Zadaci iz Osnova matematike

1. Rijesiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednacinu

τ(p ⇒ (¬q ⇒ r)) = ⊥.

2. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskaznaformula

p ∧ q ⇔ p ∧ F

tautologija.

3. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskaznaformula

(q ⇒ p) ⇔ p ∨ F

tautologija.

4. Naci iskaz F cija je istinitosna vrijednost predstavljena tablicom

p q r F⊤ ⊤ ⊤ ⊤⊥ ⊤ ⊤ ⊥⊤ ⊥ ⊤ ⊤⊥ ⊥ ⊤ ⊤⊤ ⊤ ⊥ ⊥⊤ ⊥ ⊥ ⊥⊥ ⊤ ⊥ ⊥⊥ ⊥ ⊥ ⊤

5. Ispitati tacnost formula

(i) (∀x ∈ N)(∀y ∈ N)(∃z ∈ N) x+ y = z;

(ii) (∀x ∈ N)(∃z ∈ N)(∀y ∈ N) x+ y = z;

(iii) (∃z ∈ N)(∀x ∈ N)(∀y ∈ N) x+ y = z;

(iv) (∀x ∈ Z)(∀y ∈ Z)(∃z ∈ Z) x+ y = z.

6. Dokazati da za sve skupove A,B,C ⊂ X vrijedi:

(i) A\(A\B) = A ∩B (ii) (A ∪B)\C = (A\C) ∪ (B\C)

(iii) (A\B)\C = (A\C)\(B\C)

(iv) A ∪B = A∆B ∪ (A ∩B) (v) A ∪B = A∆B∆(A ∩B)

(vi) P(A ∩B) = P(A) ∩ P(B), gdje je P oznaka za partitivni skup.

(vii) (A\B)×C = (A×C)\(B×C) (viii) A× (B\C) = (A×B)\(A×C)

(ix) f(A ∪B) = f(A) ∪ f(B) (x) f−1(A) ∩ f−1(B) = f−1(A ∩B)

(x) f(A) ∩B = f(A ∩ f−1(B))

1

7. (i) Neka su A,B,C podskupovi skupa X. Dokazati

A ∩B ⊂ C ako i samo ako A ⊂ Bc ∪ C.

(ii) Neka je {Ai : i ∈ I} kolekcija skupova indeksirana skupom I. Dokazatida za proizvoljan skup B vrijedi

B ∪ (∩i∈I

Ai) =∩i∈I

(B ∪Ai).

8. (i) Neka su A,B,C podskupovi skupa X. Dokazati

C ⊂ A ∪B ako i samo ako Bc ∩ C ⊂ A.

(ii) Neka je {Ai : i ∈ I} kolekcija skupova indeksirana skupom I. Dokazatida za proizvoljan skup B vrijedi

B ∩ (∪i∈I

Ai) =∪i∈I

(B ∩Ai).

9. Pokazati da za skupove A,B vrijedi

(i) A ⊂ B ⇒ P (A) ⊂ P (B);

(ii) P (A) ∪ P (B) ⊂ P (A ∪B).

Dati primjer skupova A,B tako da u (ii) vrijedi stroga inkluzija.

10. Za kakve skupove A,B,C sljedeci sistemi imaju rjesenje

(i) A ∪X = B ∩X, A ∩X = C ∪X,

(ii) A\X = X\B, X\A = C\X?

Sta je rjesenje sistema?

11. Odrediti relacije R−1, R ◦R,R ◦R−1, ako je

(i) R = {(x, y) : x, y ∈ N∗, x|y} ⊂ N∗ × N∗

(ii) R = {(x, y) : x, y ∈ R, x+ y ≤ 0} ⊂ R× R(iii) R = {(x, y) : x, y ∈ R, 2x ≥ 3y} ⊂ R× R

12. Ako su R,R1, R2 ⊂ A×B relacije iz A u B, dokazati da je onda:

(i) (R1 ∪R2)−1 = R−1

1 ∪R−12 (ii) (Rc)−1 = (R−1)c.

13. Dokazati da je relacija ”biti djelitelj” relacija poretka na N∗.

14. Dokazati da ako je R relacija poretka da je onda i R−1 relacija poretka.

15. Dokazati da ako su R1 i R2 simetricne relacije da su onda i R1 ∪R2, R1 ∩R2, R

−11 simetricne.

2

16. Neka su R1 i R2 simetricne relacije. Dokazati da je R1 ◦R2 simetricna akoi samo ako je R1 ◦R2 = R2 ◦R1.

17. Navesti primjer relacije koja je:

(i) refleksivna, simetricna i netranzitivna

(ii) refleksivna, antisimetricna i netranzitivna.

18. Koja od sljedecih relacija je relacija ekvivalencije na S,

(i) S = N\{0, 1}, x ∼ y ⇔ nzd(x, y) > 1, gdje je nzd najveci zajednickidjelilac;

(ii) S = R, x ∼ y ⇔ (∃n ∈ Z) x = 2ny?

19. Neka su R1 i R2 relacije ekvivalencije na X. Dokazati:

(i) R1 ◦R1 = X ×X ⇔ R1 = X ×X;

(ii) R1 ◦R2 = X ×X ⇔ R2 ◦R1 = X ×X.

20. Dokazati da je ρ ⊂ A2 relacija ekvivalencije ako vrijedi

∆A ⊂ ρ , ρ = ρ−1 , ρ ◦ ρ ⊂ ρ.

21. Dokazati da je ρ ⊂ A2 relacija poretka ako vrijedi

∆A ⊂ ρ , ρ ∩ ρ−1 ⊂ ∆A , ρ ◦ ρ ⊂ ρ.

22. Dokazati da svaka particija nepraznog skupa X definise jednu relaciju ek-vivalencije na tom skupu cije su klase ekvivalencije skupovi iz posmatraneparticije.

23. Ispitati da li je relacija ρ ⊂ R2 definisana sa xρydef⇔ xn − yn ≥ 0 relacija

poretka za

(i) n = 3;

(ii) n = 4.

24. Neka je ≤A relacija poretka na skupu A i ≤B relacija poretka na skupuB. Na skupu A×B definisana je relacija ≤AB na sljedeci nacin

(a1, b1) ≤AB (a2, b2)def⇔ a1 ≤A a2 ∧ b1 ≤B b2.

(i) Pokazati da je ≤AB relacija poretka na A×B.

(ii) Ako su ≤A i ≤B linearna uredjenja, da li je tada i ≤AB linearnouredjenje?

25. Dokazati da na nepraznom skupu A jedina relacija koja je istovremenorelacija ekvivalencije i relacija poretka jeste dijagonalna relacija ∆A.

3

26. Ako je ρ relacija poretka na skupu A pokazati da je i ρ−1 relacija poretkana skupu A. Na osnovu toga dokazati da na svakom konacnom nepraznomskupu ima neparan broj relacija poretka.

27. Neka je ρ refleksivna i tranzitivna relacija na skupu A i ∼ relacija na

skupu A definisana sa x ∼ ydef⇔ xρy ∧ yρx. Pokazati da je ∼ relacija

ekvivalencije i da je (A/∼,≤) uredjen skup ako je relacija ≤ definisana sa

a∼ ≤ b∼def⇔ aρb.

28. Uz pomoc matematicke indukcije dokazati:

(i)n∑

k=1

1

(3k − 2)(3k + 1)=

n

3n+ 1

(ii)

n∑k=1

(−1)kk2 = (−1)nn(n+ 1)

2

(iii)∣∣∣ n∑k=1

ak

∣∣∣ ≤ n∑k=1

|ak|, gdje su a1, . . . , an ∈ R proizvoljni;

(iv)n∏

k=1

cosx

2k=

sinx

2n sin x2n

, za proizvoljno x ∈ (0, π);

(v)n∏

k=0

(1 + x2k

)=

1− x2n+1

1− x, za sve x = 1;

(vi)

n∑k=1

1√k< 2

√n, za n ≥ 2;

(vii) n! <(

n+12

)n

, za sve n > 1.

29. Neka je niz (an) rekurzivno dat sa

a1 = 1, a2 = 1, an =1

2

(an−1 +

2

an−2

)(n ≥ 3).

Dokazati da je 1 ≤ an ≤ 2, za sve n ∈ N∗.

30. Neka je niz (an) rekurzivno dat sa

a1 = 1, a2 = 1, an = an−1 + 2an−2 (n ≥ 3).

Dokazati da je an = 3 · 2n−1 + 2 · (−1)n, za sve n ∈ N∗.

31. Neka je niz (an) rekurzivno dat sa an = 2an−1+3an−2 (n ≥ 3). Dokazati:

(i) Ako su a1, a2 ∈ N neparni, onda su svi (an) neparni;

(ii) a1 = a2 = 1 ⇒ an = 12

(3n−1 − (−1)n

)(n ∈ N∗).

4

32. Koje od sljedecih funkcija f : N∗ × N∗ → N∗ je surjektivna, ako je

(i) f(a, b) = a+ b (ii) f(a, b) = ab (iii) f(a, b) = ab(b+1)2

(iv) f(a, b) = ab(a+b)2 (v) f(a, b) = 3a−1(3b− 1)

33. Koja od sljedecih funkcija f : A → R je injektivna, ako je

(i) A = R, f(x) = x1+x2

(ii) A = (−1, 1), f(x) = x1+x2

(iii) A = R, f(x) = x2

1+x2

(iv) A = [0,∞), f(x) = x2

1+x2

(v) A = R, f(x) = x3

1+x2 .

34. Ispitati da li je funkcija f : R → R data sa

f(x) =

{x+ 1 , za x < 01− 2x , za x ≥ 0

injektivna. Da li je surjektivna?

35. Neka je funkcija f : R2 → R2 data sa f(x, y) = (4 + x − y, 2y − x − 5).Pokazati da je f bijekcija i naci njenu inverznu funkciju.

36. Neka su f : A → B i g : B → C preslikavanja. Pokazati

(i) Ako je g ◦f injektivno preslikavanje onda je f injektivno preslikavanje;

(ii) Ako je g ◦ f surjektivno preslikavanje onda je g surjektivno preslika-vanje;

(iii) Ako je g◦f bijektivno preslikavanje onda je f injektivno preslikavanje,a g surjektivno preslikavanje.

37. Pokazati da se svako preslikavanje moze razloziti kao kompozicija dva pres-likavanja od kojih je jedno injektivno a drugo surjektivno.

38. Neka je f : X → X preslikavanje koje ima osobinu da postoji prirodanbroj n tako da je fn = idX (pri cemu je fn = fn−1 ◦ f i idX je identickopreslikavanje na skupu X). Pokazati da je f bijekcija.

39. Neka je f : X → Y prelikavanje i A ⊂ X, B ⊂ Y . Dokazati

(i) A ⊂ f−1f(A);

(ii) ff−1(B) ⊂ B;

(iii) A = f−1f(A) ako i samo ako je f ”1-1”;

(iv) ff−1(B) = B ako i samo ako je f ”na”.

5

40. Preslikavanje f : A → B je ”1−1” ako i samo ako za sve neprazne skupoveS i sva preslikavanja g : S → A i h : S → A vrijedi f ◦ g = f ◦ h ⇒ g = h.Dokazati.

41. Preslikavanje f : A → B je ”na” ako i samo ako za sve neprazne skupoveS i sva preslikavanja g : B → S i h : B → S vrijedi g ◦ f = h ◦ f ⇒ g = h.Dokazati.

42. Neka je X skup. Pokazati da je funkcija f : P (X) → {0, 1}X data saf(A) = χA (gdje je χA karakteristicna funkcija skupa A) bijekcija.

43. Neka su A,B,C ⊂ X skupovi. Pomocu funkcija χA, χB i χC izrazitifunkcije χA∪B , χA∩B , χA∪(B∩C), χX\A i χA△B .

44. Dokazati da za proizvoljne skupove A1, . . . , An postoje disjunktni skupoviA′

1, . . . , A′n takvi da je Ai ∼ A′

i za i = 1, . . . , n .

45. Neka su A,B,A1, B1 skupovi. Dokazati:

(i) A×B ∼ B ×A (ii) A ∼ A1 ∧ B ∼ B1 ⇒ A×B ∼ A1 ×B1

(iii) A ∼ A1 ∧ B ∼ B1 ⇒ AB ∼ AB11 .

46. Neka su A,B,C skupovi. Dokazati

(i) AC ×BC ∼ (A×B)C ;

(ii) (AB)C ∼ AB×C .

47. Dokazati da je za svaki skup X ispunjeno P (X) ∼ {0, 1}X .

48. Dokazati da ako je S ⊂ N beskonacan, onda S nije ogranicen odozgo.

49. Dokazati da je skup A beskonacan ako i samo ako postoji preslikavanjef : A → A koje je injektivno a nije surjektivno.

50. Ako je |A| ≤ |B| tada postoji surjektivno preslikavanje f : B → A.Dokazati.

51. Dokazati da je [a, b] ∩Q ∼ Q, gdje je a, b ∈ R, a < b.

52. Dokazati da skup (0, 1)× (0, 1) nije prebrojiv.

53. Dokazati da skupovi realnih i iracionalnih brojeva ekvipotentni.

54. Dokazati da konacnih podskupova od N ima prebrojivo mnogo.

55. Dokazati da je skup svih intervala (otvorenih, zatvorenih, poluotvorenih,poluzatvorenih) u R sa racionalnim granicama prebrojiv.

56. Pokazati da je bilo koja familija disjunktnih otvorenih intervala u R najviseprebrojiva.

57. Neka je A = {A ⊂ N : 2 ∈ A}. Pokazati da je |A| = c.

6

58. Neka je ≤⊂ N2 relacija definisana na sljedeci nacin: Za m,n ∈ N

m ≤ ndef⇔ m|n.

(i) Pokazati da je ≤ relacija poretka.

(ii) Ako je A ⊂ N konacan skup naci (ako postoje) supA , inf A, maxA iminA.

(iii) Ako je PN ⊂ N skup prostih brojeva naci (ako postoje) supA , inf A,maxA i minA.

59. Neka je O = {(−∞, a) : a ∈ R} ⊂ P (R). Pokazati da za svaku familijuA ⊂ O vrijedi

∪A ∈ O.

60. Ako je ∅ = A ⊂ R i ∅ = B ⊂ R i ako je za sve a ∈ A i sve b ∈ B ispunjenoa ≤ b, pokazati da je supA ≤ inf B.

61. Neka su A,B ⊂ R ograniceni skupovi i neka je

A+B = {a+ b : a ∈ A, b ∈ B}.

Pokazati

(i) sup(A+B) = supA+ supB;

(ii) inf(A+B) = inf A+ inf B.

62. Neka je A ⊂ R odozdo ogranicen skup i neka je −A = {−a : a ∈ A}.Pokazati da je sup(−A) = − inf A.

63. Odrediti supS, inf S,minS,maxS, ako je skup S dat sa:

(i){

|x|1+|x| : x ∈ R

}; (ii)

{x+ 1

x : 12 < x ≤ 2

};

(iii){

3n−15n+2 : n ∈ N

}; (iv)

{2m

m+n : m,n ∈ N∗}

(v){

1m − 1

n : m,n ∈ N∗}

(vi){1 + 3 (−1)n

n : n ∈ N}.

64. Dokazati da za sve n ∈ N vrijedi sljedece:

(i) k√n je prirodan ili iracionalan broj, za svako k ∈ N;

(ii)√n+

√n+ 1 je iracionalan broj;

(iii)√n+

√n je iracionalan broj.

65. Dokazati da za sve a, b ∈ R, a, b ≥ 0 i n ∈ N∗ vazi a < b ⇒ n√a < n

√b.

66. Dokazati k√b− k

√a < k

√b− a, za sve 0 < a < b i k ∈ N.

67. Dokazati da svaki neprazan podskup skupa {1 + n√2 : n ∈ N} ima

najmanji element.

7

68. Neka je r ∈ Q. Dokazati da je funkcija f : (0,∞) → R, f(x) = xr strogorastuca za r > 0, a strogo opadajuca za r < 0.

69. Ako je A = {x ∈ R, x > 0 : x2 > 2}, naci inf A.

70. Ako je A = {x ∈ Q : x3 < 4}, naci supA.

8