· 2012-05-03 · 4 Visina v dobije se iz formula za površinu trokuta. Uo čimo osjen čani...

1

Zadatak 041 (Silvija, maturantica gimnazije)

Za kut α pri vrhu osnog presjeka uspravnog stošca vrijedi 1

cos ,8

α = a duljina izvodnice

stošca je s = 4. Koliki je volumen stošca?

Rješenje 041 Ponovimo!

1 cos 1 1cos cos cos

2 2 2 2 2.

α α αα

+= ⇒ = + ⋅

1cos

8 1 1 1 1 1 8 1cos cos cos

2 2 2 8 2 2 16 2 161 1cos cos

2 2 2

αα α α

αα

= +

⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⇒ = ⇒= + ⋅

9 3cos cos .

2 16 2 4

α α⇒ = ⇒ =

Uočimo osjenčan pravokutan trokut kojemu su katete visina v i polumjer r osnovke, a hipotenuza

izvodnica s. Tada je:

3cos cos 4 3.

2 2 4

vv s v v

s

α α= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

Pomoću Pitagorina poučka slijedi:

2 2 2 2 2 2 24 3 16 9 7.r s v r s v r r r= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ =

Obujam (volumen) stošca iznosi:

( ) 33

21 127 7 .

3V r v V Vπ π π= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

Vježba 041

Za kut α pri vrhu osnog presjeka uspravnog stošca vrijedi 1

cos ,8

α = a duljina izvodnice

stošca je s = 4. Koliko je oplošje stošca?

Rezultat: ( )7 7 4 .O π= ⋅ ⋅ +

Zadatak 042 (Rea, gimnazija) Osni presjek valjka je kvadrat površine 100 cm

2. Nañite obujam valjka.

Rješenje 042

αααα

2

αααα

rr r

v v

sss

v = 2 ⋅⋅⋅⋅ r

2 ⋅⋅⋅⋅ r

v 2 ⋅⋅⋅⋅ r

r

2

Iz površine kvadrata dobiju se duljine polumjera r i visine v:

2 2 22 2 4 4 /: 254 5/100P r r P r r r r cm= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒

52 5 10 .

2

r cmv cm v cm

v r

= ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ =

= ⋅

Obujam valjka iznosi:

( )22 3

5 10 250 .V r v V cm cm V cmπ π π= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

Vježba 042 Osni presjek valjka je kvadrat površine 16 cm

2. Nañite obujam valjka.

Rezultat: 316 .cmπ⋅

Zadatak 043 (Rea, gimnazija) Čaša oblika kružnog stošca napunjena je tekućinom do pola visine. Koliki dio volumena

stošca ispunjava tekućina?


Obujmovi sličnih tijela odnose se kao kubovi duljina pripadnih visina, tj. ako je

,1v

kv

=

tada je

.31V

kV

=

Neka je v visina čaše, v1 visina napunjenog dijela čaše. Računamo omjer:

31 1 11 2 1 12 81 1 1 .3 131

3 8

3

3

81

v v vV V V

V VV v V

v

V v Vv

V v

= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅=

Vježba 043 Čaša oblika kružnog stošca napunjena je tekućinom do trećine visine. Koliki dio volumena

stošca ispunjava tekućina?

Rezultat: 1

.1 27

V V= ⋅

Zadatak 044 (Tina, ekonomska škola) Kvadrat stranice a svinut je u plašt uspravnog valjka. Nañite obujam tog valjka.

Rješenje 044 Budući da je opseg (kruga) baze valjka jednak duljini a stranice kvadrata, slijedi:

22 .

2

O r ar a r

O a

ππ

π

= ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ =

= ⋅

Visina v valjka jednaka je duljini a stranice kvadrata:

v1

v

3

v = a.

Obujam valjka iznosi:

2 2 32

.22 44

a a aV r v V a V a Vπ π π

π ππ

= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =

⋅ ⋅ ⋅

Vježba 044 Kvadrat stranice 10 svinut je u plašt uspravnog valjka. Nañite obujam tog valjka.

Rezultat: 250

.π

Zadatak 045 (Goran, gimnazija)

Koliki je obujam kosog stožca kojemu je najdulja izvodnica 6 3 ,1

s cm= ⋅ najkraća s2 = 6

cm, a kut meñu njima je α = 30°.

Rješenje 045

( )2 2

, 0 ,, 0.a b a b b a a a a⋅ = ⋅ ≥ ⋅ = ≥

Površina trokuta

2

a vaP⋅

=

1sin

2P a b γ= ⋅ ⋅ ⋅

Poučak o kosinusu (kosinusov poučak)

U trokutu ABC vrijede ove jednakosti

2 2 2 2 2 2 2 2 22 cos 2 cos 2, .s, coa b c b c b a c a c c a b a bα β γ= + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅

Osnovka ili baza stošca je krug. Točku V nazivamo vrhom stošca. Visina stošca v udaljenost je vrha V

do ravnine baze. Obujam uspravnog ili kosog stošca s polumjerom osnovke r i visinom v iznosi

1 2.

3V r vπ= ⋅ ⋅ ⋅

V V

αααα

rrrr

vv s2

s1

s2

s1

Iz trokuta (karakterističnog presjeka kosog stošca) čije su stranice promjer osnovke 2 · r, izvodnice s1,

s2 pomoću kosinusova poučka dobije se polumjer osnovke stošca:

( ) ( ) ( )22 22 2 2 0

2 2 cos 2 6 3 6 2 6 3 6 cos 301 2 1 2

r s s s s rα⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

( ) ( ) ( )32 2 2

2 108 36 72 3 2 144 1 32

/08 2 6r r r⇒ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = ⇒

/ : 22 6 3 .r r cm⇒ ⋅ = ⇒ =

r

va

a

γγγγva

cb

a

4

Visina v dobije se iz formula za površinu trokuta. Uočimo osjenčani trokut (karakteristični presjek

kosog stošca) na slici kojemu su stranice promjer osnovke 2 · r, izvodnice s1, s2.

2 1 1 1sin sin sin

1 2

2

1 2 1 222 2 2 2

r v r vs s s s r v s sα α α

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

1 1 103 6 3 6 sin 30 3 6 3 6 3 9 3 3 3 .

2 2 2/ : 3v v v v cm⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅

Obujam kosog stošca iznosi:

3 , 3 31 2 3

3 3 3 9 3 .1 2 33

r v

V V cmV r v

π ππ

= = ⋅

⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅

Vježba 045 Koliki je obujam kosog stošca kojemu je najdulja izvodnica s1 = 20 cm, najkraća s2 = 10 cm, a

polumjer baze 5 3 ?r cm= ⋅

Rezultat: 250 · π cm3.

Zadatak 046 (Marijan, gimnazija) Kada se plašt stošca razvije u ravninu dobije se polukrug. Koliko iznosi kut na vrhu osnog

presjeka tog stošca?

Rješenje 046

Površina kruga i kružnog isječka

Površina kruga polumjera r:

2.P r π= ⋅

Površina kružnog isječka duljine luka l i polumjera

kruga r:

2.

1P r l= ⋅ ⋅

Stožac je rotacijsko tijelo nastalo rotacijom pravokutnog trokuta oko jedne njegove katete. Uspravni

stožac jest tijelo izgrañeno od dužina koje povezuju vrh stošca smješten točno iznad središta njegove

kružne baze, s točkama njegove kružne baze. Pravac odreñen točkama V i S zove se os stošca. Dužinu

AV zovemo izvodnicom stošca i označavamo sa s.

osni presjekstošca

r r

ss

vrh

r

s

baza

S A

V

Plašt stošca može se rezanjem po izvodnici prostrijeti u ravninu. Dobiva se kružni isječak polumjera s

i duljine luka 2 · r · π. Zato je površina plašta jednaka:

22

1 12 .

2P s r P s P r sr π ππ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ =⇒ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅

Stožac je jednakostraničan ako je

2 .s r= ⋅

l

r

r

r

2 ⋅⋅⋅⋅ r ⋅⋅⋅⋅ ππππ

ss

5

2 ⋅⋅⋅⋅ r ⋅⋅⋅⋅ ππππ

ss V

Budući da se razvojem plašta stošca u ravninu dobio polukrug polumjera s, površina polukruga

jednaka je površini plašta stošca:

1 12 22

2/ .

2 2s r s s r

ss s rπ π π π

π⋅

⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

Dobili smo jednakostraničan stožac. Kut na vrhu osnog presjeka tog stošca iznosi:

αααα

2

s = 2 ⋅⋅⋅⋅ r

r rr

s = 2 ⋅⋅⋅⋅ rαααα

1 11

sin sin sin sin sin2 2 2 2 2 2 2 2 2

r r r

rs r

α α α α α −= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅

0 0 030 30 60 .

2/ 2

2

α αα⋅⇒ = ⇒ = ⇒ =

Vježba 046 Kada se plašt stošca razvije u ravninu dobije se četvrtina kruga. Koliko iznosi kut na vrhu

osnog presjeka tog stošca?

Rezultat: 28° 57' 18''.

Zadatak 047 (Natalija, srednja škola) Promjeri triju kugala u omjeru su 1 : 2 : 6. Koliko je puta obujam najveće kugle veći od zbroja

obujmova dviju manjih?


Obujam kugle polumjera r iznosi:

3.

4

3V r π= ⋅ ⋅

Obujam kugle promjera d iznosi:

.

2 3 34 4 1 32

4 34 3 2 3 8 63

33

dd r r

d dV V V d

V rV r

π π ππ

π

= ⋅ =

⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

Budući da je zadan omjer promjera triju kugala, slijedi:

1

: : 1 : 2 : 6 2 .1 2 3 2

63

d k

d d d d k

d k

=

= ⇒ = ⋅

= ⋅

Računamo omjer obujma najveće kugle i zbroja obujmova dviju manjih.

6

( ) ( )

1 13 3 33 3 33 6 3 6 3

1 1 13 3 3 3 3 31 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 26

1

66

6

6

1

d d dV V V

V V V V V Vd d d d d d

π π π

π ππ π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⇒ = ⇒ = ⇒+ + +

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +⋅⋅ ⋅ +

( )

( )

3 3 36 2163 3 3 3

3 3 3 3 33821 2 1 2 1 21 2

V d V Vk k

V V V V V Vd d k kk k

⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

+ + ++ + ⋅+ ⋅

32163 3 24.

391 2 1 2

V Vk

V V V Vk

⋅⇒ = ⇒ =

+ +⋅

Vježba 047 Promjeri triju kugala u omjeru su 2 : 4 : 12. Koliko je puta obujam najveće kugle veći od

zbroja obujmova dviju manjih?

Rezultat: 24 puta.

Zadatak 048 (Boro, srednja škola) Kugla ima obujam 288 · π cm

3. Koliki joj je polumjer?


.3 3

a a=

Kugla polumjera r ima obujam (volumen):

3.

4

3V r π= ⋅ ⋅

Polumjer kugle iznosi:

4 4 3 33/

3 33 3 3 3 3

3 3 4 4 4/

4

V V VV r V r r r r

ππ π

π π π

⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ =⋅

⋅⇒

⋅ ⋅ ⋅

3 3 333 288 3 288 3 28833 3 3

3 724 4 4

cm cm cmr r r r cm

π

π

π

π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒

⋅ ⋅

( )3 3 33

216 6 6 .r cm r cm r cm⇒ = ⇒ = ⇒ =

Vježba 048 Kugla ima obujam 36 · π cm

3. Koliki joj je polumjer?

Rezultat: 3 cm.

Zadatak 049 (Brankica, srednja škola) Polumjeri triju kugli odnose se kao 1 : 2 : 3. Dokaži da je obujam najveće kugle jednak

trostrukom zbroju obujmova manjih dviju.


( ) .n n n

a b a b⋅ = ⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Kugla polumjera r ima obujam (volumen):

3.

4

3V r π= ⋅ ⋅

7

Za polumjere triju kugli vrijedi:

1

: : 1 : 2 : 3 2 .1 2 3 2

33

r k

r r r r k

r k

=

= ⇒ = ⋅

= ⋅

Obujam V3 najveće kugle iznosi:

4 3.

3 33V r π= ⋅ ⋅

Obujmovi V1 i V2 manjih kugli iznose:

4 43 3, .

1 1 2 23 3V r V rπ π= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Računamo omjer obujma V3 najveće kugle i zbroja obujmova V1 + V2 manjih dviju.

( ) ( )

4 43 3 33 3 33 3 3 3 3

4 4 43 3 3 3 3 31 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 23

4

33

3

3

4

r r rV V V

V V V V V Vr r r r r r

π π π

π ππ π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⇒ = ⇒ = ⇒+ + +

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +⋅⋅ ⋅ +

( )

( )

3 3 3 33 33 3 3 3

3 3 3 3 3 33221 2 1 2 1 21 2

V r V Vk k

V V V V V Vr r k kk k

⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

+ + ++ + ⋅+ ⋅

3 327 27 27 273 3 3 33 3 3 98 9 91 2 1 2 1 2

3

31 2

V V V Vk k

V V V V V V

k

V Vk k kk

⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

+ + + ++ ⋅ ⋅ ⋅

( )3 3 3 .3 1 2

1 2

VV V V

V V⇒ = ⇒ = ⋅ +

+

Vježba 049 Polumjeri triju kugli odnose se kao 2 : 4 : 6. Dokaži da je obujam najveće kugle jednak

trostrukom zbroju obujmova manjih dviju.

Rezultat: Dokaz analogan.

Zadatak 050 (Ivana, gimnazija) Opseg osnog presjeka uspravnog stošca iznosi 48 cm, a površina plašta je 128 · π cm

2 . Koliko

je oplošje stošca?



do ravnine baze. Plašt stošca opisuju izvodnice VP kad točka P putuje obodom kruga. Stožac je

uspravan ako je spojnica VS okomita na ravninu baze. Ovdje je S središte kruga.

2 ⋅⋅⋅⋅ r ⋅⋅⋅⋅ ππππ

s s

sv

r

S

V

P

8

Plašt stošca može se rezanjem po izvodnici prostrijeti u ravninu. Dobiva se kružni isječak polumjera s

i duljine luka 2 · r · π.

Oplošje uspravnog stošca s bazom polumjera r i izvodnicom s iznosi:

( ).O r r sπ= ⋅ ⋅ +

Površina plašta je:

.P r sπ= ⋅ ⋅

Presjek stošca s ravninom koja prolazi njegovim vrhom i bilo kojim promjerom baze nazivamo osni

presjek. Ako je stožac uspravan, onda je osni presjek jednakokračan trokut s osnovicom duljine 2 · r i

krakom duljine s.

s

r r

s

Računamo oplošje stošca.

Budući da je zadan opseg osnog presjeka uspravnog stošca, slijedi:

metoda/ : 2

komparacij

2 22 2 48 2 2 48 24.

8 e4

O r sr s r s r s

O

= ⋅ + ⋅⇒ ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ + =

=

Budući da je zadana površina plašta uspravnog stošca, slijedi:

metoda/ :

komparacije128 128 128.

128

P r sr s r s r s

P

ππ π π ππ

π

= ⋅ ⋅⇒ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ =

= ⋅

Iz sustava jednadžbi dobije se:

( )metoda

supstituc

24 24 224 128 24 128

128 128 ije

r s s rr r r r

r s r s

+ = = −⇒ ⇒ ⇒ ⋅ − = ⇒ ⋅ − = ⇒

⋅ = ⋅ =

( )2 2 224 128 0 24 128 0 241 0/ 128r r r r r r⇒ − + ⋅ − = ⇒ − + ⋅ − ⋅ −= ⇒ − ⋅ + = ⇒

1 , 24 , 1282 24 576 4 1 12824 128 0

24 1,2 2 11 , 24 , 128

1,2 2

a b c

r rr

b b a ca b c r

a

= = − =± − ⋅ ⋅− ⋅ + =

⇒ ⇒ ⇒ = ⇒− ± − ⋅ ⋅ ⋅= = − = =

⋅

24 8 32

1 124 576 512 24 64 24 8 2 21,2 1,2 1,2 24 8 162 2 2

2 22 2

r r

r r r

r r

+= =

± − ± ±⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ ⇒

−= =

161

.8

2

r

r

=⇒

=

Sada računamo pripadne izvodnice.

• 24

16 24 24 16 8.16

r ss s s

r

+ =⇒ + = ⇒ = − ⇒ =

=

9

Nema smisla jer svaka stranica trokuta mora biti manja od zbroja preostalih dviju stranica.

• 24

8 24 24 8 16.8

r ss s s

r

+ =⇒ + = ⇒ = − ⇒ =

=

Oplošje stošca iznosi:

( )( )

8 , 16 28 8 16 192 .

r cm s cmO cm cm cm O cm

O r r sπ π

π

= =⇒ = ⋅ ⋅ + ⇒ = ⋅

= ⋅ ⋅ +

Vježba 050 Opseg osnog presjeka uspravnog stošca iznosi 4.8 dm, a površina plašta je 1.28 · π dm

2 .

Koliko je oplošje stošca?

Rezultat: 2

1.92 .dmπ⋅

Zadatak 051 (Ivana, gimnazija) Površina presjeka krnjeg stošca ravninom koja prolazi polovištem njegove visine paralelno

osnovici jednaka je 225 · π cm2. Obujam stošca iznosi 2800 · π cm

3, duljina visine je 12 cm. Koliki su

polumjeri osnovica ovog stošca?


Krnji stožac dobiva se presijecanjem stošca ravninom paralelnom s ravninom baze. Krnji stožac

kojemu baze imaju polumjere R i r, a visina iznosi v, ima obujam

( )2 2

3.

vV R R r r

π ⋅= ⋅ + ⋅ +

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S (središta) manja ili jednaka

zadanom broju r > 0 (polumjeru kruga).

Ploština kruga duljine polumjera r izračunava se po formuli

2.P r π= ⋅

Trapez je četverokut kojemu su barem dvije stranice paralelne. Usporedne (paralelne) stranice trapeza

zovu se osnovice, a druge dvije zovu se kraci trapeza. Dužina koja spaja polovišta krakova trapeza

zove se srednjica trapeza. Srednjica trapeza paralelna je s osnovicama trapeza i jednaka je polovici

zbroja duljina osnovica trapeza.

s = a + c

2

s cs a

s

c

a

v

2

v

2

s

R

r

Presjek krnjeg stošca ravninom koja prolazi polovištem njegove visine paralelno osnovici je krug čiji

10

polumjer s iznosi:

metoda/ :

komparacije

22 2 2

225 225 225225

P ss s s

P

ππ π π π

ππ

= ⋅⇒ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒

= ⋅

2225 225 15/ .s s s⇒ = ⇒ = ⇒ =

r

R

s

v

2

v

2

Sa slike vidi se da je s srednjica trapeza kojemu je R donja osnovica, a r gornja osnovica. Zato vrijedi:

/ 2 2 2 15 30.2 2

R r R rs s R r s R r R r

+ += ⇒ = ⇒ + = ⋅ ⇒ + = ⋅ ⇒ + =⋅

Budući da je zadan obujam krnjeg stošca i visina, slijedi:

( ) ( )2 2

12 2 228003

32800 , 12

vV R R r r

R R r r

V v

ππ

π

π

⋅= ⋅ + ⋅ + ⋅

⇒ ⋅ + ⋅ + = ⋅ ⇒

= ⋅ =

( ) ( )2 2 2 22800 4

122

48 /0

1

30R R r r R R r r

π

ππ π π

⋅⇒ ⋅ + ⋅ + = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅+ ⋅

⋅= ⇒

2 2700.R R r r⇒ + ⋅ + =

Iz sustava jednadžbi dobiju se polumjeri osnovica krnjeg stošca.

metoda

supstitucij

30 30

2 2 2 270 e0 700

R r r R

R R r r R R r r

+ = = −⇒ ⇒ ⇒

+ ⋅ + = + ⋅ + =

( ) ( )22 2 2 2

30 30 700 30 900 60 700R R R R R R R R R⇒ + ⋅ − + − = ⇒ + ⋅ − + − ⋅ + = ⇒

2 230 900 60 700 30 900 6

20

20 70R R R RR R RR⇒ + ⋅ + − ⋅− + = ⇒ ⋅ + − ⋅ + = ⇒

2 230 900 60 700 0 30 200 0R R R R R⇒ ⋅ + − ⋅ + − = ⇒ − ⋅ + = ⇒

1 , 30 , 2002 30 900 4 1 20030 200 0

24 1,2 2 11 , 30 , 200

1,2 2

a b c

R RR

b b a ca b c R

a

= = − =± − ⋅ ⋅− ⋅ + =

⇒ ⇒ ⇒ = ⇒− ± − ⋅ ⋅ ⋅= = − = =

⋅

30 10

130 900 800 30 100 30 10 21,2 1,2 1,2 30 102 2 2

2 2

R

R R R

R

+=

± − ± ±⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒

−=

11

4020 201 2 1 1

.20 10 10

2 22 2

R R R cm

R R cmR

= = =⇒ ⇒ ⇒

= ==

Dobili smo dva rješenja za R ovisno o tome da li krnji stožac leži na većoj ili manjoj osnovici.

Polumjeri gornje osnovice stošca iznose:

• 30

1 120 30 30 20 10 10 .

1 1 1 1201

R rr r r r cm

R

+ =⇒ + = ⇒ = − ⇒ = ⇒ =

=

• 30

2 210 30 30 10 20 20 .

2 2 2 2102

R rr r r r cm

R

+ =⇒ + = ⇒ = − ⇒ = ⇒ =

=

Dakle, zadatak ima dva rješenja ovisno o tome da li krnji stožac leži na većoj ili manjoj osnovici.

Vježba 051 Površina presjeka krnjeg stošca ravninom koja prolazi polovištem njegove visine paralelno

osnovici jednaka je 2.25 · π dm2. Obujam stošca iznosi 2.8 · π dm

3, duljina visine je 1.2 dm. Koliki su

polumjeri osnovica ovog stošca?

Rezultat: R1 = 2 dm, r1 = 1 dm ; R2 = 1 dm, r2 = 2 dm.

Zadatak 052 (Aco, elektrotehnička škola) U uspravan stožac izvodnice s = 50 cm i polumjera osnovke (baze) R = 30 cm upisana je

kugla. Odredi obujam (volumen) kugle.



do ravnine baze. Plašt stošca opisuju izvodnice VP kada točka P putuje obodom kruga. Stožac je

uspravan ako je spojnica VS okomita na ravninu baze. Ovdje je S središte kruga.

S

V

P

Pitagorin poučak

Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat duljine hipotenuze jednak zbroju kvadrata

duljina kateta.

Sličnost trokuta

12

Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su

odgovarajući kutovi jednaki, a odgovarajuće stranice proporcionalne.

,, ,1 1 1

1 1 1

.a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti.

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1 B1

Prvi poučak sličnosti (K – K)

Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta.

Drugi poučak sličnosti (S – K – S)

Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu, a stranice koje odreñuju taj kut su

proporcionalne.

Treći poučak sličnosti (S – S – S)

Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne.

Četvrti poučak sličnosti (S – S – K)

Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne, a podudaraju se u kutu nasuprot većoj

stranici.

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je

a : b = k i c : d = k,

tada je razmjer ili proporcija

a : b = c : d.

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.

.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅

Obujam (volumen) kugle polumjera r iznosi:

3.

4

3V r π= ⋅ ⋅

r

r

v - r

R R

sss s

RR

v D

S

CCA B BA

V V

r

r

v - r

R R

ss s s

RR

v - r

r

rD

S

C

D

S

CA BBA

VV

13

Sa slika vidi se:

, , ,CB R BV s CV v CS SD r= = = = =

.SV CV CS v r= − = −

Budući da je trokut CBV pravokutan trokut, uporabom Pitagorina poučka izračuna se visina v stošca.

2 2 2 2 2 2 2 2 2 250 30 2500 900CV BV CB v s R v v= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒

2 21600 1600 1600 40 4/ 0 .v v v v v cm⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Uočimo pravokutne trokute ∆CBV i ∆SDV. Oni su slični jer se podudaraju u dva kuta (K – K) pa

vrijedi razmjer:

( ) ( ) ( ): : : : 30 40 50CB BV SD SV R s r v r R v r s r r r= ⇒ = − ⇒ ⋅ − = ⋅ ⇒ ⋅ − = ⋅ ⇒

( ) ( )/ :3 10 40 50 3 40 5 120 3 5 3 5 1200r r r r r r r r⇒ ⋅ − = ⋅ ⇒ ⋅ − = ⋅ ⇒ − ⋅ = ⋅ ⇒ − ⋅ − ⋅ = − ⇒

( )8 120 8 120 15 15/ : 8 .r r r r cm−⇒ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ = − ⇒ = ⇒ =

Obujam (volumen) kugle iznosi:

( )15

4 3 315 4500 .4 3

33

r cm

V cm V cmV r

π ππ

=

⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅= ⋅ ⋅

Vježba 052 U uspravan stožac izvodnice 5 dm i promjera osnovke (baze) 6 dm upisana je kugla. Odredi

obujam (volumen) kugle.

Rezultat: 3

4.5 .V dmπ= ⋅

Zadatak 053 (Aco, elektrotehnička škola)

Zadano je oplošje O = 150.976 cm2 uspravnog valjka i površina njegovog plašta P = 94.2478

cm2. Odredi visinu i obujam valjka.


Uspravni i kosi valjak istog polumjera baze r i visine v imaju jednake obujme (volumene). Taj obujam

iznosi:

2.V r vπ= ⋅ ⋅

Oplošje uspravnog valjka polumjera r i visine v računa se formulom

( )2 .O r r vπ= ⋅ ⋅ ⋅ +

Plašt valjka kad se prostre u ravninu je pravokutnik s jednom stranicom v, a drugom jednakom opsegu

kruga:

2 .r π⋅ ⋅

Zato je plašt valjka

.2P r vπ= ⋅ ⋅ ⋅

2 ⋅⋅⋅⋅ r ⋅⋅⋅⋅ ππππ

v

14

Budući da je zadano oplošje valjka i površina njegovog plašta, postavit ćemo sustav jednadžbi.

( ) 22 150.976150.976 2 2 150.976

94.2478 2 94.2478 2 94.2478

r r vO r r v

P r v r v

π π π

π π

⋅ ⋅ ⋅ + == ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =⇒ ⇒ ⇒

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

2 22 94.2478 1

metoda

sups50.976 2 150.976 94.24

titu78

cijer rπ π⇒ ⇒ ⋅ ⋅ + = ⇒ ⋅ ⋅ = − ⇒

2 2 2 22 56.728 2 3.14 56.728 6.28 56.728 6.2 / : 6.8 56.7 8 282r r r rπ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒

2 29.03 9.03 9.03 3 3 ./r r r r r cm⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Računamo visinu v valjka.

94.2478 , 3 94.2478 , 394.2478 , 3

12

2/2

2

P r P rP r

PP r v P r v

rv

rπ π

ππ

= = = == =

⇒ ⇒ ⇒= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅

94.24785 5 .

2 3 3.14v v v cm⇒ = ⇒ = ⇒ =

⋅ ⋅

Obujam (volumen) valjka iznosi:

3 , 5 2 33 5 45 45 .

2

r vV V V cm

V r vπ π π

π

= =⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

= ⋅ ⋅

Vježba 053 Zadano je oplošje O = 1.50976 dm

2 uspravnog valjka i površina njegovog plašta P = 94.2478

cm2. Odredi visinu valjka.

Rezultat: 5 cm.

Zadatak 054 (Tomislav, elektrotehnička škola)

Polumjer valjka uveća se za 50%. Za koliko se postotaka uveća njegov obujam?


.a b a b

n n n

++ =

Stoti dio nekog broja naziva se postotak. Piše se kao razlomak s nazivnikom 100. Postotak p je broj

jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine.

Na primjer,

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa p% od a? Odgovor je: .100

pa⋅

Neka je a početna cijena. Ako se poveća p%, konačna cijena je:

1100 100

.p p

a a a

+ ⋅ = + ⋅

Uspravni i kosi valjak istog polumjera baze r i visine v imaju jednake obujmove (volumene). Taj

obujam iznosi:

2.V r vπ= ⋅ ⋅

Neka je r polumjer baze valjka. Tada njegov obujam V iznosi:

15

2.V r vπ= ⋅ ⋅

Budući da se polumjer baze valjka uveća za 50%, novi polumjer r1 ima vrijednost:

50

100

50 1 3.

1 100 2 2r r r r r r r r= + ⋅ = + ⋅ = + ⋅ = ⋅

Obujam valjka V1 iznosi:

23 92 2

.1 1 1 12 4

V r v V r v V r vπ π π= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅

1.inačica

Obujam V1 izrazimo pomoću starog obujam V.

metoda

supstituci

9 29 4 5 4 51 4

1 1 14 4 4 4je2

V r vV V V V V V V

V r v

π

π

= ⋅ ⋅ ⋅ +⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒

= ⋅ ⋅

5 5 1251.25 .

1 1 1 1 14 4

4125%

4 100V V V V V V V V V V V V V V V⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅

Uvećanje je 125%.

2.inačica

Gledamo omjer obujmova V1 i V.

9 92

9 9 91 4 1 4 1 112 4 4 4

2

/2

r vr vV VV

r

V VV V

V V V Vr v v

π

π

π

π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⇒ = ⇒ =

⋅ ⋅

⋅⋅

⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒⋅ ⋅ ⋅

4 5 4 5 5 5

1 1 1 14 4 4 4 4

4

4V V V V V V V V V V V

+⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒

125125%

1001.25 .

1 1 1V V V V V V V V V⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅

Uvećanje je 125%.

Vježba 054 Polumjer valjka uveća se za 10%. Za koliko se postotaka uveća njegov obujam?

Rezultat: 21%.

Zadatak 055 (Josip, maturant)

Metalnu kuglu obujma 36 · π cm3 treba pretopiti u valjak. Odredite visinu valjka ako je

polumjer baze valjka jednak polumjeru kugle.


, ,0 .,1

,

na n a c a cn n n m

a a a a nmb d b da

⋅−= ≥ = = ⋅ =

⋅

Uspravni valjak polumjera baze r i visine v ima obujam

v.2

V r π= ⋅ ⋅

Obujam kugle polumjera r iznosi:

3.

4

3V r π= ⋅ ⋅

Iz obujma kugle izračuna se njezin polumjer r.

16

4 34 4 36 33 3 3

36 3633 3 4

36

3/

4

V rr r r

V

π ππ π π π

ππ

π

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅

⋅⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒

⋅= ⋅

333 3 3 332

3367 27 27 3 3/

4.r r r r r r

π

π

⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

⋅

⋅

Polumjer kugle je 3 cm.

=

Budući da obujam valjka mora biti jednak obujmu kugle, visina valjka uz zadani uvjet (polumjer baze

valjka jednak je polumjeru kugle) iznosi:

4 4 4 42 3 2 3v v v v 3 v

1/

24.

3 3 3 3r

V V r r r r rv kπ π π π

π= ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =⋅

⋅Visina valjka je 4 cm.

Vježba 055 Metalnu kuglu oplošja 36 · π cm

2 treba pretopiti u valjak. Odredite visinu valjka ako je

polumjer baze valjka jednak polumjeru kugle.

Rezultat: 4 cm. Naputak: oplošje kugle je O = 4 · r2 · π.

Zadatak 056 (Mirna, srednja škola)

Promjer Marsa jednak je 0.53 promjera Zemlje. Koliki je omjer obujmova Zemlje i Marsa?


.

n na a

nb b

=


3.

4

3V r π= ⋅ ⋅

Promjer kugle je duljina dužine koja prolazi kroz središte kugle i čiji krajevi se nalaze na sferi.

Polumjer (radijus) je polovica promjera.

Sfera je skup točaka u prostoru jednako udaljenih (za radijus r) od neke točke (središta sfere).

Kugla je skup svih točaka prostora čija je udaljenost od središta S manja ili jednaka polumjeru r.

Omeñena je sferom polumjera r, tj. skupom točaka prostora čija je udaljenost od središta jednaka r.

Budući da je promjer Marsa jednak 0.53 promjera Zemlje, vrijedi:

2 0.53 2 2 0.53 2 0/ : 2 .53 .r r r r r rM Z M Z M Z

⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

Računamo omjer obujmova Zemlje i Marsa.

4 3 3 3 333

34 3 3 0.53

3

4

34

3

r rV V V r V r V rZ ZZ Z Z Z Z Z Z Z

V V V V r V rrM M M M M M Zr r MM M

π π

π π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

3 31

6.72.0.53 0.53

V V VZ Z Z

V V VM M

r

M

Z

rZ

⇒ = ⇒ = ⇒ =⋅

17

VZ : VM

Vježba 056 Promjer Marsa jednak je 0.53 promjera Zemlje. Koliki je omjer obujmova Marsa i Zemlje?

Rezultat: 0.149.

Zadatak 057 (Roda, gimnazija)

Koji od valjaka s opsegom osnog presjeka 2 · p ima najveće oplošje?


Pravokutnik je paralelogram kojemu je barem jedan kut pravi. Opseg pravokutnika, duljina stranica a i

b, izračunava se po formuli

( )2 .O a b= ⋅ +

Oplošje uspravnog valjka polumjera r i visine v računa se formulom

( )2 .O r r vπ= ⋅ ⋅ ⋅ +

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Kvadratna funkcija

( ) 2f x a x b x c= ⋅ + ⋅ +

ima ekstrem u točki s apscisom

0 2.

bx

a= −

⋅

Ekstrem je minimum ako je a > 0, maksimum ako je a < 0.

v

v

r

r

r

r

S

S

C

D

A

B

Osni presjek valjka je pravokutnik ABCD sa duljinama stranica 2 · r i v pa njegov opseg iznosi:

( )2 2 4 2 .O r v O r v= ⋅ ⋅ + ⇒ = ⋅ + ⋅

Budući da opseg osnog presjeka (pravokutnika) mora biti jednak 2 · p, slijedi:

18

metoda/ : 2

komparacije

24 2 2 4 2 2

4 2

O pr v p r v p

O r v

= ⋅⇒ ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒

= ⋅ + ⋅

2 2 .r v p v p r⇒ ⋅ + = ⇒ = − ⋅

Računamo opseg valjka.

( )( )

metoda

supstitucije

22 2

2

O r r vO r r p r

v p r

ππ

= ⋅ ⋅ ⋅ +⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⇒

= − ⋅

( ) 2 22 2 2 2 2 .O r p r O r p r O r p rπ π π π π⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

Uočimo da je oplošje valjka funkcija polumjera r.

( ) .O f r=

To je kvadratna funkcija po varijabli r čiji koeficijenti iznose:

( )

22

2 2 2 .

0

a

O r r p r b p

c

π

π π π

= − ⋅

= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

=

Budući da je koeficijent a negativan:

2 0a aπ= − ⋅ ⇒ <

funkcija ima maksimum u točki s apscisom

( )2 2

.2 2 2 2 2 2 2 2

2b p p p pr r r r r

a

π π

π

π

ππ

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ⇒ =

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

Dakle, najveća je vrijednost ove funkcije za .2

pr =

Sada računamo duljinu visine v valjka.

metoda2

supstitu

2

2cije 2

0.2

2

v p rp p

v p v p v p p vpr

= − ⋅

⇒ ⇒ = − ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒ = − ⇒ ==

Takav valjak ne postoji.

Vježba 057 Koji od valjaka s opsegom osnog presjeka 8 ima najveće oplošje?

Rezultat: Ne postoji.

Zadatak 058 (Anñela, gimnazija)

Visina stošca dugačka je 4 cm, duljina izvodnice je 10 cm. Kolika je površina presjeka stošca

ravninom koja prolazi vrhom stošca pod 60º u odnosu prema ravnini osnovke?


( ), , ,

2 2 230sin 60

21.

2,

a

n a d a abn a ac b c b bd

⋅= = = = =

⋅

, , , .aa c a d b c a a c a c

a b a bb d b d b b d b db

⋅ − ⋅ ⋅⋅ = ⋅ − = = ⋅ =

⋅ ⋅

Trokut je dio ravnine omeñen sa tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.

19

ββββ ββββ

αααα

vbvb

va

bb

a

Trokut koji ima dvije sukladne stranice zove se jednakokračan trokut. Sukladne stranice su kraci, a

treća stranica zove se osnovica ili baza trokuta. Ploština jednakokračnog trokuta izračunava se po

formuli

, .2 2

b va va bP P⋅⋅

= =

Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,

a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.

Pitagorin poučak:


duljina kateta.

Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot toga kuta i duljine

hipotenuze.


do ravnine baze. Izvodnice stošca spajaju vrh s točkama na kružnici.

αααα

vs

s

x

v1

s

s

NP

V

A

B

Presjek stošca ravninom koja prolazi vrhom stošca pod 60º u odnosu prema ravnini osnovke je

jednakokračan trokut ∆ABV. Sa slike vidi se:

1 010 , , 4 , , 60

1 2VA VB s VP v VN v AP AB x VPN α= = = = = = = ⋅ = ∠ = =

Računamo duljinu visine v1 jednakokračnog trokuta ∆ABV.

20

αααα

vs

s

x

v1

s

s

NP

V

A

B

Uočimo pravokutan trokut ∆VPN i pomoću funkcije sinus izračunamo visinu v1.

40 0sin sin 60 sin 60

1 1 0sin sin 601 1

1/sin

VN v v vv v

VP

v

v vα

αα= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =⋅ ⇒

4

4 81 .1 1 13 3 3

2 2

v v v⇒ = ⇒ = ⇒ =

Sada tražimo duljinu osnovice (baze) jednakokračnog trokuta ∆ABV.

αααα

vs

s

x

v1

s

s

NP

V

A

B

Uočimo pravokutan trokut ∆VAP i pomoću Pitagorina poučka izračunamo duljinu katete x. To je

polovica osnovice jednakokračnog trokuta ∆ABV.

( )

2 28 82 2 2 2 2 2 2 2 2

10 1001 23

3

AP VA VP x s v x x= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒

64 100 64 300 64 236 2362 2 2 2 2100

3 1 3 3 3 3/x x x x x

−⇒ = − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

21

djelomično

korjenovanj

236 4 59 2 59236.

3 3 3 3ex x x x

⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒ =

Duljina osnovice (baze) jednakokračnog trokuta ∆ABC iznosi:

2 59 2 59 4 5922 2 2 .

13 3 3AB AP x

⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

Računamo površinu jednakokračnog trokuta ∆ABV iznosi:

( )

32 594 59 84 59 8 2,

33 33 3

2 2

2

AB VP

P PABV ABV

AB VPP

ABV

⋅⋅⋅

⋅= =

⇒ = ⇒ = ⇒⋅

=

32 59 59 16 59

16

32

59 23 3 3 .2 1 3

1 1

2

1

P P P P cmABV ABV ABV ABV

⋅ ⋅ ⋅

⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Vježba 058 Visina stošca dugačka je 0.4 dm, duljina izvodnice je 1 dm. Kolika je površina presjeka stošca

ravninom koja prolazi vrhom stošca pod 60º u odnosu prema ravnini osnovke?

Rezultat: 16 59 2

.3

cm⋅

Zadatak 059 (Dora, gimnazija)

Kugla je presječena ravninom, a polumjer kruga koji je presjek, dug je 8 cm. Koliki je obujam

kuglina odsječka, ako je njegova visina 4 cm?


( ), ,2

1.

2 22

n a c a cn a b a a b b

b d b d

⋅= ⋅ = − = − ⋅ ⋅ +

⋅

Pitagorin poučak:


duljina kateta.

Kugla je skup svih točaka u prostoru kojih je udaljenost do čvrste točke – središta kugle manja ili

jednaka njezinom polumjeru r. Točke na rubu kugle čine sferu.

Presjek je ravnine i kugle krug. Presjek je ravnine i sfere kružnica.

Obujam kuglina odsječka

( ) ( ), ,1 12 2 2

3 313 6

V v r v V v r vπ π= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

gdje je r polumjer kugle, v visina kuglina odsječka, r1 polumjer kruga u kojem se sijeku ravnina i

kugla.

22

r

r1

v

r1

v

r

B

C

A

S S

Sa slika vidi se:

, 8 , 4 , 41

SA SB r CA r CB v SC SB CB r= = = = = = = − = −

Uočimo pravokutan trokut ∆SAC i pomoću Pitagorina poučka izračunamo r.

( ) ( )2 2 2 2 22 2 2 2

4 8 41

SA CA SC r r r r r= + ⇒ = + − ⇒ = + − ⇒

2 264 8 16 64 8 16 0 64 1

26

28r r rr rrr +⇒ = + − ⋅ + ⇒ = − ⋅ + ⇒ = − ⋅ + ⇒

8 64 16 8 80 8 80 10 ./ : 8r r r r cm⇒ ⋅ = + ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Računamo obujam kuglina odsječka na dva načina.

1.inačica

( )( ) ( )

10 , 41 12

4 3 10 4 16 30 41 23 33

3

r v

V VV v r v

π ππ

= =

⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⇒= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

16 416 326 .

3 3V V cmπ π⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

2.inačica

( ) ( ) ( )8 , 4

1 1 12 24 3 8 4 4 3 64 161 2 2 6 63

16

r v

V VV v r v

π ππ

= =

⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⇒= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

( )4 4 2 416 3

192 16 208 208 208 .4

66 6 3 3V V V V V cmπ π π π π⇒ = ⋅ ⋅ + ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

Vježba 059 Kugla je presječena ravninom, a polumjer kruga koji je presjek, dug je 0.8 dm. Koliki je

obujam kuglina odsječka, ako je njegova visina 0.04 m?

Rezultat: 416 3

.3

V cmπ= ⋅

Zadatak 060 (Dora, gimnazija)

U valjkastu posudu polumjera osnovke 6 cm i visine 10 cm spustimo metalnu kuglicu

promjera 6 cm. Do koje bi najmanje visine morala biti voda u posudi kako bi se cijela kuglica nakon

uranjanja našla pod vodom?


Obujam valjka

23

Uspravni i kosi valjak polumjera osnovke (baze) r i visine v imaju jednake obujmove. Taj obujam

iznosi:

2.V S v V r vπ= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

Obujam kugle


3.

4

3V r π= ⋅ ⋅

Da bi se cijela kuglica nakon uranjanja našla pod vodom razina vode u valjkastoj posudi mora biti

jednaka promjeru kuglice.

2 6 .v r cm= ⋅ =

Polumjer kuglice iznosi

16 3 .

1 2r cm= ⋅ =

Kada kuglicu uronimo u vodu razina vode u valjkastoj posudi podigne se za ∆v. Povećanje obujma

vode u posudi jednako je obujmu kuglice.

4 42 3 2 31 13

1/

23V V r v r r

r

r vπ π π ππ

∆ = ⇒ ⋅ ⋅ ∆ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ∆ = ⋅ ⋅⋅

⋅ ⇒

( )

( )

3 34 4 31 1 .

2 23 3 6

r cmv v v cm

r cm

⋅ ⋅⇒ ∆ = ⇒ ∆ = ⇒ ∆ =

⋅ ⋅

Razina vode prije uranjanja kuglice mora iznositi:

6 1 5 .1 1 1

v v v v cm cm v cm= − ∆ ⇒ = − ⇒ =

v = 2 ⋅⋅⋅⋅ r

∆∆∆∆v

v1

Vježba 060 U valjkastu posudu polumjera osnovke 60 mm i visine 1 dm spustimo metalnu kuglicu

promjera 0.6 dm. Do koje bi najmanje visine morala biti voda u posudi kako bi se cijela kuglica nakon

uranjanja našla pod vodom?

Rezultat: 5 cm.

· 2012-05-03 · 4 Visina v dobije se iz formula za površinu trokuta. Uo čimo osjen čani...

Documents

Transcript of · 2012-05-03 · 4 Visina v dobije se iz formula za površinu trokuta. Uo čimo osjen čani...