PSHEAR CSHEAR - moodle.polymtl.ca · NASTRAN. La commande CSHEAR- suite P. Cisaillement...

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L’élément de panneau de cisaillement (PSHEAR, CSHEAR) P. Cisaillement Introduction Voilement PSHEAR CSHEAR Forces Contraintes Plaques Pan. Sandwich σ Plaques 1 / 48

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L’élément de panneau de cisaillement(PSHEAR, CSHEAR)

⊲ P. Cisaillement

Introduction

Voilement

PSHEAR

CSHEAR

Forces

Contraintes

Plaques

Pan. Sandwich

σ Plaques

1 / 48

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Introduction

P. Cisaillement

⊲ Introduction

Voilement

PSHEAR

CSHEAR

Forces

Contraintes

Plaques

Pan. Sandwich

σ Plaques

2 / 48

→ Ne subit que des déformations de cisaillement γxy→ Très utilisé en aéronautique

Figure 3. Fuselage panel showing vertical frames,

Figure 1: Exemple d’un panneau de cisaillement

→ Deux composantes qui travaillent ensemble

– Plaque mince qui reprend les efforts de cisaillement– Raidisseurs (tiges périphériques) qui reprennent les efforts

axiaux

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Voilement

P. Cisaillement

Introduction

⊲ Voilement

PSHEAR

CSHEAR

Forces

Contraintes

Plaques

Pan. Sandwich

σ Plaques

3 / 48

Un des problèmes associés à ce genre de structure est le voilementou le flambement local:

Figure 2: Voilement d’un panneau de cisaillement

→ Il y a une contrainte de cisaillement critique τcr à partir delaquelle le voilement apparaît.

– Le calcul de cette contrainte peut être très compliqué

→ Comme pour les poutres, on doit aussi s’assurer que lacontrainte de Tresca (ou de von Mises) ne dépasse pas leslimites permises

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La commande PSHEAR

P. Cisaillement

Introduction

Voilement

⊲ PSHEAR

CSHEAR

Forces

Contraintes

Plaques

Pan. Sandwich

σ Plaques

4 / 48

Tout comme pour la commande PBAR, la commande PSHEAR permetde définir les propriétés du panneau de cisaillement.

PSHEAR, PID, MID, T, NSM, F1, F2

PID Le numéro associé à cette propriétéMID Le numéro du matériau associé à cette propriétéT L’épaisseur (uniforme) du panneauNSM Masse non structurale par unité de surfaceF1, F2 Facteur d’efficacité en extension (génère les raidisseurs)

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La commande CSHEAR

P. Cisaillement

Introduction

Voilement

PSHEAR

⊲ CSHEAR

Forces

Contraintes

Plaques

Pan. Sandwich

σ Plaques

5 / 48

Tout comme pour la commande CBAR, la commande CSHEAR permetde connecter le panneau de cisaillement aux noeuds du modèle.

CSHEAR, EID, PID, G1, G2, G3, G4

EID Le numéro associé à cet élémentPID Le numéro de la propriété associée à cet élémentGi Les 4 noeuds définissant les 4 coins de l’élément

Xelem

G4

G3

G2G1

Yelem

Figure 3: Schématisation d’un panneau de cisaillement dansNASTRAN

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La commande CSHEAR - suite

P. Cisaillement

Introduction

Voilement

PSHEAR

⊲ CSHEAR

Forces

Contraintes

Plaques

Pan. Sandwich

σ Plaques

6 / 48

Xelem

G4

G3

G2G1

Yelem

→ Les noeuds doivent être numérotés consécutivement autour dupérimètre

– On ne pourrait pas avoir par exemple:CSHEAR, 101, 101, G1, G3, G2, G4

– Mais CSHEAR, 101, 101, G1, G4, G3, G2 serait valable– Axe local x positif de G1 à G2

– Axe local y ⊥ x positif vers G4– Chaque noeud possède deux degrés de liberté actifs: Tx et

Ty

– Tous les angles internes doivent être inférieurs à 180◦

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Explications relatives aux facteurs F1 et F2

P. Cisaillement

Introduction

Voilement

PSHEAR

⊲ CSHEAR

Forces

Contraintes

Plaques

Pan. Sandwich

σ Plaques

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Définition des facteurs F1 et F2

Xelem

G4

G3

G2G1

Yelem

→ NASTRAN crée des barreaux droits qui sont placés sur les côtésde l’élément

→ Le facteur F1 fait référence aux côtés G1G2 et G3G4

→ Le facteur F2 fait référence aux côtés G2G3 et G4G1

→ Les barreaux sont fabriqués à partir du même matériau que lepanneau de cisaillement

→ Les facteurs F1 et F2 servent à définir l’aire de la section dubarreau droit

Toute l’information nécessaire est présente pour calculer la matricede rigidité de ces barreaux.

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Explications relatives aux facteurs F1 et F2

P. Cisaillement

Introduction

Voilement

PSHEAR

⊲ CSHEAR

Forces

Contraintes

Plaques

Pan. Sandwich

σ Plaques

8 / 48

Définition des facteurs F1 et F2 Si on entre: F1 ≤ 1.01 l’aire de lasection des barreaux AF1 devient:

AF1 =F1× T × PA

L12 + L34

où T est l’épaisseur de la plaque, PA la surface de la plaque et L12

et L34 sont les longueurs des segments G1G2 et G3G4.

Pour AF2, la relation devient:

AF2 =F2× T × PA

L23 + L14

→ Un facteur F1 = 1.0 signifie que le panneau reprend aussi desefforts de traction selon la direction x

→ Si on a F1 = F2 = 1.0, le panneau de cisaillement reprend desefforts de traction selon x et y

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Explications relatives aux facteurs F1 et F2

P. Cisaillement

Introduction

Voilement

PSHEAR

⊲ CSHEAR

Forces

Contraintes

Plaques

Pan. Sandwich

σ Plaques

9 / 48

Définition des facteurs F1 et F2Si on entre F1 ou F2 > 1.01, alors NASTRAN calcule l’aire de lasection du barreau par:

AF1 =1

2F1T 2

AF2 =1

2F2T 2

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Forces dans les panneaux de cisaillement

P. Cisaillement

Introduction

Voilement

PSHEAR

CSHEAR

⊲ Forces

Contraintes

Plaques

Pan. Sandwich

σ Plaques

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G4 G3

G2

G1

F43

K4 F41

F32

F34

F21

F23

K3

q3

q2

q1

q4

F14

F12

K2K1

Figure 4: Forces dans un panneau de cisaillement

Fij Force dans les barreaux connectés aux noeuds i et j. Lestensions sont positives.

qi Flux de cisaillement sur un côté i du panneau, supposéconstant. Donné en unité de force par unité de longueur

Ki Force au noeud i nécessaire pour l’équilibre si un noeudn’est pas co-planaire

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Contraintes dans les panneaux de cisaillement

P. Cisaillement

Introduction

Voilement

PSHEAR

CSHEAR

Forces

⊲ Contraintes

Plaques

Pan. Sandwich

σ Plaques

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→ Comme la plaque ne reprend que des efforts de cisaillementdans le plan, on n’aura que la contrainte τxy

→ Comme le flux de cisaillement est constant, la contrainte decisaillement est donnée par:

τxy =qxy

T

où T est l’épaisseur de la plaque.→ La marge de sécurité que donne NASTRAN est calculée par

SAFETY MARGIN =SS

τxy− 1

où SS est la limite ultime en cisaillement donnée dans lacommande MAT1

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Contraintes dans les panneaux de cisaillement

P. Cisaillement

Introduction

Voilement

PSHEAR

CSHEAR

Forces

⊲ Contraintes

Plaques

Pan. Sandwich

σ Plaques

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La contrainte critique τcr de voilement

→ Le voilement est un phénomène complexe qui dépend deplusieurs facteurs

→ On ne connaît pas de solutions exactes qui permette de prédirele voilement pour tous les cas possibles

– On doit donc se contenter d’approches empiriques

On a observé expérimentalement que:

τcr = KE

1− ν2

(

T

b

)2

où T est l’épaisseur de la plaque et b la plus petite dimension entrela largeur et la longueur. K est un facteur empirique qui dépend desconditions aux limites et de la géométrie.

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Contraintes dans les panneaux de cisaillement

P. Cisaillement

Introduction

Voilement

PSHEAR

CSHEAR

Forces

⊲ Contraintes

Plaques

Pan. Sandwich

σ Plaques

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La contrainte critique τcr de voilement

Pour une plaque dont le rapport longueur sur largeur est voisin de 2,on a:

K = KSS = 5.43 pour une plaque simplement supportéeK = KEE = 9.5 pour une plaque encastrée

On utilisera cette équation dans le cadre du TP1.

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Les éléments finis de plaques

P. Cisaillement

⊲ Plaques

Description

Géométrie

CQUAD4

Membrane

Flexion

τ transverse

PSHELL

Pan. Sandwich

σ Plaques

14 / 48

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Description

P. Cisaillement

Plaques

⊲ Description

Géométrie

CQUAD4

Membrane

Flexion

τ transverse

PSHELL

Pan. Sandwich

σ Plaques

15 / 48

→ L’élément de plaque est très utilisé dans la modélisation destructures mécaniques

→ Le comportement que l’on peut modéliser avec des plaques estplus riche que celui que l’on obtient avec des panneaux decisaillement

→ Utiles pour représenter des structures où l’épaisseur est faibledevant toutes les autres dimensions

→ Les codes éléments finis offrent en général deux typesd’éléments de plaque: des quadrangles et des triangles

Figure 5: Éléments finis de plaques

→ Les quadrangles peuvent avoir 4 ou 8 noeuds et les triangles 3ou 6 (on verra plus tard la différence entre ces éléments)

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Description - suite

P. Cisaillement

Plaques

⊲ Description

Géométrie

CQUAD4

Membrane

Flexion

τ transverse

PSHELL

Pan. Sandwich

σ Plaques

16 / 48

→ Les quadrangles donnent en général des résultats plus précisque les triangles

→ Les triangles sont habituellement utilisés pour mailler des zonesoù la géométrie est complexe ou pour effectuer une transitionentre deux maillages de densité différentes:

Figure 6: Utilisation de triangles et quadrangles

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Géométrie

P. Cisaillement

Plaques

Description

⊲ Géométrie

CQUAD4

Membrane

Flexion

τ transverse

PSHELL

Pan. Sandwich

σ Plaques

17 / 48

Exemple d’une plaque à 4 noeuds

G3

G4

G1 G2

yelement

xelement

zelement

αβ γ+

2-------------=

α

βγ

Figure 7: Élément de plaque de NASTRAN

→ Comme pour le panneau de cisaillement, les noeuds doiventêtre notés de manière séquentielle

→ L’axe local x coupe l’angle 2α en 2 et est positif de G1 à G2→ L’axe local y ⊥ x, positif dans la direction de G1 à G4 et dans

le plan de la plaque→ L’axe loacl z est défini positif en appliquant la règle de la main

droite autour des noeuds

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Géométrie - suite

P. Cisaillement

Plaques

Description

⊲ Géométrie

CQUAD4

Membrane

Flexion

τ transverse

PSHELL

Pan. Sandwich

σ Plaques

18 / 48

G1G2

G3

Feuillet moyen

Face supérieure

Face inférieure

Figure 8: Géométrie d’un élément de plaque

→ Les noeuds sont toujours au feuillet moyen de la plaque→ z = 0 au feuillet moyen→ La surface supérieure (utile pour l’interprétation du signe des

forces) se trouve en z > 0→ La surface inférieure se trouve en z < 0

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La commande CQUAD4

P. Cisaillement

Plaques

Description

Géométrie

⊲ CQUAD4

Membrane

Flexion

τ transverse

PSHELL

Pan. Sandwich

σ Plaques

19 / 48

→ Pour la plaque à 4 noeuds utilisée dans le TP1, on utilise lacommande CQUAD4 pour définir la géométrie de l’élément

CQUAD4, EID, PID, G1, G2, G3, G4, THETA, ZOFF,

, , , T1, T2, T3, T4

EID Le numéro associé à cet élémentPID Le numéro de la propriété associée à cet élémentGi Les 4 noeuds définissant les 4 coins de l’élémentTHETA Commande utilisée pour les composites - pas utilisée dans ce

coursZOFF “ Offset ” dans la direction z des noeuds vers le feuillet moyen.

Similaire au vecteur d’excentricité des poutres.Ti Épaisseur de la plaque aux noeuds i. Utilisés seulement si

on a une plaque d’épaisseur variable (la commande PSHELL

définit une épaisseur par défaut).

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La commande CQUAD4 - suite

P. Cisaillement

Plaques

Description

Géométrie

⊲ CQUAD4

Membrane

Flexion

τ transverse

PSHELL

Pan. Sandwich

σ Plaques

20 / 48

Notes

→ Les points G1 à G4 doivent être entrés séquentiellement→ Les angles intérieurs doivent être inférieurs à 180 degrés→ La continuation est optionnelle: si on a une épaisseur de plaque

constante, ne pas l’utiliser→ Les résultats sont donnés dans le repère local de l’élément

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Comportements modélisés: effet de membrane

P. Cisaillement

Plaques

Description

Géométrie

CQUAD4

⊲ Membrane

Flexion

τ transverse

PSHELL

Pan. Sandwich

σ Plaques

21 / 48

→ Ne reprend que les forces dans le plan de la plaque

Figure 9: Efforts repris par un élément de plaque

→ Fx, Fy et Fxy: forces uniformes par unité de longueur→ Contraintes uniformes à travers l’épaisseur:

σx =Fx

tσy =

Fy

tτxy =

Fxy

t

où t est l’épaisseur de la plaque→ 2 Degrés de liberté par noeud: Tx et Ty

→ Déformations dans une membrane: εx, εy et γxy

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Comportements modélisés: effet de flexion (et torsion)

P. Cisaillement

Plaques

Description

Géométrie

CQUAD4

Membrane

⊲ Flexion

τ transverse

PSHELL

Pan. Sandwich

σ Plaques

22 / 48

→ Ne reprend que les moments appliqués sur la plaque

Figure 10: Moments repris par une plaque

→ Mx : Moment de flexion par unité de longueur qui entraîne unecontrainte σx. Positif si la face supérieure de l’élément est encompression (attention, ce n’est pas la convention usuelle).

→ My : Moment de flexion par unité de longueur qui entraîne unecontrainte σy. Positif si la face supérieure de l’élément est encompression (attention, ce n’est pas la convention usuelle).

→ Mxy : Moment de torsion par unité de longueur qui entraîneune contrainte τxy (attention, ce n’est pas la conventionusuelle).

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Comportements modélisés: effet de flexion - suite

P. Cisaillement

Plaques

Description

Géométrie

CQUAD4

Membrane

⊲ Flexion

τ transverse

PSHELL

Pan. Sandwich

σ Plaques

23 / 48

Pour le calcul des contraintes

Figure 11: Dimensions pour le calcul des contraintes

On aura que:

σx = −MxZ1

RII0; σy = −

MyZ1

RII0(1)

I0 =T 3

12et RI =

Iréel

I0(2)

→ On rappelle que les moments sont donnés par unité de longeur.Le second moment I0 est donc pour une plaque pleine (sectionrectangulaire)

→ Le facteur RI est pour des plaques qui ne sont pas pleines,comme le panneau sandwich

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Comportements modélisés: effet de flexion - suite

P. Cisaillement

Plaques

Description

Géométrie

CQUAD4

Membrane

⊲ Flexion

τ transverse

PSHELL

Pan. Sandwich

σ Plaques

24 / 48

Pour le cisaillement, on aura:

τxy =2MxyZ1

J(Torsion d’une section ouverte symétrique) (3)

J =T 3

3(4)

Degrés de liberté actifs

→ Comme on n’a que de la torsion et de la flexion, seuls les degrésde liberté Tz, Rx et Ry sont activés

→ Si l’on combine avec l’effet de membrane, on active les degrésde liberté suivants: Tx, Ty, Tz, Rx et Ry. La rotation Rz n’estjamais activée

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Comportements modélisés: cisaillement transverse

P. Cisaillement

Plaques

Description

Géométrie

CQUAD4

Membrane

Flexion

⊲ τ transverse

PSHELL

Pan. Sandwich

σ Plaques

25 / 48

Figure 12: Efforts tranchants et cisaillement transverse

→ Reprend les efforts tranchants par unité de longueur quientraînent un cisaillement hors-plan

→ Vx et Vy sont des efforts tranchants par unité de longueur quis’appliquent dans le plan normal aux axes x et y respectivement

→ Contraintes de cisaillement attribuables à l’effort tranchant→ On doit absolument activer l’effet de flexion pour activer l’effet

de cisaillement transverse

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Comportements modélisés: cisaillement transverse - suite

P. Cisaillement

Plaques

Description

Géométrie

CQUAD4

Membrane

Flexion

⊲ τ transverse

PSHELL

Pan. Sandwich

σ Plaques

26 / 48

→ La distribution de cisaillement est parabolique sur les côtés dela plaque

→ On calculera la contrainte moyenne de cisaillement par:

τxz =VxL

AS

=Vx

RSTet τyz =

VyL

AS

=Vy

RST(5)

où L est la longueur d’un côté (Vx est donné par unité delongueur), AS est l’aire effective en cisaillement et où RS est lerapport de l’aire effective en cisaillement sur l’aire de la sectionde la plaque. Pour une plaque pleine, RS = 5

6 (voir poutre desection rectangulaire).

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La commande PSHELL

P. Cisaillement

Plaques

Description

Géométrie

CQUAD4

Membrane

Flexion

τ transverse

⊲ PSHELL

Pan. Sandwich

σ Plaques

27 / 48

PSHELL, PID, MID1, T, MID2, Ri, MID3, Rs, NSM,

, Z1, Z2, MID4

PID Numéro de la propriété de plaqueMID1 Numéro du matériau pour activer l’effet de membrane. Si le

champ est vide, l’effet membrane n’est pas activéT Épaisseur par défaut de la plaqueMID2 Numéro du matériau associé à l’effet de flexion. Si ce champ

est vide, l’effet de flexion n’est pas activé. Ce champ doitabsolument contenir une valeur si l’on veut activer l’effet decisaillement transverse.

Ri Rapport du second moment de section de la plaque sur celuicalculé par défaut (T

3

12 ). La valeur par défaut est 1.0 et cor-respond à une plaque pleine.

MID3 Numéro du matériau associé à l’effet de cisaillement trans-verse. Si ce champ est vide, l’effet de cisaillement transversen’est pas activé

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La commande PSHELL - suite

P. Cisaillement

Plaques

Description

Géométrie

CQUAD4

Membrane

Flexion

τ transverse

⊲ PSHELL

Pan. Sandwich

σ Plaques

28 / 48

PSHELL, PID, MID1, T, MID2, Ri, MID3, Rs, NSM,

, Z1, Z2, MID4

Rs Rapport de l’épaisseur effective en cisaillement de la plaquesur l’épaisseur entrée (paramètre T). La valeur par défaut est56 et correspond à une plaque pleine.

NSM Masse non structurale par unité de surfaceZ1, Z2 Distance du feuillet moyen aux fibres externes pour le calcul

des contraintesMID4 Numéro du matériau utilisé pour l’effet de couplage entre la

flexion et la membrane. Commande avancée, pas utilisée dansce cours.

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Le panneau Sandwich

P. Cisaillement

Plaques

⊲ Pan. Sandwich

Introduction

Fonctionnement

Codage

σ Plaques

29 / 48

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Introduction

P. Cisaillement

Plaques

Pan. Sandwich

⊲ Introduction

Fonctionnement

Codage

σ Plaques

30 / 48

→ Un panneau sandwich est une structure qui se comporte commeune plaque qui a une très grande rigidité, une bonne résistanceet une faible masse

→ Ces structures sont très utilisées dans le transport et laconstruction

Fabrication

Figure 13: Panneau sandwich

→ 2 revêtements extérieurs (aluminium, composites, etc.)→ Un noyau qui est souvent un nid d’abeille ou une mousse

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Introduction

P. Cisaillement

Plaques

Pan. Sandwich

⊲ Introduction

Fonctionnement

Codage

σ Plaques

31 / 48

Nid d’abeille

95 % de vide

5 % de matériau

Figure 14: Schématisation du nid d’abeille

→ Structure alvéolaire à paroi très mince→ A une très faible densité car fait en très grande partie de vide

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Fonctionnement

P. Cisaillement

Plaques

Pan. Sandwich

Introduction

⊲ Fonctionnement

Codage

σ Plaques

32 / 48

→ Revêtements résistent aux efforts de flexion et de membrane→ Les revêtements sont maintenus écartés du plan moyen par le

noyau, ce qui augmente considérablement la rigidité en flexionde la structure

→ Le noyau résiste aux efforts tranchants hors-plans→ Le noyau a comme rôle de maintenir les revêtements loin l’un

de l’autre

Revêtement

Noyau

Figure 15: Géométrie du panneau sandwich

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Définition d’un panneau sandwich avec la commande PSHELL

P. Cisaillement

Plaques

Pan. Sandwich

Introduction

Fonctionnement

⊲ Codage

σ Plaques

33 / 48

Revêtement

Noyau

→ Pour entrer les propriétés d’un panneau sandwich, il faut utiliserla commande PSHELL astucieusement

PSHELL, PID, MID1, T, MID2, Ri, MID3, Rs, NSM,

, Z1, Z2, MID4

→ Comme les effets de membrane, flexion et cisaillementtransverse sont activés, il faut remplir les champs MID1, MID2

et MID3→ Le paramètre T représente l’épaisseur qui reprend les efforts de

membrane. Dans ce cas-ci, on a:

T = ts + ti (6)

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Définition d’un panneau sandwich avec la commande PSHELL

P. Cisaillement

Plaques

Pan. Sandwich

Introduction

Fonctionnement

⊲ Codage

σ Plaques

34 / 48

Revêtement

Noyau

ZZ

XXH

→ Ce ne sont que les revêtements qui reprennent les efforts deflexion

→ Comme ils ne sont pas au plan neutre, il faut utiliser le principedes axes parallèles pour faire le calcul du second moment desection. Avec ce principe on a que IZZ = IXX +AH2 (voirfigure en haut)

→ On rappelle que les calculs sont faits par unité de longueur

→ IXX = bt3s12 , ce qui fait par unité de longueur: IXX = t3s

12→ AH2 = btsk

2s , ce qui fait par unité de longueur : tsk

2s

→ On aura donc: I = t3s12 +

t3i

12 + tsk2s + tik

2i

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Définition d’un panneau sandwich avec la commande PSHELL

P. Cisaillement

Plaques

Pan. Sandwich

Introduction

Fonctionnement

⊲ Codage

σ Plaques

35 / 48

Revêtement

Noyau

ZZ

XXH

→ Le second moment de section calculé par défaut par NASTRAN

est I0 =(ts+ti)

3

12→ Au final, on aura:

RI =I

I0=

t3s + t3i + 12tsk2s + 12tik

2i

(ts + ti)3 (7)

PSHELL, PID, MID1, T, MID2, Ri, MID3, Rs, NSM,

, Z1, Z2, MID4

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Définition d’un panneau sandwich avec la commande PSHELL

P. Cisaillement

Plaques

Pan. Sandwich

Introduction

Fonctionnement

⊲ Codage

σ Plaques

36 / 48

Pour l’aire effective en cisaillement transverse

→ On suppose que la contrainte de cisaillement est nulle dans lesrevêtements et constante dans le nid d’abeille

→ Pour calculer cette aire effective, on condense le nid d’abeille etl’on calcule la quantité de matière qui peut supporter lecisaillement

1.0

0.05

Figure 16: Schématisation de l’aire effective en cisaillement pour lepanneau sandwich

→ L’épaisseur du nid d’abeille est donnée par h = ks + ki −ts+ti2

→ Pour une largeur unitaire, l’aire effective en cisaillement estdonc, pour 5% de matière: As = 0.05h

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Définition d’un panneau sandwich avec la commande PSHELL

P. Cisaillement

Plaques

Pan. Sandwich

Introduction

Fonctionnement

⊲ Codage

σ Plaques

37 / 48

PSHELL, PID, MID1, T, MID2, Ri, MID3, Rs, NSM,

, Z1, Z2, MID4

→ L’aire de la section de la plaque calculé par NASTRAN est lalargeur multipliée par le paramètre T

→ On rappelle que l’on avait T = ti + ts. Donc, l’aire de lasection, pour une largeur unitaire, est de A = ti + ts

→ Le rapport de l’aire effective en cisaillement sur l’aire de lasection de la plaque (paramètre Rs) devient:

Rs =As

A=

0.05h

ti + ts(8)

Calcul des contraintes

→ Pour le calcul des contraintes, il ne faut pas oublier d’entrer lesbonnes valeurs pour les champs Z1 et Z2

→ On aura:

Z1 = ks +ts

2et Z2 = ki +

ti

2(9)

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Calcul des contraintes dans les éléments deplaques

P. Cisaillement

Plaques

Pan. Sandwich

⊲ σ Plaques

Introduction

Tresca

von Mises

Comparaison

Exemple

38 / 48

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Introduction

P. Cisaillement

Plaques

Pan. Sandwich

σ Plaques

⊲ Introduction

Tresca

von Mises

Comparaison

Exemple

39 / 48

→ Dans une plaque, le calcul des contraintes est beaucoup plussimple que dans une poutre

– En effet, la géométrie est la même pour toutes les plaquesdu même type et en plus elle est simple

→ Si l’on active l’effet membrane uniquement

– Les contraintes σx, σy et τxy sont constantes dansl’épaisseur

Figure 17: Illustration des forces et contraintes dans une plaque oùl’effet membrane est activé

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Introduction

P. Cisaillement

Plaques

Pan. Sandwich

σ Plaques

⊲ Introduction

Tresca

von Mises

Comparaison

Exemple

40 / 48

→ Si l’on active l’effet de flexion

– Les contraintes σx, σy et τxy varient linéairement dansl’épaisseur et peuvent être calculées par une équation simpleissue de la théorie des poutres

Figure 18: Illustration des forces présentes dans une plaque oùl’effet flexion est activé

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Introduction

P. Cisaillement

Plaques

Pan. Sandwich

σ Plaques

⊲ Introduction

Tresca

von Mises

Comparaison

Exemple

41 / 48

→ Si l’on active l’effet de cisaillement transverse

– La distribution des contraintes de cisaillement τxz et τxyn’est pas constante: elle est parabolique

– On sait que son maximum est atteint au feuillet moyen– On sait comment calculer la valeur de ce maximum puisque

la géométrie est très simple

Figure 19: Illustration des distributions des contraintes decisaillement transverse dans les plaques minces

→ Avec toutes ces données, il est possible de connaître avecprécision l’état de contraintes en tous points de la plaque

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Exemple du calcul de la contrainte de Tresca

P. Cisaillement

Plaques

Pan. Sandwich

σ Plaques

Introduction

⊲ Tresca

von Mises

Comparaison

Exemple

42 / 48

Supposons un état plan de contraintes (i.e. effet de membrane etflexion uniquement) où l’on a par définition σz = τxz = τyz = 0

→ On sait que l’on peut trouver un repère (ou système d’axes) oùcet état va être représenté par des contraintes axialesuniquement. C’est le repère principal.

→ Il va aussi y avoir un repère où le cisaillement est maximal, quise trouve à un angle 2θ = 90 du repère principal.

Figure 20: Représentation schématique par le cercle de Mohr durepère des contraintes principales

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Exemple du calcul de la contrainte de Tresca

P. Cisaillement

Plaques

Pan. Sandwich

σ Plaques

Introduction

⊲ Tresca

von Mises

Comparaison

Exemple

43 / 48

→ On a vu que le critère de Tresca s’exprime sous la forme:

τmax =σ1 − σ2

2=

1

2

σ2x − 2σxσy + σ2

y + 4τ2xy <1

2SY (10)

où SY est la limite d’écoulement du matériau.→ On remarquera que cette équation est donnée pour un état plan

de contrainte quelconque.→ On pourra définir une contrainte de Tresca:

σTr = σ1 − σ2 < SY (11)

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Le critère de von Mises

P. Cisaillement

Plaques

Pan. Sandwich

σ Plaques

Introduction

Tresca

⊲ von Mises

Comparaison

Exemple

44 / 48

Origines physiques

→ Lorsque l’on soumet le matériau à un chargement, il sedéforme. On doit fournir un certain travail pour induire cettedéformation. L’énergie déployée pour le travail estemmagasinée dans le matériau sous forme d’énergie interne.

→ Lorsque le matériau atteint son domaine plastique, une partiedu travail que l’on déploie pour le déformer sert à faire glissercertains plans cristallographiques de manière irréversible.

Le critère de von MisesIl y a plasticité dans le matériau quand l’énergie de déformation de

distorsion dans le matériau induite par un chargement atteint une

certaine valeur seuil.

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Le critère de von Mises

P. Cisaillement

Plaques

Pan. Sandwich

σ Plaques

Introduction

Tresca

⊲ von Mises

Comparaison

Exemple

45 / 48

→ On sait que l’énergie de déformation de distorsion dans lematériau est donnée par:

UD =1

12G

[

(σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)

2 + (σ3 − σ1)2]

(12)

où G est le module de cisaillement.→ On mesure habituellement l’énergie de déformation seuil U∗

D lorsd’un essai de traction. On calcule cette énergie pour σ = SY

→ Dans un essai de traction, à l’écoulement, σ1 = SY ,σ2 = σ3 = 0. On aura donc:

U∗

D =2S2

Y

12G=

S2Y

6G(13)

→ Le critère de von Mises prend donc la forme suivante:

UD < U∗

D (14)

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Le critère de von Mises

P. Cisaillement

Plaques

Pan. Sandwich

σ Plaques

Introduction

Tresca

⊲ von Mises

Comparaison

Exemple

46 / 48

→ Pour un état plan de contraintes (σ3 = 0), on aura:

1

12G

[

(σ1 − σ2)2 + σ2

1 + σ22

]

<S2Y

6G(15)

→ Ceci conduit à:√

1

2

[

(σ1 − σ2)2 + σ2

1 + σ22

]

= σVM < SY (16)

→ Toujours pour un état plan de contraintes mais qui n’est passelon les axes principaux, on aura:

σVM =√

σ2x + σ2

y − σxσy + 3τ2xy (17)

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Comparaison des critères de Tresca et von Mises

P. Cisaillement

Plaques

Pan. Sandwich

σ Plaques

Introduction

Tresca

von Mises

⊲ Comparaison

Exemple

47 / 48

→ Pour un état plan de contraintes, on peut représenter ledomaine d’élasticité dans le plan des contraintes principales deces deux critères:

Figure 21: Comparaison des domaines d’élasticité des critères deTresca et von Mises. Le domaine d’élasticité est à l’intérieur des

formes géoémétriques dessinées.

→ On peut voir que le critère de von Mises est moins conservateurque le critère de Tresca

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Exemple de calcul

P. Cisaillement

Plaques

Pan. Sandwich

σ Plaques

Introduction

Tresca

von Mises

Comparaison

⊲ Exemple

48 / 48

Figure 22: Exemple de résultats typiques pour des éléments deplaques

Tresca

σTr = σ1 − σ2

≈ 3.54− (−14.89)

≈ 18.43MPa

von Mises

σVM =√

1

2

[

(σ1 − σ2)2 + σ2

1 + σ22

]

1

2[18.432 + 3.542 + 14.892]

≈ 16.94MPa

On peut voir que la contrainte de Tresca est plus importante, doncconservatrice, par rapport à la contrainte de von Mises.