1

Oscilacije (podsetnik)

-Oscilacije prestavljaju periodično ponavljanje određene fizičke veličine u vremenu.-U mehanici telo osciluje ako periodično prolazi kroz iste položaje tj. kretanje se “ponavlja”.

xx

xkF −= Restituciona sila.

xkma −=

Linearne harmonijske oscilacije:

)sin(0 ϕω += txx

xkdt

xdm −=2

2

x0

x

t

T

T-x0

0

2

Prigušene oscilacije:Osim restitucione sile na telo dodatno deluje i sila otpora sredine koja dovodi do prigušenja.

vbFot −=ot

02202

2

=++dtdxx

dtxd βω

A0

x

)cos(0 ϕωβ += − teAx t

t

-A0

)(0 ϕ

Prinudne oscilacijeU slučaju prinudnih oscilacija osim restitucione sile i sile otpora na telo dodatno deluje i periodična sila F.Ova sila kompenzuje gubitke usled prigušenja tako da telo nastavlja da osciluje tj oscilacije se ne “gase”da osciluje tj. oscilacije se ne gase .

tFdtdxbxk

dtxdm

tFbvxkma

ω

ω

cos

cos

02

20

+−−=

+−−=

tfdtdxx

dtxd

tmF

dtdx

mbx

mk

dtxd

ωβω

ω

cos2

cos

0202

2

02

2

+−−=

+−−=

3

dd 2

Diferencijalna jednačina prinudnih oscilacija

mk=0ω Sopstvena ugaona frekvenca tj. ugaona učestanost

u slučaju da nema prigušenja ni prinude

tfdtdxx

dtxd ωβω cos2 0

20

2

=++

)cos( ϕω += tAx

f

Stacionarno rešenje:

( ) 22220

2

0

4 ωβωω +−= fA

−= 2

022

ωωβϕ arctg

Amplituda je srazmerna primenjenoj sili a obrnuto srazmerna prigušenju.

Fazna razlika između prinudne sile i oscilacija.

Ovo je rešenje opisuje stacionarno stanje tj važi nakon nekog

)cos( ϕω += tAx

Ovo je rešenje opisuje stacionarno stanje tj. važi nakon nekog perioda akomodacije između prinudne sile i samog oscilatora.Dakle, nakon prelaznog perioda nestabilnosti sistem počinje da osciluje frekvencom (ili ugaonom učestanošću) same prinude bez obzira kolika je njegova sopstvena učestanost.Međutim, amplituda oscilovanja snažno zavisi od bliskosti ove dve učestanosti, sopstvene (ω0) i prinudne (ω).

ω→ ω0 => A ↑( ) 2222

02

0

4 ωβωω +−= fA

4

( ) 22220

2

0

4 ωβωω +−= fA

Zavisnost amplitude prinudnih oscilacija od prinudne učestanosti. Amplituda dostiže velike vrednosti za ω ≈ω0

A

( )0 β

Veliko prigušenje

Malo prigušenje

Srednje prigušenje

ωω0

p g j

( ) 4 22222

0

+ ωβωω

fddA

Uganu učestanost pri kojoj je amplituda maksimalna nalazimo iz prvog izvoda za izraza za amplitudu.

( )0

40 =

+−

=ω

ωβωωω dd

dA

220 2βωω −=rez

Rezonantna učestanost:

220

0

2 βωβ −= fArez

ω

A

ω0

Amplituda može dostići ekstremne vrednosti kada je prigušenje malo.

5

Pojava prinudnih oscilacija pri kojoj je ω ≈ωrez se naziva rezonancom.

Poznavanje ove pojave je veoma važno u tehnologiji i mora se uzeti u obzir u prozivodnji mašina i građevinskih objekata. Dobar primer su viseći mostovi pod naletom vetra ili brodovi pod udarima talasa.

TalasiMehanički talas (talasno kretanje) je širenje oscilatornog poremećaja u elastičnoj materijalnoj sredini.-Talas je prostorno vremenski fenomen. Karakteriše se fi ičk liči k j j i dič i ifizičkom veličinom koja je periodična i u prostoru i u vremenu.-Pri prostiranju talasa, ne premeštaju se delići sredine. Oni osciluju oko ravnotežnih položaja, a prenosi se energija talasa.

6

Po svojoj fizičkoj prirodi talasi mogu biti:

1) Mehanički talasi, gde se širi oscilatorni poremećaj čestica u elastičnoj materijalnoj sredini Na primer: talas u žici talasi naelastičnoj materijalnoj sredini. Na primer: talas u žici, talasi na vodi, zvuk itd. Za širenje ovih talasa je nužno postojanje materijalne sredine npr. čvrsti materijal, voda, vazduh itd.

2) Elektromagnetni talasi, gde se širi oscilatorni poremećaj električnog i magnetnog polja. Na primer: radio talasi i svetlost. Z ši j ih l ij ž j j ij l diZa širenje ovih talasa nije nužno postojanje materijalne sredine pa se mogu širiti i u vakuumu.

Po pravcu oscilovanja delića mogu biti:

1) Transverzalni talasi, gde delići elastične sredine oscilujunormalno na pravac prostiranja talasa. Javljaju se samo u p p j j jsredinama gde postoje elastične sile smicanja - čvrsta tela.

2) Longitudinalnih talasi, gde delići sredine osciluju duž pravca prostiranja talasa (primer je zvuk).

7

Transverzalni talasi

Pravac širenja talasa.

Pravac kretanja čestica.

Primer: oscilovanje žice na gitari.

Longitudinalni talasi

Pravac širenja talasa.Pravac kretanja čestica.

Primer: zvuk.

8

Po prema delu prostora koji zauzimaju talasi mogu biti:

1) Jednodimenzioni ili linijski (talas kroz žicu)

2) Dvodimenzioni ili površinski (primer: talasi na površini vode)2) Dvodimenzioni ili površinski (primer: talasi na površini vode)

3) Trodimenzioni ili zapreminski (primer: zvuk).

Sferni talas – talasni front je sfera.

Površina koja spaja tačke do kojih istovremeno stigao talasniporemećaj je talasni front.

Ravanski talas – talasni front je ravan.

c

9

Talasna funkcija i jednačina talasaTalasna funkcija daje elongaciju čestice i funkcija je dve promenljive vremena i koordinate. Funkcija je periodična i mora zavisiti i od vremena i od koordinate.

)()(

xtcfyxtcfy

+=−= talas koji se prostire i smeru x-ose

talas koji se prostire u suprotnom smeru od x-ose

Ako izvor talasa osciluje je harmojiskom funkcijom onda dobijamo talasnu funkciju harmonijsku u prostoru i vremenudobijamo talasnu funkciju harmonijsku u prostoru i vremenu.

)sin()()sin()(

0

0

kxyxytyty−=−=

ϕϕω zavisnost od vremena za fiksno x

zavisnost od koordinate u trenutku t

Harmonijska talasna funkcija

cija

t

elon

ga

xFunkcija dve promenljive periodična u prostoru i vremenu.

10

Jednačina harmonijskog progresivnog talasa

)sin( xktyy = ω

Ako je izvor talasa harmonisjki oscilator onda sve čestice osciluju po harmonijskom zakonu sa kašnjenjem u zavisnosti od koordinate čestice:

Gde je:y - elongacijax - rastojanje od izvora talasa tj. koordinata posmatrane čestice

y0 - amplituda oscilovanja, maksimalna elongacija čestice, maksimalno rastojanje od ravnotežnog položaja čestice.

)sin(0 xktyy −= ω

ω - kružna učestanostΦ=(ωt-kx) – faza oscilovanja, ugao koji određuje položaj i smer kretanja u trenutku t na rastojanju x od izvora talasak - talasni broj, određuje prostornu učestanost talasa.

Ty0

y

Talasna funkcija daje elongaciju čestice i funkcija je dve promenljive: vremena i koordinate y=y(x,t)

T- period talasa,

)sin(0 xktyy −= ω

t

T-y0

λy0

y

vreme trajanja jedne oscilacije delića sredine.

λ- talasna dužina,

ωπ2=T

x

λ-y0

Rastojanje između dve najbližečestice u istoj fazi tj. prostorni period talasa.

kπλ 2=

11

πων2

1 ==T

c ωνλλ ===

Frekvenca talasa

Brzina prostiranja talasa

−=−=

xxt

xtT

yxktyy

πλππω

2

22sin)sin( 00

kT

−=

−=

cxt

Tyx

Tty π

λπ 2sin2sin 00

Možemo reći da svaka čestica duž pravca prostiranja talasa osciluje harmonijski sa istim periodom T a njena početna faza (tj. kašnjenje) je određeno njenim položajem (tj. koordinatom x).

Brzina i ubrzanje čestice pogođene talasom

)( kdy

)sin(0 xktyy −= ω

Brzina je prvi izvod elongacije dakle ne menja i k k l ij ć j f)cos(0 kxty

dtyv −== ωω

)sin(02 kxty

dtdva −−== ωω

po istom zakonu kao elongacija već je fazno pomerena za π/2 rad.

Ubrzanje je prvi izvod brzine (drugi izvod elongacije) menja se po istom zakonu kao elongacija ali sa suprotnim smerom.

ya 2ω−=Zaključujemo:

12

Fazna razlika govori kašnjenju oscilovanja delića na dve različite koordintate to je u stvari razlika faza za te dve čestice.

y0

y

xkt −= ωφ

xxkxxk Δ=Δ=−=−=Δλπφφφ 2)( 2112

x2x

1 x

Δx-y0

φ

λDelići osciluju u fazi:

Delići osciluju u suprotnim fazama: 2

)12(tj.)12(

.2λπφ

λπφ

−=Δ−=Δ

=Δ=Δ

nxn

nxtjn

Brzina prostiranja talasa kroz različite sredine

elastičnih osobina

podužna masa žice),

13

γ

γρ

γγ pM

TRc ==Zvuk