PRIMJERI RJEŠENIH ZADATAKA IZ STATISTIKE

Obuhvaćene cjeline su:

Srednje vrijednosti ( X , Me , Mo ) Mjere disperzije ( δ² , δ , Q1, Q3, Iq , Vq , V ) Standardizirano obilježje ( z ) Mjere asimetrije i zaobljenosti ( α3 i α4 ) Indeksi Linearni trend ( Yc = a+bx )

1.)

a) Izračunajte prosječan radni staž djelatnika. b) Izračunajte srednju pozicijsku i frekvencijsku vrijednost.

RJEŠENJE:

a) ∑∑∑∑

∑∑∑∑

====

========k

i

i

k

i

ii

f

Xf

X

1

1

1110 X = = 12,33 godine 90

AKO JE a =12,5

aXd

f

df

aX iik

i

i

k

i

ii

−−−−====++++====

∑∑∑∑

∑∑∑∑

====

====

1

1

-15 X = 12,5+ = 12,33 god. 90 TUMAČ: Prosječni radni staž zaposlenika je 12,33 godine

Radni staž ( u god ) Broj djelatnika 0-4 12 5-9 20

10-14 28 15-19 19 20-24 11 ∑ 90

PRAVE GRANICE

Xi fixi

0-5 2,5 30 5-10 7,5 150

10-15 12,5 350 15-20 17,5 332.5 20-25 22,5 247.5 ∑∑∑∑ 1110

di = xi-a fidi -10 -120 -5 -100 0 0 5 95

10 110 -15

SREDNJE VRIJEDNOSTI

AKO JE a = 12,5 I b = 5

b

aXd

f

df

baX ii

k

i

i

k

i

ii −−−−====++++====

∑∑∑∑

∑∑∑∑

====

==== '

1

1

'

-3 X = 12,5 + *5 = 12,33 god. 90 b)

if

fN

lMmed

i∑−+= 2

1

N/2 = 45 45 - 32 Me = 10 + * 5 = 12,32 god. 28 TUMAČ: 50% zaposlenika ima radni staž 12,32 godina i manje ,a ostalih 50% 12,32 godina radnog staža i više. c)

28-20 Mo = 10 + * 5 = 12,66 god. (28-20) + (28-19) TUMAČ: Najčešći radni staž je 12,66 godina

di = (xi-a)/b fidi -2 -24 -1 -20 0 0 1 19 2 22 -3

KN „manje od“ 12 32

60 (medijalni raz.) 79 90

i fi 5 12 5 20 a 5 28 b 5 19 c 5 11

( )( )

icbab

ablMo

)(1−+−

−+=

2. )

a) Izračunajte prosječan broj automobila po obitelji. b) Odredite srednje vrijednosti po poziciji i frekvenciji. RJEŠENJE: a)

∑∑∑∑

∑∑∑∑

====

========k

i

i

k

i

ii

f

Xf

X

1

1

735 X = = 1.19 615 TUMAČ: Prosječan broj automobila po obitelji je 1.19 b)

N/2 = 307.5 (drugi član KN ) Me = 1 Mo = 1

TUMAČ: 50% ili ( 307.5 ≈ 308 ) obitelji ima 1 automobil Ili niti jedan ,a ostalih 50% ima 1 automobil i više. Najčešći broj obitelji ima 1 automobil.

Broj automobila

Xi

Broj obitelji fi

0 180 1 220 2 130 3 85 ΣΣΣΣ 615

fixi 0

220 260 255 735

Broj automobila

Xi

Broj obitelji fi

0 180 Me, Mo =1 220

2 130 3 85 ΣΣΣΣ 615

KN 180

400 (medijalni i modalni razred )

530 615

1.) Izračunati raspon varijacije, interkvartil kao apsolutnu I koeficijent kvartilne devijacije ( Vq ) kao relativnu mjeru disperzije oko Me, prosječno kvadratno odstupanje radnog staža od prosječnog radnog staža djelatnika ( σ² ), prosječno odstupanje radnog staža od prosječnog radnog staža djelatnika (σ ) kao apsolutnu I koeficijent varijacije ( V ) kao relativnu mjeru disperzije oko X . RJEŠENJE

minmax XXRx −=

R = 25 - 0 = 25

donji kvartilni razred (N/4) gornji kvartilni razred (3N/4)

N/4 = 90/4 = 22.5

3N/4 = 270/4 = 67.5

Radni staž ( u god ) Broj djelatnika 0-4 12 5-9 20

10-14 28 15-19 19 20-24 11 ∑∑∑∑ 90

PRAVE GRANICE

0-5 5-10

10-15 15-20 20-25 ∑∑∑∑

PRAVE GRANICE Broj djelatnika KN 0-4 12 12 5-9 20 32

10-14 28 60 15-19 19 79 20-24 11 90 ∑∑∑∑ 90

MJERE DISPERZIJE

if

fN

lQQ

i

1

411

∑−+=

22.5 - 12 Q1 = 5 + * 5 = 7,62 god 20 TUMAČ: ¼ ili 25% djelatnika ima 7,62 godine radnog staža i manje ,a ostalih ¾ ili 75% 7,62 godine radnog staža i više.

if

fN

lQQ

i

3

4

3

13

∑−+=

67.5 - 60 Q3 = 15 + * 5 = 16,97 godina 19 TUMAČ : ¾ ili 75% djelatnika ima 16,97 godina radnog staža i manje ,a ostalih ¼ ili 25% ima 16,97 godina radnog staža i više

13 QQI Q −=

9,34

Iq = 16,97 – 7,62 = 9,34 godine Vq = = 0,37 godina 24,59

TUMAČ: Središnjih 50% djelatnika ima radni staž od 9,34 godine u apsolutnom iznosu i 37% u relativnom iznosu

∑

∑

=

=

=

−

==

=

k

i

i

k

i

ii

fN

N

Xxf

1

2

12

2

22

)(µσ

µσ

Q3 – Q1 Vq = Q3 + Q1

xi i fixi fixi² di=xi-a fidi fidi² 2,5 5 30 75 -10 -120 1200 7,5 5 150 1125 -5 -100 500

12,5 5 350 4375 0 0 0 17,5 5 332,5 5818,75 5 95 475 22,5 5 247,5 5568,75 10 110 1100

1110 16962,5 -15 3275 PRVI NAČIN 2

16962,5 1110 σ² = - = 36,361 godina 90 90 TUMAČ: Prosječno kvadratno odstupanje radnog staža od prosječnog radnog staža je 36,3 godina σ = = 6,03 godine TUMAČ: Prosječno odstupanje radnog staža od prosječnog radnog staža je 6,03 godine DRUGI NAČIN 2 3275 (-15) σ² = - = 36,361 godina 90 90 σ = = 6,03 godina

100

XV

σ=

6,03

V = * 100 = 48,90% 12,33 TUMAČ: Postotno odstupanje od prosjeka je 48,90%

PRVI NAČIN DRUGI NAČIN ( a=12,5 )

Promatraju se dvije distribucije: A) visina iznosa kupljene literature polaznika studija B) broj pročitanih knjiga studenata prve godine

Distribucija iznosa kupljene literature polaznika studija Distribucija pročitanih knjiga studenata prve godine

Broj pročitanih knjiga

Broj studenata

1 2

1 80 2 130 3 180 4 210 5 150 6 50 ΣΣΣΣ 800

Izračunajte: a) standardizirane vrijednosti numeričkog obilježja obiju distribucija b) odstupa li više od prosjeka polaznik koji je kupio literature u iznosu od 480 kuna, ili

više odstupa od prosjeka onaj student koji je pročitao pet knjiga c) grafički prikažite standardizirane vrijednosti obiju distribucija frekvencija a) Standardiziranje svih vrijednosti numeričkog obilježja obiju distribucija frekvencija kn % Xi

σ

Xxz ii

−= i i/σ pi/( i/σ) piXi piXi

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

50-150 0,25 100 -1,1905 100 0,6435 0,3885 25 2500 150-300 0,35 225 -0,3861 150 0,9653 0,3626 78,75 1718,75 300-450 0,20 375 0,5792 150 0,9653 0,2072 75 28125 450-550 0,15 500 1,3835 100 0,6435 0,2331 75 37500 550-700 0,05 625 2,1879 150 0,9653 0,0518 31,25 19531,25

Σ 1 - 285 105375

Izdvojeno kuna Struktura polaznika

1 2

50-150 0,25 150-300 0,35 300-450 0,20 450-550 0,15 550-700 0,05

ΣΣΣΣ 1

STANDARDIZIRANO OBILJEŽJE

2851

==∑=

k

i

ii XpX

24150

)285(105375

2

2

2

11

22

=

−=

−= ∑∑

==

σ

σk

i

ii

k

i

ii xpxp

Prosječno odstupanje od prosječne cijene izdvojene za kupovinu literature, dakle σ analizirane distribucije, je 155,40 kuna. Knjige Studenti

σ

Xxz ii

−= i pi i/σ pi/( i/σ) fiXi fiXi

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 80 -1,7755 1 0,1 0,7210 0,1387 80 80 2 130 -1,0545 1 0,163 0,7210 0,2261 260 520 3 180 -0,3335 1 0,225 0,7210 0,3121 540 1620 4 210 0,3876 1 0,263 0,7210 0,3648 840 3360 5 150 1,1086 1 0,188 0,7210 0,2601 750 3750 6 50 1,8296 1 0,063 0,7210 0,0873 300 1800 Σ 800 1 - 2770 11130

4625,3800

2770

1

1 ===

∑

∑

=

=

k

i

i

k

i

ii

f

Xf

X

3869,1

9236,1

)4625,3(9125,13

2

2

2

1

1

1

1

2

2

=

=

=−=

−=

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

σ

σ

σk

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

f

Xf

f

Xf

Prosječno odstupanje od prosječnog broja pročitanih knjiga (σ) je 1,3869 knjiga (≅1,5 knjige).

b) Odstupa li više od prosjeka polaznik koji je kupio literature u iznosu od 480 kuna, ili više odstupa od prosjeka onaj student koji je pročitao pet knjiga?

σσ

253,14,155

285480=

−=

−=

XXz i

i

σσ

109,13869,1

4625,35=

−=

−=

XXz i

i

Od prosjeka više odstupa polaznik koji je kupio literature u iznosu od 480 kuna. On od prosjeka odstupa za 1,253 standardnih devijacija.

c) Grafičko prikazivanje standardiziranih vrijednosti obiju distribucija frekvencija

σ

Xxz i

i

−=

pi/( i/σ)

σ

Xxz i

i

−=

pi/( i/σ)

-1,1905 0,3885 -1,7755 0,1387 -0,3861 0,3626 -1,0545 0,2254 0,5792 0,2072 -0,3335 0,3121 1,3835 0,2331 0,3876 0,3641 2,1879 0,0518 1,1086 0,2601

1,8296 0,0867

Standardizirano obilježje

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

Zi

kori

gir

ane

rela

tivn

e fr

ekve

nci

je

pci

-3 -2 -1 0 1 2 3

-- distribucija izdvojenih sredstava za

kupovinu literature

- distribucija pročitanih knjiga

studenata

prve godine

PRAVILO ČEBIŠEVA Chebyshev's theorem

Standardizirana varijabla može poprimiti i pozitivne i negativne vrijednosti. One će rijetko odstupati od aritmetičke sredine za više od +3σ. Dakle, u intervalu od +3σ će se naći gotovo sva odstupanja individualnih vrijednosti numeričkog niza od aritmetičke sredine. Pravilo Čebiševa: Najmanja proporcija članova bilo koje populacije u intervalu od X + kσ, k > 1 iznosi1:

−=

2

11

kp

11

1)(2

>−≥+<<− kk

kXXkXP σσ

Pojas od X +2σ obuhvaća najmanje 75% svih podataka, dok pojas od X +3σ sadrži najmanje 88.89% svih podataka. U navedenom intervalu je moguće očekivati najmanje pN podataka. Za zvonolike distribucije (posebice normalne distribucije):

- X +1σ približno 68% podataka, - X +2σ približno 95% podataka (najmanje 75% svih podataka), - X +3σ približno 99,7% podataka (najmanje 88,89% svih podataka).

Poznavanje pravila Čebiševa omogućuje jednostavnu procjenu moguće vrijednosti neke

varijable kao i raspona varijacija u kojemu se očekuje određeni dio skupa podataka.

1 K je broj standardnih devijacija.

Xσσσσ 2σσσσ 3σσσσ -σσσσ -2σσσσ -3σσσσ

Pet poduzeća upošljava različiti broj djelatnika. Prvo poduzeće upošljava 3 djelatnika,

drugo 6 djelatnika, treće 9 djelatnika, četvrto 12 djelatnika, a peto 15 djelatnika.

Poduzeća koja upošljavaju 15 djelatnika mogu dobiti poduzetnički kredit pod vrlo

povoljnim uvjetima.

Za zadani niz izračunajte:

1) momente oko sredine (µ1, µ2, µ3, µ4) 2) sve pomoćne momente oko nule (1-4), oko a 3) preko pomoćnih momenata provjerite točnost izračunatih momenata oko

sredine!

Poduzeća s obzirom na broj

djelatnika 3 6 9 12 15

Σ 45 1. Centralni momenti (momenti oko sredine)

koje sredine? • aritmetičke sredine

Xi (Xi-9) (Xi-9)2 (Xi-9)3 (Xi-9)4

1 2 3 4 5

3 -6 36 -216 1296 6 -3 9 -27 81 9 0 0 0 0

12 3 9 27 81 15 6 36 216 1296 45 0 90 0 2754

.05

0

5

)9()(5

1

1

1

1

1 const

x

N

Xxi

i

N

i

i

===

−

=

−

=∑∑

==µ

MOMENTI DISTRIBUCIJE FREKVENCIJA

2. Pomoćni momenti 2.1. oko nule

Xi (Xi-0) Xi2 Xi

3 Xi4

1 6=1 7 8 9

3 3 9 27 81 6 6 36 216 1296 9 9 81 729 6561

12 12 144 1728 20736 15 15 225 3375 50625 45 45 495 6075 79299

X

xx

m i

i

i

i

====

−

=∑∑

== 95

45

55

)0(5

1

15

1

1

1

995

495

55

)0(5

1

25

1

2

2 ===

−

=∑∑

== i

i

i

i xx

m

12155

6075

55

)0(5

1

35

1

3

3 ===

−

=∑∑

== i

i

i

i xx

m

2.2. oko a Xi (Xi-15) (Xi-15)2 (Xi-15)3 (Xi-15)4

1 10 11 12 13

3 -12 144 -1728 20736 6 -9 81 -729 6561 9 -6 36 -216 1296

12 -3 9 -27 81 15 0 0 0 0 45 -30 270 -2700 28674

65

30

55

)(

'

5

1

15

1

1

1 −=−

==

−

=∑∑

== i

i

i

i dax

m

545

270

55

)(

'

5

1

25

1

2

2 ===

−

=∑∑

== i

i

i

i dax

m

5405

2700

55

)('

5

1

35

1

3

3 −=−

==

−

=∑∑

== i

i

i

i dax

m

Izračunavanje α3 za distribuciju frekvencija kontinuiranog numeričkog obilježja

Popijene litre Xi

Broj obitelji fi

Sredine razreda Xi

Brojnik µ2 fi(Xi- X )2

Brojnik µ3 fi(Xi- X )3

Brojnik µ4 fi(Xi- X )4

1 2 3 4 5 6

2-4 30 3 325,51 -1072,24 3531,96 4-6 56 5 93,77 -121,34 157,01 6-8 42 7 20,93 14,78 10,43

8-10 28 9 205,03 554,81 1501,31 10-12 14 11 310,05 1459,10 6866,50

Σ 170 - 955,29 835,11 12067,21 (µ1 = 0) ΣfiXi = 1070

a) Izračunavanje αααα3 preko trećeg momenta oko sredine

� aritmetička sredina (prvi moment oko nule):

litara

f

xf

Xk

i

i

k

i

ii

294,6170

1070

1

1 ===

∑

∑

=

=

� varijanca (drugi moment oko sredine):

litara

f

Xxf

k

i

i

k

i

ii

619,5170

29,955)(

1

1

2

22 ==

−

==

∑

∑

=

=σµ

litara370,262,52 ±===± σσ

� Treći moment oko sredine (brojnik koeficijenta

asimetrije alfa 3):

litara

f

Xxf

k

i

i

k

i

ii

912,4170

11,835)(

1

1

3

3 ==

−

=

∑

∑

=

=µ

MJERE ASIMETRIJE I ZAOBLJENOSTI

� Koeficijent asimetrije αααα3:

369,031,13

912,4

370,2

912,433

33 ====

σ

µα

Za analiziranu distribuciju obitelji prema popijenim litrama pića, potrebno je izračunati koeficijent zaobljenosti.

Popijene litre Xi

Broj obitelji fi

Sredine razreda Xi

Brojnik µ2 fi(Xi- X )2

Brojnik µ3 fi(Xi- X )3

Brojnik µ4 fi(Xi- X )4

1 2 3 4 5 6

2-4 30 3 325,51 -1072,24 3531,96 4-6 56 5 93,77 -121,34 157,01 6-8 42 7 20,93 14,78 10,43

8-10 28 9 205,03 554,81 1501,31 10-12 14 11 310,05 1459,10 6866,50

Σ 170 - 955,29 835,11 12067,21 (µ1 = 0) ΣfiXi = 1070

litaralitara

litaraX

37,2;619,5

;294,62 ±==

=

σσ

litara

fi

XXifi

k

i

k

i 98,70170

21,12067)(

1

1

4

4 =

−

=

∑

∑

=

=µ

Koeficijent zaobljenosti α4:

25,258,31

98,70

37,2

98,7044

44 ====

σ

µα

2,25 = α4

α4<3 TUMAČ: Kako je izračunata mjera manja od 3, moguće je zaključiti kako je s obzirom na tjeme krivulje, pljosnatija od normalne.

Godina Kaznene prijave

It Vt Optužbe Vt

1993. 69 244 100 - 26 296 - 1994. 53 289 76,96 76,96 25 561 97,20 1995. 46 451 67,08 87,17 21 118 82,62 1996. 47 399 68,45 102,04 23 965 113,48 1997. 43 203 62,39 91,15 22 777 95,04

Yz It Vt = * 100 = * 100 Y z-1 I t-1 53 289 76,96 V94 = * 100 = * 100 = 76,96 69 244 100 46 451 67,08 V95 = * 100 = * 100 = 87,17 53289 76,96

PRERAČUNAVANJE INDEKSA NA STALNOJ BAZI U VERIŽNE

Godina Pojava It Vt

1990. 5 800 100 - 1991. 8 526 147 147 1992. 10 904 188 128 1993. 12 006 207 110 1994. 13 224 228 110 1995. 14 558 251 110 1996. 15 022 259 103

INDEKSI

147 8 526 V91 = * 100 = * 100 = 147 100 5 800 188 10 904 V92 = * 100 = * 100 = 128

147 8 526 PRERAČUNAVANJE VERIŽNIH INDEKSA U INDEKSE NA STALNOJ

BAZI

I t V t = * 100 t=1,2,3 ... N I t-1

V t * I t-1 I t = 100

Godina Pojava Vt It

1992.=100 1992. 1448 - 100 1993. 1425 98.41 98.41 1994. 1797 126.10 124.08 1995. 1721 95.77 118.81 1996. 1615 93.84 111.51 1997. 1494 92.51 103.16 1998. 1539 103.01 106.27 1999. 1576 102.40 108.82 2000. 1742 110.53 120.28 2001. 1780 102.18 122.90

It-1 * Vt It = ———— 100

Godina Vt It

2001. = 100 1992. - 81.37 1993. 98.14 80.07 1994. 126.10 100.96 1995. 95.77 96.69 1996. 93.84 90.74 1997. 92.51 83.94 1998. 103.01 86.00 1999. 102.40 88.54 2000. 110.53 97.87 2001. 102.18 100.00

It It-1 = —— * 100 Vt

Godina Vt It

1997. = 100 1992. - 96.94 1993. 98.41 95.38 1994. 126.10 120.28 1995. 95.77 115.19 1996. 93.84 108.10 1997. 92.51 100.00 1998. 103.01 103.01 1999. 102.40 105.48 2000. 110.53 116.59 2001. 102.18 119.13

It —— * 100 Vt It = 100

It-1 * Vt ———— 100

TREND S ISHODIŠTEM U POČETKU RAZDOBLJA

Vremenski intervalni niz

Godina X

Proizvodnja Y

X XY X² Yc

1992. 1834 0 0 0 1850,2+412,5 *0 = 1850,2

1993. 2269 1 2269 1 1850,2+412,5 *1 = 2262,7

1994. 2686 2 5372 4 1850,2+412,5 *2 = 2675,2

1995. 3112 3 9336 9 1850,2+412,5 *3 = 3087,7

1996. 3475 4 13900 16 1850,2+412,5 *4 = 3500,2

ΣΣΣΣ 13376 10 30877 30 13376

ΣΧ 10 a) nacrtati grafikon ; X = = = 2 Ν 5 ΣΧΥ - ΧΣΥ 30877 – 2*13376 b = = = 412,5 ΣX² - XΣΧ 30 – 2*10 ΣΥ 13376 Υ = = = 2675,2 Ν 5 a = Υ - Χ b = 2675,2 – 2 * 412,5 = 1850,2

Yc = 1850,2 + 412,5 *X ishodište = 30.06.92 Y = proizvodnja X = 1 godina

LINEARNI TREND

Primjer za izračunavanje jednadžbe trenda s ishodištem u sredini vremenskog niza

~ NEPARAN BROJ RAZDOBLJA ~

Godina Proizvodnja X XY X² Yc=a+bx

1992. 1834 -2 -3668 4 1850,2 1993. 2269 -1 -2269 1 2262,7 1994. 2686 0 0 0 2675,2 1995. 3112 +1 3112 1 3087,0 1996. 3475 +2 6950 4 3500,0

ΣΣΣΣ 13376 0 4125 10 13376 ΣΧ ΣΧ = 0; Ν = 5; Χ= = 0 Ν ΣΧΥ - ΧΣΥ ΣΧΥ - 0∗ΣΥ ΣΧΥ b = = = ΣΧ² - ΧΣΧ ΣΧ² - 0∗ΣΧ ΣΧ² ΣΥ a = Υ - Χ * b = - 0 * b Ν ΣΥ 13376 a = a = = 2675,2 Ν 5 ΣΧΥ ΣΧΥ 4125 b = b = = = 412,5 ΣΧ² ΣΧ² 10 Υc = a + bΧ

ΥΥΥΥc = 2675,2 + 412,5 ishodište = 30.06.1994. Y = proizvodnja u tonama X = 1 godina

Primjer kod parnog broja razdoblja u nizu TRENUTAČNI VREMENSKI NIZ

Godina Promet u 000 kn. X XY X² Yc=a+bx

31.12.1994 1140 -5 -5700 25 1158 31.12.1995 1392 -3 -4176 9 1443 31.12.1996 1666 -1 -1666 1 1702 31.12.1997 2145 1 2145 1 1973 31.12.1998 2258 3 6776 9 2245 31.12.1999 2426 5 12130 25 2517

11027 9507 70 11027 30.6.97. 31.12. 31.12. 31.12. 31.12. 31.12. 31.12. 94. 95. 96. 97. 98. 99. ΣΥ 11027 Polugodišta a = Y = = = 1837,833 Ν 6 ΣΧΥ 9507 b = = = 135,814 ΣΧ² 70 Yc = a + bx Yc = 1837,833 + 135,814 X ishodište = 30.06.1997 Y = tisuću kuna prometa X = polugodište