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Fondamenti di Meccanica Applicata

1 Esercizi

© Politecnico di Torino Pagina 2 di 61 Data ultima revisione 20/03/01 Autore: Stefano Pastorelli

Politecnico di Torino CeTeM

Esercizio 1 Nel meccanismo raffigurato la manovella OB ruota in senso antiorario alla velocità costante ω1 = 100 rad/s. Si rappresenta con θ l’angolo compreso tra la manovella e l’asse orizzontale, come indicato in figura. Sono note le dimensioni: l = 250 mm (lunghezza della biella); r = 100 mm (raggio della manovella). Determinare, negli istanti in cui θ = 135°; θ = 90°; θ = 180°: 1. le velocità dei punti B e A; 2. le accelerazioni dei punti B e A.

[θ=135°: rvB =-7ri -7

rj m/s; rv A =-9.2

ri m/s; raB =707

ri -707

rj m/s2; raA =725.1

ri m/s2]

[θ=90°: rvB =-10ri m/s; rv A =-10

ri m/s; raB =-1000

rj m/s2; raA =-436.4

ri m/s2]

[θ=180°: rvB =-10rj m/s; rv A =0; raB =1000

ri m/s2; raA =1400

ri m/s2]

CASO 1 o135=ϑ • Velocità

Considerando i punti O e B appartenenti al corpo rigido manovella, applicando a B la formula fondamentale della cinematica:

OB

OBOB vvvv =+= (essendo 0=Ov )


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Bv ha direzione perpendicolare a OB , verso coerente con il verso di 1ω e modulo pari a

smrvB 101 ==ω :

smjivB 1.71.7 −−=

Considerando i punti A e B appartenenti al corpo rigido biella, si applica la formula fondamentale della cinematica, riportando sotto i vettori le caratteristiche (modulo, direzione, verso) note, indicando con ? quelle incognite da determinare:

BABA vvv +=

Av ? r1ω l2ω ? M AO// OB⊥ AB⊥ D ? ! ? V

L’equazione vettoriale è rappresentata dal triangolo delle velocità in figura 1.1. Dalla figura si determinano i versi di Av e B

Av e si calcolano i moduli di tali vettori: o45=β

o43.16=⇒= ααβr

sinl

sin

)90sin()sin()90sin( ββαα −=

+=

− oo

BA

AB vvv

=

=⇒

smvs

mv

BA

A

37.7

16.9

Quindi segue:

smiv A 16.9−=

srad

l

vB

A48.292 ==ω oraria (verso dedotto dal verso di B

Av )

• Accelerazioni Si applica il teorema di Rivals al punto B appartenente al corpo rigido manovella:

ntn OB

OB

OBOB aaaaa =++=

essendo 0=Oa e 01 == ratO

B ω& perché 1ω è costante.

Ba ha direzione parallela a OB, verso da B verso O e modulo 2

21 1000 s

mraB ==ω :

2707707 smjia B −=


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Applicando il teorema di Rivals al punto A, con A e B appartenenti al corpo rigido biella:

Aa ? r21ω l2ω& ? l2

2ω M AO// OB// AB⊥ AB// D ? OB → ? BA →

V

Si costruisce il poligono dei vettori accelerazioni deducendo i versi di Aa e tB

Aa e calcolandone i moduli

Proiettando i poligoni di figura 2.1 sulla direzione parallela ad AB:

nBABA aaa ++= )cos(cos βαα

da cui si ottiene:

[ ] 22

22

1 1.725)cos(cos

1s

mlraA =++= ωβαωα

21.725 smia A =

Proiettando il poligono sulla direzione perpendicolare ad AB:

tBAAB aaa +=+ αβα sin)sin(

da cui si ottiene

[ ] 22

12 6.2692sin)sin(11s

radarl

al A

tBA =−+== αβαωω& oraria

(verso dedotto dal verso di tB

Aa ) Procedendo in modo analogo si risolvono i casi con o90=ϑ e o180=ϑ .

nBA

tBABA aaaa ++=


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CASO 2 o90=ϑ

smiirvvvv O

BO

BOB 101 −=−==+= ω

BABA vvv +=

?Av r1ω ?2lω M AO// OB⊥ AB⊥ D ? ← ? V

La rappresentazione grafica della precedente equazione è data in figura 3.1. Si ottiene:

smivv BA 10−==

00 2 =⇒= ωBAv quindi la biella ha moto solo traslatorio

Analogo risultato si ottiene considerando il centro di istantanea rotazione (CIR) della biella. Il CIR si trova nel punto di intersezione delle rette passanti per A e per B perpendicolari alle direzioni delle velocità dei punti stessi. Tali rette sono parallele fra loro, quindi il CIR cade all’infinito, per cui si conclude che il corpo trasla. Dunque 02 =ω e BA vv = .


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Per le accellerazioni risulta:

sradjjraaaaa

nOB

tOB

nOBOB 10002

1 −=−==++= ω

nBA

tBABA aaaa ++=

Aa ? r21ω l2ω& ? l2

2ω =0 M AO// OB// AB⊥ - D ? OB → ? - V

Dalla figura 3.1 si ricava 'α :

o58.23''sin =⇒= ααlr

Dal triangolo di vettori di figura 4.1 si ottengono versi e moduli di Aa e tB

Aa :

24.436'tan smaa BA == α

24.436 smia A −=

22 4.4364'cos

11s

radal

al

B

tBA ===

αω& oraria


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CASO 3 o180=ϑ

smjjrvvvv O

BO

BOB 101 −=−==+= ω

BABA vvv +=

Av ? r1ω l2ω ? M AO// OB⊥ AB⊥ D ? ↓ ? V

Dalla rappresentazione della precedente equazione, in figura 5.1, si ottiene:

sradv

lvv

BABB

A 4012 ==⇒−= ω oraria

0=Av In questo caso il CIR del corpo biella coincide con il punto A.

22

1 1000 smiiraaaaa

nOB

tOB

nOBOB ===++= ω

nBA

tBABA aaaa ++=

Aa ? r21ω l2ω& ? l2

2ω M AO// OB// AB⊥ AB// D ? OB → ? BA → V


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Dal poligono di vettori di figura 1.6 si ottiene:

22

22

1 1400 smlraaa

nBABA =+=+= ωω

21400 smiaA =

00 2 =⇒= ω&tB

Aa

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