4-1

4. STLAČIVO OPTJECANJE PROFILA

4.2 Primjena teorije malih poremećaja na optjecanje profila

4.2.1 Jednadžbe optjecanja profila

Temeljne jednadžbe strujanja su jednadžba kontinuiteta

( ) 0=Vdivr

ρ ,

i Eulerova jednadžba gibanja

pgraddtVd

−=r

ρ

ili u diferencijalnom obliku

dVVdp ρ−= .

S obzirom da smatramo optjecanje neviskoznim bez razmjene topline s profilom, što znači da nema

dovođenja ni odvođenja topline u struju zraka niti stvaranja topline u struji zraka, to optjecanje je

adiabatsko te energetska jednadžba ima oblik (tzv. adiabatska jednadžba):

constp =−γρ

U tom slučaju ( )ρp je ista funkcija u svim točka optjecanja. Što više uz pomoć ove jednadžbe i

jednadžbe stanje RTp ρ= , može se integrirati diferencijalna Eulerova jednadžba duž strujnice:

constVa =−

+ 22

21γ

To su jednadžbe strujanja zraka koje nam stoje na raspolaganju za izučavanje optjecanja profila.

Naš cilj je na temelju ovih jednadžba naći raspored tlaka po konturi profila i aerodinamičke

koeficijente uzgona i otpora. To ćemo učiniti postupno. Prvo ćemo odrediti

• potencijal strujanja oko profila,

• na temelju potencijala naći brzine optjecanja oko profila,

• pomoću brzine odrediti raspored tlaka po konturi profila i konačno

• integracijom po konturi profila izračunati aerodinamičke koeficijente uzgona i otpora.

4.2.2 Opće oznake

Prije postavljanja profila u struju zraka u svakoj točki bila je brzina ∞Vr

. Ako postavimo x os u

pravcu brzine, onda je potencijal strujanja

xV∞=0φ .

4-2

Poslije unošenja profila u tu struju zraka pod napadnim kutom α u svakoj točki oko profila dolazi

do promjene brzine. Kažemo da je brzina poremećena zbog optjecanja profila. U točki P gdje je

brzina bila ∞Vr

prije unošenja profila u struju zraka. S obzirom na izabrani koordinatni sustav

neporemećena brzina ima samo komponentu duž os x koju označavamo ∞V . Poslije unošenja profila

u struju zraka, u toj istoj točki P je poremećena brzina Vr

. Komponente te poremećene brzine

označavamo sa wu, . Između neporemećene ∞V i poremećene brzine Vr

imamo vezu:

VVVrrr ˆ+= ∞ .

gdje je Vrˆ poremećaj brzine. a komponente poremećaja brzine označavamo sa wu ˆ,ˆ (slika 1). I

komponente poremećene brzine wu, i komponente poremećaja brzine wu ˆ,ˆ funkcije su koordinata

točke P.

Pu

w

α

∞V

∞V

V

x

z

Slika 4-1

Neporemećeno strujanje imalo je potencijal 0φ , a poremećena struja zraka ima potencijal ( )zx,φ .

To znači da je

xu

∂∂

=φ

zw

∂∂

=φ

xV 0

∂∂

=∞φ

z0 0

∂∂

=φ

Sa ( )zx,φ označavamo potencijal poremećaja, pa je

xu

∂∂

=φˆ

zw

∂∂

=φˆ

4-3

4.2.3 Jednadžba potencijala

S obzirom da je optjecanje profila dvodimenzionalno strujanje jednadžba kontinuiteta ima oblik:

( ) ( ) 0=∂

∂+

∂∂

zw

xu ρρ

ili

0=∂∂

+∂∂

+

∂∂

+∂∂

zw

xu

zw

xu ρρρ .

Pomoću potencijala poremećene struje zraka φ , možemo ovu jednadžbu napisati u obliku

02

2

2

2

=∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+

∂∂

+∂∂

zzxxzxρφρφφφρ .

U ovoj jednadžbi pored funkcije ( )zx,φ koju tražimo, imamo i nepoznatu funkciju gustoće ( )zx,ρ .

Nju ćemo eliminirati pomoću Eulerove jednadžbe. Projekcija Elerove jednadžbe na koordinatnu os

x ima oblik:

dxp

dtdu ∂

−=ρ

{ dxddpv

yuu

xu

2a

ρρ

ρ ∂−=

∂∂

+∂∂

ili ako umjesto komponenata brzine unesemo derivacije potencijala

∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

−=∂∂

zxzxxaxφφφφρρ 2

2

2

2

Isto tako dobivamo iz projekcije Eulerove jednadžbe na y os

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂∂

−=∂∂

2

22

2 zzzxxazφφφφρρ

Ove parcijalne derivacije gustoće koje smo dobili iz Eulerove diferencijalne jednadžbe

zamjenjujemo u jednadžbu kontinuiteta

02

2

2

2

=∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+

∂∂

+∂∂

zzxxzxρφρφφφρ

što daje

0zzzxxazzxzxxaxzx 2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

=

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂∂

⋅∂∂

−

∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

⋅∂∂

−

∂∂

+∂∂ φφφφρφφφφφρφφφρ

Poslije sređivanja dobivamo tzv. parcijalnu diferencijalnu jednadžbu potencijala:

4-4

022

2

222

2

222 =

∂∂

∂

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−+∂∂

∂∂

−zxzxzz

axx

a φφφφφφφ .

U ovoj jednadžbi pored nepoznatog poremećenog potencijala φ imamo i nepoznatu funkciju brzine

zvuka koja se mijenja od točke do točke. Iz Eulerove jednadžbe

2222

21

21

∞∞−

+=−

+ VaVa γγ ,

dobivamo da je

∂∂

−

∂∂

−−

+= ∞∞

22222

21

zxVaa φφγ .

Zamjenom kvadrata brzine zvuka prema ovoj jednadžbi u gornju parcijalnu diferencijalnu

jednadžbu potencijala dobivamo konačno diferencijalnu jednadžbu u kojoj je jedina nepoznanica

poremećeni potencijal.

02

221

21

21

221

2

2

22222

2

22222

=

∂∂

∂

∂∂

∂∂

−

−∂∂

∂∂

−

∂∂−

−−

++∂∂

∂∂−

−

∂∂

−−

+ ∞∞∞∞

zxzx

zzxVa

xzxVa

φφφ

φφγφγγφφγφγγ

Umjesto potencijala poremećene brzine φ obično tražimo potencijal poremećaja φ . Zato u ovoj

jednadžbi zamjenjujemo potencijal poremećene brzine φ sa zbrojem potencijala neporemećene

struje xV∞=0φ i potencijala poremećaja φ .

φφφ ˆ+= 0

φφ ˆ+= ∞xV

Onda je

xV

x ∂∂

+=∂∂

∞φφ ˆ

zz ∂

∂=

∂∂ φφ ˆ

2

2

2

2 ˆ

xx ∂∂

=∂∂ φφ 2

2

2

2 ˆ

zz ∂∂

=∂∂ φφ

zxzx ∂∂∂

=∂∂

∂ φφ ˆ22

Zamijenom u jednadžbi za potencijal poremećene brzine dobiva se:

4-5

0ˆˆˆ

2ˆˆ

2

ˆ

21

21

ˆˆ

21ˆ

221

2

2

222

22

2

222

22

=

∂∂∂

∂∂

∂∂

+−∂∂

∂∂

−

∂∂

+−

−−

++

+∂∂

∂∂−

−

∂∂

+−−

+

∞∞∞∞

∞∞∞

zxzxV

zzxVVa

xzxVVa

φφφφφγφγγ

φφγφγγ

Tako dobivamo parcijalnu diferencijalnu jednadžbu potencijala poremećaja. Ona je slična općoj

parcijalnoj diferencijalnoj jednadžbi potencijala i nelinearna kao i parcijalna diferencijalna

jednadžba poremećenog potencijala. Da bi vidjeli ulogu i važnost pojedinih članova napišimo je

pomoću poremećaja brzine. Poslije sređivanja i dijeljenja sa 2∞a dobivamo konačno:

( ) ( )

( )

.ˆˆˆˆ

1

ˆˆ2

1ˆ2

1ˆ1

ˆˆ2

1ˆ2

1ˆ1

ˆˆ1

2

222

2222

∂∂

+∂∂

++

+∂∂

++

−+−+

+∂∂

−+

+++=

∂∂

+∂∂

−

∞∞∞

∞∞∞∞

∞∞∞∞∞

xw

zu

Vw

VuMa

zw

Vw

Vu

VuMa

xu

Vw

Vu

VuMa

zw

xuMa

γγγ

γγγ

4.2.4 Linearizacija parcijalne diferencijalne jednadžbe potencijala

U ovoj jednadžbi nepoznate su brzine poremećaja vu ˆ,ˆ i njihove parcijalne derivacije, a ∞V i ∞Ma

su poznate konstante. Oba člana na lijevoj strani su linearni, tj. uz nepoznate parcijalne derivacije su

konstante. Na desnoj strani uz nepoznate derivacije su koeficijenti koji su kvadratne funkcije od

∞Vu i ∞Vv i proporcionalni su kvadratu Machovog borja. Usporedimo desnu i lijevu stranu:

• uz xu∂∂ ˆ

na lijevoj strani ( )21 ∞− Ma , a na desnoj ( )

−+

+++

∞∞∞∞

222 ˆ

21ˆ

21ˆ

1Vw

Vu

VuMa γγγ

• uz yv∂∂ ˆ

na lijevoj strani 1, a na desnoj ( )

++

−+−

∞∞∞∞

222 ˆ

21ˆ

21ˆ

1Vw

Vu

VuMa γγγ

• treći član na desnoj strani

∂∂

+∂∂

+

∞∞∞ x

wzu

Vw

VuMa

ˆˆˆˆ12 nemamo s čim usporediti na lijevoj strani.

Pretpostavimo da su poremećaji u odnosi na brzinu u beskonačnosti mali tj. da su

1ˆ<<

∞Vu 1

ˆ<<

∞Vw

4-6

To je realan slučaj kad je profil tanak i pod malim napadnim kutom. Međutim u zaustavnoj točki je

∞−= Vu te prva pretpostavka ne može biti zadovoljen u okolini zaustavne točke. Ako je Machov

broj ograničen 5≤Ma , i ako su ispunjene pretpostavke da su poremećaji brzine mali u odnosu na

neporemećenu brzinu, razlikujemo tri područja primjene: subsonika, transonika i supersonika.

U subsonici kad je 1<Ma svi članovi na desnoj strani su zanemarljivi pa se diferencijalna

jednadžba potencijala svodi na jednostavan oblik:

( ) 0ˆˆ

1 2 =∂∂

+∂∂

− ∞ zw

xuMa

U području transonike kad je Machov broj blizu jedinice, koeficijent ( )21 ∞− Ma na lijevoj

strani uz xu∂∂ postaje isto tako mali kao i koeficijent na desnoj strani

( )

−+

+++

∞∞∞∞

222 ˆ

21ˆ

21ˆ

1Vw

Vu

VuMa γγγ ,

te se ovaj ne može više zanemariti. U tom slučaju možemo u koeficijentu na desnoj strani

zanemariti male članove drugog reda (drugi i treći član u uglatoj zagradi u odnosu na prvi član).

Međutim i iz člana

∂∂

+∂∂

+

∞∞∞ x

wzu

Vw

VuMa

ˆˆˆˆ12 na desnoj strani moramo uzeti u obzir malu

veličinu prvog reda

∂∂

+∂∂

∞∞ x

wzu

VwMa2 ˆˆˆ

. Tako zaključujemo da u transonici možemo koristiti

jednadžbu

( ) ( )

∂∂

+∂∂

+∂∂⋅+=

∂∂

+∂∂

−∞

∞∞

∞∞ xw

xu

VwMa

xu

Vu1Ma

zw

xuMa1 222 ˆˆˆˆˆˆˆ

γ

U supersonici sve do određene granične vrijednosti (uzima se do M∞<5 ), moguće je

zanemariti članove na desnoj strani u odnosu na članove na lijevoj strani. Naravno da je granična

vrijednost Machova broja zavisna od napadnog kuta i vitkosti profila, zato što se kvadratne funkcije

u uglastim zagradama povećavaju sa povećanjem napadnog kuta i s povećavanjem debljine profila.

Parcijalnu diferencijalnu jednadžbu potencijala množimo sa -1 da bi imali pozitivan koeficijent

( ) 0ˆˆ

12 =∂∂

−∂∂

−∞ zw

xuMa

Konačno napomenimo da ova jednadžba važi do 5≈Ma kada je kvadrat Machovog broja već vrlo

veliki i više se ne mogu prihvatiti zanemarivanja koeficijenata na desnoj strani u odnosu na

koeficijente na lijevoj strani. Zato kažemo da nastaje područje hipersonike za koje imamo druge

mogućnosti pojednostavljenja jednadžba.

4-7

4.2.5 Rubni uvjeti i njihova linearizacija

Granični uvjet na površini profila definira se iz uvjeta nepromočivosti stjenke, što znači da je

normalna komponenta brzine na površini profila jednaka nuli. Slika 2 prikazuje profil i vektor

brzine u jednoj točki gornjake M (indeks "u" od engleske riječi up) ili donjake s indeksom "d" (od

engleske riječi down) koji je tangencijalan na gornjaku ili donjaku profila.

Uvjet da je brzina optjecanja u nekoj točki gornjake tangencijalna na gornjaku prema slici 3

znači da je

( ) uuu uVw ϑtanˆˆ += ∞

Isto tako u nekoj točki donjake uvjet ima oblik

( ) ddd uVw ϑtanˆˆ += ∞

Uzimajući u obzir da je poremećaj brzina u puno manja od brzine ∞V vrijedi da je

uu Vw ϑtanˆ ∞=

dd Vw ϑtanˆ ∞=

α

V

x

z

w

∞V uM

∞V

Slika 4-2

dxdzV

zu

u

∞=

∂∂φ

dxdzV

zd

d

∞=

∂∂φ

( )xzu i ( )xzd su jednadžbe gornjake i donjake profila u koordinatnom sustavu koji ima ishodište u

vrhu profila, a os x u pravcu neporemećene brzine ∞V .

4.2.6 Jednadžba koeficijenta tlaka i njena linearizacija

Glavna zadaća analize potencijalnog strujanja oko profila je određivanje polja brzine i tlaka u

točkama gornjake i donjake, temeljem kojeg se može odrediti sila zraka na profilu. Za slučaj

potencijalnog optjecanja tankog profila, prvo se riješava linearna parcijalna diferencijalna

4-8

jednadžba potencijala poremećaja, uz zadovoljavanje rubnih uvjeta na gornjaci i donjaci profila te u

beskonačnosti. Taj potencijal poremećaja određuje komponente poremećaja brzine, a one određuju

komponente poremećene brzine. Iz poznatog polja poremećene brzine lako se primjenom Eulerove

jednadžbe određuje poremećeni tlak na gornjaci i donjaci profila, a integriranjem razdiobe tlaka po

njima dolazi se do sile uzgona i otpora zraka. Da bi izvršili tu integraciju potreban nam je

koeficijent tlaka:

2

21

∞∞

∞−=

V

ppCp

ρ

Dinamički tlak možemo transformirati u oblik

22

22

2221

21

∞∞∞∞

∞∞∞∞

∞

∞∞∞ === Map

pVpV

ppV γ

ργγρ

γγρ

S tom vrijednošću za dinamički tlak bit će koeficijent tlaka

−=

∞∞

122 p

pMa

Cp γ

Želimo izraziti koeficijent tlaka u funkciji poremećaja brzine. Koristeći jednadžbu stanja idealnih

plinova za zrak ∞∞

∞=T

pTp

ρρ i jednadžbu adiabatske transformacije γγ ρρ −

∞∞− = pp možemo

koeficijent tlaka staviti u oblik

−

=

−=

−

∞∞∞∞

1212 1

22

γγ

γγ TT

Mapp

MaC p ,

a iz Eulerove jednadžbe koju uz pomoć adiabatske jednadžbe možemo staviti u oblik (Saint Venant-

ova jednadžba)

2121

22∞

∞ +−=+

−VRTVRT

γγ

γγ

( )22 VV2

1RTRT ∞∞ −−

+=γγγ

dijeljenjem sa ∞∞ = RTa2 γ dobivamo da je

( ) ( )[ ]2222 ˆˆ

211 ∞∞∞∞

−++−

−= VwuVaT

T γ

4-9

( )1

2

2221 ˆˆˆ2

211

−

∞∞

∞−

∞

++

−−=

γγ

γγ

ε

γ

44444 344444 21V

wuVuMa

TT .

Kako je u uglatoj zagradi na desnoj strani binom tipa ε−1 (ε je mali broj u odnosu na 1), možemo

tu zagradu razviti po pravilu da je ( ) K+⋅−≈− εε nn 11 . Zanemarujući male članove drugog i

višeg reda dobivamo:

( )

++

−−

−=

∞∞

∞−

∞2

2221 ˆˆˆ2

21

11

Vwu

VuMa

TT γ

γγγ

γ

++−=−

∞∞

∞−

∞2

2221 ˆˆˆ2

21

Vwu

VuMa

TT γγ

γ

Zamjenom u gornju jednadžbu za koeficijent tlaka dobivamo:

++−=

−

=

∞∞

∞

∞

−

∞∞2

222

2

1

2

ˆˆˆ2

2212

Vwu

VuMa

MaTT

MaC p

γγγ

γγ

++−=

∞∞2

22 ˆˆˆ2

Vwu

VuC p

Tako smo pomoću Saint Venantove jednadžbe dobili koeficijent tlaka na profilu u ovisnosti od

poremećaja brzina na wu ˆiˆ . Podsjetimo se da su poremećaji brzina wu ˆiˆ u pravcu neporemećene

brzine ∞V i okomito na nju.

Ako zanemarimo drugi član u odnosu na prvi kao malu veličinu drugog reda u odnosu na

malu veličinu prvog reda dobivamo tzv. lineariziranu Bernulijevu jednadžbu:

xVC p ∂

∂−=

∞

φ2 .

Zanemarivanje drugog člana u odnosu na prvi nije uvijek opravdano, zato što u neposrednoj blizini

napadnog ruba poremećaji brzina u i v nisu mali. Ono nam omogućuje da teoretski istražujemo i

objasnimo optjecanje oko profila, ali za točnije vrijednosti koeficijenta pritiska treba uzeti i taj član

u obzir. Zato se u numeričkim metodama taj član obično uzima u obzir.

4.3 Prandtl-Glauertov zakon

U dozvučnom strujanju koristimo parametar

4-10

21 ∞−= Maβ .

Npr. ako je 60.0=Ma onda je 80.060.01 2 =−=β . S tim parametrom parcijalna diferencijalna

jednadžba potencijala ima oblik

0ˆˆ2

2

2

22 =

∂∂

+∂∂

zxφφβ

Traži se potencijal poremećaja je ( )zx,φ koji zadovoljava ovu parcijalnu diferencijalnu jednadžbu i

rubni uvjet

u

u

Vz

ϑφ tanˆ

∞=

∂∂

d

d

Vz

ϑφ tanˆ

∞=

∂∂

na gornjaci i donjaci zadane konture profila. Prema Prandtl-Glauertov rješenju, potencijal stlačivog

optjecanja zadanog profila je

( ) ( )zxzx βφβ

φ ,1,ˆ ⋅=

gdje je ( )ζφ ,x potencijal nestlačivog optjecanja oko nekog profila C u koordinatama ζ,x . To

znači da funkcija ( )ζφ ,x zadovoljava Laplaceovu jednadžbu

02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

ζφφ

x.

Da bi dokazali tu Prandtl-Glauertov zakon, treba dokazati da su ispunjena dva uvjeta: prvo,

da je zadovoljena parcijalna diferencijalna jednadžba stlačivog optjecanja i drugo, da takav

potencijal ( )yx,φ ispunjava granični uvjet u bilo kojoj točki na zadanom profilu.

Dokaz prvog uvjeta. Zato što je ( )ζφ ,x potencijal nestlačivog optjecanja, zadovoljena je

jednadžba

02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

ζφφ

x.

Između ordinata ζ i z postoji veza zβζ = . Parcijalnom derivacijom Prantdl-Glauertovog rješenja

( ) ( )zxx ,ˆ, φβζφ =

prvo po z

zdzd

∂∂

=∂∂ φβζζφ ˆ

4-11

z∂∂

=∂∂ φζφ ˆ

Još jednom parcijalnom derivacijom opet po z dobivamo

2

2

2

2 ˆ

zdzd

∂∂

=∂∂ φζζφ

2

2

2

2 ˆ

z∂∂

=∂∂ φβζφ

Poslije dvostrukog diferenciranja jednadžbe ( ) ( )zxx ,ˆ, φβζφ = po x dobivamo

2

2

2

2 ˆ

xx ∂∂

=∂∂ φβφ

Zamjenom u parcijalnu diferencijalnu jednadžbu nestlačivog strujanja

02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

ζφφ

x

dobivamo

0ˆˆ2

2

2

22 =

∂∂

+∂∂

zxφφβ

Tako smo dokazali da je zadovoljena parcijalna jednadžba stlačivog strujanja u prostoru zx, . Time

je prvi uvjet ispunjen.

Dokaz drugog uvjeta. Činjenica da je zadovoljen uvjet nestlačivog strujanja s potencijalom

( )ζφ ,x na profilu C koji ima konturu ( )xcζ u prostoru ζ,x . Znači da važi jednadžba

dxdV cζ

ζφ

⋅=∂∂

∞ .

U prethodnom dokazu smo dobili vezu z∂

∂=

∂∂ φζφ ˆ

. Zamjenom u ovu jednadžbu dobivamo

dxdV

zcζφ

⋅=∂∂

∞

ˆ

Neka kontura C u prostoru ζ,x bude takva da je cc zβζ = . Onda ova jednadžba dobiva oblik:

( )dx

zdVz

cβφ⋅=

∂∂

∞

ˆ.

Nama je potrebno da bude zadovoljen rubni uvjet na zadanom profilu ( )xzp . To znači da mora biti:

( ) ( )xzxz cp β=

Prema tome mi moramo u prostoru zx, u kome nam je zadan profil ( )xz p promatrati drugi profil

4-12

( ) ( )β

xzxz p

c =

Njegova potencijal nestlačivog optjecanja u prostoru ζ,x imat će rubni uvjet

dxdV cζ

ζφ

⋅=∂∂

∞

koji se poslije zamjena z∂

∂=

∂∂ φζφ ˆ

i ( ) ( )β

xzxz p

c = transformira u

dxdz

Vz

p⋅=∂∂

∞φ

a to znači da je drugi uvjet zadovoljen.

Uočimo jednu bitnu i vrlo važnu činjenicu. Kontura C u prostoru ζ,x ima oblik koji je

opisan jednadžbom ( )xcζ (slika 4 dolje). Ta kontura u prostoru zx, uzeta je tako da bude

( ) ( )β

xzxz p

c = (slika 4 gore).

V

x

z

M

V

x∞V

M

∞V

ζ

( )xcζ

( )xzc

( )xz p

Slika 4-3

4-13

Kada je transformiramo jednadžbom transformacije zβζ = u prostor ζ,x ona ima oblik koji je

definiran jednadžbom transformacije, a to znači da je

( ) ( ) ( ) ( )xzxz

xzx pp

cc =⋅=⋅=β

ββζ

To je bitan zaključak, prema kojem je obli konture C u prostoru ζ,x (slika 4 dolje) isti kao oblik

zadanog profila u prostoru zx, (slika 4 gore).

4.3.1 Utjecaj stlačivosti na koeficijent tlaka

Primijenimo jednadžbu za koeficijent tlaka na zadani profil optjecan stlačivim zrakom u prostoru

zx, i na konturu C optjecanu ne stlačivim zrakom u prostoru ζ,x . U slučaju stlačivog optjecanja

profila u prostoru zx, :

xVC p ∂

∂−=

∞

φ2

a u slučaju nestlačivog optjecanja konture C u prostoru ζ,x :

pnsp CxVxV

C βφβφ=

∂∂

−=∂∂

−=∞∞

ˆ22

odakle veza

βnsp

p

CC =

pri tome ne zaboravimo da je konstura C u prostoru ζ,x istog oblika kao zadanu profil u prostoru

zx, . Tako zaključujemo da se koeficijent tlaka u točki M gornjake (ili donjake) profila povećava

β1 zbog stlačivosti u odnosu na koeficijent tlaka u nestlačivom optjecanju profila. To je tzv.

Prandtl-Glauertovo zakon o utjecaju stlačivosti na koeficijent tlaka. Na slici 4 prikazana je

promjena koeficijenta tlaka s Machovim brojem prema Prandl-Glauertovoj jednadžbi i rezultati

ispitivanja (krivulja PG).

Karman i Tsien su izveli točniji utjecaj stlačivosti na koeficijent tlaka (krivulja KT):

2111

2

22 nsp

nspp C

Ma

MMa

CC

∞

∞∞

−++−

=

a Laiton je odredio (krivulja L)

2211

11 2

2

22 nsp

nspp C

MaMa

MaMa

CC

−+

−+−

=

∞

∞

∞∞

γ

4-14

Slika 4-4.Rezultati ispitivanja: NACA Report No.646, 1938

Na istoj slici 4 vidi se i relativna usporedna točnost ovih dviju jednadžba u odnosu na Prandtl-

Glauertovu jednadžbu i odnos tih triju jednadžba prema ispitivanju na jednom profilu.

4.3.2 Utjecaj stlačivosti na aerodinamičke koeficijente

Ako u jednadžbe za koeficijente uzgona, otpora i momenta propinjanja unesemo vrijednost za

koefcijent tlaka u stlačivom optjecanju, onda dobivamo

βββns

nspnsp

p

cxdCxd

CxdCc l

l ==== ∫∫∫1

Kako je u nestlačivom optjecanju koeficijent uzgona ( )00ns ac αα −=l bit će u slačivom

( )00ac ααβ

−=l

To znači da je u slatičivom optjecanju profila

βα0ac

=∂∂ l

Otpor uslijed tlaka na konturi profila u slatčivom optjecanju bit će također jednak nuli ukoliko ne

bude odvajanja struje od konture profila.

4-15

( ) 0===== ∫∫∫ nsdC

cpnsC

cpns

Pppd czdCzd

CzdCc β

β

S obzirom da u subsonici otpor uglavnom stvara trenje, Prandtl Glauertov zakon se ne primjenjuje

na otpor.

( ) ( )

( )β

ζζβ

βζβ

βζβ

βββ

β

mnsccpns

ccpnscc

pnspppm

cdxdxC

dxdxC

zdzxdxC

zdzxdxCc

=+=

+=+=+=

∫

∫∫∫1

To su tzv. Prandtl-Glauertove jednadžbe za utjecaj stlačivosti na aerodinamičke koeficijente profila.

4.4 Transonika

Kritičan Machov broj

Koeficijent tlaka u točki M na gornjaci je

∞

∞−=

qppC M

Mp

Kako je

22

222

2

22221

2 ∞∞∞

∞∞∞

∞

∞∞∞∞

∞

∞∞∞∞ ===== Map

aVpV

ppV

ppVq γγ

γργρ

γγρ

bit će

−=

∞∞

122 p

pMa

C MMp γ

Za izentropsku struju zraka duž strujnice promjena tlaka ovisi o Machovom broju prema jednadžbi

12

0

211

−

−+

=γγ

γ Ma

pp

u kojoj je 0p zaustavni tlak. Kad primijenimo ovu jednadžbu na tlak u nekoj točki ispred profila

gdje brzina nije poremećena (točka ∞ ) i u točki M na gornjaci profila, eliminacijom zaustavnog

tlaka dobivamo jednadžbu:

1

2

2

211

211

−

∞

∞

−+

−+

=

γγ

γ

γ

M

M

Ma

Ma

pp .

Pa je koeficijent tlaka u točki M

4-16

−

−+

−+

=

−

∞

∞

1

211

2112

1

2

2

2

γγ

γ

γ

γM

Mp

Ma

Ma

MaC

Pri optjecanja profila brzina zraka s gorenje strane profila (iznad gornjake) prvo raste, a zatim

opada. Neka je M točka u kojoj je na gornjaci najveći lokalni Machov brojna. S povećanjem brzine

∞Ma povećava se i MMa . Kad je 1=MMa , onda je brzinu ∞Ma nazivamo kritični Machov broj i

označavamo ga sa crMa . Koeficijent tlaka u točki A je onda kritični koeficijent tlaka na gornjaci.

−

−+

−+

=

−

1

211

2112

12

2

γγ

γ

γ

γ

cr

crcrp

Ma

MaC

Ta jednadžba povezuje kritični Machov broj u beskonačnosti s kritičnom koeficijentom tlaka na

gornjaci u točki M.

Pretpostavimo da znamo najmanju vrijednost koeficijenta tlaka na gornjaci za zadani profil

u nestlačivoj struji zraka ( )minnspC Npr. za profil NACA 2412 pri malim brzinama (ne stlačivo

optjecanje) za 0=α , panelna metoda daje raspored koeficijenta tlaka kao na slici

Slika 4-5

4-17

Sa slike možemo očitati da je

( ) 558.0min

−=nspC .

Prema Prandtl-Glauertovu jednadžbi

( )2

min

1 cr

nspcrp

Ma

CC

−=

S obzirom da nam je ( )minpnsC poznato ili ga možemo izračunati npr. panelnom metodom, iz ovih

dviju jednadžbi možemo odrediti crMa .

Slika 4-6

Umjesto Prandlt-Glauertove jednadžbe možemo upotrijebiti Karman-Tsienovu jednadžbu (krivulja

KT):

( )( )

2111 min

2

22

min

nsp

cr

crcr

nsppcr C

MaMMa

CC

−++−

=

ili Laitonovu jednadžbu (krivulja L)

4-18

( )( )

2211

11 min2

2

22

min

nspcr

cr

crcr

nsppcr C

MaMa

MaMa

CC

−+

−+−

=γ

U presjeku jedne od ove tri krivulje s jednadžbom za izentropsko optjecanje

−

−+

−+

=

−

1

211

2112

12

2

γγ

γ

γ

γ

cr

crcrp

Ma

MaC

nalazi se kritični Machov broj. U ovom primjeru NACA 2412 dobivamo primjenom PG krivulje

70.0=crMa , primjenom KT krivulje 68.0=crMa , konačno s L krivuljom dobivamo 66.0=crMa .

4.4.1 Superkritični profili

Ako je brzina leta neposredno iznad kritičnog Machovog broja, lokalni Machov broj iznad gornjake

doseže jedinicu pa i prelazi, da bi zatim opet opao ispod jedinice. Ovo opadanje ne može se izvesti

kontinuirano. Porast tlaka, prema Eulerovoj jednadžbi, kada lokalna brzina zraka na gornjaci opada,

treba se ostvariti dolaskom poremećaja s izlaznog ruba. Međutim kako je nailazeća struja

supersonična ti poremećaji, koji se prostiru brzinom zvuka, ne mogu se kretati uz struju. Zato se

pojavljuje udarni val, koji omogućuje prelazak iz nadzvučnog i dozvučno optjecanje (slika 13).

Supersoničnostrujanje

Udarnival upC

dpC

>Mcr

turbulentni granični slojizazvan udarnim valom

Slika 4-7

Ukoliko je diskontinuitet tlaka veliki na udarnom valu mogu se pojaviti dva sukcesivna udarna vala

koja se oslanjaju jedna na drugog u obliku grčkog slova λ , pa se zato ta pojava naziva λ -valovi.

Taj nagli porast tlaka na udarnom valu dovodi do odvajanja graničnog sloja od gornjake što je

nepovoljno za uzgon. Zato za brzine leta veće od kritičnog Machovog broja imamo pad uzgona i

porast otpora.

4-19

Withcomb 1965 je konstruirao "superkritični" profili koji povećava vrijednost crMa .

Gornjaka tog profila ima na većem dijelu vrlo male krivine kao i donjaka. U transoničnom strujanju

supersonično područje bit će bez velikih povećanja brzine optjecanja što ima za posljedicu udarni

val slabog intenziteta na prijelazu iz nadzvučnog u dozvučno područje. Zahvaljujući tomu malo je

povećanje otpora. Zbog male zakrivljenosti gornjake i donjake smanjen je uzgon, pa da bi to

smanjenje bilo donekle nadoknađeno zadnja trećina donjake je jako zakrivljena (slika 14).

Supersoničnostrujanje

Udarnival

dpC

upC

Slika 4-8

Suvremene metode proračuna profila omogućuju određivanje oblika profila koji ima kritični

Machov broj veći od Machovog broja leta, tako da područje nadzvučnog optjecanja profila bude

minimizirano ili izbjegnuto.

4.5 Baza podataka o profilima

4.5.1 Značajke profila

Karakteristike profila prikazane su na slici 1

c tetiva

t najveća debljina, relativna debljina cttt == ∗ , izražava se u % tetive ct⋅100 .

tx apscisa najveće debljine

f zakrivljenost, izražava se u % tetive cf⋅100

fx apscisa najveće zakrivljenosti

0r polumjer zaobljenosti napadnog ruba,

izražava se u % najveće debljine tr0100 ⋅

y∆ parametar zaobljenosti izražava se u % maksimalne debljine.

4-20

c

tgornjaka

donjakanapadni rub

tx

0r

y∆

10015.0 c

1006 c

f

β

fx

Slika 4-9 Značajke profila

Dosta podataka i objašnjenja o ispitivanju i klasificiranju profila daje lit.[1].

4.5.2 Profili s oznakom od četiri cifre

Još 1932 godine počela su mjerenja funckija ( )αlc i ( )α41mc za različite vrijednosti Re. u NACA

(National Advisory Committee for Aeronautics). Tada je oblik profila je bio definiran pomoću tri

parametra: najveća relativna zakrivljenost cff = , mjesto najveće relativne zakrivljenosti

cxx ff = i najveća relativna debljina ctt =

• prva cifra je najveća relativna zakrivljenost f⋅100 tj. najveća zakrivljenost u postotcima

(%),

• druga cifra je fx⋅10 tj. mjesto najveće zakrivljenosti u desetim dijelovima tetive,

• treća i četvrta cifra su t⋅100 tj. relativna debljina u postotcima.

Npr. NACA 2412 znači: najveća zakrivljenost 04.0 , na 40% tetive, relativna debljina 12.0 ,

Njegove funkcije ( )αlc , ( )α41mc i ( )lccd , ( )lcc cam .. dane su na slici 2-21

4-21

Slika 4-10

4-22

Slika 4-11

4-23

Slika 4-12

4-24

4.5.3 Profili s oznakom od pet cifara

Od 1935 godine razvijeni su profila koji imaju veći maxlc . Ti profili opisani su sa pet cifara:

• prvi broj pomnožen sa 15.0 daje projektnu vrijednost koeficijenta uzgona (projektna

vrijednost koeficijenta uzgona je ( )αlc za onaj napadni kut za koji je ( )αdc u minimumu)

• slijedeće dvije cifre daju dvostruki položaj najveće zakrivljenosti u postotcima tetive, i

• zadnje dvije relativnu debljinu u postotcima tetive.

Npr. 23012 znači: projektna vrijednost koeficijenta uzgona 0.3, najveća zakrivljenost na 15% tetive

i relativna debljina je 12%.

Njegove funkcije ( )αlc , ( )α41mc i ( )lccd , ( )lcc cam .. dane su na slici 2-18.

4.5.4 Profili 1-serija (serija 16)

1939 razvijeni su na temelju teoretskih istraživanja profili za propelere jer su smanjili pojavu

kavitacije. Istodobno su se pokazali dobrim i za velike brzine leta. Oni nose zajedničku oznaku 1-

serija. Označeni su sa pet cifara:

• prvi označava seriju,

• drugi broj označava mjesto najmanjeg tlaka u desetim dijelovima tetive, zatim ide crtica,

• treći broj označava projektnu vrijednost koeficijenta uzgona koju treba pomnožiti sa 0.1, a

• zadnje dvije brojke daju relativnu debljinu u %.

Npr. NACA 16-212 znači da je mjesto najmanjeg tlaka na 60% tetive, da je projektna vrijednost

koeficijenta uzgona 0.20, te da je relativna debljina 12%.

4.5.5 Profili 6-serija

Ovi profili razvijeni su za primjenu u oblasti stlačivosti tj. za veće brzine leta. Oni su kompromis

što većeg uzgona i što manjeg otpora. Raspored tlaka je takav da osigurava na većem dijelu

laminarno optjecanje profila kada je koeficijent uzgona oko projektne vrijednosti.

• Prva cifra označava seriju,

• druga označava mjesto najmanjeg tlaka u desetim dijelovima tetive.

• indeks 1 znači da je otpor laminaran (tj. otpor je minimalan) od koeficijenta uzgona 1.0−projcl

do 1.0+projcl .

• zatim prvi broj poslije crte (broj 2) znači da je projektna vrijednost koeficijenta uzgona u ovom

primjeru 2.0=lc ,

• zadnje dvije cifre predstavljaju relativnu debljinu u postotcima 12%.

4-25

• vrijednost a označava dio srednje linije (ili tetive) do kojeg je raspodjela vrtloga uniformna, a

zatim opada linearno. Ukoliko a nije označeno znači da je 1=a (uniformna raspodjela vrtloga

duž cijele srednje linije).

NACA 651-212 6.0=a . Oblik profila je takav da za napadni kut koji daje uzgon od 0=lc

( 02−=α ) do 4.0=lc ( 05.2+=α ) otpor je vrlo mali jer je granični sloj laminaran sve do 60%

tetive:

4-26