se determine o baza ın subspatiul lui R4 definit de solutiilesistemului liniar omogen

{2x1 + 2x2 − x3 − x4 = 0x1 + 2x2 − 2x3 − 2x4 = 0

si sa se completeze la o baza ın R4.

Exercitiul 2.7. Sa se determine matricea trecerii de la baza B la baza B′ ınurmatoarele cazuri:

1. B = {(2, 3), (0, 1)}, B′ = {(6, 4), (4, 8)} ın R2;

2. B = {(5, 1), (1, 2)}, B′ = {(1, 0), (0, 1)} ın R2;

3. B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}, B′ = {(2, 0, 3), (−1, 4, 1), (3, 2, 5)} ınR3;

4. B = {X, 1, X2}, B′ = {3 + 2X + X2, X2 − 4, 2 + X} ın R2 [X];

5. B = {X, X2 + 1, X2 + X}, B′ = {X2 + 3X − 3, 4X2 + X + 2, X2 − 2X + 1}ın R2 [X].

Solutie. 1. Daca notam cu u1 si u2 vectorii din baza B si cu v1 si v2 pe

cei din B′ obtinem v1 = 3u1 − 5u2 si v2 = 2u1 + 2u2 deci C =

(3 2

−5 2

).

Exercitiul 2.8. Fie B = {v1 = (1, 2, 3), v2 = (1, 0, 1), v3 = (1, 1, 1)} si B′ ={u1 = (1,−1, 2), u2 = (1, 1, 0), u3 = (2, 0, 1)} doua multimi de vectori ın R3.

1. Sa se arate ca B si B′ sunt baze ın R3.

2. Sa se calculeze coordonatele vectorului v = (1,−1, 4) ∈ R3 ın raport cucele doua baze.

3. Sa se scrie matricea de trecere de la baza B la baza B′.

4. Sa se verifice formula schimbarii de coordonate.

Solutie.1. Evident.2. v = 3

2e1 + 7

2e2 − 4e3 si v = 3f1 + 2f2 − 2f3.

3. C =

12−1

2−1

252−1

232

−2 2 1

3

Seminarul 6: Morfisme si izomorfisme de spatiivectoriale

1 Notiuni teoretice

Definitia 1.1. O functie f : V → W se numeste morfism de spatii vec-toriale (sau aplicatie liniara) daca urmatoarele doua axiome sunt satisfa-cute: 1) Pentru orice v1, v2 ∈ V are loc egalitatea f(v1 + v2) = f(v1)+ f(v2);2) Pentru orice v ∈ V si orice α ∈ K are loc egalitatea f(αv) = αf(v).

Definitia 1.2. Multimea Kerf := {v ∈ V | f(v) = 0W} se numeste nucleulmorfismului f . Dimensiunea sa se numeste defect.

Definitia 1.3. Multimea Imf := {w ∈ W | ∃v ∈ V : f(v) = w} se numesteimaginea morfismului f . Dimensiunea sa se numeste rang.

Definitia 1.4. Un morfism de spatii vectoriale de forma f : V → V senumeste endomorfism al spatiului V.

2 Exercitii

Exercitiul 2.1. Aratati ca urmatoarele functii sunt morfisme de spatii vec-toriale:

1. f : R2 → R2, f (x1, x2) = (2x1 − x2, x1), ∀ (x1, x2) ∈ R2;

2. f : R3 → R2, f (x1, x2, x3) = (x3, x1 + x2), ∀ (x1, x2, x3) ∈ R3;

3. f : R→ R2, f (x) = (2x,−x), ∀x ∈ R;

4. f : R2 → R3, f (x1, x2) = (x1 + x2, x2, x1), ∀ (x1, x2) ∈ R2.

Solutie. 1. Pentru a demonstra ca functia data este morfism utilizamDefinitia 6.0.1 si verificam cele doua axiome. Considerand x = (x1, x2) siy = (y1, y2) se obtine f(x + y) = (2x1 + 2y1−x2− y2, x1 + y1) = f(x) + f(y).

1

A doua axioma ne conduce la f(αx1, αx2) = (2αx1 − αx2, αx1) = α(2x1 −x2, x1) = αf(x1, x2). ¤Punctele 2, 3, 4 se arata analog.

Exercitiul 2.2. Justificati de ce urmatoarele functii nu sunt morfisme despatii vectoriale:

1. f : R2 → R2, f (x1, x2) = (x21, x

22), ∀ (x1, x2) ∈ R2;

2. f : R3 → R2, f (x1, x2, x3) = (x1 + x2 + x3, 1), ∀ (x1, x2, x3) ∈ R3;

3. f : R→ R2, f (x) = (−1, 2), ∀x ∈ R;

4. f : R2 → R3, f (x1, x2) = (x1, x1x2, x2), ∀ (x1, x2) ∈ R2.

Solutie. 1. Consideram x = (x1, x2) si y = (y1, y2) si verificam dacaf(x + y) = f(x) + f(y). Se obtine ca ((x1 + y1)

2, (x2 + y2)2) = (x2

1, x22) +

(y21, y

22) ceea ce este fals deci functia data nu este morfism

3. Deoarece f(x+ y) = (−1, 2) dar f(x)+ f(y) = (−1, 2)+ (−1, 2) = (−2, 4)este evident ca nu se verifica prima axioma din definitia 6.0.1.

Exercitiul 2.3. Fie f : R2 → R2 data de f (x1, x2) = (2x1, 3x2).

1. Aratati ca f este morfism de spatii vectoriale.

2. Care este imaginea, prin f , a punctelor de pe cercul x21 + x2

2 = 1 ?

3. Reprezentati geometric.

Solutie.1. Se arata la fel ca ın exercitiile precedente.

2. Imaginea este elipsay21

4+

y22

9= 1

Exercitiul 2.4. Fie f : R2 → R2 data de f (x1, x2) =(

x1

3, x2

4

).

1. Aratati ca f este morfism de spatii vectoriale.

2. Determinati f (E), unde E este elipsa E ={

(x1, x2) ∈ R2 | x21

9+

x22

16= 1

}.

Solutie.1. Se arata la fel ca in exercitiile precedente.2. Imaginea este cercul y2

1 + y22 = 1.

Exercitiul 2.5. Fie f : R2 → R2 data de fa (x1, x2) = (x1 + a1, x2 + a2),∀ (x1, x2) ∈ R2, unde a = (a1, a2) ∈ R2 este un vector fixat.

2

1. Aratati ca fa nu este morfism de spatii vectoriale. Functia fa (x) =x + a, ∀x = (x1, x2) ∈ R2 se numeste translatia cu a.

2. Pentru a = (2, 2), calculati Im (C), unde C este cercul de raza 1 cucentrul ın origine.

Solutie.1. Se arata la fel ca ın exercitiile precedente.2. Imaginea este cercul de raza 1 cu centrul in (2, 2).

Exercitiul 2.6. Fie f : R2 → R2 un endomorfism al lui R2 dat de f (1, 1) =(1, 4) si f (−2, 1) = (−2, 5).

1. Calculati f (10, 13).

2. Determinati f (x1, x2), ∀ (x1, x2) ∈ R2.

Solutie. Deoarece (10, 13) = 12(1, 1) + 1(−2, 1) putem scrie f(10, 13) =f(12(1, 1)+1(−2, 1)). Cum f este morfism, se obtine f(10, 13) = f(12(1, 1)+1(−2, 1)) = 12f(1, 1) + 1f(−2, 1) = (10, 53). Pentru punctul 2) vom scrief(x1, x2) = f(x1+2x2

3(1, 1) + x2−x1

3(−2, 1)) si tinem cont ca f este morfism.

Exercitiul 2.7. Fie f : R3 → R5[X] morfismul de spatii vectoriale dat prinf (1, 1, 1) = X2 + X4, f (1, 1, 0) = X + X3 + X5, f (1, 0, 0) = 1.

Calculati f (0, 0, 1).

Solutie. Cu metoda de la exercitiul 6.1.6 se obtine f (0, 0, 1) = X2 +X4 −X −X3 −X5.

Exercitiul 2.8. Fie f : R4 → R2 morfismul de spatii vectoriale dat def (1, 0, 0, 0) = (1, 1), f (1, 1, 0, 0) = (0, 1), f (1, 1, 1, 0) = (1, 0), f (1, 1, 1, 1) =(−1,−1).

Calculati f (4, 3, 2, 1).

Solutie. Cu metoda de la exercitiul 6.1.6 se obtine f (4, 3, 2, 1) = (1, 1).

3

Seminarul 7: Matricea asociata unuiendomorfism al unui spatiu vectorial finit

generat

1 Notiuni teoretice

Definitia 1.1. O functie f : V → W se numeste morfism de spatii vec-toriale (sau aplicatie liniara) daca urmatoarele doua axiome sunt satisfa-cute: 1) Pentru orice v1, v2 ∈ V are loc egalitatea f(v1 + v2) = f(v1)+ f(v2);2) Pentru orice v ∈ V si orice α ∈ K are loc egalitatea f(αv) = αf(v).

Definitia 1.2. Multimea Kerf := {v ∈ V | f(v) = 0W} se numeste nucleulmorfismului f . Dimensiunea sa se numeste defect.

Definitia 1.3. Multimea Imf := {w ∈ W | ∃v ∈ V : f(v) = w} se numesteimaginea morfismului f . Dimensiunea sa se numeste rang.

2 Exercitii

Exercitiul 2.1. Aratati ca fiecare din functiile de mai jos este morfism despatii vectoriale. Calculati nucleul, imaginea, rangul si defectul ın fiecare cazın parte.

1. f : R2 → R3, f (x1, x2) = (x1, x2 − x1, x2), ∀ (x1, x2) ∈ R2;

2. f : R3 → R, f (x1, x2, x3) = x1 + x2 + x3, ∀ (x1, x2, x3) ∈ R3;

3. f : R3 → R3, f (x1, x2, x3) = (x1, x2, 0), ∀ (x1, x2, x3) ∈ R3.

Solutie.1. Aplicand definitiile 1.2 si 1.3 vom obtine Kerf = 0 si Imf =< (1,−1, 0), (0, 1, 1) >si deci rangul = 2 si defectul = 0. Sa observam ca rang + defect = 2 =dimRR2.

1

2. Se obtine Kerf =< (1, 0,−1), (0, 1,−1) > si Imf = R.3. Aplicand definitiile 1.2 si 1.3 vom obtine Kerf =< (0, 0, 1) > si Imf =<(1, 0, 0), (0, 1, 0) > si deci rangul = 2 si defectul = 1. Sa observam ca rang +defect = 3 = dimRR3.

Exercitiul 2.2. Fie fθ : R2 → R2 data de

f (x1, x2) = (x1 cos θ − x2 sin θ, x1 sin θ + x2 cos θ) ,∀ (x1, x2) ∈ R2,

cu 0 ≤ θ ≤ 2π fixat.

1. Ce reprezinta din punct de vedere geometric fθ ?

2. Aratati ca fθ este morfism de spatii vectoriale.

3. Calculati Kerfθ, Imfθ si precizati rangul si defectul lui fθ.

Solutie. Se arata usor ca este morfism (cu metoda aplicata in seminarul6) si se calculeaza Kerf si Imf la fel ca in exercitiul de mai sus. Din punctde vedere geometric fθ este o rotatie de unghi θ.

Exercitiul 2.3. Fie S : R3 → R3 si P : R3 → R3 aplicatiile definite prin

S (x1, x2, x3) = (0, x1, x2) , pentru orice (x1, x2, x3) ∈ R3,

P (x1, x2, x3) = (x1, x2, 0) , pentru orice (x1, x2, x3) ∈ R3.

1. Aratati ca S si P sunt morfisme de spatii vectoriale.

2. Calculati dimR (ImS), dimR (kerS), dimR (ImP), dimR (KerS).

3. Determinati cate o baza pentru nucleul si imaginea lui S2, S3, P2, P3.

Solutie. Asemanator cu exercitiul 2.1.

Exercitiul 2.4. Fie V un spatiu vectorial finit dimensional si f : V →V un morfism de spatii vectoriale. Aratati ca urmatoarele afirmatii suntechivalente:

1. f este izomorfism;

2. ker f = {0} (i.e. f este injectiva);

3. Imf = V (i.e. f este surjectiva).

2

Solutie. Evident 1) ⇒ 2). Sa aratam ca 2) ⇒ 3). Fie n = dimKVsi B = {e1, e2, ..., en} o baza a lui V. Cum f este injectiv, sistemul de vec-tori f(e1), f(e2), ...f(en) este liniar independent, deci si sistem de generatori.Daca y ∈ V, atunci exista αi ∈ K astfel incat y = f(x), unde x =

∑ni=1 αiei,

deci f este surjectiva. Asemanator se arata ca 3) ⇒ 1).

Exercitiul 2.5. Fie V si W doua K-spatii vectoriale finit dimensionale cudimKV = dimKW si f : V → W un morfism de spatii vectoriale.

Aratati ca functia f este injectiva daca si numai daca f este functiesurjectiva.

Solutie. Se aplica demonstratia de la exercitiul 2.4.

Exercitiul 2.6. Care din urmatoarele morfisme de spatii vectoriale suntizomorfisme de spatii vectoriale:

1. f : R3 → R2[X], f (a1, a2, a3) = a1 + (a1 + a2) X + (a1 + a2 + a3) X2,∀ (a1, a2, a3) ∈ R3;

2. f : R3 → R2[X], f (a1, a2, a3) = a1 + (a1 + a2) X, ∀ (a1, a2, a3) ∈ R3;

3. f : R3 → R4, f (a1, a2, a3) = (a1 + a2, a2 + a3, a1 + a2, a1 + a3), ∀ (a1, a2, a3) ∈R3;

4. f : R3 → R3, f (a1, a2, a3) = (a1 + a2 + a3, a1 + a2, a1 + a3), ∀ (a1, a2, a3) ∈R3.

Solutie. Tinand cont de exercitiul 2.4, este necesar sa mai aratam doar caeste indeplinita conditia ker f = {0} si rezulta ca morfismul dat este izomor-fism. De exemplu, punctele 1) si 3) sunt izomorfisme in timp ce punctul 2)conduce la ker f =< (0, 0, 1) > si deci morfismul dat nu este un izomorfism.

Exercitiul 2.7. Fie f : R3 → R3 morfismul definit prin

f (x1, x2, x3) = (x2 + x3, x1 + x3, x1 + x2) ,∀ (x1, x2, x3) ∈ R3.

Aratati ca f este izomorfism de spatii vectoriale si calculati f−1.

Solutie. In exercitiul 7 am vazut ca f este izomorfism daca avem ker f ={0}. Dar, in exercitiul nostru, ker f = {0} ⇒ x2 + x3 = 0, x1 + x3 =0, x1 + x2 = 0 ⇒ x1 = x2 = x3 = 0 si deci f izomorfism.

Exercitiul 2.8. Fie T : R3[X] → R2[X] o transformare liniara definita prin

T (a0 + a1X + a2X

2 + a3X3)

= a1 + a2X + a3X2.

Gasiti cate o baza pentru ker T si ImT . Precizati dimensiunea acestora.

Solutie. Rangul este egal cu 3 in timp ce defectul este egal cu 1. Obser-vam ca verifica egalitatea rang + defect = dimRR3[x].

3

Seminarul 8: Matricea asociata unuiendomorfism al unui spatiu vectorial finit

generat

1 Exercitii

Exercitiul 1.1. Fie f : R4 → R4, o functie data de

f (x1, x2, x3, x4) = (x1 − x2, 0, x3 − x4, 0) .

1. Aratati ca f ∈ EndR(R4).

2. Gasiti rang(f) si defect(f).

3. Scrieti matricea lui f ın baza canonica si apoi ın baza

B′ = {(1, 1, 1, 1) , (1, 1, 1, 0) , (1, 1, 0, 0) , (1, 0, 0, 0)}

.

Solutie. Se obtine Kerf =< (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1) >, Imf =< (1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0) >

si matricea in baza canonica MB(f) =

1 −1 0 00 0 0 00 0 1 −10 0 0 0

.

Exercitiul 1.2. Fie f : R3 → R3 un endomorfism al lui R3 a carui matriceın baza canonica este

A =

1 0 1−1 0 0

0 −1 0

.

Sa se calculeze matricea morfismului g = 2f 2−3f+2·1R3, unde f 2 = f ◦fsi 1R3 : R3 → R3 este functia identica, ın aceeasi baza.

1

Solutie. Matricea A (data in baza canonica) ne conduce la functiaf(x1, x2, x3) = (x1 + x3,−x1,−x2) si efectuand calculele obtinem

MB(g) = 2M2B(f)− 3MB(f) + 2I3 =

1 −2 −11 1 −22 3 1

.

Exercitiul 1.3. Fie f : R3 → R3 definita prin formula

f (x1, x2, x3) = (x1, x1 + 2x2, x2 + x3) .

1. Sa se arate ca f ∈ EndR(R3).

2. Determinati MB(f) si MB(f 6), unde B este baza canonica a lui R3.

3. Calculati f 6(1, 1, 2).

Solutie. Se calculeaza MB(f) =

1 0 01 2 00 1 1

si apoi se ridica la puterea

a sasea.

Exercitiul 1.4. Fie f : R3 → R2 data de

f (x1, x2, x3) = (x1 − x2 + x3, x1 + x3)

si g : R2 → R3 definita prin

g (y1, y2) = (y1, y1 − y2, y2) .

Sa se determine g ◦f si sa se verifice ca este morfism de spatii vectoriale.

Solutie. Se arata ca f este morfism si ca g este morfism si rezulta decica g ◦ f este tot un morfism.

Exercitiul 1.5. Fie f : R3 → R3, definit ın baza canonica B a lui R3 prinmatricea

MB(f) =

−1 1 2

3 3 42 1 2

.

1. Sa se arate ca f este izomorfism.

2. Sa se calculeze MB(f−1).

3. Sa se determine f−1(0, 0, 0), f−1(0, 1, 2), f−1(1, 5, 2).

2

Solutie. Se determina f(x) = (−x1 + x2 + 2x3, 3x1 + 3x2 + 4x3, 2x1 +x2 + 2x3) si se arata egalitatea Kerf = {0}. Calculand inversa obtinem

f−1(x) = (y3−y1

3, −y1+3y2−5y3

3, y1−y2+2y3

2) si deci MB(f) =

−1

30 −1

3

−13

1 −53

12−1

21

si apoi f−1(0, 0, 0) = (0, 0, 0), f−1(0, 1, 2) = (23,−7

3, 3

2).

Exercitiul 1.6. Se dau morfismele de spatii vectoriale:

1. f : R2 → R2, f (x1, x2) = (x1 − 2x2, x2 − x1);

2. f : R3 → R3, f (x1, x2, x3) = (x1 − 2x3, 2x1 + x2, x2 + 3x3);

3. f : R1[T ] → R2[T ], f (a0 + a1T ) = a0 + 3a0T + a1T2.

Sa se cerceteze daca mofismele sunt invesabile si ın caz afirmativ sa se de-termine inversele acestora. Sa se verifice ca inversul este tot un morfism despatii vectoriale.

Solutie. Se verifica egalitatea Kerf = {0} si apoi se calculeaza inversafunctiilor.

3

Seminarul 9: Schimbarea matricii unuiendomorfism la schimbarea bazei

1 Exercitii

Se rezolva exercitiile de la lucrare si urmatorul exercitiu:

Exercitiul 1.1. Se dau aplicatiile f1, f2 : R3 → R3

f1(x) = (x1 − x2 + x3,−x1 + x2 + x3, x1 + x2 − x3),∀x = (x1, x2, x3) ∈ R3

f2(x) = (x1 + 2x2 + 3x3, 2x1 + x2 + x3, 3x1 + x2 + 2x3),∀x = (x1, x2, x3) ∈ R3.

1. Sa se arate ca f1, f2 sunt aplicatii liniare.

2. Sa se determine MB(f1), MB(f2), unde B = {e1, e2, e3} este bazacanonica din R3.

3. Sa se determine matricea de trecere MB,B′, unde B′ = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}.4. Sa se calculeze MB′(f1), MB′(f2), folosind formula de schimbare a ma-

tricei unui endomorfism la schimbarea bazei.

Solutie. Se obtin urmatoarele rezultate:

MB(f1) =

1 −1 1−1 1 1

1 1 −1

; MB(f2) =

1 2 33 1 13 1 2

;

M ′B(f1) =

1 0 11 0 −11 2 1

; M ′

B(f2) =

6 3 14 3 26 4 3

.

1

Seminarul 10: Matrici. Determinanti. Sisteme

1 Exercitii

Exercitiul 1.1. Demonstrati proprietatile determinantilor.

Exercitiul 1.2. Sa se dezvolte determinantul

∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣

5 a 2 −14 b 4 −32 c 3 −24 d 5 −4

∣∣∣∣∣∣∣∣

dupa elementele coloanei a doua.

Exercitiul 1.3. Calculati determinantii:

1. ∆1 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 0 0 20 1 0 0 3x 0 1 0 4x x 0 1 5x x x 0 6

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

;

2. ∆2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x a b 0 c0 y 0 0 d0 e z 0 fg h k u l0 0 0 0 v

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

Solutie. 1. ∆1 = 6− 9x + 2x2.

Exercitiul 1.4. Daca ω este radacina cubica complexa a unitatii, sa se arateca: ∣∣∣∣∣∣∣∣

1 ω ω2 ω3

ω ω2 ω3 1ω2 ω3 1 ωω3 1 ω ω2

∣∣∣∣∣∣∣∣

2

=

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 −2 11 1 1 −2

−2 1 1 11 −2 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣.

1

Exercitiul 1.5. Calculati determinantul Vandermonde:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 . . . 1a1 a2 . . . an...

......

an−11 an−1

2 . . . an−1n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Exercitiul 1.6. Sa se calculeze inversele urmatoarelor matrici:

1. A =

(2 −15 3

)∈M2(R);

2. B =

2 3 40 1 12 2 −1

∈M3(R);

3. C =

1 a a2

1 b b2

1 c c2

∈M3(R);

4. D =

3 −2 0 10 2 2 11 −2 −3 −20 1 2 1

∈M4(R).

Solutie.

1. A−1 =

(311

111

− 511

211

)

2. B−1 =

38−11

818

−14

54

14

14

−14−1

4

Exercitiul 1.7. Fie matricea A ∈M3(Z3),

A =

2 0 1

1 2 1

2 1 1

.

Aratati ca matricea este inversabila si calculati inversa ei.

2

Exercitiul 1.8. Fie R un inel comutativ, A ∈ Mm(R), B ∈ Mm×n(R),C ∈Mn(R).

Sa se arate ca:

det

(A B0 C

)= det A · det C.

Exercitiul 1.9. Fie A,B, C ∈Mn(R), cu R un inel comutativ. Sa se arateca

det

(0 AB C

)= (−1)n · det A · det B.

Exercitiul 1.10. Fie A,B, C ∈Mn(K), unde K este un inel comutativ. Sase arate ca

det(A ·B) = det A · det B.

Exercitiul 1.11. Sa se rezolve folosind regula lui Cramer sistemele:

1.

x1 − x2 + x3 = −45x1 − 4x2 + 3x3 = −12

2x1 + x2 + x3 = 11;

2.

x1 + x2 + x3 = 4x1 + 3x2 + x3 = 9x1 − x2 − x3 = −2

Solutie.

1. x1 = 3, x2 = 6, x3 = −1;

2. x1 = 1, x2 = 52, x3 = 1

2.

Exercitiul 1.12. Sa se rezolve ecuatia matriciala A ·X = b, stiind ca:

1. A =

2 −1 31 2 −1

−2 1 −2

, b =

12

−1

;

2. A =

2 5 34 −6 −36 10 −10

, b =

1708

;

3. A =

1 1 13 2 −21 −1 −1

, b =

61

−4

.

Solutie. 1. X =

4535

0

; 2. X =

312

; 3. X =

123

.

3

Seminarul 11: Sisteme de ecuatii liniare cucoeficienti ıntr-un corp comutativ K

1 Exercitii

Exercitiul 1.1. Sa se rezolve sistemele:

1.

x + y + z = 12x + 3y + 4z = 1x − y − z = 0

;

2.

x + y + z + w = 1x + 2y + 3z + 4w = 0x + y + 4z + 5w = 1x + y + 5z + 6w = 0

Solutie.

1. Determinantul sistemului este 2 si aplicand regula lui Cramer obtinemx = 1

2, y = 2, z = −3

2.

2. Determinantul sistemului este -1 si aplicand regula lui Cramer obtinemx = 4, y = −2, z = −19, w = 19.

Exercitiul 1.2. Sa se rezolve sistemele:

1.

2x − 3y − z = −1x + y − z = 0x − 12y + 11z = −1

4x − 15y + 9z = 0

;

2.

x + y + z = 22x − y − 2z = −2x + 4y + 5z = 8

2x − 5y + 6z = 10

;

1

3.

2x + 3y − z + w = 5x − y + 2z − 2w = −5

3x + y + 2z − 2w = −3−3x − y − 2z + 2w = 3

.

Solutie.

1. Sistemul este incompatibil.

2. x = α3, y = 6−4α

3, z = α, α ∈ R.

3. x = −2− α− β, y = 3 + α + β, z = α,w = β, α, β ∈ R.

Exercitiul 1.3. Sa se rezolve urmatoarele sistemele discutand dupa valorileparametului real α:

1.

αx − 3y + 4z = 15x + (α− 1)y − 4z = 8x + (α + 5)y − 12z = 10

;

2.

x + α2y + 2αz = −22αx + y + α2z = 7α2x + 2αy + z = −5

.

Solutie.

1. Determinantul sistemului este −8(α−2)(α−4) si pentru α 6= 2 si α 6= 4aplicam regula lui Cramer. Pentru α = 2 sistemul este incompatibil iarpentru α = 4 sistemul este compatibil, simplu nedeterminat.

2. Determinantul sistemului este (α + 1)2(α2 − α + 1)2 si pentru α 6= −1aplicam regula lui Cramer. Pentru α = −1 sistemul este incompatibil.

Exercitiul 1.4. Fie K un corp comutativ si fie S multimea solutiilor sis-temului omogen de m ecuatii si n necunoscute:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0

· · ·am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0

,

cu aij ∈ K, pentru orice 1 ≤ i ≤ m si 1 ≤ j ≤ n.Sa se arate ca:

1. S este un subspatiu vectorial al lui Kn. O baza a acestui subspatiu senumeste sistem fundamental de solutii.

2

2. Exista o aplicatie liniara ϕ : Kn → Km astfel ıncat S = ker ϕ.

3. dimKS = n− r, unde r este rangul matricii sistemului.

Solutie. Notand cu A matricea sistemului si cu X matricea coloana cucomponente (xi) sistemul devine echivalent cu ecuatia matriciala AX = 0.Se arata ca S este un K−subspatiu al lui Kn si considerand functia ϕ : Kn →Kn definita de ϕ(X) = AX se obtine Kerϕ = S.

Exercitiul 1.5. Fie sistemul de ecuatii liniare omogene:

{x + 2y + 4z − 3t = 0

3x + 5y + 6z − 4t = 0

Sa se arate ca multimea solutiilor acestui sistem poate fi organizata caspatiu vectorial peste R.

Solutie. Rezolvandu-se sistemul de ecuatii liniare dat se obtin relatiile:z = −5x−7y

2, t = −3x − 4y. Deci multimea solutiile sistemului se poate scrie

{(x, y, z, t) ∈ R4|z = −5x−7y2

, t = −3x− 4y}.Exercitiul 1.6. Fie a, b, c, d ∈ (0, 1) ∪ (1,∞), iar x, y, z, t numere realeastfel ıncat

ax = bcd, by = cda, cz = dab, dt = abc.

Demonstrati ca:

−x 1 1 11 −y 1 11 1 −z 11 1 1 −t

= 0.

Indicatie. Se logaritmeaza si se obtine un sistem ce admite o solutienebanala si deci determinantul dat in problema trebuie sa fie nul.

3

Seminarul 12: Valori si vectori proprii aleendomorfismelor unui spatiu vectorial finit

dimensional. Forma diagonala

1 Exercitii

Exercitiul 1.1. Sa se determine polinomul caracteristic, valorile proprii sisubspatiile proprii corespunzatoare matricilor:

1.

(1 22 4

);

2.

4 −1 −22 1 −21 −1 1

;

3.

4 1 12 4 10 1 4

;

4.

1 0 00 0 02 2 1

;

5.

0 1 0 03 0 2 00 2 0 30 0 1 0

;

6.

1 0 1 01 1 0 11 0 1 00 1 1 1

;

1

7.

3 −1 0 00 3 0 01 0 3 10 1 3 0

;

8.

1 1 2 30 2 2 40 0 1 −20 0 0 2

;

9.

1 1 0 03 0 1 0

−1 0 0 1−2 0 0 0

.

Solutie. 1. Polinomul caracteristic este PA(λ) = λ(λ − 5), iar valorileproprii sunt λ1 = 0, λ2 = 5. Subspatiile proprii corespunzatoare suntS(λ1) = S(0) = {(−2α, α)|α ∈ R}, cu dimRS(0) = 1 siS(λ2) = S(5) = {(α, 2α)|α ∈ R}, cu dimRS(5) = 1.2. .. 9. Asemanator.

Exercitiul 1.2. Fie T : R3 → R3 o aplicatie liniara care are ın baza canonicaa lui R3 matricea

A =

5 −6 −6−1 4 2

3 −6 −4

.

1. Gasiti valorile proprii ale aplicatiei liniare.

2. Pentru fiecare valoare proprie gasiti cate un sistem maximal liniar in-dependent de vectori proprii asociati.

3. Indicati o baza B a lui R3 ın care MB(T ) este matrice diagonala.

Solutie.

1. Polinomul caracteristic este PA(λ) = det(A−λI3) = (λ−1)(λ−2)2, iarvalorile proprii sunt radacinile acestei ecuatii, deci λ1 = 1, λ2 = λ3 = 2.

2. Subspatiile proprii corespunzatoare suntS(λ1) = {(−3α, α,−3α)|α ∈ R}, cu dimRS(λ1) = 1 si deci baza pentruS(λ1) = {(−3, 1,−3)}. Analog pentru λ2 = λ3 = 2 obtinem S(λ2) ={(2α, α, 0) + (2β, 0, β)|α, β ∈ R}, cu dimRS(λ2) = 2.

2

Exercitiul 1.3. Fie aplicatia liniara T : R3 → R3 definita ıntr-o baza Bprin matricea:

−1 1 1−3 2 2−1 1 1

.

Sa se arate ca nu exista nici o baza ın R3 fata de care matricea aplicatieiT sa aiba forma diagonala.

Solutie. Valorile proprii sunt λ1 = 0, λ2 = λ3 = 1. Pentru λ1 = 0vectorul propriu corespunzator este u1 = (0,−1, 1) deci subspatiul propriuare dimensiunea 1. Cum pentru λ2 = λ3 = 1 obtinem un singur vectorpropriu u2 = (1, 1, 1) subspatiul propriu are tot dimensiunea 1. Vectorii u1 siu2 sunt liniar independenti, dar nu formeaza o baza in R3. Din acest motiv,rezulta ca nu exista o baza fata de care matricea aplicatiei liniare sa aibaforma diagonala.

Exercitiul 1.4. Sa se cerceteze daca matricea:

A =

1 0 0 10 1 0 00 0 1 −21 0 −2 5

este diagonalizabila. In caz afirmativ, sa se detemine matricea diagonaliza-toare U .

Solutie. Forma diagonala este D =

0 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 6

iar matricea de

trecere este

−1 0 2 10 1 0 02 0 1 01 0 −2 5

.

Exercitiul 1.5. Fie maticea

A =

0 1 11 0 11 1 0

.

1. Sa se determine valorile proprii si vectorii proprii corespunzatori.

3

2. Sa se arate ca matricea este diagonalizabila si sa se precizeze matriceadiagonalizatoare.

3. Folosind forma diagonala a matricei A sa se detemine Ak, k ∈ N.

4. Sa se scrie Ak sub forma Ak = akA + bkI3, pentu k ∈ N.

Solutie. Valorile proprii sunt λ1 = 2, λ2 = λ3 = −1, forma diagonala este

D =

−1 0 0

0 −1 00 0 2

iar matricea de trecere este

−1 1 0−1 0 1

1 1 1

. Pentru

Ak utilizam relatia Ak = T−1DkT in care Dk =

(−1)k 0 00 (−1)k 00 0 (−1)k

Exercitiul 1.6. Fie matricea

A =

11 −5 5−5 3 −3

5 −3 3

.

1. Sa se arate ca A este diagonalizabila.

2. Exista B ∈ M4(Z) astfel ıncat B4 = A2?

Solutie. Valorile proprii sunt λ1 = 0, λ2 = 1, λ3 = 16. Luand T =

0 1 11 1 −1

−2 1 1

rezulta forma diagonala D =

0 0 00 1 00 0 16

.

Exercitiul 1.7. Fie aplicatia liniara T : R3 → R3 data ın baza canonica alui R3 prin matricea

A =

1 0 2 −10 1 4 −22 −1 0 12 −1 −1 2

.

1. Aflati valorile proprii, vectorii proprii si subspatiile proprii corespunzatoare.

2. Aratati ca spatiul generat de vecorii {(1, 2, 0, 0) , (0, 1, 1, 2)} este invari-ant fata de T .

Indicatie. Pentru a arata ca S este invariant fata de T inseamna saverificam ca T (αx + βy) = αx + βy, pentru orice αx + βy ∈ S.

4

Seminarul 13: Forma Jordan

1 Exercitii

Exercitiul 1.1. Sa se determine forma canonica Jordan si baza ın care seobtine aceasta pentru urmatoarele matrici A din M3(R):

1.

0 −4 01 −4 01 −2 −2

; 2.

−4 4 2−1 1 1−5 4 3

; 3.

4 −5 25 −7 36 −9 4

;

4.

1 −3 3−2 −6 13−1 −4 8

; 5.

5 −3 26 −4 44 −4 5

; 6.

12 −6 −218 −9 −318 −9 −3

;

7.

0 1 00 0 1

−2 −5 4

; 8.

0 0 0−1 0 0

2 −3 −1

.

Solutie. 1. Efectuand calculele vom obtine PAλ = −(λ+2)3 si deci λ1 =

λ2 = λ3 = −2 de unde se ajunge la forma Jordan: J(A) =

−2 0 0

0 −2 10 0 −2

;

2. J(A) =

−2 0 0

0 1 10 0 1

; 3. J(A) =

0 0 00 0 00 0 1

.

Exercitiul 1.2. Sa se aduca la forma canonica Jordan si sa se determinebaza ın care se obtine aceasta pentru urmatoarele matrici A din M4(R):

1.

3 −1 1 −79 −3 −7 −10 0 4 −80 0 2 −4

; 2.

1 −3 0 3−1 −6 0 13

0 −3 1 3−1 −4 0 8

; 3.

3 −1 0 01 1 0 03 0 5 −34 −1 3 −1

;

4.

3 −4 0 24 −5 −2 40 0 3 −20 0 2 −1

; 5.

2 −0 0 01 3 1 10 0 0 −1

−1 −1 0 2

.

1

Solutie. 1. J(A) =

0 1 0 00 0 0 00 0 0 10 0 0 0

; 5. J(A) =

−1 1 0 00 −1 0 00 0 1 10 0 0 1

.

Exercitiul 1.3. Sa se determine forma canonica Jordan pentru matricea:

A =

1 −1 0 0 ... 0 00 1 −1 0 ... 0 00 0 1 −1 ... 0 0...

......

......

...0 0 0 0 ... 1 −10 0 0 0 ... 0 1

.

Solutie. J(A) =

1 1 0 0 ... 0 00 1 1 0 ... 0 00 0 1 1 ... 0 0...

......

......

...0 0 0 0 ... 1 10 0 0 0 ... 0 1

2