Physique PCSI DM18 Machines thermiques I- Système de refroidissement (mines sup 1998) On envisage une machine frigorifique à gaz parfait dont on donne le schéma de principe sur la figure ci-dessous :

Le fluide qui circule est de l’Hélium pour lequel γ = 3

5 et M = 4 g.mol-1.

Le fluide traverse successivement : - un compresseur où il subit une compression adiabatique réversible qui l’amène de A (P1 , T1) à B (P2 , T3) ; - un échangeur où le transfert thermique entre le fluide et la source chaude est Q2, ce qui amène le fluide au point E (T2, P2). - un détendeur où le fluide se détend de façon adiabatique réversible ce qui l’amène en F (T4, P1). - un échangeur E1 où le transfert thermique entre le fluide et la source froide est Q1, ce qui ramène le fluide au point A (T1 ; P1) On donne T1 = 293K ; T2 = 313K ; P1= 2 Bar ; P2 = 3 Bar Tous les calculs sont ramenés à 1 kg d’hélium.

On rappelle que dans le cas d’un fluide en transvasement, le premier principe s’écrit pour chacun des éléments constituant la machine (compresseur, échangeurs, détendeur) : ∆h + ∆ec + ∆ep = wi + q en grandeurs massiques. Dans cette expression wi ne comprend pas le travail des forces de pression en amont et en aval du reste du fluide (celui ci est compris dans ∆h) Dans tout ce problème, le terme ∆ec + ∆ep est négligeable, nous écrirons donc : ∆h = wi + q pour chaque élément.

wi est le travail (massique) indiqué (travail autre que celui des forces de pression en amont et en aval du reste du fluide) échangé avec le milieu extérieur pour chaque élément. Dans les éléments ne comprenant pas de partie mobile (échangeurs), wi est toujours nul.

q est la quantité de chaleur (massique) échangée avec le milieu extérieur pour chaque élément. Dans les éléments calorifugés (compresseur, détendeur) q est toujours nul.

Enfin il est rappelé que pour un fluide en transvasement wi ≠ ∫ − dV.P

1°) Calculer la capacité thermique massique de l’Hélium cp . 2°) Calculer les températures T3 et T4. 3°) Calculer les volumes massiques vA, vB, vE et vF. 4°) Tracer l’allure du cycle en coordonnées (P,v). On fera de plus apparaître les isothermes T1 et T2. Préciser le sens de parcourt du cycle et conclure. 5°) Calculer les transferts thermiques massiques q1 et q2 reçus par l’Hélium lors de la traversée des échangeurs E1 et E2. 6°) Déterminer le travail utile reçu par l’Hélium lors de la traversée du compresseur. 7°) Définir et calculer l’efficacité e de l’installation. 8°) Calculer la masse d’Hélium qui doit, par seconde, décrire le cycle afin d’obtenir la puissance nécessaire au refroidissement du local PTh= 3 kW. 9°) Calculer la puissance minimale du moteur qui actionne le compresseur.

sens de circulation du fluide

Local T1 = 293K

Atmosphère extérieure

Compresseur

Détendeur

Echangeur E2

Echangeur E1

A B

E F

T2 = 313K

II- Pompe à chaleur (Enac 2005) Le fluide d’une pompe à chaleur décrit de façon réversible un cycle de Carnot constitué de deux évolutions adiabatiques AD et BC et de deux évolutions isothermes AB et DC. Au cours de chaque évolution isotherme AB, le système échange la quantité de chaleur δQc avec une source chaude constitué par l’air ambiant d’une pièce de capacité thermique totale C que l’on désire chauffer. La température de la pièce à l’instant t est notée T(t). Au cours de chaque évolution isotherme DC, le système échange la quantité de chaleur δQf avec une source froide constitué par l’air extérieur à la pièce dont la température constante est notée Text. On peut considérer que la température T(t) de la source chaude reste constante au cours d’un cycle (de durée dt) et qu’elle augmente de dT à chaque cycle. On désigne par P la puissance mécanique totale constante fournie au système. 1°) Dans quel sens doit être décrit le cycle pour que la machine fonctionne en pompe à chaleur ?

2°) L’efficacité thermique η (t) de la pompe à chaleur est définie par le rapport η = WQc

δδ− où δW est le travail

total échangé au cours d’un cycle. Exprimer η (t) en fonction de T(t) et de Text. 3°) On suppose dans un premier temps que la pièce est thermiquement isolée et que sa température initiale est T(t = 0) = T0. Calculer l’intervalle de temps t1 pendant lequel la pompe à chaleur doit fonctionner, à puissance constante, pour que la température de la pièce atteigne la valeur T1 > T0. On exprimera t1 en fonction de C, T1 , T0, Text et P . 4°) On suppose à présent que la puissance P est directement fournie à une résistance chauffante de capacité thermique négligeable et que la pièce est initialement à la température T0. Calculer l’intervalle de temps t2 au bout duquel la température de la pièce atteint T1. 5°) Donner une inégalité entre t2 et t1 puis conclure. 6°) On suppose maintenant que la pièce présente une fuite thermique. Lorsque la température est T(t), elle échange avec l’extérieur, pendant l’intervalle de temps dt, une quantité de chaleur δQfuite = -k.C.(T(t) – Text).dt où k est une constante. En déduire la nouvelle équation différentielle vérifiée par T lorsque la pompe fonctionne. 7°) Pour calculer la valeur de k, on arrête la pompe lorsque la température de la pièce vaut 295K alors que Text = 290 K On constate alors qu’au bout de 3 heures la température de la pièce au chutée de 3°C. Calculer la valeur de k. 8°) Donner l’expression littérale de la température maximale Tmax qu’il est possible d’obtenir dans la pièce en présence de la fuite lorsque la pompe fonctionne et que le régime permanent est établi. On donnera en fonction de k, C, Text et P . III- Rendement d’une turbine à gaz (mines sup 2001) Une installation industrielle utilise une turbine à gaz qui fournit une puissance utile de 1 MW. L’énergie est fournie par la combustion d’un fuel dont le pouvoir énergétique est q = 40 MJ.kg-1. Le fluide utilisé est l’air qui subit les transformations suivantes (figure 1) : - Aspiration d’air atmosphérique dans l’état (1) : P1 = 1 Bar, T1 = 288K. - Compression qui amène l’air à l’état (2) : P2 , T2. - Combustion interne isobare : le combustible est mélangé à l’air et brûlé dans une chambre de combustion. Compte tenu de l’excès d’air, on considère que la quantité et les propriétés thermoélastiques du gaz ne sont pratiquement pas modifiées par cette transformation. L’état (3) de fin de combustion est caractérisé par P2 , T3. - Détente dans la turbine jusqu’à l’état (4) : P1 , T4. - Les gaz sont alors rejetés dans l’atmosphère.

P

V

O

A

B

C D

T (t)

Text

Les contraintes technologiques imposent de ne pas dépasser 700°C à l’entrée de la turbine, dans tout le problème on prendra T3 = 950 K. Le gaz sera assimilé à un gaz parfait de masse molaire M = 29 g.mol-1 et de coefficient isentropique γ = 1,36. Ordre de grandeur La combustion d’un kilogramme de fuel rejette 3 kg de dioxyde de carbone. On estime à priori que l’efficacité de l’installation pourra être voisine de 0,5. 1°) Calculer par heure de fonctionnement : a) La masse de fuel brûlé b) La masse de dioxyde de carbone rejeté dans l’atmosphère. Cycle de Brayton En fonctionnement continu, la quantité de gaz circulant dans le dispositif est constante, puisque l’échappement en sortie de turbine est compensé par l’admission d’air frais à l’entrée du compresseur ; du point de vue thermodynamique, tout se passe comme si le gaz sortant de la turbine se refroidissait jusqu’à l’état (1) pour décrire à nouveau les transformations précédentes. On étudiera donc dans la suite une quantité de gaz donnée subissant le cycle de Brayton décrit plus haut. Toutes les transformations seront considérées réversibles. 2°) On considère que la compression et la détente sont adiabatiques : préciser les conditions pratiques de l’adiabaticité. 3°) Représenter l’allure du cycle en coordonnée de Clapeyron P = f(V) (on ne demande pas d’établir les équations des courbes). Rendement théorique N.B : les travaux et transferts thermiques seront massiques, exprimés pour un kg de gaz circulant et notés en minuscules w, q… On notera qij les transferts thermiques associés aux transformations d’un état (i) à un état (j) et w le travail total sur le cycle, les grandeurs étant algébrisées du point de vue du gaz. 4°) Calculer la valeur numérique de la capacité thermique massique cp de l’air. 5°) Expression des différentes températures : a) Exprimer T2 et T4en fonction de T1 , T3 P1, P2 et γ. b) On définit x tel que T2 = x.T1. Exprimer T4 en fonction de x et T3. 6°) Exprimer le travail massique -w (positif) globalement fourni par le cycle, d’abord en fonction de cp et des températures Tk, puis ne fonction de cp , x, T1 et T3. 7°) Ce travail utile massique passe par un maximum ; déterminer l’expression littérale de la valeur de x qui correspond à ce maximum. Application numérique : calculer cette valeur de x. 8°) Application numérique : lorsque le travail utile massique par kilogramme de gaz est maximal, calculer P2 , T2 et T4. 9°) Calculer de même numériquement l’énergie q23 reçue par le gaz dans la chambre de combustion, le travail utile -w puis l’efficacité η de l’installation. 10°) Calculer de même, numériquement, la consommation en fuel et la masse de CO2 rejetée par heure de fonctionnement, pour une puissance utile de 1 MW.

Combustion Arbre moteur

Echappement

Air frais

Fuel

(1)

(2) (3)

(4)