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Chapitre 3 : Synthèse des correcteurs 1. Algèbre des schémas fonctionnels a. Fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) ( ) ( )FTBO H s G s= i b. Fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) 1 FTBOFTBF FTBO=

+ Exemple :

( )i c ic K K K K s K KFTBO K s s s sγ γ

+ = + = + + i

( )

( )

( )( )

( )( )1 c i c i c ic i c i c i

K K s K K K K s K Ks s s s K K s K KFTBF K K s K K s s K K s K K s s K K s K Ks s s sγ γγ γ

γ γ

+ ++ + +

= = =+ + + + + + +++ +

( )2 c ic iK K s K KFTBF s K K s K Kγ

+=

+ + +

H(s) G(s) U(s) Y(s)

U(s) Y(s)

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2. Méthode de correction 2.1.Rôle du correcteur : élaborer le signal de commande approprié à partir du signal d’erreur.

2.2.Correcteur usuels a. Correction Proportionnelle [P] � Fonction de transfert : C’est un gain Kc : ( ) cC s K= � Commande du système : ( ) ( )cu t K tε= � Effets : modification du gain du système en BO - Si 1cK > : amélioration de la précision du système en BF. - Si 1cK < : diminution de la précision du système en BF. b. Correction Intégrale [I] � Fonction de transfert : 1( ) iC s T s= avec Ti est la constante d’intégration. � Commande du système : 01( ) ( )tiu t t dtT ε= ∫ � Effets : La correction intégrale n’améliore que la précision, les autres performances sont dégradées.

G(s) H(s) Y*(s) Y(s) C(s) U(s) ε(s)

Capteur Système Correcteur

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c. Correction PI � Fonction de transfert : ( ) i cc c iK KC s K Ks T s= + = + avec Ti est la constante d’intégration. � Commande du système : 0( ) ( ) ( )tcc iKu t K t t dtTε ε= + ∫

d. Correction PID � Fonction de transfert : 21 1( ) 1 i d ic d ci iT T s T sC s K T s KT s T s + +

= + + =

� Commande du système : 0 ( )( ) ( ) ( )tcc c diK d tu t K t t dt K TT dtεε ε= + +∫ � Effets : - L’action I : amélioration de la précision - L’action D : amélioration de la stabilité - L’action P : amélioration de la rapidité

ε(t) t

u(t) t P I

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2.3.Calcul des correcteurs

1) Calculer la FTBO : ( ) ( )FTBO H s C s= i 2) Calculer la FTBO : 1 FTBOFTBF FTBO=+

3) Déterminer les paramètres du correcteur � 1er cas FTBF est un système du 1er ou 2ème ordre : on utilise généralement la méthode de compensation des pôles. � 2ème cas FTBF est un système d’ordre > à 2 : on utilise généralement la méthode de ZIEGLER-NICHOLS. 3.1) Compensation des pôles pour un système du 1er ordre Soit le système 10( ) 100H s s=

+et soit un régulateur du type PI dont la fonction de transfert est : ( ) ic KC s K s= + . - Calculer par la méthode de compensation des pôles les paramètres Kc et Ki du régulateur pour un temps de réponse (5%) 30rt ms=

H(s) U(s) Y(s) Système H(s) Y(s) C(s) U(s) ε(s) Système Correcteur

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( ) ii c i cc c

KsK K s K KC s K Ks s s++= + = = On remplace le pôle 100s + de H(s) par icKs K+ : 100......(1)icKK⇒ = 10( ) ic

H s Ks K=+

10 10( ) ( ) i cccic

Ks KKFTBO H s C s KK s ss K +

= = = +

i 10 10 10 110 10 10 11 1 10c c cc c c c

K K Ks sFTBF K s K s K ss s K= = = =+ + + +

De la forme : 11FTBF sτ=+

� un système du 1er ordre Pour un temps de réponse de 30ms, nous obtenons la condition suivante : 3 2(5%) 30103 30 103rt msτ τ−

−= = ⇒ = = Or que : 1 1010 cc KKτ = ⇒ = D’autre part on a : 100 1i icK KK⇒ = ⇒ = Finalement : 1( ) 10ic KC s K s s= + = +

U(s) Y(s) Y*(s)

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3.2) Compensation des pôles pour un système du 2ème ordre Soit le système ( ) ( )

10( ) 40 10H s s s=+ +

et soit un régulateur du type PI dont la fonction de transfert est ( ) ic KC s K s= + . - Calculer par la méthode de compensation des pôles les paramètres Kc et Ki du régulateur pour un temps de réponse (5%) 30rt ms= est un facteur d’amortissement 0.6ζ =

( ) ii c i cc c

KsK K s K KC s K Ks s s++= + = = Le pole le plus lent est ( )40s + , on le compense par icKs K+

On remplace le pôle ( )40s + de H(s) par icKs K+ : 40......(1)icKK⇒ = ( )

10( ) 10 icH s Ks s K=

+ +

( ) ( )

10 10( ) ( ) 1010 i cccicKs KKFTBO H s C s K s s sKs s K

+ = = = + + +

i

U(s) Y(s) Y*(s)

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( )

( )

( )( )

( )

210 1010 10 1010 10 10 10 101 10 10

c c cc c cK Ks s s s KFTBF K s s K s s Ks s s s+ +

= = =+ + + ++

+ +

2 11 10 110 10c cFTBF s sK K=

+ +

De la forme : 220 011 2 1FTBF s sζ

ω ω

=+ +

� un système du 2ème ordre Donc : 20

01 1102 1 c

cKKω

ζω

= =

d’où : 2 210 10 6.94(2 ) 4cKζ ζ

= = = Et comme 40 40 277.77i i ccK K KK = ⇒ = = Finalement : 277.77( ) 6.94ic KC s K s s= + = + 3.3) Compensation des pôles pour un système du 3ème ordre Soit

( ) ( ) ( )1 2 310( ) 1 1 1H s s s sτ τ τ=

+ + +avec 1 2 3τ τ τ> > Si on utilise un PID, on compensera ( ) ( )1 21 1s sτ τ+ + par le numérateur du régulateur PID.

21 1( ) 1 i d ic d ci iT T s T sC s K T s KT s T s + += + + =

( ) ( ) ( )21 2 1 2 1 21 1 1s s s sτ τ τ τ τ τ+ + = + + + La compensation de 02 constantes de temps les plus lentes 1τ et 2τ conduit à choisir :

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1 2 1 21 2 1 2id i i

TT T Tτ τ

τ ττ τ

τ τ

= + = ⇒ = +

En boucle ouverte :

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )1 21 2 3 31 110 10( ) ( ) 1 1 1 1 cc i is s KFTBO H s C s Ks s s T s T s sτ τ

τ τ τ τ

+ + = = = + + + +

i En boucle fermée : ( )

( )

( )( )

( )

3 3 23 33 310 101 1 1010 1 10 101 1 1

c ci i cc i c i i ci iK KT s s T s s KFTBF K T s s K T s T s KT s s T s sτ τ

τ ττ τ

+ += = =

+ + + +++ +

2 23 20 0

1 11 21 110 10i ic cFTBF T Ts s s sK Kτ ζ

ω ω

= =+ + + +

3200

1 102 10i ci c

T KTKτ

ω

ζω

= =

3.4) Méthode de ZIEGLER et NICHOLS En 1942, Ziegler et Nichols ont proposé deux approches heuristiques basées sur leur expérience et quelques simulations pour ajuster rapidement les paramètres des régulateurs P, PI et PID. La première méthode nécessite l’enregistrement de la réponse indicielle en boucle ouverte, alors que la deuxième demande d’amener le système bouclé à sa limite de stabilité.

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a. Méthode de la réponse indicielle Pour obtenir les paramètres du régulateur PID, il suffit : 1. d’enregistrer la réponse indicielle du processus seul (c’est-`a-dire sans le régulateur), puis de tracer la tangente au point d’inflexion de la courbe.

2. On mesure ensuite sa pente p et le retard apparent L correspondant au point d’intersection de la tangente avec l’abscisse. 3. On peut alors calculer les coefficients du régulateur choisi à l’aide du tableau suivant. Type Kp Ti Td P 1 / ( ) 1 /pL a= PI 0.9 / ( ) 0.9 /pL a= 3L PID 1.2 / ( ) 1.2 /pL a= 2L 0.5L

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4. Généralement les gains Kp proposés par Ziegler-Nichols sont trop élevés et conduisent à un dépassement supérieur à 20%. Il ne faut donc pas craindre de réduire Kp d’un facteur 2 pour obtenir une réponse satisfaisante. b. Méthode du point critique (réponse fréquentielle) Cette méthode est basée sur la connaissance du point critique du processus. Expérimentalement, on boucle le processus sur un simple régulateur proportionnel dont on augmente le gain jusqu'à amener le système à osciller de manière permanente ; on se trouve ainsi à la limite de stabilité.

Après avoir relevé le gain critique 1crK Gπ

= du régulateur et la période d’oscillation 2crTπ

πω

= de la réponse, on peut calculer les paramètres du régulateur choisi à l’aide du tableau.

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Type Kp Ti Td P 0.5 Kcr PI 0.4 Kcr 0.8 Tcr PID 0.6 Kcr 0.5 Tcr 0.125 Tcr

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Abaque temps de réponse réduit / facteur d’amortissement

Abaque temps de tr.ωn / facteur d’amortissement

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Abaque Dépassement % / facteur d’amortissement