Apuntes Algebra II

1. Construcciones con regla y compas

Queremos encontrar una formalizacion matematica de algunos problemas clasicos de lageometrıa plana y espacial, como son los siguientes.

Triseccion del angulo: dado un angulo θ, ¿es posible construir, con regla y compas, unangulo de medida θ/3?

Cuadratura del cırculo: dado un cırculo de area A, ¿es posible construir, con regla ycompas, un cuadrado con el mismo area?

Duplicacion del cubo: dado un cubo de volumen V , ¿es posible construir, con regla ycompas, un cubo de volumen 2V ?

Definicion 1.1. Sea S ⊂ R2 un conjunto. Se dice que un punto x ∈ R2 es constructible enun paso de S si se obtiene de una de las siguientes maneras:

como interseccion de dos rectas, p1p2 y q1q2, con pi, qi ∈ S;

como interseccion de una recta, p1p2, y una circunferencia, C(q1, q2), con centro en q1y que pasa por q2, con pi, qi ∈ S; o

como interseccion de dos circunferencias, C(p1, p2) y C(q1, q2), con pi, qi ∈ S.

Se dice que un punto x ∈ R2 es constructible de S si existe una sucesion finita de puntos,x1, x2, . . . , xn = x tal que xi es constructible en un paso de S ∪

⋃i−1j=1xj.

Evidentemente, las rectas p1p2 y q1q2 del primer apartado, ası como las circunferenciasC(p1, p2) y C(q1, q2) del tercero, deben ser distintas. En caso contrario, todo punto de R2

serıa constructible (ejercicio: convencerse de ello), lo cual harıa inutil este concepto.

El problema de la triseccion del angulo viene dado por dos semirrectas, que definen elangulo θ. En el marco de la definicion anterior, podemos definir un conjunto S dado por trespuntos: la interseccion de las semirrectas que forman el angulo, y dos puntos que determinanestas. En particular, podemos tomar S = (0, 0), (1, 0), (cos θ, sin θ).

Lema 1.2. El problema de la triseccion del angulo tiene una respuesta positiva si y solo si elpunto (cosϕ, sinϕ) es constructible del conjunto (0, 0), (1, 0), (cos 3ϕ, sin 3ϕ).

Demostracion. Por un lado, basta observar que el punto (cosϕ, sinϕ) es la interseccion dela circunferencia C((0, 0), (1, 0)) con la semirrecta que trisecta el angulo 3ϕ. Recıprocamente,esta semirrecta viene determinada por los puntos (0, 0) y (cosϕ, sinϕ). Q.E.D.

Podemos razonar analogamente en los otros dos problemas. Las demostraciones de loslemas siguientes quedan como ejercicios.

1

Lema 1.3. El problema de la cuadratura del cırculo tiene una respuesta positiva si y solo siel punto (

√π, 0) es constructible de (0, 0), (1, 0).

Lema 1.4. El problema de la duplicacion del cubo tiene una respuesta positiva si y solo si elpunto ( 3

√2, 0) es constructible de (0, 0), (1, 0).

El resultado que sigue nos da una idea de lo que hemos ganado con esta “formulacionformal” de los problemas planteados al principio del capıtulo.

Lema 1.5. Sea S = si = (ai, bi)ni=1 ⊂ R2 (n ≥ 2). Si s = (a, b) es constructible de S,

podemos expresar a y b en funcion de ai, bini=1 utilizando operaciones algebraicas y raıces

cuadradas.

Demostracion. Por induccion, basta comprobar que el resultado es cierto para puntosconstructibles en un paso. La demostracion, en este caso, se reduce a la inspeccion de cadauno de las tres maneras de obtener constructibles en un paso.

Por ejemplo, en el segundo caso, sea la recta s1s2, de ecuacion y−b1b2−b1

= x−a1

a2−a1, y C(s3, s4)

la circunferencia, de ecuacion (x − a3)2 + (y − b3)

2 = (a4 − a3)2 + (b4 − b3)

2. Los puntosde interseccion se obtienen de la solucion del sistema de segundo grado formado por las dosecuaciones, por lo que sus coordenadas son expresables mediante operaciones algebraicas yraıces cuadradas.

Los otros dos casos se demuestran analogamente (ejercicio). Q.E.D.

La Teorıa de Galois, que desarrollaremos de aquı en adelante, nos permitira estudiar, entreotras cosas, la resolubilidad del problema algebraico al que hemos reducido la triseccion delangulo, la cuadratura del cırculo y la duplicacion del cubo.

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2. Conceptos basicos de anillos

En teorıa de grupos, disponemos de un conjunto con una unica operacion. Sin embargo,estamos acostumbrados a trabajar con numeros enteros, racionales, reales y complejos, en loscuales existen dos operaciones. La estructura de anillo es una abstraccion de las propiedades,intuitivamente evidentes, de estos numeros.

Definicion 2.1. Un anillo (R,+, ·) es un conjunto R dotado de dos operaciones binarias,llamadas suma (+) y producto (·), tales que

(R,+) es un grupo abeliano,

(R, ·) es un monoide (i.e., la operacion es cerrada y asociativa), y

se cumplen las siguientes propiedades distributivas

a · (b+ c) = a · b+ a · c, (a+ b) · c = a · c+ b · c, ∀a, b, c ∈ R.

Denotaremos por 0 el elemento neutro respecto de la suma, y por −r al inverso de r ∈ Rrespecto de la misma operacion.

Si existe elemento neutro para el producto, denotado por 1 y llamado elemento unidad, elanillo se dice unitario. Si el producto es conmutativo, el anillo se dice conmutativo.

De hecho, son las propiedades distributivas, a traves de las cuales ambas operacionesinteractuan, las que dotan a Z,Q,R,C y a otros anillos de su riqueza de propiedades.

Ejemplos. 1. Z con las operaciones usuales de suma y producto es un anillo conmutativounitario.

2. 2Z = 2n : n ∈ Z, de nuevo con las operaciones habituales, es un anillo conmutativo,pero no posee elemento unidad.

3. Dado un anillo R, el conjunto M2(R) =

(a bc d

)

: a, b, c, d ∈ R

con las operaciones

conocidas de suma y multiplicacion de matrices, es un anillo no conmutativo (y unitario

si R lo es, con elemento unidad

(1 00 1

)

).

4. Dado un anillo R, el conjunto R[X] de polinomios en la indeterminada X con coe-ficientes en R es un anillo. De igual manera, podemos considerar polinomios en masindeterminadas, definiendo R[X,Y ] = R[X][Y ].

Definicion 2.2. Sea R un anillo. Se dice que S ⊂ R es un subanillo de R si (S,+) < (R,+)y el producto es cerrado en S.

Alternativamente, se dice que S ⊂ R es un subanillo de R si S satisface, por sı mismo,los axiomas de anillo.

Ejemplos. 1. 2Z < Z.

2. R < R[X].

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Lema 2.3. Sea R un anillo, r, s ∈ R. Entonces,

1. r0 = 0r = 0, ∀r ∈ R,

2. (−r)s = −(rs).

Demostracion. Ambas propiedades son consecuencias sencillas de la propiedad distributiva.

1. r0 = r(0 + 0) = r0 + r0, y la estructura de grupo de R con respecto a la suma nospermite restar miembro a mienbro, para obtener r0 = 0. Analogamente se demuestra0r = 0.

2. rs+(−r)s = [r+(−r)]s = 0s = 0, y la afirmacion del enunciado se deduce de la unicidaddel elemento inverso.

Q.E.D.

Un papel similar al que jugaban los subgrupos normales en la teorıa de grupos es el quevan a desempenar los ideales en la teorıa de anillos.

Definicion 2.4. Sea R un anillo. Un ideal de R es un subconjunto I ⊂ R tal que

(I,+) < (R,+), y

∀r ∈ R,∀m ∈ I, mr ∈ I, rm ∈ I.

Denotaremos I R.

Evidentemente, todo ideal es subanillo.

Ejemplos. 1. R = Z, I = 2Z.

2. R = C[X], I = P ∈ C[X] : P (1) = 0.

Ejercicio. Sean R = M2(C), I =

(0 a0 b

)

∈ M2(C)

. Demostrar que I es un subanillo,

pero no un ideal, de R.

Ejercicio. Demostrar que la interseccion de una coleccion arbitraria de ideales de un anilloR es, de nuevo, un ideal de R.

Definicion 2.5. Sea S un subconjunto de un anillo R. El menor ideal de R que contiene a Sse llama ideal generado por S, denotando (S). Ası, (S) es la interseccion de todos los idealesque contienen a S.

Lema 2.6. Sea R un anillo unitario. Entonces, (1) = R.

Demostracion. Sea r ∈ R. Como 1 ∈ (1), se debe tener r1 = r ∈ (1) para todo r ∈ R. Portanto, (1) = R. Q.E.D.

Lema 2.7. Para todo anillo R, 0 R.

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Los ideales de un anillo R son subgrupos normales del grupo (R,+), ya que este es abeliano.Ası, podemos considerar el conjunto cociente R/I. De la teorıa de grupos, sabemos que laoperacion de suma de clases de equivalencia (r+ I) + (s+ I) = (r+ s) + I esta bien definida,y que, con ella, (R/I,+) es un grupo abeliano.

Para poder considerar el anillo cociente R/I, definimos el producto de clases de equivalenciasegun

(r + I)(s+ I) = rs+ I.

Teorema 2.8.

1. El producto de clases de equivalencia dado arriba esta bien definido, i.e., no depende dela eleccion de representantes.

2. R/I con estas operaciones es un anillo.

Demostracion.

1. Sean r+I = r′+I, s+I = s′+I. Entonces, existen a, b ∈ I tales que r′ = r+a, s′ = s+b.Utilizando la definicion de ideal, se tiene

r′s′ + I = (r + a)(s + b) + I = rs+ as+ rb+ ab+ I = rs+ I.

2. (R/I,+) es un grupo abeliano, y la asociatividad del producto es evidente. Queda comoejercicio la demostracion de la validez de las propiedades distributivas.

Q.E.D.

Al igual que los homomorfismos de grupos conservaban la operacion de este, los homomor-fismos de anillos habran de conservar las operaciones de suma y producto.

Definicion 2.9. Sean R,S dos anillos. Un homomorfismo de anillos es una aplicacion ϕ :R −→ S tal que para todos r, s ∈ R se cumple

ϕ(r + s) = ϕ(r) + ϕ(s), y

ϕ(rs) = ϕ(r)ϕ(s).

Es importante notar que todo homomorfismo de anillos f : (R,+, ·) −→ (S,+, ·) es tambienun homomorfismo de grupos f : (R,+) −→ (S,+).

Definicion 2.10. Sea ϕ : R −→ S un homomorfismo de anillos. Se definen la imagen y elnucleo de ϕ:

im ϕ = s ∈ S : ∃r ∈ R,ϕ(r) = sker ϕ = r ∈ R : ϕ(r) = 0

Existen analogos en anillos de los importantes teoremas de correspondencia e isomorfıa dela teorıa de grupos.

Teorema 2.11 (Teorema de correspondencia). Sea R un anillo, I R.

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1. Si J es un ideal de R con I ⊂ J , entonces J/I es un ideal de R/I. Ademas, si K esotro ideal de R conteniendo a I, J = K si y solo si J/I = K/I.

2. Sea L un ideal de R/I. Entonces, J = x ∈ R : x+ I ∈ L R, I ⊂ J, y L = J/I.

Demostracion.

1. Queda como ejercicio demostrar que J/I R/I. De la unicidad, la implicacion directaes evidente. Para comprobar la inversa, veamos que K < J, J < K. En efecto, paracada k ∈ K, se tiene

∃j ∈ J : k + I = j + I ⇒ k − j ∈ I ⇒ ∃a ∈ I : k = j + a ∈ J.

Recıprocamente, para cada j ∈ J ,

∃k ∈ K : j + I = k + I ⇒ j − k ∈ I ⇒ ∃b ∈ I : j = k + b ∈ J.

2. Es tambien un ejercicio demostrar que J es un ideal de R. Es claro que I ⊂ J , ya quepara todo i ∈ I se tiene i+I = I ∈ L. Veamos que L = J/I. Por un lado, si l = a+I ∈ L,se tiene a ∈ J por definicion, de donde a + I ∈ J/I. Recıprocamente, para todo j ∈ J ,es j + I ∈ J/I, y, de nuevo por la definicion de J , se tiene j + I ∈ L.

Q.E.D.

Teorema 2.12 (Primer teorema de isomorfıa de anillos). Sean R,S dos anillos, yf : R −→ S un homomorfismo entre ellos. Entonces,

1. ker f R,

2. im f < S, y

3. R/ker f ∼= im f .

Demostracion.

1. Sean r ∈ R, a ∈ ker f . Entonces, f(ra) = f(r)f(a) = f(r)0 = 0, luego ra ∈ ker f .Analogamente, f(ar) = f(a)f(r) = 0f(r) = 0 y ar ∈ ker f . Que (ker f,+) < (R,+) sededuce del primer teorema de isomorfıa de grupos.

2. Ejercicio.

3. Sea g : R/ker f −→ im f definido segun g(r + ker f) = f(r). Esta aplicacion esta biendefinida, pues, si r + ker f = s+ ker f , ∃a ∈ ker f tal que r = s+ a, de donde

g(r + ker f) = f(r) = f(s+ a) = f(s) + f(a) = f(s) + 0 = f(s) = g(s+ ker f).

Ademas, g es homomorfismo, pues f lo es. Es inyectivo, por el mismo argumento queasegura que esta bien definido. Por ultimo, es sobreyectivo, ya que todo s ∈ im f ess = f(r) = g(r + ker f) para algun r ∈ R.

Q.E.D.

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3. Conceptos basicos de cuerpos

En anillos, no existen, en general, inversos multiplicativos, y, por tanto, no disponemos dela operacion de division. Debemos extender la estructura de anillo para asegurar su existencia.

Definicion 3.1. Sea R un anillo unitario. Un elemento r ∈ R se llama unidad si existe otroelemento s ∈ R tal que rs = sr = 1. Se denota U(R) al conjunto de unidades de R.

Ejemplos. 1. U(Z) = 1,−1.

2. U(Q) = Q∗ = Q\0.

Lema 3.2. Sea R un anillo unitario. (U(R), ·) posee estructura de grupo.

Demostracion. Es evidente que el inverso multiplicativo de un elemento r ∈ R pertenece aR, ya que la definicion de unidad es simetrica. Por otro lado, sean r, s ∈ U(R), de modo queexisten r−1, s−1 ∈ R. Entonces,

(rs)(s−1r−1) = r(ss−1)r−1 = r1r−1 = rr−1 = 1,

(s−1r−1)(rs) = s(rr−1)s−1 = s1s−1 = ss−1 = 1,

i.e., rs ∈ U(R) y (rs)−1 = s−1r−1. Q.E.D.

Ejemplo. Sea R = Z[i] = a + bi : a, b ∈ Z, el anillo de los enteros gaussianos. Como(a+bi)−1 = a−bi

a2+b2sobre los complejos, se tiene que (a+bi)−1 ∈ U(Z[i]) si y solo si a2 +b2 = 1,

por lo que U(R) = 1,−1, i,−i.

Definicion 3.3. Un cuerpo es un anillo conmutativo unitario K tal que U(K) = K\0.

Conocemos ya algunos ejemplos de cuerpos: Q, R y C. Otros menos triviales son los Zp,con p primo (recordar que U(Zp) = Z∗

p si y solo si p es primo).

Teorema 3.4. Sea R un anillo conmutativo unitario. Entonces, R es un cuerpo si y solo siposee unicamente los ideales 0 y R.

Demostracion. (⇒) Supongamos que R es cuerpo, y sea 0 6= I R. Si 0 6= r ∈ I, exister−1 ∈ R, de modo que rr−1 = r−1r = 1 ∈ R. Pero (1) ⊂ I implica (1) = R.

(⇐) Supongamos que R posee unicamente los ideales impropios. Sea 0 6= r ∈ R, e I =rR = rs : s ∈ R (es un ejercicio demostrar que rRR si R es conmutativo). Pero I 6= 0,ya que r = r1 ∈ I, por lo que debe ser I = R. En particular, 1 ∈ I, luego existe s ∈ R tal querR ∋ rs = 1, por lo que r ∈ U(R). Q.E.D.

Ejercicio. Sea R un anillo conmutativo unitario. Demostrar que 0 6= r ∈ R es una unidad deR si y solo si (r) = rR = R.

En el tema anterior, vimos que si R es un anillo e I un ideal suyo, el conjunto cociente R/Ies un anillo. Veamos bajo que condiciones este anillo cociente posee estructura de cuerpo.

Definicion 3.5. Sea R un anillo, I R. Se dice que I es un ideal maximal de R si I 6= R yno existe J R tal que I ( J ( R.

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Corolario 3.6. Sea R un anillo conmutativo unitario, IR. Entonces, I es un ideal maximalde R si y solo si I/R es un cuerpo.

Demostracion. (⇒) Si I es maximal, el teorema de correspondencia asegura que los unicosideales de R/I son 0 y R, por lo que este es un cuerpo.

(⇐) Si R/I es cuerpo, posee unicamente los ideales 0 y R, por lo que, por el teorema decorrespondencia, no existe ningun ideal J como en la definicion de ideal maximal. Q.E.D.

El paso al cociente es una tecnica muy poderosa para conseguir demostraciones, puespodemos pasar de trabajar en un anillo a trabajar en un cuerpo, en el cual disponemos deinversos multiplicativos.

Ejercicio. (Pequeno teorema de Fermat) Demostrar que xp ≡ x (mod p), con x ∈ Z y pprimo.

Desearıamos que si rs = rt, se tuviera s = t. Sin embargo, esto no siempre es cierto. Porejemplo, en el anillo Z6, tenemos 3 · 2 = 0 = 3 · 0, pero 2 6= 0 evidentemente.

Definicion 3.7. Sea R un anillo. Un elemento 0 6= r ∈ R es un divisor de cero si existe0 6= s ∈ R tal que rs = 0 o sr = 0.

Lema 3.8. Sea R un anillo unitario. Si r ∈ U(R), entonces r no es divisor de cero.

Demostracion. Supongamos que r ∈ U(R), y que existe 0 6= s ∈ R tal que sr = 0. Entonces,0 = (sr)r−1 = s, en contradiccion con las hipotesis. Q.E.D.

Corolario 3.9. Un cuerpo no tiene divisores de cero.

Ejemplo. Sea p un numero primo, p > 2. Veamos que (p − 1)! ≡ −1 (mod p). Pasando alcociente, Zp, esta igualdad se escribe

p− 1 p− 2 . . . 2 1 = −1. (*)

Como primer paso, resolvamos la ecuacion a2 = 1 en Zp, utilizando que es un cuerpo y notiene divisores de cero.

a2 = 1 ⇐⇒ a2 − 1 = 0 ⇐⇒ (a− 1)(a + 1) = 0 ⇐⇒ a = 1 o a = −1.

Entonces, si a ∈ Zp, se tiene a = a−1 si y solo si a ∈ 1,−1.

De esta manera, podemos escribir Z∗p = 1,−1 ∪ ⋃

a∈Zp\1,−1a, a−1. Reagrupando el

producto en (∗),(p− 1)! = 1 −1 2 2−1 3 3−1 . . . = 1 −1 = −1.

Definicion 3.10. Sea K un cuerpo. Se dice que un subconjunto F ⊂ K es un subcuerpo deK si se cumple que:

F es un subanillo de K, y

∀f ∈ F, f 6= 0, se tiene f−1 ∈ F .

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Ejemplo. Q < R < C.

Ejercicio. Demostrar que la interseccion de una coleccion arbitraria de subcuerpos de uncuerpo K es de nuevo un subcuerpo de K.

Definicion 3.11. Sea S un subconjunto de un cuerpo K. El menor subcuerpo de R quecontiene a S se llama subcuerpo generado por S, denotando (S). Ası, (S) es la interseccionde todos los subcuerpos que contienen a S.

Existen ejemplos importantes de anillos, que tienen la propiedad, tambien importante,de no poseer divisores de cero, pero que no llegan a ser cuerpos, al no disponer de inversosmultiplicativos.

Definicion 3.12. Un dominio de integridad es un anillo conmutativo unitario sin divisoresde cero.

Ejemplos. 1. Todo cuerpo es dominio de integridad.

2. Z.

3. R[X].

Lema 3.13. Sea R un dominio de integridad, y F un cuerpo con R ⊂ F . Se tiene

(R) = rs−1 : r, s ∈ R, s 6= 0.

Demostracion. La inclusion T = rs−1 : r, s ∈ R, s 6= 0 ⊂ (R) es trivial, pues (R) es uncuerpo. Para probar la recıproca, basta ver que T es un cuerpo (ejercicio). Q.E.D.

Ejemplo. (Z) = Q, tanto si consideramos Z ⊂ R como Z ⊂ C.

Esta construccion puede hacerse sin necesidad del cuerpo F . En particular, dado un do-minio de integridad R, consideramos el conjunto T = (r, s) : r, s ∈ R, s 6= 0, y en el larelacion de equivalencia dada por (r1, s1) ∼ (r2, s2) si r1s2 = r2s1. Denotamos por r

s la clasede equivalencia del elemento (r, s). Definiendo las operaciones suma y producto en K = T/ ∼segun

r

s+a

b=rb+ sa

sb,

r

s· ab

=ra

sb,

obtenemos un cuerpo, segun asegura el siguiente teorema. A este cuerpo se le denomina cuerpode cocientes de R.

Teorema 3.14.

1. Las operaciones recien definidas no dependen de la eleccion de representantes.

2. (K,+, ·) posee estructura de cuerpo.

3. Existe un homomorfismo inyectivo ϕ : R −→ K.

4. (ϕ(R)) = K.

5. Si F es un cuerpo y R ⊂ F , el menor subcuerpo de F que contiene a R es isomorfo aK.

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Demostracion. Los dos primeros apartados son un ejercicio. Para demostrar el tercero,sea ϕ(r) = r

1 (que es evidentemente un homomorfismo). Veamos que es inyectivo. En efecto,supongamos que ϕ(r) = 0, con r 6= 0. Entonces, r

1 = 0s implica rs = 0, y, por ser R dominio

de integridad y s 6= 0, se tiene r = 0, en contra de las hipotesis.

Ademas, si s1 ∈ (ϕ(R)), entonces

(s1

)−1= 1

s ∈ (ϕ(R)), luego r1

1s = r

s ∈ (ϕ(R)), luegoK ⊂ (ϕ(R)). La desigualdad contraria se deduce de la misma definicion de (ϕ(R)).

Por ultimo, supongamos que R ⊂ F , con F cuerpo. Entonces, el homomorfismo rs ∈ K 7→

rs−1 ∈ (R) es un isomorfismo de anillos, y, por tanto, tambien de cuerpos (ejercicio). Q.E.D.

Ejemplo. Sea R = K[X] el anillo de polinomios sobre un cuerpo K. El cuerpo de cocientes

de R es P (x)Q(x) : P (x), Q(x) ∈ K[X], Q(X) 6= 0, el cuerpo de funciones racionales sobre K.

Con el concepto del cuerpo de cocientes en la mano, podemos empezar a comprender laestructura de un cuerpo cualquiera.

Definicion 3.15. Sea K un cuerpo. La caracterıstica de K, char K, es el menor numeronatural tal que 1 + 1 + · · · + 1

︸ ︷︷ ︸

n veces

= 0. Si no existe tal n, se dice que char K = 0.

Ejemplos. 1. Los cuerpos Q,R,C son de caracterıstica 0.

2. char Zp = p.

Definicion 3.16. Sea K un cuerpo. Se define el subcuerpo primo de K, (∅), como el mınimosubcuerpo contenido en K.

Ejemplos. 1. En el cuerpo de los numeros reales, se tiene (∅) = Q.

2. En Zp, donde p es primo, se tiene (∅) = Zp.

El siguiente teorema afirma que estos ejemplos copan todas las posibilidades, de modo que,en realidad, son los ejemplos.

Teorema 3.17. Sea K un cuerpo.

1. Si char K = 0, el subcuerpo primo de K es isomorfo a Q.

2. Si char K = p, entonces p es primo, y el subcuerpo primo de K es isomorfo a Zp.

Demostracion.

1. Si char K = 0, no existe n ∈ N tal que n · 1 = 0, ni n(−1) = 0, de modo que K contieneun subanillo isomorfo a Z. Entonces, el subcuerpo primo de K es isomorfo al cuerpo defracciones de Z, que es Q.

2. Supongamos que la caracterıstica de K no es un numero primo, de modo que p = p1p2,con p1 6= 1, p2 6= 1. Entonces, (p1 · 1)(p2 · 1) = p · 1 = 0, y, por ser K cuerpo, p1 · 1 = 0o p2 · 1 = 0, en contradiccion con las hipotesis.

Razonando como en el apartado anterior, K contiene un subanillo isomorfo a Zp. Portanto, el subcuerpo primo de K es isomorfo al cuerpo de fracciones de Zp, que coincidecon sı mismo.

Q.E.D.

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4. Dominios euclıdeos

Una propiedad importante del anillo de los numeros enteros es que todo z ∈ Z se puededescomponer, esencialmente de manera unica, en un producto de numeros primos. Ademas,sabemos realizar divisiones en Z. Veamos bajo que condiciones podemos encontrar estaspropiedades.

Definicion 4.1. Sea R un anillo, I R. Se dice que I es un ideal principal de R si existe unelemento a ∈ R tal que I = (a).

Definicion 4.2. Un dominio de ideales principales es un dominio de integridad en el cualtodos los ideales son principales.

Definicion 4.3. Un dominio euclıdeo es un dominio de integridad, junto con una aplicaciong : R∗ −→ N que cumple las siguientes propiedades:

1. g(ab) ≥ g(a) para todos a, b ∈ R∗, y

2. (algoritmo de division) para todos a, b ∈ R, a 6= 0 existen q, r ∈ R tales que b = qa+ r,con r = 0 o g(r) < g(a).

Ejemplos. 1. Si K es un cuerpo, K[x] es un dominio euclıdeo, con g(P (x)) = ∂P , elgrado del polinomio, y el algoritmo de division conocido (veremos la demostracion en elcapıtulo siguiente).

2. Veamos que el anillo de los enteros gaussianos, Z[i] es un dominio euclıdeo, con la funciong : (Z[i])∗ −→ N definida segun g(a + bi) = |a+ bi|2 = a2 + b2.

El primer axioma se reduce a

g((a + bi)(c+ di)) = |a+ bi|2|c+ di|2 ≥ |a+ bi|2 = g(a+ bi),

pues |c+ di|2 ≥ 1.

Veamos el algoritmo de la division. Dados x, y ∈ Z[i], x 6= 0, busquemos q, r ∈ Z[i] talesque y = qx+ r, con r = 0 o g(r) < g(x). Sea q′ = a′ + b′i = yx−1 ∈ Q[i]. Es claro queexisten a, b ∈ Z tales que |a− a′| ≤ 1

2 y |b− b′| ≤ 12 . Tomemos q = a+ bi. Entonces,

r = y − qx = q′x− qx = (q′ − q)x = ((a′ − a) + (b′ − b)i)x.

Considerando la extension de g al cuerpo Q[i], dada por la misma expresion analıtica,obtenemos

g(r) = g((a′ − a) + (b′ − b)i)g(x) ≤ 1

2g(x) < g(x),

como querıamos demostrar.

Ejercicio. Demostrar que Z[√

2] es un dominio euclıdeo.

Teorema 4.4. Todo dominio euclıdeo es dominio de ideales principales.

Demostracion. Sea R un dominio euclıdeo, e I R. Si I = 0, es claro que es un idealprincipal. Supongamos, entonces, que I contiene al menos un elemento distinto de cero. Sea

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a ∈ I tal que g(a) ≤ g(c) para cualquier otro c ∈ I. Entonces, utilizando el algoritmo dedivision, existen q, r ∈ R tales que c = qa+ r con r = 0 o g(r) < g(a).

Pero r = c − qa ∈ I, r 6= 0 implicarıa g(r) ≥ g(a), por la definicion de a, en contra delas hipotesis. Por tanto, r = 0, y todo elemento c ∈ I es de la forma c = qa, i.e., I = (a). Q.E.D.

Corolario 4.5. Z es un dominio de ideales principales.

Demostracion. Basta ver que Z es un dominio euclıdeo con g(z) = |z|. Q.E.D.

Definicion 4.6. Sea R un dominio de ideales principales, a, b ∈ R, a 6= 0, b 6= 0. Se dice queun elemento d ∈ R es un maximo comun divisor de a y b si (d) = (a, b). Tambien denotaremosd = (a, b).

Es importante notar que el maximo comun divisor no tiene por que ser unico. Sin embargo,veremos que dos maximos comunes divisores difieren en una unidad.

Definicion 4.7. Sea R un dominio de integridad. Se dice que dos elementos e, d ∈ R\0estan asociados si existe r ∈ U(R) tal que e = rd, en cuyo caso denotamos d ∼ e.

Ejemplo. En Z, todo n esta asociado con −n, pues −n = (−1)n y −1 ∈ U(R).

Lema 4.8. Sea R un dominio de integridad, e, d ∈ R, d 6= 0, e 6= 0. Entonces, (d) = (e) si ysolo si d y e estan asociados.

Demostracion. (⇒) Como (d) < (e), existe r ∈ R tal que e = rd. Analogamente, (e) < (d),luego d = se con s ∈ R. Ası, d = srd, por lo que sr = 1, r ∈ U(R) y d ∼ e.

(⇐) Recıprocamente, si d ∼ e, existen r, s ∈ U(R) tales que e = rd y d = se, de lo cual esevidente que (d) < (e) y (e) < (d). Q.E.D.

Existe un algoritmo, llamado de Euclides, que permite encontrar un maximo comun divisorde dos elementos cualesquiera a0, a1 de un dominio euclıdeo. Supongamos, sin perdida degeneralidad, que g(a1) < g(a0). Utilizando el algoritmo de division en R, hacemos

a0 = q1a1 + a2, g(a2) < g(a1),

a1 = q2a2 + a3, g(a3) < g(a2),

...

an−1 = qnan.

Observemos que este proceso concluye en un numero finito de pasos, ya que g(ai) < g(ai−1),y la imagen de g esta contenida en los numeros naturales. Es un ejercicio sencillo comprobarque an es un maximo comun divisor de a0 y a1.

Ademas, el algoritmo de Euclides ha producido n − 1 ecuaciones (utiles; la ultima unica-mente nos indica cuando terminamos). Si consideramos la sucesion ain

i=0 como incogni-tas (hay n + 1), y sustituyendo hacia adelante ai+1 = ai−1 − qiai podemos encontrar an =Aa0 +Ba1, demostrando la conocida propiedad lineal del maximo comun divisor.

12

Ejemplos. 1. (15, 35) = 5, pues el algoritmo de Euclides produce

35 = 2 · 15 + 5

15 = 3 · 5.

Para encontrar A y B, hacemos 5 = 35 − 2 · 15, i.e., A = 1, B = −2.

2. (15, 40) = 5. En efecto,

40 = 2 · 15 + 10

15 = 1 · 10 + 5

10 = 2 · 5.

Ademas, 5 = 15 − 1 · 10 = 15 − 1(40 − 2 · 15) = −40 + 3 · 15, de modo que A = −1 yB = 3.

3. El algoritmo de Euclides es muy util para encontrar inversos en cuerpos Zp. Por ejemplo,consideremos p = 11. El elemento 3 es invertible, pues (3, 11) = 1. Por el algoritmo deEuclides,

11 = 3 · 3 + 2

3 = 1 · 2 + 1

2 = 2 · 1.

Entonces, 1 = 3 − 1 · 2 = 3 − 1(11 − 3 · 3) = 4 · 3 + 1 · 11, i.e., 1 = 4 · 3 y 4 = 3−1.

Definicion 4.9. Sea R un dominio de integridad. a = bc es una descomposicion trivial sia ∈ U(R) o b ∈ U(R).

Se dice que 0 6= r ∈ R es un elemento primo de R si r /∈ U(R) y solo posee descomposi-ciones triviales.

El siguiente lema justifica la denominacion de elementos primos recien dada (aplıquese alanillo de los enteros y recuerdese 3.6).

Lema 4.10. Sea R un dominio de ideales principales. Entonces, un elemento 0 6= a ∈ R esprimo si y solo si (a) es un ideal maximal de R.

Demostracion. (⇒) Puesto que a es primo, a /∈ U(R), por lo que (a) 6= R. Supongamosque (a) < (b), de modo que a = cb. Como a posee unicamente descomposiciones triviales, setiene c ∈ U(R) (en cuyo caso (a) = (b)) o b ∈ U(R) (y (b) = R), por lo que (a) es maximal.

(⇐) Si (a) es maximal, se tiene a /∈ U(R), pues, en caso contrario, se tendrıa (a) = R. Seaa = bc, de modo que (a) < (b). Puesto que (a) es maximal, existen dos unicas posibilidades:si (b) = R, entonces b ∈ U(R); si (b) = (a), entonces b ∼ a y c ∈ U(R). Por tanto, a no tienedescomposiciones no triviales. Q.E.D.

Evidentemente, decimos que a divide a b, y denotamos a|b si existe c tal que b = ca, i.e.,si b ∈ (a).

Corolario 4.11. Sea R un dominio de ideales principales, y p un elemento primo de R. Sia = bc y p|a, entonces p|b o p|c.

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Demostracion. Consideremos el conjunto cociente R/(p), que es cuerpo por ser (p) maximal.Como p|a, se tiene a ∈ (p). Por tanto, b c = 0, de donde b = 0 o c = 0. Q.E.D.

Este resultado se generaliza de forma obvia a cualquier producto con un numero finito deelementos.

Lema 4.12. Sea R un dominio euclıdeo. Supongamos que a|c pero a 6∼ c (a es un divisorpropio de c). Entonces, g(a) < g(c).

Demostracion. Por un lado, existe d ∈ R, d /∈ U(R) tal que c = da. Por otro, utilizando elalgoritmo de division, obtenemos q, r ∈ R tales que a = qc+ r, con r = 0 o g(r) < g(c).

Supongamos que r = 0. Entonces, a ⊂ (c), (a) < (c), luego (a) = (c) y se tendrıa a ∼ c,en contra de las hipotesis. Por tanto, g(r) < g(c). Pero r = a − qc = a − qda = a(1 − qd) yg(a) ≤ g(r). Q.E.D.

Teorema 4.13. Sea R un dominio euclıdeo, a ∈ R. Entonces, existe una unica descomposicionde a como producto de elementos primos de R.

Aquı, unica significa que si a = p1p2 . . . pn = q1q2 . . . qm, entonces n = m y existe unapermutacion σ ∈ Sn tal que pi ∼ qσ(i).

Demostracion. Si g(a) = 1, a no puede tener descomposiciones no triviales. En efecto, sia = bc, b es un divisor propio de a, por lo que 1 ≤ g(b) < g(a) = 1. Por tanto, a ∈ U(R) o aes un elemento primo. Supongamos cierto el enunciado para todo a ∈ R tal que g(a) < n.

Si g(a) = n y a no es un elemento primo de R, existe una descomposicion no triviala = bc, y se tiene g(b) < n, g(c) < n, por lo que, aplicando la hipotesis de induccion, existendescomposiciones b = p1p2 . . . pk, c = q1q2 . . . ql. Entonces, a = p1p2 . . . pkq1q2 . . . ql, lo cualprueba la existencia de tal descomposicion.

Veamos la unicidad. Supongamos que a = αp1p2 . . . pn = βq1q2 . . . qm, con α, β ∈ U(R).Entonces, p1|q1q2 . . . qm, por lo que existe i ∈ 1, 2, . . . ,m tal que p1|qi, y, por ser elementosprimos, existe γ ∈ U(R) tal que p1 = γqi. Ası, se tiene αγp2p3 . . . pn = βq1q2 . . . qi−1qi+1 . . . qm,y la hipotesis de induccion asegura que n− 1 = m− 1, y que cada pj, 1 < j ≤ n esta asociadocon un qk, 1 ≤ k ≤ m, k 6= i. Q.E.D.

Un dominio de integridad conmutativo en el cual se cumplen las conclusiones de esteteorema recibe el nombre de dominio de factorizacion unica. Podemos reformular el teoremadiciendo que todo dominio euclıdeo es dominio de factorizacion unica.

Ejemplos. 1. 12 = (−3)(−2)2 = 2 · 2 · 3, pero −2 ∼ 2 y −3 ∼ 3, y podemos tomarσ = (1 3).

2. Z[i] es un dominio euclıdeo, y, por tanto, las descomposiciones son unicas en el.

Contraejemplo. Veamos que en Z[√−3], las descomposiciones no tienen por que ser unicas,

de donde deducimos que no es un dominio euclıdeo.

Si p1 = 2, p2 = 1 +√−3, p3 = 1−

√−3, tenemos p2

1 = p2p3. Basta comprobar, por tanto,que p1, p2, p3 son elementos primos, y que p1 no esta asociado con p2 ni p3.

En efecto, consideremos g : (Z[√−3])∗ −→ N dado por g(a + b

√−3) = a2 + 3b2. De esta,

notamos que si g(r) = 1, entonces r ∈ U(R), ya que g(r) = rr. Ademas, no existe ningun

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elemento a+ b√−3 ∈ Z[

√−3] tal que g(a+ b

√−3) = 2, pues la ecuacion a2 +3b2 = 2 no tiene

solucion sobre los enteros.

Es evidente que p1, p2, p3 /∈ U(R) (ejercicio). Supongamos que pi = ab es una descomposi-cion no trivial de pi. Entonces, 4 = g(pi) = g(a)g(b). Por tanto, g(a) = 1 (luego a ∈ U(R))o g(b) = 1 (y b ∈ U(R)), en contra de las hipotesis. Por tanto, p1, p2, p3 son primos.

Veamos que p1 no esta asociado con p2 ni p3. Supongamos lo contrario, p1 = ap2, p1 = bp3,con a, b ∈ U(R). Entonces, trabajando en el cuerpo de los numeros complejos (que contiene aZ[√−3]), obtenemos

a = p1p−12 =

1

2− 1

2

√−3 /∈ Z[

√−3]

b = p1p−13 =

1

2+

1

2

√−3 /∈ Z[

√−3].

15

5. Anillos de polinomios

El caso mas importante de aplicacion de los conceptos del capıtulo anterior son los anillosde polinomios.

Definicion 5.1. Sea R un anillo. Se dice que el polinomio P = a0 + a1X + · · · + anXn ∈

R[X], an 6= 0 tiene grado n, y se denota ∂P = n, con el convenio ∂0 = −∞.

Lema 5.2. Sea R un dominio de integridad. Entonces, R[X] es un dominio de integridad.Ademas, para todos P,Q ∈ R[X] se cumple

1. ∂(PQ) = ∂P + ∂Q, y

2. ∂(P +Q) = max∂P, ∂Q.

Demostracion. En el caso en que P = 0 o Q = 0, las dos igualdades del enunciado sonevidentes. Sean, entonces,

P = a0 + a1X + · · · + anXn, Q = b0 + b1X + · · · + bmX

m,

con an 6= 0, bm 6= 0.

1. Se tiene PQ = a0b0 + (a0b1 + a1b0)X + · · · + anbmXn+m. Como R es un dominio de

integridad, anbm 6= 0, por lo que ∂(PQ) = n+m = ∂P + ∂Q > −∞, lo cual demuestratambien que R[X] no tiene divisores de cero, y es, por tanto, un dominio de integridad.

2. Demasiado sencillo para que la demostracion sea siquiera un ejercicio. El ejercicio esconvencerse de ello.

Q.E.D.

Teorema 5.3. Si K es un cuerpo, entonces K[X] es un dominio euclıdeo. En particular, paratodos P,Q ∈ K[X], P 6= 0 existen R,C ∈ K[X] tales que Q = CP +R y ∂R < ∂P .

Demostracion. Sean

P = a0 + a1X + · · · + anXn, Q = b0 + b1X + · · · + bmX

m,

con an 6= 0, bm 6= 0.

Si m < n, basta tomar C = 0, R = Q. Supongamos, entonces, que m ≥ n. Utilizaremosinduccion sobre el grado de Q. Fijo n, tomemos como base de induccion el caso m < n ysupongamos el enunciado cierto para todo Q con ∂Q < m. Sea C1 = bma

−1n xm−n. Entonces,

Q1 = Q − C1P es un polinomio de grado m − 1, y, por la hipotesis de induccion, existenC2, R1 ∈ K[X] tales que Q1 = C2P +R1 y ∂R1 < ∂P . Basta, por tanto, tomar C = C1 + C2

y R = R1.

La funcion g : (K[X])∗ −→ N necesaria viene dada por la expresion g(P ) = 2∂P . Q.E.D.

Corolario 5.4. Sea K un cuerpo. K[X] es un dominio de ideales principales, y un dominiode factorizacion unica.

16

Los anillos de polinomios poseen una nomenclatura particular: en ellos, los elementosprimos reciben el nombre de polinomios irreducibles.

Ejercicio. Sea K un cuerpo. Probar que X−a ∈ K[X] es un polinomio irreducible para todoa ∈ K. Ademas, demostrar que K[X]/(X − a) ∼= K.

Hasta ahora, hemos considerado los polinomios como elementos de ciertos anillos, P =a0+a1X+· · ·+anX

n. Sin embargo, tambien podemos asociar a cada polinomio una aplicacionP : K −→ K que a cada elemento a ∈ K le asocia P (a) = a0 + a1a + · · · + ana

n, obtenidopor sustitucion formal de X por a. Tiene, entonces, sentido, decir que P (a) = 0, en cuyo casodecimos que a es una raız del polinomio P .

Teorema 5.5 (Ruffini). Sean P ∈ K[X] y a ∈ K. Entonces, P (a) = 0 si y solo si P ∈(X − a).

Equivalentemente, a es raız del polinomio P si y solo si P es divisible por X − a.

Demostracion. Por el algoritmo de division, existen C,R ∈ K[X] tales que P = C(X −a) + R, con ∂R < ∂(X − a) = 1. Por tanto, ∂R = 0 o ∂R = −∞, i.e., R ∈ K. Entonces,P (a) = 0 implica R = 0, y viceversa. Q.E.D.

Proposicion 5.6. Sean a, b ∈ K. Entonces, (X − a) = (X − b) si y solo si a = b.

Demostracion. La implicacion inversa es evidente. Para probar la directa, observemos quelos polinomios de la forma X − c con c ∈ K son irreducibles, de donde (X − a) < (X − b)implica X − b|X − a y a = b. Q.E.D.

Corolario 5.7. Sea P ∈ K[X], ∂P = n. Entonces, P tiene a lo sumo n raıces.

Demostracion. Puesto que K[X] es un dominio de factorizacion unica, podemos descom-poner P como producto de elementos primos (i.e, polinomios irreducibles) P = P1P2 . . . Pk.Como U(K[X]) = K∗, se tiene ∂Pi ≥ 1. Ası, n = ∂P =

∑ki=1 ∂Pi, por lo que k ≤ n.

Ahora bien, si aj es raız de P , el teorema de Ruffini asegura que X − aj es un divisor deP , por lo que debe estar asociado a algun Pi. Q.E.D.

Lema 5.8 (Gauss). Sea P ∈ Z[X]. P es irreducible sobre Z si y solo si lo es sobre Q.

Demostracion. Supongamos que P es irreducible sobre Z, pero que P = (a0 + a1X + · · ·+anX

n)(b0 + b1X+ · · ·+ bmXm) es una descomposicion sobre Q. Como existe un numero finito

de coeficientes racionales, existe n ∈ N, que tomaremos mınimo, tal que nP = (c0 + c1X +· · · + cnX

n)(d0 + d1X + · · · + dmXm) es una descomposicion sobre Z.

Sea p un divisor primo de n. Es claro que p no puede dividir a un tiempo a todos los ci o atodos los bj , pues entrarıa en contradiccion con la definicion de n. Pasando al cociente, Zp[X],tenemos nP = 0, lo cual implica que alguno de los factores es 0, por ser Zp[X] un dominio deintegridad, en contradiccion con la observacion anterior.

La implicacion recıproca es evidente, pues toda descomposicion sobre Q es una descom-posicion sobre Z. Q.E.D.

Esta demostracion puede extenderse facilmente a otros dominios euclıdeos.

17

Ejercicio. Sea R un dominio euclıdeo, y K su cuerpo de cocientes. Entonces, P ∈ R[X] esirreducible sobre R si y solo si lo es sobre K.

Teorema 5.9 (Criterio de irreducibilidad de Eisenstein). Sea P ∈ Z[X], P = a0 +a1X + · · ·+ anX

n, an 6= 0. Supongamos que existe un primo p tal p ∤ an, p|ai ∀i < n, p2 ∤ a0.Entonces, P es irreducible sobre Q.

Demostracion. Por el lema de Gauss, basta demostrar que P es irreducible sobre Z. Supong-amos que P no es irreducible, sino que existen P1, P2 ∈ Z[X] tales que P = P1P2. Pasandoal cociente, Zp[X], se tiene P = anX

n, con an 6= 0. Entonces, Xn = an−1P1P2, de modo que

P1 = αXi, P2 = βXj con i+ j = n.

Pero, si P1 = c0 + c1X + · · · ciXi, P2 = d0 + d1X + · · ·+ djXj , se tiene que p|c0 y p|d0, de

donde p2|c0d0 = a0, en contradiccion con las hipotesis. Q.E.D.

El lema de Gauss y el criterio de Eisenstein nos proporcionan una poderosa herramientapara decidir la irreducibilidad sobre Q de un polinomio con coeficientes en el mismo cuerpo.

Ejemplos. 1. Sea P = X3 + 2X + 2. El criterio de Eisenstein con p = 2 asegura que estees irreducible sobre Q. Recuerdese que z|0 para todo z ∈ Z, pues 0 ∈ (z) ⊂ Z.

2. Sea p un numero primo, y P = Xp−1 +Xp−2 + · · ·+X+1 = Xp−1X−1 , el p-esimo polinomio

ciclotomico.

Es claro que P (X) es irreducible si y solo si lo es P (X + 1), pues si P (X + 1) =Q1(X)Q2(X), entonces P (X) = Q1(X − 1)Q2(X − 1). Pero

P (X + 1) =(X + 1)p − 1

(X + 1) − 1=

p∑

k=1

(p

p− k

)

Xk−1

= Xp−1 + pXp−2 +

(p

2

)

Xp−3 + · · · +(

p

p− 2

)

X + p,

por lo que el criterio de irreducibilidad de Eisenstein nos asegura el resultado.

Teorema 5.10. Sea p un numero primo, P ∈ Z un polinomio monico (∂P = n, an = 1), yP la imagen de P bajo el homomorfismo canonico ϕ : Z[X] −→ Zp[X]. Si ∂P = ∂P y P esirreducible en Zp[X], entonces P es irreducible en Q[X].

Demostracion. Ejercicio. Q.E.D.

18

6. Extensiones de cuerpos

Polinomios que no tienen raıces sobre los numeros racionales, sı las tienen en los reales olos complejos. Por tanto, estaremos interesados en encontrar nuevos cuerpos que contengan alos antiguos como subcuerpos, y tales que contienen las raıces de algun polinomio.

Definicion 6.1. Sean K,F dos cuerpos. Se dice que F es una extension de K si contienealgun subcuerpo isomorfo a K. En este caso, denotaremos F/K.

Una definicion mas elegante (y equivalente a la anterior) es decir que un cuerpo F es unaextension de otro cuerpo K si existe un monomorfismo σ : K −→ F .

Ejemplos. 1. R/Q.

2. Q[√

2]/Q.

Si K es cuerpo, el mınimo subcuerpo contenido en el es el subcuerpo primo, que debeser isomorfo a Q o a Zp. Por tanto, podemos considerar todo cuerpo como extension de unsubcuerpo primo.

Definicion 6.2. Sea F/K una extension de cuerpos, y S ⊂ F un subconjunto. DenotamosK(S) al menor subcuerpo de F que contiene a K y S.

Ejemplos. 1. Q(i) ⊂ C.

2. Q(√

2) ⊂ C.

3. Q(√

2, i) = a+ b√

2 + ci+ di√

2 : a, b, c, d ∈ Q ⊂ C.

Lema 6.3. Dados dos subconjuntos S, T ⊂ F , se tiene K(S ∪ T ) = K(S)(T ).

Demostracion. Ejercicio. Q.E.D.

Lema 6.4. Sea S = u1, u2, . . . , un ⊂ F . Entonces, K(u1, u2, . . . , un) es el cuerpo de co-cientes de K[u1, u2, . . . , un].

Demostracion. Ejercicio. Q.E.D.

Ejemplo. Q(√

2) = Q[√

2], puesto que Q[√

2] es cuerpo.

Definicion 6.5. Se dice que F/K es una extension finitamente generada si existe un subcon-junto finito S ⊂ F tal que F = K(S).

Ejemplo. Q(√

2, i)/Q es una extension finitamente generada.

Ejercicio. Comprobar que si K ⊂ F es numerable y u ∈ F , entonces K(u) es numerable.Utilizar este resultado para probar que R/Q es una extension no finitamente generada.

Definicion 6.6. Una extension F/K se llama simple si existe algun elemento u ∈ F tal queF = K(u).

Ejemplo. C/R es una extension simple, ya que C = R(i).

19

Ejercicio. Sea F/K una extension de cuerpos. Demostrar que F posee estructura de K-espacio vectorial, i.e.,

(F,+) es un grupo abeliano, y

∀k ∈ K,∀f ∈ F, kf ∈ F , cumpliendo

• (k1 + k2)f = k1f + k2f, ∀k1, k2 ∈ K,∀f ∈ F ,

• k(f1 + f2) = kf1 + kf2, ∀k ∈ K,∀f1, f2 ∈ F .

Definicion 6.7. Se dice que la extension F/K es finita si la dimension de F como K-espaciovectorial es finita. En tal caso, |F : K| = dimK F recibe el nombre de grado de la extension.

Ejemplos. 1. |C : R| = 2, pues 1, i es R-base de C.

2. |K : K| = 1.

3. |K(X) : K| = +∞; una base es 1,X,X2, . . ..

Ejercicio. Demostrar que F/K es finitamente generada si es finita, pero no necesariamentea la inversa (el contraejemplo lo acabamos de dar).

Teorema 6.8. Sea K un cuerpo, y P ∈ K[X] un polinomio irreducible. La extension F =K[X]/(P ) es finita, y |F : K| = ∂P .

Demostracion. Sea P = a0+a1X+ · · ·+anXn, n 6= 0. Notemos que si 0 6= a ∈ K, entonces

a 6= 0, por lo que K es isomorfo al cuerpo K = a : a ∈ K. Identificando ambos, tenemos,para todo Q ∈ K[X],

Q = b0 + b1X + · · · + bkXk + (P ) = b0 + b1X + · · · + bkX

k. (1)

Por tanto, podemos caracterizar F = K[X]. Veamos que B = 1,X, . . . ,Xn−1 es una basede F como K-espacio vectorial.

B es un sistema generador de F , pues todo monomioXm

es combinacion lineal de elementosde B. Si m < n, esto es evidente. Si m ≥ n, por el algoritmo de division, existen polinomiosR,C ∈ K[X] tales que Xm = CP +R, con ∂R < ∂P = n. Sobre el cociente, X

m= R.

B es un conjunto linealmente independiente. En efecto, si existiesen α0, α1, . . . , αn−1 ∈ K

no todos cero tales que∑n−1

i=0 αiXi= 0, se tendrıa

n−1∑

i=0

αiXi ∈ (P ) ⇒ ∃C ∈ K[X] :

n−1∑

i=0

αiXi = CP

Pero n− 1 = ∂(∑n−1

i=0 αiXi) = ∂P + ∂C ≥ n, lo cual es absurdo. Q.E.D.

Teorema 6.9. Sean F/E,E/K extensiones de cuerpos. Entonces, F/K es una extensionfinita si y solo si lo son F/E y E/K. Ademas, |F : K| = |F : E| · |E : K|.

Demostracion. Supongamos que la extension F/K es finita. Entonces, dimK F = r < +∞,y dimK E ≤ r, por ser E K-subespacio vectorial de F , lo cual demuestra que E/K es finita.

20

Ademas, si w1, w2, . . . , wr es una K-base de F , tenemos F = Kw1 +Kw2 + · · · +Kwr =Ew1 + Ew2 + · · · + Ewr, por lo que |F : E| < +∞.

Recıprocamente, sean |F : E| = n < +∞, |E : K| = m < +∞. Entonces, existe unaK-base de E, v1, v2, . . . , vm, y una E-base de F , u1, u2, . . . , un. Sea B = uivj, que tiene|B| = mn, y veamos que es K-base de F .

B es sistema generador de F . En efecto, para todo f ∈ F , existen eini=1 ∈ E tales que

f =∑n

i=1 eiui. Ademas, para cada i, existen kijmj=1 tales que ei =

∑mj=1 kijvj . Por tanto,

f =∑n

i=1

∑mj=1 kijuivj.

Por ultimo, B es un conjunto linealmente independiente sobre K. En efecto, supongamosque

∑ni=1

∑mj=1 kijuivj = 0. Entonces,

∑ni=1 eiui = 0 implica ei = 0 para todo i, por ser uin

i=1

base. Finalmente, ei =∑m

j=1 kijvj = 0 implica kij = 0, por ser vjmj=1 base. Q.E.D.

En lo que resta de este tema, buscaremos una caracterizacion de las extensiones finitas,que seran las que nos interesen.

Definicion 6.10. Sea F/K una extension de cuerpos. Decimos que un elemento a ∈ F esalgebraico sobre K si existe P ∈ K[X], P 6= 0 tal que P (a) = 0. En caso contrario, decimosque a es trascendente

Ejemplos. 1.√

2 ∈ R es algebraico sobre Q, pues el polinomio P = X2 − 2 cumpleP (

√2) = 0.

2. π, e ∈ R son trascendentes sobre Q (aunque las demostraciones no son nada triviales).

Teorema 6.11 (Existencia del polinomio mınimo). Sea F/K una extension de cuerpos, ya ∈ F un elemento algebraico sobre K. Entonces, existe un unico polinomio monico P ∈ K[X]tal que

P (a) = 0, y

para todo Q ∈ K[X] tal que Q(a) = 0 se tiene P |Q.

Denotaremos P = Irr(a,K), y llamaremos a P el polinomio mınimo de a sobre K.

Demostracion. Consideremos la aplicacion ϕa : K[X] −→ F dado por ϕa(Q) = Q(a).El nucleo de este homomorfismo es un ideal de K[X], y, por ser este dominio de idealesprincipales, existe un polinomio P ∈ K[X] tal que kerϕa = (P ). Ademas, podemos tomar Pmonico, pues si ∂P = n y an 6= 1, entonces Q = a−1

n P es monico y genera el mismo ideal.

De la misma definicion de P como elemento generador de kerϕ se deduce que divide atodo polinomio que se anule en a.

Veamos que P es irreducible. Supongamos que P = P1P2 es una descomposicion no trivial.Entonces, P (a) = 0 implica P1(a) = 0 o P2(a) = 0, pues K no posee divisores de cero.Entonces, P1 ∈ kerϕa o P2 ∈ kerϕa, respectivamente, luego P2 ∈ U(K[X]) o P1 ∈ U(K[X]),en contra de las hipotesis.

Este argumento prueba tambien la unicidad. Q.E.D.

Ejemplos. 1. Para toda extension F/K, se tiene Irr(a,K) = X − a para todo a ∈ K.

21

2. En Q( 4√

2)/Q(√

2), se tiene Irr( 4√

2,Q(√

2)) = X2 −√

2.

Teorema 6.12. Sea F/K una extension de cuerpos, y a ∈ F un elemento algebraico sobreK. Entonces,

K(a) ∼= K[X]/(Irr(a,K))

mediante el isomorfismo Q+ (Irr(a,K))ϕ7→ Q(a).

Demostracion. Supongamos que Q1 + (Irr(a,K)) = Q2 + (Irr(a,K)). Entonces, Q1 −Q2 ∈(Irr(a,K)), luego Q1(a)−Q2(a) = 0 y ϕ esta bien definida. Es un ejercicio comprobar que esun homomorfismo de anillos, y, por tanto, de cuerpos.

ϕ es inyectiva. En efecto, si ϕ(P1) = ϕ(P2), entonces ϕ(P1P−12 ) = 1, luego P1P

−12 = 1 (en

particular, esto prueba que todo homomorfismo de cuerpos es inyectivo).

ϕ es suprayectiva. En efecto, Imϕ es un subcuerpo de F , a ∈ Imϕ (pues a = ϕ(x +(Irr(a,K))))y K ⊂ Imϕ. Basta observar, entonces, que K(a) es el menor subcuerpo de F quecontiene a K y al elemento a. Q.E.D.

Ejemplo. Sobre la extension C/Q, se tiene Irr( 3√

3,Q) = X3 − 3. Entonces, Q( 3√

3) ∼=Q[X]/(X3 − 3).

Observemos que, puesto que B = 1,X,X2 es Q-base de Q[X]/(X3 − 3), se tiene que

ϕ(B) = ϕ(1), ϕ(X ), ϕ(X2) = 1, 3

√3,

3√

9

es una Q-base de Q( 3√

3), de donde |Q( 3√

3) : Q| = 3. Este resultado es valido en general, comoasegura el siguiente corolario.

Corolario 6.13. Sea F/K una extension de cuerpos, y a ∈ F . Entonces, K(a)/K es unaextension finita si y solo si a es algebraico sobre K. Ademas, |K(a) : K| = ∂Irr(a,K) = n, y1, a, . . . , an−1 es una K-base de K(a).

Demostracion. Sea P = Irr(a,K), ∂P = n. B = 1,X, . . . ,Xn−1 es K-base de K[X]/(P ),por lo que ϕ(B) = 1, a, . . . , an−1 es K-base de K(a). Q.E.D.

Corolario 6.14. Sea F/K una extension de cuerpos, y a ∈ F . Entonces, K(a)/K es unaextension infinita si y solo si a es trascendente sobre K. Ademas, K(a) ∼= K(X).

Demostracion. La primera parte es una reformulacion del corolario anterior. Es un ejerciciodemostrar la otra afirmacion. El punto se encuentra en que ψ : K(X) −→ K(a) definido segunψ(P ) = P (a) tiene nucleo trivial si a es trascendente sobre K. Q.E.D.

Teorema 6.15. Sea F/K una extension de cuerpos, y u, v ∈ F elementos algebraicos sobreK. Entonces, uv, u+ v y u−1 (si u 6= 0) son algebraicos sobre K.

Demostracion. En primer lugar, notemos que si v es algebraico sobre K, tambien lo es sobrecualquier otro cuerpo K ′ que contenga a K. De este modo, se tiene que |K(u, v) : K(u)| < +∞y |K(u) : K| < +∞. Por tanto,

|K(u, v) : K| = |K(u, v) : K(u)| · |K(u) : K| < +∞

22

Pero K(uv) ⊂ K(u, v), K(u+v) ⊂ K(u, v), de donde K(uv)/K y K(u+v)/K son extensionesfinitas, y uv, u+ v son algebraicos sobre K.

Ademas, si u 6= 0 se tiene K(u−1) = K(u), por lo que |K(u−1) : K| = |K(u) : K| < +∞ ytambien u−1 es algebraico sobre K. Q.E.D.

De este demostracion podemos deducir (ejercicio) las relaciones siguientes entre grados depolinomios mınimos:

∂Irr(uv,K) ≤ ∂Irr(u,K)∂Irr(v,K),

∂Irr(u+ v,K) ≤ ∂Irr(u,K)∂Irr(v,K),

∂Irr(u−1,K) = ∂Irr(u,K).

Ejemplo. Consideremos el elemento u =√

2 +√

3 ∈ C. Este es algebraico sobre Q, pues essuma de dos elementos algebraicos sobre el mismo cuerpo.

Veamos que Q(u) = Q(√

2,√

3). La inclusion ⊂ es evidente. Para demostrar la inversa,basta observar que

u3 = 11√

2 + 9√

3 ⇒√

2 = u3−9u2 ,√

3 = 11u−u3

2 .,

de modo que√

2,√

3 ∈ Q(u).

Investiguemos el grado de la extension |Q(√

2,√

3) : Q|, lo cual nos dira el grado delpolinomio mınimo de u sobre Q. Puesto que Irr(

√3,Q(

√2)) = Irr(

√3,Q) = X2 − 3, se tiene

|Q(√

2,√

3) : Q| = |Q(√

2,√

3) : Q(√

2)| · |Q(√

2) : Q| = 2 · 2 = 4,

por lo que ∂Irr(u,Q) = 4.

Tanteando un poco, encontramos el polinomio mınimo buscado. En efecto, u2 = 5 + 2√

6,de donde

(u2 − 5)2 = (2√

6)2 ⇒ u4 − 10u2 + 25 = 24 ⇒ Irr(u,Q) = X4 − 10X2 + 1.

Ejercicio. Sea F/K una extension de cuerpos. Demostrar que

E = a ∈ F : a es algebraico sobre K

es un subcuerpo de F .

Definicion 6.16. Se dice que una extension de cuerpos F/K es algebraica si todo elementode F es algebraico sobre K. En caso contrario, se dice que la extension es trascendente.

Teorema 6.17. Una extension de cuerpos F/K es finita si y solo si es algebraica y finitamentegenerada.

Demostracion. (⇒) Que toda extension finita es finitamente generada es ya conocido.Supongamos que existiese en a ∈ F trascendente sobre K. Entonces, K(a)/K serıa unaextension infinita, y, dado que K(a) ⊂ F , entonces F/K serıa una extension infinita, encontra de las hipotesis.

(⇐) Puesto que F/K es algebraica y finitamente generada, existen elementos α1, . . . , αn ∈F algebraicos sobre K tales que F = K(α1, . . . , αn).

23

Utilicemos induccıon sobre n. Si n = 1, i.e., F = K(α1), entonces ya hemos demostradoque F/K es finita si y solo si α1 es algebraico sobre K. Supongamos el enunciado valido paratodo n < k, de modo que |K(α1, . . . , αn) : K| < +∞.

Si k = n, se tiene

|K(α1, . . . , αk) : K| = |K(α1, . . . , αk−1)(αk) : K(α1, . . . , αk−1)| · |K(α1, . . . , αk−1) : K|.

El primer factor del segundo miembro de esta ecuacion es finito, pues αk es algebraico sobre K(y, por tanto, sobre K(α1, . . . , αk−1)). El segundo lo es por la hipotesis de induccion. Q.E.D.

24

7. El cuerpo de descomposicion de un polinomio

Dado un cuerpo K, podemos asociar a cada polinomio P ∈ K[X] una extension algebraicaque contenga a todas sus raıces y que sea minimal en algun sentido. Este cuerpo sera muyimportante en capıtulos posteriores, pues nos permitira extender aplicaciones de un cuerpo Ka una extension suya E.

Definicion 7.1. Sea F/K una extension, y P ∈ K[X]. Se dice que P se descompone sobreF si P factoriza como producto de polinomios de primer grado con coeficientes en F .

Si P se descompone sobre F , podemos escribir

P = (a1X − b1)(a2X − b2) . . . (anX − bn) = a1 . . . an

(

X − b1a1

)(

X − b2a2

)

. . .

(

X − bnan

)

,

con ai, bi ∈ F . Pero bi

aino son mas que las raıces de P , de modo que decir que P se descompone

sobre F es decir que todas sus raıces estan en F .

Definicion 7.2. Sea F/K una extension, y P ∈ K[X] un polinomio que se descompone sobreF . Se llama cuerpo de descomposicion de P en F sobre K al menor subcuerpo de F quecontiene a K y sobre el cual P se descompone.

Es claro que si P ∈ K[X] se descompone sobre F , y ui, i = 1, . . . , n son sus raıces, entoncesel cuerpo de descomposicion de P en F sobre K es K(u1, u2, . . . , un).

Ejemplos. 1. Si F/K es una extension, y P ∈ K[X] es un polinomio de primer grado, elcuerpo de descomposicion de P en F sobre K es el propio K.

2. Consideremos la extension C/Q:

a) P = X2 − 2. El cuerpo de descomposicion de P en C sobre Q es Q(√

2).

b) P = X4 − 4X2 + 2. Las raıces de P son α =√

2 ±√

2, β =√

2 ±√

2, −α y−β. Por tanto, el cuerpo de descomposicion de P en C sobre Q es Q(α, β). Ahora,αβ =

√2 = α2 − 2 ∈ Q(α). Ası, tenemos que β ∈ Q(α) y Q(α, β) = Q(α). Ademas,

|Q(α) : Q| = 4

c) P = X4 − 2. El cuerpo de descomposicion de P en C sobre Q es Q( 4√

2, i).

Definicion 7.3. Sean E1/K, E2/K extensiones de cuerpos. Se dice que un homomorfismode cuerpos ϕ : E1 −→ E2 es un K-homomorfismo si ϕ|K = idK , en cuyo caso diremos que ϕpreserva K.

Definicion 7.4. Sean E1/K1, E2/K2 extensiones de cuerpos, y ϕ : K1 −→ K2 un isomorfis-mo de cuerpos. Diremos que ϕ se extiende a E1 si existe un homomorfismo ψ : E1 −→ E2 talque ψ|K = ϕ.

Ejemplo. Denotemos E1 = Q( 4√

2), E2 = Q(i 4√

2), K = Q(√

2), y consideremos las exten-siones de cuerpos E1/K y E2/K. Sea ϕ : E1 −→ E2 la aplicacion definida segun ϕ|Q = idQ

y ϕ( 4√

2) = i 4√

2. Puede comprobarse que esta aplicacion es un isomorfismo de cuerpos. Sinembargo, ϕ(

√2) = ϕ(( 4

√2)2) = (i 4

√2)2 = −

√2, de manera que ϕ no preserva K y, por tanto,

no define un K-isomorfismo.

No obstante, el automorfismo de K definido por ψ|Q = idQ y ψ(√

2) = −√

2 se extiende aun isomorfismo de E1 y E2, que es, de hecho, la aplicacion ϕ.

25

Ejercicio. Sean E/Q, F/Q extensiones de cuerpos. Probar que todo isomorfismo de cuerposσ : E −→ F es Q-isomorfismo.

Ejemplo. Todo isomorfismo de cuerpos ϕ : K1 −→ K2 se extiende a un isomorfismo (quedenotamos de identica manera) ϕ : K1[X] −→ K2[X] definido segun

ϕ(a0 + a1X + · · · + anXn) = ϕ(a0) + ϕ(a1)X + · · · + ϕ(an)Xn.

Ademas, es inmediato que P1 ∈ K1[X] es irreducible si y solo si lo es P2 = ϕ(P1) ∈ K2[X].Este ejemplo es muy importante, pues, en adelante, lo utilizaremos sin hacer mencion explıcitade ello.

Teorema 7.5. Sean E1/K1, E2/K2 extensiones de cuerpos, y ϕ : K1 −→ K2 un isomorfismode cuerpos. Sea P1 ∈ K1[X] un polinomio irreducible sobre K1, y sea P2 = ϕ(P1) ∈ K2[X].Supongamos que αi ∈ Ei es una raız de Pi para i = 1, 2. Entonces, ϕ se extiende a unisomorfismo θ : K1(α1) −→ K2(α2) tal que θ(α1) = α2.

Demostracion. Podemos suponer que P1 (y, por tanto, tambien P2) es monico. Entonces,Pi = Irr(αi,Ki) para i = 1, 2. Por el teorema 6.12, Ki(αi) ∼= K[X]/(Irr(αi,Ki)), de dondecaracterizamos Ki(αi) = Q(αi) : Q ∈ Ki[X]. Definimos θ : K1(α1) −→ K2(α2) del siguientemodo. Si Q ∈ K1[X], entonces

θ(Q(α1)) = ϕ(Q)(α2).

Para ver que esta aplicacion esta bien definida, notemos que siQ,R ∈ K1[X], entonces Q(α1) =R(α1) si y solo si (Q−R)(α1) = 0, si y solo si P1 divide a Q−R, si y solo si ϕ(P1) = P2 dividea ϕ(Q) − ϕ(R), si y solo si ϕ(Q)(α2) = ϕ(R)(α2). Esto prueba, ademas, que θ es inyectiva.Es inmediato comprobar que tambien es suprayectiva, y que es un homomorfismo. Ademas, θextiende ϕ y θ(α1) = α2 por construccion. Q.E.D.

Corolario 7.6. Sea E/K una extension de cuerpos, y P ∈ K[X] un polinomio irreducible. Sia, b ∈ E son raıces de P , entonces existe un K-isomorfismo θ : K(a) −→ K(b) con θ(a) = b.

Demostracion. Basta aplicar el teorema anterior al caso K1 = K2 = K, E1 = E2 = E yϕ = idK . Q.E.D.

El recıproco del corolario es cierto: si a y b son algebraicos sobre K y existe un isomorfismoθ como el anterior, entonces a y b son raıces del mismo polinomio irreducible.

Nuesto proximo objetivo es probar que todo polinomio P ∈ K[X] tiene un cuerpo dedescomposicion y que este es unico hasta un K-isomorfismo. Es decir, que siempre existeuna extension E/K tal que P se descompone sobre E, y que, si existe mas de una de talesextensiones, los cuerpos de descomposicion de P construidos en cada una de ellas son isomorfos.

Lema 7.7. Sea K un cuerpo, y P ∈ K[X]. Entonces, existe una extension finita E/K tal queP tiene una raız en E.

Demostracion. Supongamos que P = P1P2 . . . Pk es una descomposicion de P en polinomiosirreducibles sobreK. Si existe una extension finita F/K tal que P1 tiene una raız en F , entoncesP tiene una raız en F . Por tanto, en lo sucesivo podemos suponer que P es irreducible.

26

Supongamos que P = a0 + a1X + · · · + anXn, y sea E = K[X]/(P ). Consideremos el

homomorfismo canonico sobre el cociente. Como en la demostracion del teorema 6.8, podemoscaracterizar E = K[X]. Entonces,

P (X) = a0 + a1X + · · · + anXn

= 0,

de modo que X ∈ E es una raız de P . Q.E.D.

Teorema 7.8 (Existencia de cuerpos de descomposicion). Sea K un cuerpo, P ∈ K[X]un polinomio no constante. Entonces, existe un cuerpo de descomposicion de P sobre K.

Demostracion. Probaremos este enunciado por induccion sobre el grado del polinomio.Si ∂P = 1, entonces P se descompone sobre K. Supongamos el teorema probado para todopolinomio de grado menor que n.

Tomemos ∂P = n. Por el lema anterior, existe una extension finita F/K tal que P tieneuna raız, α1 ∈ F . Entonces, P = (X − α1)Q, con Q ∈ F [X] y ∂Q = n − 1. Utilizando lahipotesis de induccion, existe una extension finita E/F tal que Q se descompone sobre E. Ası,E/K es una extension finita, ya que |E : K| = |E : F ||F : K|, y P se descompone sobre E. Q.E.D.

Teorema 7.9. Sea ϕ : K1 −→ K2 un isomorfismo de cuerpos, P1 ∈ K1[X] un polinomio noconstante, y P2 = ϕ(P1) ∈ K2[X]. Sea Ei un cuerpo de descomposicion de Pi sobre Ki parai = 1, 2. Entonces, existe un isomorfismo τ : E1 −→ E2 que extiende ϕ.

Demostracion. Probaremos el teorema por induccion sobre el grado de la extension E1/K1.Si |E1 : K1| = 1, entonces P1 se descompone sobre K1, i.e., E1 = K1. Tambien P2 se descom-

pone sobre K2, por ser ϕ isomorfismo de cuerpos. Ası, E1

τ∼= E2 con τ = ϕ. Supongamos elenunciado cierto para |E1 : K1| < n.

Tomemos |E1 : K1| = n. Sea P1 = Q1Q2 . . . Qk una descomposicion de P en factoresirreducibles. Entonces P2 = ϕ(P1) = ϕ(Q1)ϕ(Q2) . . . ϕ(Qk) es una descomposicionde P2 enfactores irreducibles. Supongamos que ∂Q1 > 1. Esto siempre es posible, ya que si fuese∂Qi = 1 para todo 1 ≤ i ≤ k, P1 se descompondrıa en K1 y se tendrıa E1 = K1, i.e.,|E1 : K1| = 1.

Sea α1 ∈ E1 raız de Q1, de modo que ϕ(α1) = α2 ∈ E2 es raız de ϕ(Q1). Por el teorema7.5, ϕ se extiende a un isomorfismo ψ : K1(α1) −→ K2(α2). Ademas, |E1 : K1(α1)| = |E1 :K1|/|K1(α1) : K1| < |E1 : K1| = n, por ser Q1 no lineal.

Utilizando la hipotesis de induccion, ψ se extiende a un isomorfismo τ : E1 −→ E2 tal queτ |K = ψ|K = ϕ|K , por lo que τ tambien extiende ϕ. Q.E.D.

Corolario 7.10 (Unicidad de los cuerpos de descomposicion). Sea K un cuerpo, y seaP ∈ K[X] un polinomio no constante. Si E1, E2 son cuerpos de descomposicion de P sobreK, entonces existe un K-isomorfismo τ : E1 −→ E2.

Demostracion. Basta aplicar el teorema anterior al caso K1 = K2 = K, ϕ = idK. Q.E.D.

27

8. Extensiones normales y separables

Definicion 8.1. Se dice que una extension de cuerpos E/K es una extension normal si Ees el cuerpo de descomposicion de un polinomio sobre K, i.e., si existe P ∈ K[X] tal queP = c(X − u1) . . . (X − un) con c, ui ∈ E y E = K(u1, . . . , un).

Ejemplos. 1. K/K es una extension normal, pues K es el cuerpo de descomposicion sobreK de cualquier polinomio P ∈ K[X] con todas sus raıces en K.

2. Q(i)/Q es una extension normal, pues Q(i) es el cuerpo de descomposicion sobre Q delpolinomio Irr(i,Q) = X2 + 1.

3. El argumento del ejemplo anterior no es suficiente para decidir si la extension Q( 4√

2)/Qes normal. En efecto, el polinomio Irr( 4

√2,Q) no se descompone en Q( 4

√2). Sin em-

bargo, podrıa existir otro polinomio P ∈ Q[X] tal que Q( 4√

2) fuese su cuerpo de des-composicion sobre Q.

Teorema 8.2. Sea E/K una extension finita. Entonces, E/K es normal si y solo si, paratodo u ∈ E, el polinomio Irr(u,K) se descompone en E.

Demostracion. (⇐) Como E/K es una extension finita, es finitamente generada y al-gebraica, de modo que existen a1, a2, . . . , am ∈ E elementos algebraicos sobre K tales queE = K(a1, a2, . . . , an). Sea Pi = Irr(ai,K) ∈ K[X] para cada i = 1, . . . ,m. Por hipotesis, cadaPi se descompone en E, de modo que, tomando ui1 = ai, se tiene

Pi = (X − ui1)(X − ui2) . . . (X − uini),

con uij ∈ E.

Entonces,

E = K(a1, a2, . . . , am) < K(u11, . . . , u1n1, u21, . . . , umnm

) < E,

por lo que E es el cuerpo de descomposicion del polinomio P = P1P2 . . . Pm, i.e., E/K es unaextension normal.

(⇒) Por ser E/K una extension normal, E es el cuerpo de descomposicion de un polinomioQ ∈ K[X]. Tomemos Q = (X − b1)(X − b2) . . . (X − bn).

Supongamos que existe un elemento u ∈ E tal que P = Irr(u,K) no se descompone en E.Entonces, si P = P1P2 . . . Pk es una descomposicion en polinomios irreducibles sobre E, existe1 ≤ i ≤ k tal que Pi es de grado mayor que la unidad. Supongamos que sea P1 dicho factor.Por el lema 7.7, existe una extension finita F/E tal que P1 tiene una raız en F . En particular,si a es dicha raız, F = E(a).

Puesto que los elementos u y a son raıces del polinomio P , por el corolario 7.6, existe unK-isomorfismo θ : K(u) −→ K(a) con θ(u) = a. Puesto que u ∈ E, el cuerpo de descomposicionde Q sobre K(u) es E. Sea E′ el cuerpo de descomposicion de θ(Q) = Q sobre K(a). Entonces,E′ = K(b1, . . . , bn, a) = E(a).

Por el teorema 7.9, existe un isomorfismo τ : E −→ E(a) que extiende θ. Se tiene

|E : K| = |E : K(u)||K(u) : K|,|E(a) : K| = |E(a) : K(a)||K(a) : K|.

28

La existencia de θ implica |K(u) : K| = |K(a) : K|, y la de τ implica |E : K(u)| = |E(a) :K(a)|. Por tanto, |E(a) : K| = |E : K|, i.e. a ∈ E. Ası, P1 tiene una raız en E, en contradiccioncon su definicion como polinomio irreducible de grado mayor que la unidad. Q.E.D.

Ejemplo. Retomando el ultimo ejemplo, el teorema anterior nos permite asegurar que laextension Q( 4

√2)/Q no es normal.

Teorema 8.3. Sea F/K una extension normal, K < E < F . Si ϕ : E −→ F es un K-homomorfismo, entonces ϕ se extiende a un K-isomorfismo τ : F −→ F .

Demostracion. Sea P ∈ K[X] el polinomio cuyo cuerpo de descomposicion sobre K es F .El cuerpo de descomposicion de P sobre E es, de nuevo, F , de donde F/E (y, por tanto, E/K)es una extension finita.

Puesto que todo homomorfismo de cuerpos es inyectivo (ver la demostracion del teorema6.12), ϕ considerado como homomorfismo de E sobre su imagen ϕ(E) es un isomorfismo decuerpos. Por el teorema 7.9, existe un isomorfismo τ del cuerpo de descomposicion de P sobreE (que es F ) sobre el cuerpo de descomposicion de ϕ(P ) = P sobre ϕ(E) (que es tambien F ),que extiende ϕ. Q.E.D.

A partir de este punto, estudiaremos una caracterıstica un tanto tecnica de las extensionesde cuerpos : su separabilidad.

Definicion 8.4. Sea K un cuerpo, P ∈ K[X], E su cuerpo de descomposicion sobre K,y a ∈ E una raız de P . Se llama multiplicidad de la raız a al entero positivo m tal queP = (X − a)mQ, con Q ∈ E[X], (X − a,Q) = 1. Se dice que a es una raız simple si m = 1,y que es una raız multiple si m > 1.

Formalmente, tambien podemos escribir P = (X − a)mQ, como en la definicion anterior,sin que a sea raız de P . Basta poner m = 0.

Definicion 8.5. Sea K un cuerpo, y P ∈ K[X]. Se dice que P es separable si todas las raıcesde P en su cuerpo de descomposicion sobre K son simples.

Equivalentemente, P es separable si posee ∂P raıces en su cuerpo de descomposicion sobreK.

Definicion 8.6. Sea K un cuerpo, y P ∈ K[X]. Si P = a0 + a1X + · · · + anXn, se define la

derivada de P segunP ′ = a1 + 2a2X + · · · + nanX

n−1.

Esta definicion formal coincide con la habitual en calculo. Estamos acostumbrados, portanto, que si ∂P = n entonces ∂P ′ = n − 1. En caracterıstica 0 esto es cierto. Sin embargo,en general solamente podemos asegurar la desigualdad ∂P ′ ≤ n− 1. Por ejemplo, si K es uncuerpo de caracterıstica p, se tiene (Xp)′ = 0. De hecho, se puede demostrar que, en un cuerpode caracterıstica p, P ′ = 0 si y solo si P es un polinomio en Xp.

Proposicion 8.7. Sea K un cuerpo, P,Q ∈ K[X] con ∂P = n, y E el cuerpo de descomposi-cion de P sobre K. Se cumplen las siguientes propiedades.

1. ∂P ≤ n− 1, con igualdad si char K,

29

2. (P +Q)′ = P ′ +Q′ y (PQ)′ = P ′Q+ PQ′, y

3. si a es una raız de P con multiplicidad m, y P ′ 6= 0, entonces a es una raız de P ′ conmultiplicidad m− 1.

Demostracion. Demostraremos unicamente la ultima propiedad. La primera ya la hemosdemostrado, y la segunda queda como un sencillo ejercicio. Sea E el cuerpo de descomposicionde P sobre K, y pongamos P = (X − a)mH, con H ∈ E[X], (X − a,H) = 1. Entonces,utilizando la propiedad 2,

P ′ = m(X − a)m−1H + (X − a)H ′ = (X − a)m−1[mH + (X − a)H ′],

y es claro que R = mH + (X − a)H ′ nunca se anula en a (a menos que m = char K, en cuyocaso P ′ = 0), y que (X − a,R) = 1. Q.E.D.

Teorema 8.8. Sea K un cuerpo de caracterıstica 0, P ∈ K[X], y E su cuerpo de descom-posicion sobre K. Entonces,

1. a ∈ E es una raız multiple de P si y solo si P (a) = P ′(a) = 0,

2. P es separable si y solo si (P,P ′) = 1, y

3. si P ′ 6= 0 y P es irreducible, entonces P es separable.

Demostracion. Sea P = (X − a)mH, con H ∈ E[X], (X − a,H) = 1, de modo queP ′ = (X − a)m−1R, con R ∈ E[X], (X − a,R) = 1 segun la demostracion de la proposicionanterior.

1. La implicacion directa es evidente de las expresiones de P y P ′. De estas, deducimostambien que, si P (a) = P ′(a) = 0 entonces m ≥ 2, que es la implicacion inversa.

2. Basta observar que (P,P ′) = 1 si y solo si m = 1.

3. Si P ′ 6= 0 y P es irreducible, se tiene (P,P ′) = 1.

Q.E.D.

Corolario 8.9. Sea K un cuerpo de caracterıstica 0, y P ∈ K[X] un polinomio irreducible.Entonces, P es separable si y solo si P ′ 6= 0.

Demostracion. La implicacion inversa es la tercera parte del teorema anterior. La directaes un ejercicio. Q.E.D.

Definicion 8.10. Se dice que una extension finita F/K es separable si, para todo u ∈ K, elpolinomio Irr(u,K) es separable.

Si K es un cuerpo de caracterıstica 0, del corolario 8.9 se deduce que todo polinomioirreducible sobre K es separable, y, por tanto, cualquier extension finita F/K es separable.De este modo, el concepto de separabilidad pierde interes en caracterıstica 0. De hecho, estoes lo que complica la teorıa de Galois en caracterıstica p.

Queremos ahora demostrar que toda extension finita de un cuerpo de caracterıstica 0 essimple.

30

Lema 8.11. Sea K un cuerpo, P,Q ∈ K[X], y F/K una extension tal que PQ se descomponesobre F . Supongamos, ademas, que P es separable, y que P y Q tiene una unica raız comunu ∈ F . Entonces, u ∈ K.

Demostracion. Sea R = (P,Q). Como P y Q tienen una unica raız en comun, y P no poseeraıces multiples, debe ser R = X − u. Pero R ∈ K[X], por lo que u ∈ K. Q.E.D.

Teorema 8.12 (Teorema del elemento primitivo). Sea F/K una extension finita sepa-rable. Entonces, F/K es simple.

Demostracion. Probaremos unicamente el caso charK = 0, y utilizaremos induccion sobreel numero de generadores de la extension F/K. Sea F = K(a1, a2, . . . , ak). Si k = 1, elenunciado es trivialmente cierto.

Supongamos que k = 2, y sea F = K(u, v). Buscaremos un elemento w = u + αv conα ∈ K tal que F = K(w). Sean P = Irr(u,K) y Q = Irr(v,K). Pongamos R = P (w − αx),de modo que R(v) = P (u) = 0, y sea L el cuerpo de descomposicion de R sobre K(w).Entonces, Q,R ∈ K[X], QR se descompone en L, Q es separable, y v es una raız comun deambos polinomios. Si Q y R no tienen mas raıces comunes en L, el lema anterior asegura quev ∈ K(w), por lo que tambien u = w − αv ∈ K(w), i.e., K(u, v) = K(w).

Sean u ∪ uisi=1 las raıces de P , y v ∪ vjt

j=1 las raıces de Q. Entonces, las raıces deR distintas de v son

λi = α−1(w − ui) = v + α−1(u− ui), i = 1, . . . , s

Si vj = λi para algunos 1 ≤ i ≤ s, 1 ≤ j ≤ t, se tendrıa

αij =u− ui

vj − v.

Para cualquier otro valor de α, la unica raız comun de Q y R es v. Pero |αij| ≤ st, y|K| = ∞. Por tanto, basta elegir α /∈ αij. Q.E.D.

Esta demostracion es constructiva, i.e., nos proporciona un algoritmo para la eleccion delelemento primitivo.

Ejemplo. Sea F = Q(√

2, 3√

2), que es separable por ser extension finita de un cuerpo decaracterıstica 0. Sea w =

√2 + α 3

√2, con α ∈ Q, el elemento primitivo.

Sean P = Irr(√

2,Q) = X2 − 2, Q = Irr( 3√

2,Q) = X3 − 2, y hagamos R = P (w −αx), de modo que R( 3

√2) = P (

√2) = 0. Las raıces de P son ±

√2, y las raıces de Q son

3√

2, 3√

2e2πi/3, 3√

2e4πi/3. Para que Q y R tuvieran una raız en comun distinta de 3√

2 se deberıatener

α =2√

23√

2e2πi/3 − 3√

2o α =

2√

23√

2e4πi/3 − 3√

2.

Por tanto, podemos elegir α = 1 ∈ Q para concluir Q(√

2, 3√

2) = Q(√

2 + 3√

2).

31

9. Extensiones de Galois

Sea F un cuerpo. El conjunto de automorfismos de F , denotado AutF posee estructura degrupo con respecto a la operacion de composicion (ejercicio de teorıa de grupos). En particular,nos interesara un subgrupo de este. De esta manera, podremos utilizar la teorıa de grupos (y,en particular, la clasificacion de grupos finitos) para estudiar la estructura de las extensionesde cuerpos.

Definicion 9.1. Sea F/K una extension. Se llama grupo de Galois de la extension F/K,Gal(F/K), al conjunto de los K-automorfismos de F .

Definicion 9.2. Se dice que una extension finita F/K es una extension de Galois si esseparable y normal.

En adelante, todos los cuerpos considerados seran de caracterıstica 0, y todas las exten-siones seran finitas. En este caso, una extension sera de Galois si y solo si es normal.

Teorema 9.3. Sea E/K una extension. Entonces,

|Gal(E/K)| ≤ |E : K|,

con igualdad si y solo si E/K es de Galois.

Demostracion. Por el teorema del elemento primitivo, existe un elemento α ∈ E tal queE = K(α). Si τ : K(α) −→ K(α) es un K-automorfismo, basta conocer la imagen de α paradeterminarlo completamente. De hecho, si τ1 y τ2 son K-automorfismos de K(α) tales queτ1(α) = τ2(α), entonces τ1 = τ2 identicamente (ejercicio: demostrar este hecho utilizando unaK-base de K(α)).

Sea P = Irr(α,K). Por ser τ K-automorfismo, se tiene τ(P ) = P y 0 = τ(P (α)) = P (τ(α)),por lo que τ(α) debe ser raız de P . Pero P tiene a lo sumo ∂P = |E : K| = n raıces distintas,de donde |Gal(E/K)| ≤ |E : K|.

Supongamos, ademas, que la extension E/K es normal, de modo que P se descompone enE segun

P = (X − a1)(X − a2) . . . (X − an),

donde los ai ∈ E, con i = 1, . . . , n, son distintos por ser P separable. Sea ahora τi el K-automorfismo de K(α) definido segun τ(α) = ai. Entonces, τ1, . . . , τn son elementos distintosde Gal(E/K). Pero |Gal(E/K)| ≤ n, por lo que se debe tener la igualdad.

Recıprocamente, supongamos que |Gal(E/K)| = n. Puesto que existen n K-automorfismosdistintos de E, el polinomio P tiene n raıces distintas en E, digamos a1, . . . , an, i.e, P sedescompone en E. Pero

K(α = a1) ≤ K(a1, . . . , an) ≤ E = K(α),

de donde se deduce que E es el cuerpo de descomposicion de P . Q.E.D.

Ejemplo. Consideremos la extension Q( 3√

2)/Q. Si τ ∈ Gal(Q( 3√

2)/Q), entonces τ( 3√

2) ∈Q( 3

√2) debe ser una raız de Irr( 3

√2,Q) = X3 − 2. Pero la unica raız de dicho polinomio en

Q( 3√

2) es 3√

2, por lo que τ( 3√

2) = 3√

2 y el grupo de Galois de la extension es trivial. Delteorema anterior, se deduce que la extension no es normal.

32

La idea de los resultados que siguen es la de encontrar una correspondencia entre lassubextensiones F/K de una extension E/K, y los subgrupos del grupo de Galois Gal(E/K),lo cual nos llevara al Teorema Fundamental de la Teorıa de Galois, el mas importante delcurso. Aunque los enunciados parezcan un tanto desordenados, la formulacion del susodichoTeorema pondra el orden necesario en todos ellos. No desespere el lector.

Teorema 9.4 (Dedekind). Sea K un cuerpo, y τ1, . . . , τn automorfismos de K distintos.Entonces, τ1, . . . , τn son linealmente independientes sobre K, i.e., si

α1τ1 + α2τ2 + · · · + αnτn = 0

con αi ∈ K para i = 1, . . . , n, entonces αi = 0 para i = 1, . . . , n.

Demostracion. Utilizaremos induccion sobre n. Para n = 1, el resultado es evidente. Enefecto, supongamos que α1τ1 = 0. Entonces, en particular α1τ1(1) = α1 = 0. Supongamos elresultado cierto para todo n < k.

Tomemos n = k, α1τ1 + α2τ2 + · · · + αnτn = 0. Podemos suponer que todos los αi sondistintos de cero, pues en caso contrario, tendrıamos una combinacion lineal de n − 1 auto-morfismos de K, y, por la hipotesis de induccion, el resultado estarıa ya probado. Ası, paratodos x, y ∈ K, se tiene

α1τ1(xy) + α2τ2(xy) + · · · + αnτn(xy) = 0

⇓α1τ1(x)τ1(y) + α2τ2(x)τ2(y) + · · · + αnτn(x)τn(y) = 0. (*)

Por otro lado,α1τ1(x) + α2τ2(x) + · · · + αnτn(x) = 0

⇓α1τ1(x)τ1(y) + α2τ2(x)τ1(y) + · · · + αnτn(x)τ1(y) = 0.

Restando miembro a miembro esta ultima igualdad con (∗), obtenemos

α2τ2(x)[τ2(y) − τ1(y)] + · · · + αnτ2(x)[τn(y) − τ1(y)] = 0.

Utilizando la hipotesis de induccion, deducimos αj(τj − τ1) = 0 para todo j = 1, . . . , n. Comoαj 6= 0, entonces τ1 = τj para todo j = 1, . . . , n, en contra de las hipotesis. Q.E.D.

Definicion 9.5. Sea F un cuerpo, y S un subconjunto de AutF . Se define el subcuerpo fijopor S segun F(S) = a ∈ F : τ(a) = a ∀τ ∈ S.

Ejercicio. Comprobar que F(S) es realmente un subcuerpo de F .

Ejemplo. Sea F = Q( 4√

2), y ϕ ∈ AutF definido segun ϕ|Q = idQ y ϕ( 4√

2) = − 4√

2. Noteseque este automorfismo esta bien definido, pues − 4

√2 es raız de Irr( 4

√2,Q) = X4 − 2 (vease la

demostracion del teorema 9.3). Entonces, el subcuerpo fijo por S = idF , ϕ ⊂ AutF es

F(S) = Q(√

2).

Denotaremos, en aras de la brevedad, F(ϕ) = F(S).

Ejercicio. Convencerse de que, si S1 ⊂ S2, entonces F(S2) < F(S1).

33

Teorema 9.6 (Artin). Sea E un cuerpo, y G un subgrupo finito de AutE. Sea F = F(G).Entonces, |E : F | = |G|.

Demostracion. Sean n = |G|, m = |E : F | y G = τ1, . . . , τn.

Veamos que m ≥ n por reduccion al absurdo. Supongamos que m < n, y sea e1, . . . , emuna F -base de E. Consideremos el sistema lineal

τ1(e1) τ2(e1) . . . τn(e1)...

.... . .

...τ1(em) τ2(em) . . . τn(em)

x1...xn

=

0...0

.

Como m < n, existe una solucion no trivial. Pero entonces

x1τ1 + · · · + xnτn = 0

para todo ej , y, por tanto, para todo elemento de F , en contradiccion con el teorema deDedekind.

Recıprocamente, veamos que tambien m ≤ n por reduccion al absurdo. Supongamos quem > n, y consideremos el sistema lineal

τ1(e1) τ1(e2) . . . τ1(em)...

.... . .

...τn(e1) τn(e2) . . . τn(em)

y1...ym

=

0...0

,

que tiene, de nuevo, una solucion no trivial. Entonces, para todo τ ∈ G,∑

j

yjτ(ej) = 0

Podemos suponer, sin perdida de generalidad, que y1 = 1 (si y1 = 0, basta renumerar losautomorfismos). De entre todas las soluciones no triviales, tomemos aquella u = (1, y2, . . . , ym)que tenga el mayor numero de entradas nulas.

Supongamos, primeramente, que yj ∈ F(G) para cada j = 1, . . . ,m. Entonces,

0 =∑

j

yjτ(ej) =∑

j

τ(yjej)

implicarıa∑

j yjej = 0, y, por ser e1, . . . , em F -base de E, yj = 0 para cada j = 1, . . . ,m,en contra de las hipotesis.

Si, por el contrario, existe γ ∈ G tal que γ(yj) 6= yj para algun j, se tiene∑

j γ(yj)γτ(ej) =0. Pero si τ recorre todo G, entonces tambien µ = γ τ lo hace. Por tanto,

∑

j γ(yj)µ(ej) = 0.Ası, v = (1, γ(y2), . . . , γ(ym)) otra solucion del sistema lineal. Pero, entonces, u − v es unasolucion no trivial con un numero mayor de ceros que u, en contra de las hipotesis. Q.E.D.

Corolario 9.7. Sea E/K una extension de Galois, y G = Gal(E/K). Entonces, F(G) = K.

Demostracion. Es evidente que K ⊂ F(G), por la definicion del grupo de Galois. Porotro lado, la cadena de igualdades |E : K| = |Gal(E/K)| = |G| = |E : F(G)| implica|F(G) : K| = 1, de donde, F(G) = K. Q.E.D.

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Corolario 9.8. Sea E un cuerpo, y G un subgrupo finito de AutE. Sea F = F(G). Entonces,E/F es una extension de Galois, y Gal(E/F ) = G.

Demostracion. Es evidente que G < Gal(E/F ), pues G consiste en F -automorfismos deE. Pero |G| ≤ |Gal(E/F)| ≤ |E : F |, y, del teorema de Artin, |G| = |E : F |. Q.E.D.

Teorema 9.9. Sea E/K una extension, y K < L < E, tal que L/K es una extension deGalois. Entonces,

1. ∀σ ∈ Gal(E/K), σ(L) = L, y

2. si E/K es de Galois, existe un homomorfismo sobreyectivo ρ : Gal(E/K) −→ Gal(L/K)tal que ρ(τ) = τ |L. En particular, Gal(L/K) Gal(E/K) y

Gal(L/K) ∼= Gal(E/K)/Gal(E/L)

Demostracion. Puesto que L/K es una extension normal, existe un polinomio P ∈ K[X]tal que L es su cuerpo de descomposicion sobre K. En particular, si Ω = a1, . . . , an ⊂ L sonlas raıces de P , entonces L = K(Ω). Sea ϕ ∈ Gal(L/K), y a ∈ Ω. Entonces, 0 = ϕ(P (a)) =P (ϕ(a)), i.e., ϕ(a) ∈ Ω. Por tanto, ϕ(Ω) = Ω y

ϕ(L) = ϕ(K(Ω)) = K(ϕ(Ω)) = K(Ω) = L.

Supongamos ahora que E/K es tambien una extension de Galois. Si τ ∈ Gal(E/K),entonces τ |L ∈ AutL y τ |K = idK , luego τ |L ∈ Gal(L/K), y la aplicacion del enunciadoesta bien definida. El resto de afirmaciones son consecuencia del primer teorema de isomorfıade grupos (ejercicio). Q.E.D.

Recordemos de la teorıa de grupos el concepto de accion de un grupo sobre un conjunto.Sea G un grupo y X un conjunto. Una accion de G sobre X es una aplicacion · : G×X → Xtal que

1. 1G · x = x para todo x ∈ X, y

2. g1 · (g2 · x) = (g1g2) · x para todos g1, g2 ∈ G y x ∈ X.

Se llaman orbita y estabilizador (o grupo de isotropıa) de un elemento x ∈ X a los conjuntos

Gx = y ∈ X : ∃g ∈ G, g · x = y ⊂ X

Gx = g ∈ G : g · x = x < G.

Se cumple (teorema orbita-estabilizador) la relacion |Gx||Gx| = |G| para cada x ∈ X. Se diceque una accion es transitiva si para todos x, y ∈ X existe g ∈ G tal que g · x = y, si y solo siX consiste en una unica orbita, si y solo si Gx = 1G para todo x ∈ X.

Corolario 9.10. Sea E/K una extension de Galois, a ∈ E. Entonces, Gal(E/K) actuatransitivamente sobre el conjunto de raıces del polinomio Irr(a,K).

35

Demostracion. Es suficiente demostrar que si r ∈ Ω = raıces de Irr(a,K), entoncesexiste τ ∈ Gal(E/K) tal que τ(a) = r. En efecto, en este caso, dados r1, r2 ∈ Ω existenτ1, τ2 ∈ Gal(E/K) tales que τ1(a) = r1 y τ2(a) = r2, de donde τ2 τ−1

1 (r1) = r2.

Si r ∈ Ω, entonces r ∈ E, por ser E/K una extension de Galois. Por tanto, el cuerpo dedescomposicion de Irr(a,K) sobre K, que denotaremos L, cumple las inclusiones K(a) < L <

E, K(r) < L < E. Por los teoremas 7.5 y 7.9, existe un isomorfismo K(a)ϕ∼= K(r) tal que

ϕ(a) = r que se extiende a un K-automorfismo de L, digamos ψ.

Entonces, de la suprayectividad de la aplicacion ρ en el teorema anterior se deduce laexistencia de un K-automorfismo de E, τ , cuya restriccion a L coincide con ψ, de modo queτ(a) = r. Q.E.D.

Corolario 9.11. Sea E/K una extension de Galois, K < L < E. Entonces, L/K es de Galoissi y solo si ϕ(L) = L para todo ϕ ∈ Gal(E/K).

Demostracion. La implicacion directa ya la hemos demostrado. Veamos la recıproca, uti-lizando el criterio de normalidad dado en 8.2 (recordemos que, en caracterıstica 0, toda ex-tension finita es separable).

Sea a ∈ L, P = Irr(a,K) y r ∈ E un raız de P . Por el corolario anterior, existe τ ∈Gal(E/K) tal que τ(a) = r. Pero τ(L) = L, por lo que r ∈ L. Por tanto, todas las raıces deP estan en L, y P se descompone en este ultimo. Q.E.D.

Lema 9.12. Sea E/K una extension de Galois, K < L < E. Sea H = Gal(E/L). Entonces,Hϕ = Gal(E/ϕ−1(L)), donde Hϕ = ϕ−1 h ϕ : h ∈ H, ϕ ∈ Gal(E/K).

Demostracion. En primer lugar, veamos que Hϕ < Gal(E/ϕ−1(L)). Sean g = ϕ−1hϕ ∈ Hϕ

y m = ϕ−1(l) ∈ ϕ−1(L). Entonces,

g(m) = (ϕ−1 h ϕ)(ϕ−1(l)) = (ϕ−1 h)(l) = ϕ−1(l) = m.

Pero ambos subgrupos cumplen

|Gal(E/ϕ−1(L))| = |E : L| = |Gal(E/L)| = |H| = |Hϕ|,

por lo deben coincidir. Q.E.D.

Teorema 9.13 (Fundamental de la Teorıa de Galois). Sea E/K una extension de Galois,y G = Gal(E/K). Sea S la coleccion de los subgrupos de G, y K la coleccion de subcuerpos deE que contienen a K.

1. Las siguientes aplicaciones son biyecciones inversas la una de la otra.

S F−→ K K G−→ SH 7−→ F(H) L 7−→ Gal(E/L)

2. L/K es normal si y solo si Gal(E/L) Gal(E/K) y

Gal(L/K) ∼= Gal(E/K)/Gal(E/L).

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Demostracion.

1. El corolario 9.7 demuestra F G = idS , y el corolario 9.8 la igualdad G F = idK.

2. El teorema 9.9 representa la implicacion directa. Recıprocamente, sea H = Gal(E/L).Puesto que HG, la clase de conjugacion de H consta de un unico miembro, por lo que,para todo ϕ ∈ G, se tiene Gal(E/ϕ(L)) = Hϕ−1

= H = Gal(E/L) por el lema anterior.Por tanto, ϕ(L) = L, y, del corolario 9.11, concluimos que la subextension L/K es deGalois, y, por tanto, normal.

Q.E.D.

Este Teorema establece una correspondencia biunıvoca entre las subextensiones de una ex-tension y los subgrupos del grupo de Galois de dicha extension. Esta correspondencia, ademas,invierte las relaciones de inclusion. En efecto, supongamos que H1 < H2 < Gal(E/K). En-tonces, F(H2) < F(H1), como ya probamos en un ejercicio. Recıprocamente, supongamos queK < L1 < L2 < E. Es evidente que Gal(E/L2) < Gal(E/L1), pues todo L2-automorfismo deE es L1-automorfismo de E. Ademas, subextensiones normales se corresponden con subgruposnormales.

Ejemplo. Calculemos el grupo de Galois de la extension Q(α)/Q, con α =√

2 + 2√

2. Puestoque |Q(α) : Q| = 4, se tiene P = Irr(α,Q) = (X2 − 2)2 − 2. Las raıces de este polinomio son

Ω = ±α,±β, con β =√

2 −√

2. El cuerpo de descomposicion de P sobre Q es Q(α, β) =Q(α), pues β = (α2 − 2)/α, luego la extension Q(α)/Q es normal, y, por tanto, de Galois.

Ası, |Gal(Q(α)/Q)| = |Q(α) : Q| = 4. El grupo de Galois consta, por tanto, de los Q-automorfismos definidos segun

id(α) = α ϕ1(α) = −α ϕ2(α) = β ϕ3(α) = −β

Utilizando α = (−β2 + 2)/β, obtenemos

ϕ22(α) = ϕ(β) = ϕ(

α2 − 2

α) =

β2 − 2

β= −α⇒ ϕ2

2 = ϕ1

ϕ32(α) = ϕ2(−α) = −β ⇒ ϕ3

2 = ϕ3

Por tanto, Gal(Q(α)/Q) ∼= Z4.

El grupo cıclico Z4∼= Gal(Q(α)/Q) posee un unico subgrupo no trivial, isomorfo a

Z2∼= 〈ϕ1〉, y que, ademas, es normal. Bajo la correspondencia establecida por el Teore-

ma Fundamental de la Teorıa de Galois, este se corresponde con la subextension normalF(ϕ1)/Q = Q(α2)/Q = Q(

√2)/Q.

Ademas, utilizando la normalidad de esta subextension, |Q(√

2) : Q| = |Z2| = 2, como yasabıamos.

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