Ovaj dokument je intelektualno vlasništvoraspačavanje dokumenta u tiskanom i digitalnom obliku uz uvjet da je naveden izvor dokumenta i jasno

označena sva odstupanja od izvornika kao i autori dodanih i/ili promijenjenih dijelova dokumenta.

TRIGONOMETRIJA TROKUTAStandardne oznake u trokutu

a, b, c stranice trokuta

α, β, γ kutovi trokuta

t�, t�, t� težišnice trokuta

v�, v�, v� visine trokuta

sα, sβ, sγ simetrale kutova

R polumjer opisane kružnice

r polumjer upisane kružnice

s poluopseg

FORMULE potrebne u ovoj lekciji:

Površina:

P = � a� =

� b�=

P = � ab sin γ =

� bc sin

� � ���� ��� � ���� � � ���

� ���� � ���� � � P = rs

� �����

Visina trokuta (dužina koja je okomita na stranicu a prolazi suprotnim vrhom):

a : b = �: � Težišnica (dužina koja spaja vrh trokuta sa polovištem nasuprotne stranice):

��� � � � � � � ��� � � � � � � ��� � � � � � �Simetrala kuta:

x : y = b : c

Polumjer opisane kružnice:

�

���� ��

���� � ���

Ovaj dokument je intelektualno vlasništvo Tonija Miluna i udruge Nova Generacija. Dozvoljeno je kopiranje i raspačavanje dokumenta u tiskanom i digitalnom obliku uz uvjet da je naveden izvor dokumenta i jasno

a odstupanja od izvornika kao i autori dodanih i/ili promijenjenih dijelova dokumenta.

TRIGONOMETRIJA TROKUTAStandardne oznake u trokutu ∆ABC:

stranice trokuta

kutovi trokuta

težišnice trokuta

visine trokuta

simetrale kutova

polumjer opisane kružnice

polumjer upisane kružnice

������ !

FORMULE potrebne u ovoj lekciji:

= � c�

bc sin α = � ac sin β

���� ���� ��� � � � ���� ����

��� �

� ���� � ��

je okomita na stranicu a prolazi suprotnim vrhom):

dužina koja spaja vrh trokuta sa polovištem nasuprotne stranice):

� � �

���� � � �

. Dozvoljeno je kopiranje i raspačavanje dokumenta u tiskanom i digitalnom obliku uz uvjet da je naveden izvor dokumenta i jasno

a odstupanja od izvornika kao i autori dodanih i/ili promijenjenih dijelova dokumenta.

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

je okomita na stranicu a prolazi suprotnim vrhom):

dužina koja spaja vrh trokuta sa polovištem nasuprotne stranice):

Ovaj dokument je intelektualno vlasništvo Tonija Miluna i udruge Nova Generacija. Dozvoljeno je kopiranje i raspačavanje dokumenta u tiskanom i digitalnom obliku uz uvjet da je naveden izvor dokumenta i jasno

označena sva odstupanja od izvornika kao i autori dodanih i/ili promijenjenih dijelova dokumenta.

ZADACI:

1. Izračunaj površinu trokuta ∆ABC ako je a = 22,5 cm, c = 30 cm i γ = 30°.

(zadatak 1.3. str. 151, Matematika 3, 1. dio autori: Dakić, Elezović)

2. Izračunaj površinu trokuta ∆ABC ako je c = 25,2 cm, α = 77°30' i β = 53°.

(zadatak 2.3. str. 151, Matematika 3, 1. dio autori: Dakić, Elezović)

3. Ne rabeći računalo izračunaj površinu trokuta ∆ABC ako je b = 2, c = √3 – 1 i β = 135°.

(zadatak 3,3. str. 151, Matematika 3, 1. dio autori: Dakić, Elezović)

4. Površina trokuta iznosi 20 cm2, dva su njegova kuta jednaka 30° i 45°. Kolike su duljine

stranica toga trokuta?

(zadatak 7. str. 151, Matematika 3, 1. dio autori: Dakić, Elezović)

5. Površina trokuta jednaka je 30,2 cm2, zatim je a • b = 64 cm2, te α = 42°25'. Odredi

duljine stranica i kutove trokuta.

(zadatak 11. str. 151, Matematika 3, 1. dio autori: Dakić, Elezović)

6. Trokut ∆ABC zadan je sa a = 18 cm, b = 20 cm i v�= 11 cm. Kolika je duljina treće

stranice trokuta?

(zadatak 16. str. 151, Matematika 3, 1. dio autori: Dakić, Elezović)

7. Izračunaj duljine stranica trokuta ∆ABC ako je α = 36°25', β = 51°28', a duljina polumjera

trokutu opisane kružnice iznosi 24 cm.

(zadatak 22. str. 151, Matematika 3, 1. dio autori: Dakić, Elezović)

8. Odredi duljinu stranice b trokuta ∆ABC ako je sα= 11 cm, c = 15 cm i β = 41°20'.

(zadatak 32. str. 152, Matematika 3, 1. dio autori: Dakić, Elezović)

9. Izračunaj duljinu stranice c trokuta ∆ABC ako je a = 32 cm, b = 20 cm i t� = 18 cm.

(zadatak 39. str. 152, Matematika 3, 1. dio autori: Dakić, Elezović)

10. Izračunaj duljinu stranice b trokuta ∆ABC ako je a = 70 mm, t� = 82 mm i t� = 58 mm.

(zadatak 42. str. 152, Matematika 3, 1. dio autori: Dakić, Elezović)

Ovaj dokument je intelektualno vlasništvo Tonija Miluna i udruge Nova Generacija. Dozvoljeno je kopiranje i raspačavanje dokumenta u tiskanom i digitalnom obliku uz uvjet da je naveden izvor dokumenta i jasno

označena sva odstupanja od izvornika kao i autori dodanih i/ili promijenjenih dijelova dokumenta.

RJEŠENJA:

1. Izračunaj površinu trokuta ∆ABC ako je a = 22,5 cm, c = 30 cm i γ = 30°.

a = 22,5 cm

c = 30 cm

γ = 30°

P = ?

P = � ac sin β

P � % • 22,5 • 30 • sin 30° �

% • 22,5 • 30 •

%

P = 168,75 cm2

2. Izračunaj površinu trokuta ∆ABC ako je c = 25,2 cm, α = 77°30' i β = 53°.

c = 25,2 cm

α = 77°30'

β = 53°

P = ?

γ = 180° – α – β = 180° – 77°30' – 53°

γ = 49°30'

� � ��� � ��� � ��� �

P � -, . /0122°345 /01 -3° /0167°345 � 83-,46•4,7283•4,27986

•4,2846%

P = 325,58 cm2

Ovaj dokument je intelektualno vlasništvo Tonija Miluna i udruge Nova Generacija. Dozvoljeno je kopiranje i raspačavanje dokumenta u tiskanom i digitalnom obliku uz uvjet da je naveden izvor dokumenta i jasno

označena sva odstupanja od izvornika kao i autori dodanih i/ili promijenjenih dijelova dokumenta.

3. Ne rabeći računalo izračunaj površinu trokuta ∆ABC ako je b = 2, c = √3 – 1 i β = 135°.

b = 2

c = √3 – 1

β = 135°.

P = ?

Po poučku o sinusu izračunamo druga dva kuta.

�

���� ��

����

sin γ � �/01<� svođenje na I. kvadrant

sin γ � =√3>%?/01%3-° sin 135° = sin (180°- 135°) = sin 45° =

√

sin γ � =√3>%?√22

sin γ � =√3>%?√26

sin γ � √2•√3>√26

sin γ � √2 • √3

� √2 • 1

sin γ � sin 45° cos 30° � cos 45° sin 30° ����D ± F� � ��� D �G� F ± �G� D ��� F

sin γ � sin�45° � 30°� sin γ � sin 15° γ = 15°

α = 180° – β – γ

α = 180° – 135° – 15°

α = 30°

P = � bc sin α

P � % • 2 • =√3– 1? •

%

� � =√I– �?

Ovaj dokument je intelektualno vlasništvo Tonija Miluna i udruge Nova Generacija. Dozvoljeno je kopiranje i raspačavanje dokumenta u tiskanom i digitalnom obliku uz uvjet da je naveden izvor dokumenta i jasno

označena sva odstupanja od izvornika kao i autori dodanih i/ili promijenjenih dijelova dokumenta.

4. Površina trokuta iznosi 20 cm2, dva su njegova kuta jednaka 30° i 45°. Kolike su duljine

stranica toga trokuta?

P = 20 cm2

α = 30° γ = 180° – α – β

β = 45° γ = 180° – 30° – 45°

a, b, c = ? γ = 105°

� � ���� ���� ����

a sinβ sinγ � 2P sinα

a � K /01α

/01β /01γ

����� �

�����

����� �

�����

a � • 4•/01 34°/01 6-°•/01 %4-° b � �/01<

/01M c � �/01N/01M

a � • 4•O.√.2 •4,78-73

b � -,6%•/016-°/0134° c � -,6%•/01%4-°

/0134°

a � 29,28 b � -,6%•√.2O.

c � -,6%•4,78-73O.

a = 5,41 cm b = 7,65 cm c = 10,45 cm

5. Površina trokuta jednaka je 30,2 cm2, zatim je a • b = 64 cm2, te α = 42°25'. Odredi

duljine stranica i kutove trokuta.

P = 30,2 cm2 42°25'

a • b = 64 cm2 + 70°41'28'' 179°59'60''

α = 42°25' 112°66'28'' = – 113°06'28''

a, b, c, β, γ = ? 66°53'32''

P = � ab sin γ β = 180° – α – γ

sin γ � K�� �

•34, 86 � 0,94375 β = 180° – 42°25' – 70°41'28''

γ = 70°41'28'' β = 66°53'32''

Ovaj dokument je intelektualno vlasništvoraspačavanje dokumenta u tiskanom i digitalnom obliku uz uvjet da je naveden izvor dokumenta i jasno

označena sva odstupanja od izvornika kao i autori dodanih i/ili promijenjenih dijelova dokumenta.

� � ���� ���� ����

a sin β sin γ � 2P sinα

a � K /01α

/01< /01N

a � •34, •/01 6 ° -′

/0188°-3′3 ′′• /01 24°6%

a � •34, •4,826- 4,7%726•4, 7632-

a � 46,94

a = 6,85 cm

Zadatak ima još jedno rješenje zato što sin

Jer kada gledamo trigonometrijsku kružnicu, vidimo da

sinus ima 2 rješenja (lijevo i desno od osi y).

Dakle jedno rješenje je �� γ � 180° � γ% � 180° � 70 � � �UV°�W′I′′ β = 180° – α – γ = 180° – 42

β = 28°16'28''

a � K /01α

/01< /01N

a � •34, •/01 6 ° -′

/01 9°%8′ 9′′• /01 %47°%9

a � •34, •4,826- 4,6238-•4,7632-

a � 91,14

a = 9,55 cm

a • b = 64

b � 86�

b � 867,--

b = 6,70 cm

Ovaj dokument je intelektualno vlasništvo Tonija Miluna i udruge Nova Generacija. Dozvoljeno je kopiranje i raspačavanje dokumenta u tiskanom i digitalnom obliku uz uvjet da je naveden izvor dokumenta i jasno

a odstupanja od izvornika kao i autori dodanih i/ili promijenjenih dijelova dokumenta.

a • b = 64

b � 86�

6%′ 9′′ b � 86

8,9-

b = 9,34 cm

Zadatak ima još jedno rješenje zato što sin γ ima dva rješenja.

o trigonometrijsku kružnicu, vidimo da

sinus ima 2 rješenja (lijevo i desno od osi y).

� = 70°41'28'' a drugo

70°41Y28YY � 109°18′32′′

42°25' – 109°18'32''

′

%9′3 ′′

c � �/01N/01M

c � 7,--•/01 %47°%9′3 /016 ° -5

c � 7,--•4,7632-4,826-

c = 13,36 cm

. Dozvoljeno je kopiranje i raspačavanje dokumenta u tiskanom i digitalnom obliku uz uvjet da je naveden izvor dokumenta i jasno

a odstupanja od izvornika kao i autori dodanih i/ili promijenjenih dijelova dokumenta.

����� �

�����

c � �/01N/01M

c � 8,9-•/0124°6%5 955/016 ° -5

c � 8,9-•4,7632-4,826-

c = 9,58 cm

3 ′′

Ovaj dokument je intelektualno vlasništvo Tonija Miluna i udruge Nova Generacija. Dozvoljeno je kopiranje i raspačavanje dokumenta u tiskanom i digitalnom obliku uz uvjet da je naveden izvor dokumenta i jasno

označena sva odstupanja od izvornika kao i autori dodanih i/ili promijenjenih dijelova dokumenta.

6. Trokut ∆ABC zadan je sa a = 18 cm, b = 20 cm i v�= 11 cm. Kolika je duljina treće

stranice trokuta?

v�= 11 cm

a = 18 cm

b = 20 cm P = � ab sin γ

c = ? sin γ � K�� �

•%%4 4•%9 � 0,6111

P = � b� γ% = 37°40'12''

P � % • 20 • 11 ili γ � 180° � Z%

P = 110 cm2 γ � 142°19′48′′

� � ��� � ���G� � c � 18 �20 � 2 • 18 • 20 • cos 37°40′12′′

c � 324 � 400 � 720 • 0,79154

c � 154,08 c = 12,4 cm ili

c � 18 �20 � 2 • 18 • 20 • cos 142°19′48′′

c � 324 � 400 � 720 • ��0,79154� c � 1293,9088

c = 36 cm

7. Izračunaj duljine stranica trokuta ∆ABC ako je α = 36°25', β = 51°28', a duljina polumjera

trokutu opisane kružnice iznosi 24 cm.

α = 36°25'

β = 51°28' γ = 180° – α – β

R = 24 cm γ = 180° – 36°25' – 51°28'

a, b, c = ? γ = 92°07'

Ovaj dokument je intelektualno vlasništvoraspačavanje dokumenta u tiskanom i digitalnom obliku uz uvjet da je naveden izvor dokumenta i jasno

označena sva odstupanja od izvornika kao i autori dodanih i/ili promijenjenih dijelova dokumenta.

�

���� ��

��� � ��

��� � � a = 2R•sin α

a = 2 • 24 • sin 36°25'

a = 48 • 0,59365

a = 28,50 cm

8. Odredi duljinu stranice b trokuta

sα= 11 cm

c = 15 cm

β = 41°20'

b = ?

Prema poučku o sinusu izračunat

ćemo kut δ, a onda kutove

Kada izračunamo sve kutove, opet

po poučku o sinusu izračunamo duljinu stranice b.

�α

��� � ��

��� [

sin δ � � /01β

/α

sin δ � %-•/016%° 4′

%%

sin δ � %-•4,88466%%

sin δ � 0,9006

δ = 115°45'48''

M � 180° � 115°45′48′′ � 41

M � 22°57′12′′

α = 45°54'24''

Ovaj dokument je intelektualno vlasništvo Tonija Miluna i udruge Nova Generacija. Dozvoljeno je kopiranje i raspačavanje dokumenta u tiskanom i digitalnom obliku uz uvjet da je naveden izvor dokumenta i jasno

a odstupanja od izvornika kao i autori dodanih i/ili promijenjenih dijelova dokumenta.

�

b = 2R•sin β c = 2R • sin

b = 2 • 24 • sin 51°28' c = 2 • 24 • sin 92

b = 48 • 0,78225 c = 48 • 0,99932

b = 37,55 cm c = 47,97 cm

Odredi duljinu stranice b trokuta ∆ABC ako je sα= 11 cm, c = 15 cm i

Prema poučku o sinusu izračunat

a onda kutove α i γ.

Kada izračunamo sve kutove, opet

po poučku o sinusu izračunamo duljinu stranice b.

γ � 180°– α– βγ � 180°– 45°54′24′′– 41

γ � 93°43′36′′

�

���� ��

����

b � �/01</01N

41°20′ b � %-•/016%° 45/0173°6353855

b � %-•4,884664,77297

b = 9,92 cm

. Dozvoljeno je kopiranje i raspačavanje dokumenta u tiskanom i digitalnom obliku uz uvjet da je naveden izvor dokumenta i jasno

a odstupanja od izvornika kao i autori dodanih i/ili promijenjenih dijelova dokumenta.

c = 2R • sin γ

c = 2 • 24 • sin 92°07'

c = 48 • 0,99932

c = 47,97 cm

= 11 cm, c = 15 cm i β = 41°20'.

41°20′

Ovaj dokument je intelektualno vlasništvoraspačavanje dokumenta u tiskanom i digitalnom obliku uz uvjet da je naveden izvor dokumenta i jasno

označena sva odstupanja od izvornika kao i autori dodanih i/ili promijenjenih dijelova dokumenta.

9. Izračunaj duljinu stranice c

t� = 18 cm

a = 32 cm

b = 20 cm

c = ?

��� � � � � � �

c � 2a � 2b � 4t�

c � 2 • 32 � 2 • 20 � c � 2 • 1024 � 2 • 400 c � 1552

c = 39,40 cm

10. Izračunaj duljinu stranice b

t� = 82 mm

t� = 58 mm

a = 70 mm

��� � � � � � � ��� � � � � � �

b � 2a � 2�2a � 2b � 4 b � 2a � 4a � 4b � 8t� b � 4b � 2a � 4a � 8t� �3b � 6a � 8t� � 4t� /:

b � � -�.>9_.̀>6_a.3 � �

� � 7644> 87% > 89783

b = 90,2 cm

Ovaj dokument je intelektualno vlasništvo Tonija Miluna i udruge Nova Generacija. Dozvoljeno je kopiranje i raspačavanje dokumenta u tiskanom i digitalnom obliku uz uvjet da je naveden izvor dokumenta i jasno

a odstupanja od izvornika kao i autori dodanih i/ili promijenjenih dijelova dokumenta.

c trokuta ∆ABC ako je a = 32 cm, b = 20 cm i

� 4 • 18

400 � 4 • 324

b trokuta ∆ABC ako je a = 70 mm, t� = 82 mm i

=> b � 2a � 2c � 4t� => c � 2a � 2b � 4t�

4t� � � 4t� � � 4t� � � 4t� :��3� 8•24.>9•-9.>6•9 .

3 � � 8•6744>9•3386>6•3

8978 � � > 66493 � 8136

. Dozvoljeno je kopiranje i raspačavanje dokumenta u tiskanom i digitalnom obliku uz uvjet da je naveden izvor dokumenta i jasno

a odstupanja od izvornika kao i autori dodanih i/ili promijenjenih dijelova dokumenta.

a = 32 cm, b = 20 cm i t� = 18 cm.

= 82 mm i t� = 58 mm.

•82 6 �