PSHEAR CSHEAR - moodle.polymtl.ca · NASTRAN. La commande CSHEAR- suite P. Cisaillement...
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L’élément de panneau de cisaillement(PSHEAR, CSHEAR)
⊲ P. Cisaillement
Introduction
Voilement
PSHEAR
CSHEAR
Forces
Contraintes
Plaques
Pan. Sandwich
σ Plaques
1 / 48
Introduction
P. Cisaillement
⊲ Introduction
Voilement
PSHEAR
CSHEAR
Forces
Contraintes
Plaques
Pan. Sandwich
σ Plaques
2 / 48
→ Ne subit que des déformations de cisaillement γxy→ Très utilisé en aéronautique
Figure 3. Fuselage panel showing vertical frames,
Figure 1: Exemple d’un panneau de cisaillement
→ Deux composantes qui travaillent ensemble
– Plaque mince qui reprend les efforts de cisaillement– Raidisseurs (tiges périphériques) qui reprennent les efforts
axiaux
Voilement
P. Cisaillement
Introduction
⊲ Voilement
PSHEAR
CSHEAR
Forces
Contraintes
Plaques
Pan. Sandwich
σ Plaques
3 / 48
Un des problèmes associés à ce genre de structure est le voilementou le flambement local:
Figure 2: Voilement d’un panneau de cisaillement
→ Il y a une contrainte de cisaillement critique τcr à partir delaquelle le voilement apparaît.
– Le calcul de cette contrainte peut être très compliqué
→ Comme pour les poutres, on doit aussi s’assurer que lacontrainte de Tresca (ou de von Mises) ne dépasse pas leslimites permises
La commande PSHEAR
P. Cisaillement
Introduction
Voilement
⊲ PSHEAR
CSHEAR
Forces
Contraintes
Plaques
Pan. Sandwich
σ Plaques
4 / 48
Tout comme pour la commande PBAR, la commande PSHEAR permetde définir les propriétés du panneau de cisaillement.
PSHEAR, PID, MID, T, NSM, F1, F2
PID Le numéro associé à cette propriétéMID Le numéro du matériau associé à cette propriétéT L’épaisseur (uniforme) du panneauNSM Masse non structurale par unité de surfaceF1, F2 Facteur d’efficacité en extension (génère les raidisseurs)
La commande CSHEAR
P. Cisaillement
Introduction
Voilement
PSHEAR
⊲ CSHEAR
Forces
Contraintes
Plaques
Pan. Sandwich
σ Plaques
5 / 48
Tout comme pour la commande CBAR, la commande CSHEAR permetde connecter le panneau de cisaillement aux noeuds du modèle.
CSHEAR, EID, PID, G1, G2, G3, G4
EID Le numéro associé à cet élémentPID Le numéro de la propriété associée à cet élémentGi Les 4 noeuds définissant les 4 coins de l’élément
Xelem
G4
G3
G2G1
Yelem
Figure 3: Schématisation d’un panneau de cisaillement dansNASTRAN
La commande CSHEAR - suite
P. Cisaillement
Introduction
Voilement
PSHEAR
⊲ CSHEAR
Forces
Contraintes
Plaques
Pan. Sandwich
σ Plaques
6 / 48
Xelem
G4
G3
G2G1
Yelem
→ Les noeuds doivent être numérotés consécutivement autour dupérimètre
– On ne pourrait pas avoir par exemple:CSHEAR, 101, 101, G1, G3, G2, G4
– Mais CSHEAR, 101, 101, G1, G4, G3, G2 serait valable– Axe local x positif de G1 à G2
– Axe local y ⊥ x positif vers G4– Chaque noeud possède deux degrés de liberté actifs: Tx et
Ty
– Tous les angles internes doivent être inférieurs à 180◦
Explications relatives aux facteurs F1 et F2
P. Cisaillement
Introduction
Voilement
PSHEAR
⊲ CSHEAR
Forces
Contraintes
Plaques
Pan. Sandwich
σ Plaques
7 / 48
Définition des facteurs F1 et F2
Xelem
G4
G3
G2G1
Yelem
→ NASTRAN crée des barreaux droits qui sont placés sur les côtésde l’élément
→ Le facteur F1 fait référence aux côtés G1G2 et G3G4
→ Le facteur F2 fait référence aux côtés G2G3 et G4G1
→ Les barreaux sont fabriqués à partir du même matériau que lepanneau de cisaillement
→ Les facteurs F1 et F2 servent à définir l’aire de la section dubarreau droit
Toute l’information nécessaire est présente pour calculer la matricede rigidité de ces barreaux.
Explications relatives aux facteurs F1 et F2
P. Cisaillement
Introduction
Voilement
PSHEAR
⊲ CSHEAR
Forces
Contraintes
Plaques
Pan. Sandwich
σ Plaques
8 / 48
Définition des facteurs F1 et F2 Si on entre: F1 ≤ 1.01 l’aire de lasection des barreaux AF1 devient:
AF1 =F1× T × PA
L12 + L34
où T est l’épaisseur de la plaque, PA la surface de la plaque et L12
et L34 sont les longueurs des segments G1G2 et G3G4.
Pour AF2, la relation devient:
AF2 =F2× T × PA
L23 + L14
→ Un facteur F1 = 1.0 signifie que le panneau reprend aussi desefforts de traction selon la direction x
→ Si on a F1 = F2 = 1.0, le panneau de cisaillement reprend desefforts de traction selon x et y
Explications relatives aux facteurs F1 et F2
P. Cisaillement
Introduction
Voilement
PSHEAR
⊲ CSHEAR
Forces
Contraintes
Plaques
Pan. Sandwich
σ Plaques
9 / 48
Définition des facteurs F1 et F2Si on entre F1 ou F2 > 1.01, alors NASTRAN calcule l’aire de lasection du barreau par:
AF1 =1
2F1T 2
AF2 =1
2F2T 2
Forces dans les panneaux de cisaillement
P. Cisaillement
Introduction
Voilement
PSHEAR
CSHEAR
⊲ Forces
Contraintes
Plaques
Pan. Sandwich
σ Plaques
10 / 48
G4 G3
G2
G1
F43
K4 F41
F32
F34
F21
F23
K3
q3
q2
q1
q4
F14
F12
K2K1
Figure 4: Forces dans un panneau de cisaillement
Fij Force dans les barreaux connectés aux noeuds i et j. Lestensions sont positives.
qi Flux de cisaillement sur un côté i du panneau, supposéconstant. Donné en unité de force par unité de longueur
Ki Force au noeud i nécessaire pour l’équilibre si un noeudn’est pas co-planaire
Contraintes dans les panneaux de cisaillement
P. Cisaillement
Introduction
Voilement
PSHEAR
CSHEAR
Forces
⊲ Contraintes
Plaques
Pan. Sandwich
σ Plaques
11 / 48
→ Comme la plaque ne reprend que des efforts de cisaillementdans le plan, on n’aura que la contrainte τxy
→ Comme le flux de cisaillement est constant, la contrainte decisaillement est donnée par:
τxy =qxy
T
où T est l’épaisseur de la plaque.→ La marge de sécurité que donne NASTRAN est calculée par
SAFETY MARGIN =SS
τxy− 1
où SS est la limite ultime en cisaillement donnée dans lacommande MAT1
Contraintes dans les panneaux de cisaillement
P. Cisaillement
Introduction
Voilement
PSHEAR
CSHEAR
Forces
⊲ Contraintes
Plaques
Pan. Sandwich
σ Plaques
12 / 48
La contrainte critique τcr de voilement
→ Le voilement est un phénomène complexe qui dépend deplusieurs facteurs
→ On ne connaît pas de solutions exactes qui permette de prédirele voilement pour tous les cas possibles
– On doit donc se contenter d’approches empiriques
On a observé expérimentalement que:
τcr = KE
1− ν2
(
T
b
)2
où T est l’épaisseur de la plaque et b la plus petite dimension entrela largeur et la longueur. K est un facteur empirique qui dépend desconditions aux limites et de la géométrie.
Contraintes dans les panneaux de cisaillement
P. Cisaillement
Introduction
Voilement
PSHEAR
CSHEAR
Forces
⊲ Contraintes
Plaques
Pan. Sandwich
σ Plaques
13 / 48
La contrainte critique τcr de voilement
Pour une plaque dont le rapport longueur sur largeur est voisin de 2,on a:
K = KSS = 5.43 pour une plaque simplement supportéeK = KEE = 9.5 pour une plaque encastrée
On utilisera cette équation dans le cadre du TP1.
Les éléments finis de plaques
P. Cisaillement
⊲ Plaques
Description
Géométrie
CQUAD4
Membrane
Flexion
τ transverse
PSHELL
Pan. Sandwich
σ Plaques
14 / 48
Description
P. Cisaillement
Plaques
⊲ Description
Géométrie
CQUAD4
Membrane
Flexion
τ transverse
PSHELL
Pan. Sandwich
σ Plaques
15 / 48
→ L’élément de plaque est très utilisé dans la modélisation destructures mécaniques
→ Le comportement que l’on peut modéliser avec des plaques estplus riche que celui que l’on obtient avec des panneaux decisaillement
→ Utiles pour représenter des structures où l’épaisseur est faibledevant toutes les autres dimensions
→ Les codes éléments finis offrent en général deux typesd’éléments de plaque: des quadrangles et des triangles
Figure 5: Éléments finis de plaques
→ Les quadrangles peuvent avoir 4 ou 8 noeuds et les triangles 3ou 6 (on verra plus tard la différence entre ces éléments)
Description - suite
P. Cisaillement
Plaques
⊲ Description
Géométrie
CQUAD4
Membrane
Flexion
τ transverse
PSHELL
Pan. Sandwich
σ Plaques
16 / 48
→ Les quadrangles donnent en général des résultats plus précisque les triangles
→ Les triangles sont habituellement utilisés pour mailler des zonesoù la géométrie est complexe ou pour effectuer une transitionentre deux maillages de densité différentes:
Figure 6: Utilisation de triangles et quadrangles
Géométrie
P. Cisaillement
Plaques
Description
⊲ Géométrie
CQUAD4
Membrane
Flexion
τ transverse
PSHELL
Pan. Sandwich
σ Plaques
17 / 48
Exemple d’une plaque à 4 noeuds
G3
G4
G1 G2
yelement
xelement
zelement
αβ γ+
2-------------=
α
βγ
Figure 7: Élément de plaque de NASTRAN
→ Comme pour le panneau de cisaillement, les noeuds doiventêtre notés de manière séquentielle
→ L’axe local x coupe l’angle 2α en 2 et est positif de G1 à G2→ L’axe local y ⊥ x, positif dans la direction de G1 à G4 et dans
le plan de la plaque→ L’axe loacl z est défini positif en appliquant la règle de la main
droite autour des noeuds
Géométrie - suite
P. Cisaillement
Plaques
Description
⊲ Géométrie
CQUAD4
Membrane
Flexion
τ transverse
PSHELL
Pan. Sandwich
σ Plaques
18 / 48
G1G2
G3
Feuillet moyen
Face supérieure
Face inférieure
Figure 8: Géométrie d’un élément de plaque
→ Les noeuds sont toujours au feuillet moyen de la plaque→ z = 0 au feuillet moyen→ La surface supérieure (utile pour l’interprétation du signe des
forces) se trouve en z > 0→ La surface inférieure se trouve en z < 0
La commande CQUAD4
P. Cisaillement
Plaques
Description
Géométrie
⊲ CQUAD4
Membrane
Flexion
τ transverse
PSHELL
Pan. Sandwich
σ Plaques
19 / 48
→ Pour la plaque à 4 noeuds utilisée dans le TP1, on utilise lacommande CQUAD4 pour définir la géométrie de l’élément
CQUAD4, EID, PID, G1, G2, G3, G4, THETA, ZOFF,
, , , T1, T2, T3, T4
EID Le numéro associé à cet élémentPID Le numéro de la propriété associée à cet élémentGi Les 4 noeuds définissant les 4 coins de l’élémentTHETA Commande utilisée pour les composites - pas utilisée dans ce
coursZOFF “ Offset ” dans la direction z des noeuds vers le feuillet moyen.
Similaire au vecteur d’excentricité des poutres.Ti Épaisseur de la plaque aux noeuds i. Utilisés seulement si
on a une plaque d’épaisseur variable (la commande PSHELL
définit une épaisseur par défaut).
La commande CQUAD4 - suite
P. Cisaillement
Plaques
Description
Géométrie
⊲ CQUAD4
Membrane
Flexion
τ transverse
PSHELL
Pan. Sandwich
σ Plaques
20 / 48
Notes
→ Les points G1 à G4 doivent être entrés séquentiellement→ Les angles intérieurs doivent être inférieurs à 180 degrés→ La continuation est optionnelle: si on a une épaisseur de plaque
constante, ne pas l’utiliser→ Les résultats sont donnés dans le repère local de l’élément
Comportements modélisés: effet de membrane
P. Cisaillement
Plaques
Description
Géométrie
CQUAD4
⊲ Membrane
Flexion
τ transverse
PSHELL
Pan. Sandwich
σ Plaques
21 / 48
→ Ne reprend que les forces dans le plan de la plaque
Figure 9: Efforts repris par un élément de plaque
→ Fx, Fy et Fxy: forces uniformes par unité de longueur→ Contraintes uniformes à travers l’épaisseur:
σx =Fx
tσy =
Fy
tτxy =
Fxy
t
où t est l’épaisseur de la plaque→ 2 Degrés de liberté par noeud: Tx et Ty
→ Déformations dans une membrane: εx, εy et γxy
Comportements modélisés: effet de flexion (et torsion)
P. Cisaillement
Plaques
Description
Géométrie
CQUAD4
Membrane
⊲ Flexion
τ transverse
PSHELL
Pan. Sandwich
σ Plaques
22 / 48
→ Ne reprend que les moments appliqués sur la plaque
Figure 10: Moments repris par une plaque
→ Mx : Moment de flexion par unité de longueur qui entraîne unecontrainte σx. Positif si la face supérieure de l’élément est encompression (attention, ce n’est pas la convention usuelle).
→ My : Moment de flexion par unité de longueur qui entraîne unecontrainte σy. Positif si la face supérieure de l’élément est encompression (attention, ce n’est pas la convention usuelle).
→ Mxy : Moment de torsion par unité de longueur qui entraîneune contrainte τxy (attention, ce n’est pas la conventionusuelle).
Comportements modélisés: effet de flexion - suite
P. Cisaillement
Plaques
Description
Géométrie
CQUAD4
Membrane
⊲ Flexion
τ transverse
PSHELL
Pan. Sandwich
σ Plaques
23 / 48
Pour le calcul des contraintes
Figure 11: Dimensions pour le calcul des contraintes
On aura que:
σx = −MxZ1
RII0; σy = −
MyZ1
RII0(1)
où
I0 =T 3
12et RI =
Iréel
I0(2)
→ On rappelle que les moments sont donnés par unité de longeur.Le second moment I0 est donc pour une plaque pleine (sectionrectangulaire)
→ Le facteur RI est pour des plaques qui ne sont pas pleines,comme le panneau sandwich
Comportements modélisés: effet de flexion - suite
P. Cisaillement
Plaques
Description
Géométrie
CQUAD4
Membrane
⊲ Flexion
τ transverse
PSHELL
Pan. Sandwich
σ Plaques
24 / 48
Pour le cisaillement, on aura:
τxy =2MxyZ1
J(Torsion d’une section ouverte symétrique) (3)
où
J =T 3
3(4)
Degrés de liberté actifs
→ Comme on n’a que de la torsion et de la flexion, seuls les degrésde liberté Tz, Rx et Ry sont activés
→ Si l’on combine avec l’effet de membrane, on active les degrésde liberté suivants: Tx, Ty, Tz, Rx et Ry. La rotation Rz n’estjamais activée
Comportements modélisés: cisaillement transverse
P. Cisaillement
Plaques
Description
Géométrie
CQUAD4
Membrane
Flexion
⊲ τ transverse
PSHELL
Pan. Sandwich
σ Plaques
25 / 48
Figure 12: Efforts tranchants et cisaillement transverse
→ Reprend les efforts tranchants par unité de longueur quientraînent un cisaillement hors-plan
→ Vx et Vy sont des efforts tranchants par unité de longueur quis’appliquent dans le plan normal aux axes x et y respectivement
→ Contraintes de cisaillement attribuables à l’effort tranchant→ On doit absolument activer l’effet de flexion pour activer l’effet
de cisaillement transverse
Comportements modélisés: cisaillement transverse - suite
P. Cisaillement
Plaques
Description
Géométrie
CQUAD4
Membrane
Flexion
⊲ τ transverse
PSHELL
Pan. Sandwich
σ Plaques
26 / 48
→ La distribution de cisaillement est parabolique sur les côtés dela plaque
→ On calculera la contrainte moyenne de cisaillement par:
τxz =VxL
AS
=Vx
RSTet τyz =
VyL
AS
=Vy
RST(5)
où L est la longueur d’un côté (Vx est donné par unité delongueur), AS est l’aire effective en cisaillement et où RS est lerapport de l’aire effective en cisaillement sur l’aire de la sectionde la plaque. Pour une plaque pleine, RS = 5
6 (voir poutre desection rectangulaire).
La commande PSHELL
P. Cisaillement
Plaques
Description
Géométrie
CQUAD4
Membrane
Flexion
τ transverse
⊲ PSHELL
Pan. Sandwich
σ Plaques
27 / 48
PSHELL, PID, MID1, T, MID2, Ri, MID3, Rs, NSM,
, Z1, Z2, MID4
PID Numéro de la propriété de plaqueMID1 Numéro du matériau pour activer l’effet de membrane. Si le
champ est vide, l’effet membrane n’est pas activéT Épaisseur par défaut de la plaqueMID2 Numéro du matériau associé à l’effet de flexion. Si ce champ
est vide, l’effet de flexion n’est pas activé. Ce champ doitabsolument contenir une valeur si l’on veut activer l’effet decisaillement transverse.
Ri Rapport du second moment de section de la plaque sur celuicalculé par défaut (T
3
12 ). La valeur par défaut est 1.0 et cor-respond à une plaque pleine.
MID3 Numéro du matériau associé à l’effet de cisaillement trans-verse. Si ce champ est vide, l’effet de cisaillement transversen’est pas activé
La commande PSHELL - suite
P. Cisaillement
Plaques
Description
Géométrie
CQUAD4
Membrane
Flexion
τ transverse
⊲ PSHELL
Pan. Sandwich
σ Plaques
28 / 48
PSHELL, PID, MID1, T, MID2, Ri, MID3, Rs, NSM,
, Z1, Z2, MID4
Rs Rapport de l’épaisseur effective en cisaillement de la plaquesur l’épaisseur entrée (paramètre T). La valeur par défaut est56 et correspond à une plaque pleine.
NSM Masse non structurale par unité de surfaceZ1, Z2 Distance du feuillet moyen aux fibres externes pour le calcul
des contraintesMID4 Numéro du matériau utilisé pour l’effet de couplage entre la
flexion et la membrane. Commande avancée, pas utilisée dansce cours.
Le panneau Sandwich
P. Cisaillement
Plaques
⊲ Pan. Sandwich
Introduction
Fonctionnement
Codage
σ Plaques
29 / 48
Introduction
P. Cisaillement
Plaques
Pan. Sandwich
⊲ Introduction
Fonctionnement
Codage
σ Plaques
30 / 48
→ Un panneau sandwich est une structure qui se comporte commeune plaque qui a une très grande rigidité, une bonne résistanceet une faible masse
→ Ces structures sont très utilisées dans le transport et laconstruction
Fabrication
Figure 13: Panneau sandwich
→ 2 revêtements extérieurs (aluminium, composites, etc.)→ Un noyau qui est souvent un nid d’abeille ou une mousse
Introduction
P. Cisaillement
Plaques
Pan. Sandwich
⊲ Introduction
Fonctionnement
Codage
σ Plaques
31 / 48
Nid d’abeille
95 % de vide
5 % de matériau
Figure 14: Schématisation du nid d’abeille
→ Structure alvéolaire à paroi très mince→ A une très faible densité car fait en très grande partie de vide
Fonctionnement
P. Cisaillement
Plaques
Pan. Sandwich
Introduction
⊲ Fonctionnement
Codage
σ Plaques
32 / 48
→ Revêtements résistent aux efforts de flexion et de membrane→ Les revêtements sont maintenus écartés du plan moyen par le
noyau, ce qui augmente considérablement la rigidité en flexionde la structure
→ Le noyau résiste aux efforts tranchants hors-plans→ Le noyau a comme rôle de maintenir les revêtements loin l’un
de l’autre
Revêtement
Noyau
Figure 15: Géométrie du panneau sandwich
Définition d’un panneau sandwich avec la commande PSHELL
P. Cisaillement
Plaques
Pan. Sandwich
Introduction
Fonctionnement
⊲ Codage
σ Plaques
33 / 48
Revêtement
Noyau
→ Pour entrer les propriétés d’un panneau sandwich, il faut utiliserla commande PSHELL astucieusement
PSHELL, PID, MID1, T, MID2, Ri, MID3, Rs, NSM,
, Z1, Z2, MID4
→ Comme les effets de membrane, flexion et cisaillementtransverse sont activés, il faut remplir les champs MID1, MID2
et MID3→ Le paramètre T représente l’épaisseur qui reprend les efforts de
membrane. Dans ce cas-ci, on a:
T = ts + ti (6)
Définition d’un panneau sandwich avec la commande PSHELL
P. Cisaillement
Plaques
Pan. Sandwich
Introduction
Fonctionnement
⊲ Codage
σ Plaques
34 / 48
Revêtement
Noyau
ZZ
XXH
→ Ce ne sont que les revêtements qui reprennent les efforts deflexion
→ Comme ils ne sont pas au plan neutre, il faut utiliser le principedes axes parallèles pour faire le calcul du second moment desection. Avec ce principe on a que IZZ = IXX +AH2 (voirfigure en haut)
→ On rappelle que les calculs sont faits par unité de longueur
→ IXX = bt3s12 , ce qui fait par unité de longueur: IXX = t3s
12→ AH2 = btsk
2s , ce qui fait par unité de longueur : tsk
2s
→ On aura donc: I = t3s12 +
t3i
12 + tsk2s + tik
2i
Définition d’un panneau sandwich avec la commande PSHELL
P. Cisaillement
Plaques
Pan. Sandwich
Introduction
Fonctionnement
⊲ Codage
σ Plaques
35 / 48
Revêtement
Noyau
ZZ
XXH
→ Le second moment de section calculé par défaut par NASTRAN
est I0 =(ts+ti)
3
12→ Au final, on aura:
RI =I
I0=
t3s + t3i + 12tsk2s + 12tik
2i
(ts + ti)3 (7)
PSHELL, PID, MID1, T, MID2, Ri, MID3, Rs, NSM,
, Z1, Z2, MID4
Définition d’un panneau sandwich avec la commande PSHELL
P. Cisaillement
Plaques
Pan. Sandwich
Introduction
Fonctionnement
⊲ Codage
σ Plaques
36 / 48
Pour l’aire effective en cisaillement transverse
→ On suppose que la contrainte de cisaillement est nulle dans lesrevêtements et constante dans le nid d’abeille
→ Pour calculer cette aire effective, on condense le nid d’abeille etl’on calcule la quantité de matière qui peut supporter lecisaillement
1.0
0.05
Figure 16: Schématisation de l’aire effective en cisaillement pour lepanneau sandwich
→ L’épaisseur du nid d’abeille est donnée par h = ks + ki −ts+ti2
→ Pour une largeur unitaire, l’aire effective en cisaillement estdonc, pour 5% de matière: As = 0.05h
Définition d’un panneau sandwich avec la commande PSHELL
P. Cisaillement
Plaques
Pan. Sandwich
Introduction
Fonctionnement
⊲ Codage
σ Plaques
37 / 48
PSHELL, PID, MID1, T, MID2, Ri, MID3, Rs, NSM,
, Z1, Z2, MID4
→ L’aire de la section de la plaque calculé par NASTRAN est lalargeur multipliée par le paramètre T
→ On rappelle que l’on avait T = ti + ts. Donc, l’aire de lasection, pour une largeur unitaire, est de A = ti + ts
→ Le rapport de l’aire effective en cisaillement sur l’aire de lasection de la plaque (paramètre Rs) devient:
Rs =As
A=
0.05h
ti + ts(8)
Calcul des contraintes
→ Pour le calcul des contraintes, il ne faut pas oublier d’entrer lesbonnes valeurs pour les champs Z1 et Z2
→ On aura:
Z1 = ks +ts
2et Z2 = ki +
ti
2(9)
Calcul des contraintes dans les éléments deplaques
P. Cisaillement
Plaques
Pan. Sandwich
⊲ σ Plaques
Introduction
Tresca
von Mises
Comparaison
Exemple
38 / 48
Introduction
P. Cisaillement
Plaques
Pan. Sandwich
σ Plaques
⊲ Introduction
Tresca
von Mises
Comparaison
Exemple
39 / 48
→ Dans une plaque, le calcul des contraintes est beaucoup plussimple que dans une poutre
– En effet, la géométrie est la même pour toutes les plaquesdu même type et en plus elle est simple
→ Si l’on active l’effet membrane uniquement
– Les contraintes σx, σy et τxy sont constantes dansl’épaisseur
Figure 17: Illustration des forces et contraintes dans une plaque oùl’effet membrane est activé
Introduction
P. Cisaillement
Plaques
Pan. Sandwich
σ Plaques
⊲ Introduction
Tresca
von Mises
Comparaison
Exemple
40 / 48
→ Si l’on active l’effet de flexion
– Les contraintes σx, σy et τxy varient linéairement dansl’épaisseur et peuvent être calculées par une équation simpleissue de la théorie des poutres
Figure 18: Illustration des forces présentes dans une plaque oùl’effet flexion est activé
Introduction
P. Cisaillement
Plaques
Pan. Sandwich
σ Plaques
⊲ Introduction
Tresca
von Mises
Comparaison
Exemple
41 / 48
→ Si l’on active l’effet de cisaillement transverse
– La distribution des contraintes de cisaillement τxz et τxyn’est pas constante: elle est parabolique
– On sait que son maximum est atteint au feuillet moyen– On sait comment calculer la valeur de ce maximum puisque
la géométrie est très simple
Figure 19: Illustration des distributions des contraintes decisaillement transverse dans les plaques minces
→ Avec toutes ces données, il est possible de connaître avecprécision l’état de contraintes en tous points de la plaque
Exemple du calcul de la contrainte de Tresca
P. Cisaillement
Plaques
Pan. Sandwich
σ Plaques
Introduction
⊲ Tresca
von Mises
Comparaison
Exemple
42 / 48
Supposons un état plan de contraintes (i.e. effet de membrane etflexion uniquement) où l’on a par définition σz = τxz = τyz = 0
→ On sait que l’on peut trouver un repère (ou système d’axes) oùcet état va être représenté par des contraintes axialesuniquement. C’est le repère principal.
→ Il va aussi y avoir un repère où le cisaillement est maximal, quise trouve à un angle 2θ = 90 du repère principal.
Figure 20: Représentation schématique par le cercle de Mohr durepère des contraintes principales
Exemple du calcul de la contrainte de Tresca
P. Cisaillement
Plaques
Pan. Sandwich
σ Plaques
Introduction
⊲ Tresca
von Mises
Comparaison
Exemple
43 / 48
→ On a vu que le critère de Tresca s’exprime sous la forme:
τmax =σ1 − σ2
2=
1
2
√
σ2x − 2σxσy + σ2
y + 4τ2xy <1
2SY (10)
où SY est la limite d’écoulement du matériau.→ On remarquera que cette équation est donnée pour un état plan
de contrainte quelconque.→ On pourra définir une contrainte de Tresca:
σTr = σ1 − σ2 < SY (11)
Le critère de von Mises
P. Cisaillement
Plaques
Pan. Sandwich
σ Plaques
Introduction
Tresca
⊲ von Mises
Comparaison
Exemple
44 / 48
Origines physiques
→ Lorsque l’on soumet le matériau à un chargement, il sedéforme. On doit fournir un certain travail pour induire cettedéformation. L’énergie déployée pour le travail estemmagasinée dans le matériau sous forme d’énergie interne.
→ Lorsque le matériau atteint son domaine plastique, une partiedu travail que l’on déploie pour le déformer sert à faire glissercertains plans cristallographiques de manière irréversible.
Le critère de von MisesIl y a plasticité dans le matériau quand l’énergie de déformation de
distorsion dans le matériau induite par un chargement atteint une
certaine valeur seuil.
Le critère de von Mises
P. Cisaillement
Plaques
Pan. Sandwich
σ Plaques
Introduction
Tresca
⊲ von Mises
Comparaison
Exemple
45 / 48
→ On sait que l’énergie de déformation de distorsion dans lematériau est donnée par:
UD =1
12G
[
(σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)
2 + (σ3 − σ1)2]
(12)
où G est le module de cisaillement.→ On mesure habituellement l’énergie de déformation seuil U∗
D lorsd’un essai de traction. On calcule cette énergie pour σ = SY
→ Dans un essai de traction, à l’écoulement, σ1 = SY ,σ2 = σ3 = 0. On aura donc:
U∗
D =2S2
Y
12G=
S2Y
6G(13)
→ Le critère de von Mises prend donc la forme suivante:
UD < U∗
D (14)
Le critère de von Mises
P. Cisaillement
Plaques
Pan. Sandwich
σ Plaques
Introduction
Tresca
⊲ von Mises
Comparaison
Exemple
46 / 48
→ Pour un état plan de contraintes (σ3 = 0), on aura:
1
12G
[
(σ1 − σ2)2 + σ2
1 + σ22
]
<S2Y
6G(15)
→ Ceci conduit à:√
1
2
[
(σ1 − σ2)2 + σ2
1 + σ22
]
= σVM < SY (16)
→ Toujours pour un état plan de contraintes mais qui n’est passelon les axes principaux, on aura:
σVM =√
σ2x + σ2
y − σxσy + 3τ2xy (17)
Comparaison des critères de Tresca et von Mises
P. Cisaillement
Plaques
Pan. Sandwich
σ Plaques
Introduction
Tresca
von Mises
⊲ Comparaison
Exemple
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→ Pour un état plan de contraintes, on peut représenter ledomaine d’élasticité dans le plan des contraintes principales deces deux critères:
Figure 21: Comparaison des domaines d’élasticité des critères deTresca et von Mises. Le domaine d’élasticité est à l’intérieur des
formes géoémétriques dessinées.
→ On peut voir que le critère de von Mises est moins conservateurque le critère de Tresca
Exemple de calcul
P. Cisaillement
Plaques
Pan. Sandwich
σ Plaques
Introduction
Tresca
von Mises
Comparaison
⊲ Exemple
48 / 48
Figure 22: Exemple de résultats typiques pour des éléments deplaques
Tresca
σTr = σ1 − σ2
≈ 3.54− (−14.89)
≈ 18.43MPa
von Mises
σVM =√
1
2
[
(σ1 − σ2)2 + σ2
1 + σ22
]
≈
√
1
2[18.432 + 3.542 + 14.892]
≈ 16.94MPa
On peut voir que la contrainte de Tresca est plus importante, doncconservatrice, par rapport à la contrainte de von Mises.