O ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

gkalios.blogspot.com

Γιώργος Γκάλιος

195

8.3 H ΛΥΣΗ ΤΗΣ ∆ΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΤΟΥ ΑΠΛΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ

Η διαφορική εξίσωση της κίνησης του εκκρεµούς

g

(t) sin (t) 0′′θ + θ =l

είναι δυνατόν να ειλυθεί χωρίς καµιά ροσέγγιση. Όµως η λύση εριέχει µια συνάρτηση ου δεν είναι αρκετά γνωστή, την ελλειτική συνάρτηση snx .

Στο κεφάλαιο αυτό θα δούµε ότι η ελλειτική συνάρτηση snx ορίζεται ως η

αντίστροφη της συνάρτησης ου ορίζει το ελλειτικό ολοκλήρωµα 1ου είδους. Για να κατανοηθεί καλύτερα ο ορισµός αυτός αρχικά θα ορίσουµε µε ανοµοιότυο τρόο την γνωστή συνάρτηση του ηµιτόνου.

8.3.1 ΕΝΑΣ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΤΟΥ ΗΜΙΤΟΝΟΥ Γνωρίζουµε ότι η κυκλοµετρική συνάρτηση

1sinx y−= ή arcsiny , [ 1,1] ,2 2

π π − → −

είναι η αντίστροφη της συνάρτησης

siny x= , , [ 1,1]2 2

π π − → −

εφόσον στο διάστηµα ,2 2

π π − η συνάρτηση του ηµιτόνου είναι συνεχής και

γνησίως αύξουσα.

−π2

π2

x

-1

-0.5

0.5

1

y = sinx

-1 -0.5 0.5 1y

−π2

π2

x = sin−1y

Σχήµα 1: Οι γραφικές παραστάσεις της συνάρτησης του ηµιτόνου και της αντίστροφης

συνάρτησης του τόξου ηµιτόνου.



196

Ας ροσοιηθούµε τώρα ότι δεν γνωρίζουµε την σχέση αντιστροφής των

συναρτήσεων αυτών και ας ορίσουµε την συνάρτηση 1sinx y−= µέσω του γνωστού

ολοκληρώµατος

( )1

20

( ) sin1

ydt

x F y yt

−= = =−∫ ή arcsiny

Τότε η αντίστροφη συνάρτηση της ( )F y , δηλ. η 1( )y F x−= , αοδεικνύεται ότι έχει

όλες τις ιδιότητες της συνάρτησης του ηµιτόνου, έτσι ώστε το ηµίτονο να οριστεί εξαρχής ως

1sin ( )y x F x−= =

Όµως ένα ρόβληµα ου ρέει να ξεεραστεί στον αραάνω ορισµό είναι το

γεγονός ότι το εδίο τιµών της συνάρτησης τόξου ηµιτόνου ( )arcsin είναι το

διάστηµα ,2 2

π π − , ενώ το εδίο ορισµού της εριοδικής συνάρτησης του ηµιτόνου

είναι το διάστηµα [ ],−∞ +∞ .

Συνεώς ρέει να εεκτείνουµε το εδίο τιµών της συνάρτησης arcsin στο

διάστηµα [ ],−∞ +∞ . Για τον λόγο αυτό ορίζουµε τους κλάδους της κυκλοµετρικής

συνάρτησης, ου θεωρείται λειονότιµη συνάρτηση. Έτσι ρωτεύων κλάδος είναι

( )( )1

0 0 020

arcsin ( ) sin1

ydt

x y F y yt

−= = = =−∫ , [ 1,1] ,

2 2

π π − → −

η αντίστροφη της οοίας δίνει την συνάρτηση του ηµιτόνου

10sin ( )y x F x−= = ορισµένη στο διάστηµα , [ 1,1]

2 2

π π − → −

Η γραφική αράσταση του ηµιτόνου στο διάστηµα αυτό φαίνεται στο σχήµα 1. Παρατηρούµε ότι

( )

1

02

0

(1)21

dtF

t

π= =

−∫

Ορίζοντας τον εόµενο κλάδο ως

( )1 0 0 1

20

arcsin 2 (1) ( ) ( )1

ydt

x y F F y F yt

π= = + = + =−∫ ,

3[ 1,1] ,

2 2

π π − →

και αντιστρέφοντας ροκύτει η συνάρτηση του ηµιτόνου

11sin ( )y x F x−= = ορισµένη στο διάστηµα

3, [ 1,1]

2 2

π π → −

Ήδη οι δυο κλάδοι της συνάρτησης τόξου ηµιτόνου αντιστοιχούν σε µια ερίοδο

02 4 (1)Fπ = της συνάρτησης του ηµιτόνου. Έτσι, µορούµε να γενικεύσουµε

γράφοντας

1( ) arcsin ( ) sin

[ 1,1] , , [ 1,1]2 2 2 2

k k kx F y y y F x x

k k k kπ π π ππ π π π

−= = = = ⇔ − → − + − + → −

, µε k ∈



197

καλύτοντας µε τον τρόο αυτό ολόκληρο το εδίο ορισµού της συνάρτησης του

ηµιτόνου [ ],−∞ +∞ και αναδεικνύοντας την εριοδικότητά της µε ερίοδο

02 4 (1)T Fπ= = .

-1 -0.5 0.5 1y

−3 π2

−π

−π2

π2

π

3 π2

x = sin−1y

−3 π2

−π −π2

π2

π 3π2

x

-1

-0.5

0.5

1

y = sinx

Σχήµα 2: Το γράφηµα της συνάρτησης του ηµιτόνου που προκύπτει ως η αντίστροφη των

κλάδων της συνάρτησης του τόξου ηµιτόνου

arcsin ( )k kx y F y= = 1sin ( )ky x F x−⇔ = =

για 1k = − (πράσινο), 0k = (κόκκινο) και 1k = (µαύρο).



198

Με αρόµοιο τρόο µορούµε να ορίσουµε την συνάρτηση 2

0

arctan1

ydt

yt

=+∫

και στη συνέχεια την αντίστροφή της την tanx , την tanhx ως την αντίστροφη της

12

0

tanh1

ydt

yt

− =−∫ ή την xe ως την αντίστροφη της

1

lny

dty

t=∫ κ.ο.κ.

8.3.2 Ο ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Η ανάλυση της ροηγούµενης αραγράφου µας έδειξε ως αό το ολοκλήρωµα

( )20 1

ydt

t−∫

µορούµε να ορίσουµε µια ασίγνωστη τριγωνοµετρική συνάρτηση, την συνάρτηση

sinx . Εδώ θα ξεκινήσουµε αό το ελλειτικό ολοκλήρωµα 1ου είδους και θα ορίσουµε µε ανοµοιότυο τρόο τις όχι και τόσο γνωστές ελλειτικές συναρτήσεις.

Σε ροηγούµενη ενότητα ορίστηκε το ελλειτικό ολοκλήρωµα ρώτου είδους* ως

( )( )2 20

( , )1 1

ydt

x F y mt mt

= =− −∫ , 0 1m≤ ≤ (8.37)

Ή κάνοντας τον µετασχηµατισµό sint u= ( )siny ϕ= † το ολοκλήρωµα (8.37)

αίρνει την ισοδύναµη µορφή

( )20

( , )1 sin

dux F m

m u

ϕ

ϕ= =−∫ , 0 1m≤ ≤ (8.38)

Η ανάλυση της ροηγούµενης ενότητας µας οδηγεί στο να ορίσουµε έναν νέο τύο

συνάρτησης ου θα ροκύτει ως η αντίστροφη της συνάρτησης ( , )F y m ου ορίζει

το ολοκλήρωµα (8.37). Θέτοντας τις ακραίες τιµές 0m = και 1m = στην εξ. (8.37) τότε το ολοκλήρωµα εκφυλίζεται στις γνωστές συναρτήσεις

( )1

20

( ,0) sin1

ydt

F y yt

−= =−∫ και 1

20

( ,1) tanh1

ydt

F y yt

−= =−∫ (8.39)

Αυτό σηµαίνει ότι η νέα συνάρτηση για τις οριακές τιµές της αραµέτρου m θα

εκφυλίζεται στις στοιχειώδεις συναρτήσεις sin και tanh. Η αντίστροφη της συνάρτησης ου ορίζει η εξίσωση (8.37) [ή (8.38)] είναι µία ελλειτική συνάρτηση Jacobi

* Εδώ γίνεται µια µικρή αλλαγή στο συµβολισµό των µεταβλητών για να υπάρχει συµφωνία µε

την προηγούµενη ενότητα † Υπενθυµίζεται ότι το ϕ ονοµάζεται πλάτος και ότι παράµετρος m συµβολίζεται και ως

2k m= ή ως 2sinm a= ( )sink a= .



199

1sn( , ) ( , ) siny x m F x m ϕ−= = = (8.40)

Αό την εξ. (8.39) ροκύτει ότι

sn( , 0) sinx m x= ≡ ,

και

sn( , 1) tanhx m x= ≡ .

Η συνάρτηση sn( , )x m είναι εριοδική µε ερίοδο* 4 ( )T K m= , όου 2

2

0

( )1 sin

duK m

m u

π

=−∫

το λήρες ελλειτικό ολοκλήρωµα 1ου είδους. Παρατηρείστε την αναλογία µε την ερίτωση του ηµιτόνου όως ορίστηκε στην ροηγούµενη αράγραφο.

Η συνάρτηση ( , )F y m έχει εδίο ορισµού το διάστηµα [ 1,1]− , ενώ το εδίο τιµών

εξαρτάται αό την τιµή της αραµέτρου m και βρίσκεται µεταξύ ( 1, ) ( )F m K m− = −

και (1, ) ( )F m K m= †. Έτσι, µορούµε να ούµε ότι ο ρωτεύων κλάδος της ορίζεται

ως

( )( )[ ]0

2 20

( , ) , [ 1,1] ( ), ( )1 1

ydt

F y m K m K mt mt

= − → −− −∫

και αντιστρέφοντας αίρνουµε την ελλειτική συνάρτηση

* Μπορούµε π.χ. να αποδείξουµε ότι ( )sn 2 snx K x+ = − . Θεωρούµε τις σχέσεις (σύµφωνα

µε τον ορισµό της ελλειπτικής συνάρτησης)

2

0

sn sin1 sin

dx x

m

ϕ

θϕ

θ= ⇔ =

−∫ (i)

2

0

sn sin( ) sin1 sin

d

m

ϕ π

ϕυ υ ϕ π ϕ

ϕ

+

= ⇔ = + = −−∫ (ii)

Όµως το ολοκλήρωµα (ii) γράφεται

2 2 2 2

0 0

21 sin 1 sin 1 sin 1 sin

d d d dK

m m m m

ϕ π ϕ π ϕ ππ

π π

ϕ ϕ ϕ ϕυ

ϕ ϕ ϕ ϕ

+ + +

= = + = +− − − −∫ ∫ ∫ ∫ (iii)

Κάνοντας τον µετασχηµατισµό ϕ π θ= + παίρνουµε

2

0

21 sin

dK

m

ϕ

θυ

θ= +

−∫ και οπότε σύµφωνα µε την εξ. (i)

2K xυ = + (iv)

Από τις εξ. (i), (ii) και (iv) προκύπτει ότι ( )sn 2 snx K x+ = − και ( )sn 4 snx K x+ = † Χρειάζεται προσοχή όταν θεωρούµε το ελλειπτικό ολοκλήρωµα ως ( , )F mϕ , µε siny ϕ= .

Τότε ναι µεν το πλάτος ϕ µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή, όµως πάντα ισχύει 1 1y− ≤ ≤ .



200

1sn( , ) ( , ) , [ ( ), ( )] [ 1,1]y x m F x m K m K m−= = − → −

Ορίζοντας τον εόµενο κλάδο ως

( )( )[ ]1

2 20

( , ) 2 ( ) , [ 1,1] ( ),3 ( )1 1

ydt

F y m K m K m K mt mt

= + − →− −∫

τότε η αντίστροφη συνάρτηση είναι

11sn( , ) ( , ) , [ ( ),3 ( )] [ 1,1]y x m F x m K m K m−= = → −

Έτσι, καλύτεται µια ερίοδος 4 ( )T K m= της ελλειτικής συνάρτησης.

Γενικεύοντας έχουµε:

[ ] [ ]

1( , ) ( , ) sn( , )

[ 1,1] (2 1) ( ), (2 1) ( ) (2 1) ( ), (2 1) ( ) [ 1,1]

k kx F y m y F x m x m

n K m n K m n K m n K m

−= = = ⇔

− → − + − + → −

Οι ελλειτικές συναρτήσεις όως και τα ελλειτικά ολοκληρώµατα υολογίζονται αό το ρόγραµµα Mathematica.

Η εντολή υολογισµού της ελλειτικής συνάρτησης ( )sn ,x m είναι:

JacobiSN[x,m] Τα εόµενα σχήµατα ου δίνουν µια οτική ερµηνεία της ροηγούµενης ανάλυσης έγιναν χρησιµοοιώντας το ρόγραµµα Mathematica. Υενθυµίζεται ότι η εντολή υολογισµού του ελλειτικού ολοκληρώµατος 1ου είδους είναι EllipticF[φ, m] όου φ το λάτος και η m η αράµετρος.



201

-1 -0.5 0.5 1y

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

x=FHy,mL

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5x

-1

-0.5

0.5

1

y = snx

Σχήµα 1: Άνω: η γραφική παράσταση της συνάρτησης του ελλειπτικού ολοκληρώµατος 1ου

είδους ( ), 1 2x F y m= = , [ ][ 1,1] (1 2), (1 2)K K− → − όπου ( )1 2 1,85405K =

Κάτω: η γραφική παράσταση της αντίστροφης αυτής, δηλαδή της ελλειπτικής συνάρτησης

( )sn , 1 2y x m= = , [ ](1 2), (1 2) [ 1,1]K K− → −



202

-1 -0.5 0.5 1y

-4

-2

2

4

x=FHy,mL

-4 -2 2 4x

-1

-0.5

0.5

1

y = snx

Σχήµα 2: Άνω: Οι κλάδοι της συνάρτησης ( ),1 2kx F y= για 1k = − (πράσινο), 0k =

(κόκκινο) και 1k = (µαύρο). Κάτω: Η αντίστροφη συνάρτηση ( ) ( )1 ,1 2 sn ,1 2ky F x x−= ≡

για τους αντίστοιχους κλάδους.



203

-2 -1 1 2x

-2

-1

1

2

y

Σχήµα 3: Οι συναρτήσεις ( ),1 2y F x= (µαύρη καµπύλη) και ( )sn ,1 2y x= στο ίδιο

σύστηµα αξόνων. Η συµµετρία ως προς την διχοτόµο του πρώτου και τρίτου τεταρτηµορίου

δείχνει ότι οι συναρτήσεις αυτές είναι αντίστροφες.

-10 -5 5 10x

-1

-0.5

0.5

1

y = snx

Σχήµα 4: Το γράφηµα της ελλειπτικής συνάρτησης ( )sn ,1 2y x= . Η περίοδος είναι

( )4 1 2 4 1,85405 7,4163T K= = ⋅ = .



204

-10 -5 5 10x

-1

-0.5

0.5

1

y = snx

Σχήµα 5: Η ελλειπτική συνάρτηση sn( , )y x m= , για 0m = . Όπως έχουµε ήδη δείξει η

οριακή αυτή περίπτωση αντιστοιχεί στην συνάρτηση του ηµιτόνου. Παρατηρούµε ότι η

περίοδος είναι όπως αναµένεται 2 4 (0) 6,28319T Kπ= = = .

-10 -5 5 10x

-1

-0.5

0.5

1

y = snx

Σχήµα 6: Η ελλειπτική συνάρτηση sn( , )y x m= , για 1m = . Πρόκειται για την δεύτερη

οριακή περίπτωση που δίνει την συνάρτηση tanhx . Στην περίπτωση αυτή η περίοδος είναι

4 (1)T K= = ∞ .

Ξεκινώντας αό την ελλειτική συνάρτηση sn siny x ϕ= = µορούν να οριστούν

και οι ελλειτικές συναρτήσεις

2cn cos 1 snx xϕ= = −

2 2dn 1 sin 1 sn ( )x m xϕ ϕ= − = − ≡ ∆

Γενικά ορίζονται 12 ελλειτικές συναρτήσεις Jacobi!



205

8.3.3 ΟΙ Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Η εµβάθυνση της µελέτης των ελλειτικών συναρτήσεων οδηγεί στην Μιγαδική Ανάλυση. Έτσι, κάθε διλά εριοδική µεροµορφική συνάρτηση ονοµάζεται ελλειτική συνάρτηση. Η ελλειτική συνάρτηση sn ου ορίστηκε στην ροηγούµενη ενότητα, αν ιδωθεί ως µιγαδική συνάρτηση, κατά µήκος του

ραγµατικού άξονα έχει ερίοδο 4 ( )K m ενώ κατά µήκος του φανταστικού άξονα

ερίοδο 2 ( )iK m′ , όου

2

2

0

( )1 sin

duK m K

m u

π

= =−∫ και

2

1 21

0

( ) ( )1 sin

duK m K m K

m u

π

′ ′= = =−∫

και 1 1m m= − η συµληρωµατική αράµετρος. ∆ηλαδή ισχύουν οι εξισώσεις

( )sn 4 snz K z± = και ( )sn 2 snz iK z′± =

Οι ελλειτικές συναρτήσεις είναι αντού αναλυτικές εκτός αό τα σηµεία ου αοτελούν όλους. Ορίζουµε ένα λέγµα σηµείων στο µιγαδικό είεδο, όως φαίνεται στο αρακάτω σχήµα

s c s c

n d n d

s c s c

n d n d

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Θεωρούµε ότι η αραάνω διάταξη εαναλαµβάνεται ε’ άειρον σε ολόκληρο το µιγαδικό είεδο ρος όλες τις κατευθύνσεις. Για να ξεκινήσουµε τη διάταξη στο µιγαδικό είεδο κάνουµε την αρακάτω αρχική αντιστοιχία:

Σηµείο στο µιγαδικό επίπεδο Σύµβολο

0 s

( ) c

( ) ( )

K m

K m iK m′+ d

( ) niK m′

Ο ορισµός και ο συµβολισµός των 12 ειδών των ελλειτικών συναρτήσεων γίνεται

ως εξής: Έστω τα p και q δυο οοιαδήοτε αό τα γράµµατα s, c, d, n. Τότε οι

ελλειτικές συναρτήσεις Jacobi pq( )z ορίζονται αό τις αρακάτω ιδιότητες

1. η pq( )z έχει µια αλή ρίζα (µηδενίζον σηµείο) στο p και έναν αλό όλο στο q

2. το βήµα αό το p στο q είναι το µισό της εριόδου της pq( )z .

Οι αριθµοί ( ), ( ), ( ) ( )K m K m K m iK m′ ′+ ονοµάζονται τέταρτα της εριόδου.

Υενθυµίζεται ότι η ορθή γραφή µιας ελλειτικής συνάρτησης ρέει να εριέχει και

την αράµετρο m , δηλ. pq( , )z m , γεγονός ου αραλείψαµε ροηγουµένως για

συντοµία.



206

Πίνακας 1: Κατάταξη των δώδεκα ελλειπτικών συναρτήσεων Jacobi σύµφωνα µε τους

πόλους και τις ηµιπεριόδους τους. Οι τρεις συναρτήσεις σε µια κατακόρυφη στήλη

ονοµάζονται συνπολικές. Οι τέσσερις συναρτήσεις σε µια οριζόντια γραµµή ονοµάζονται

συνπεριοδικές.

Ηµιερίοδος Πόλος

iK ′

Πόλος

K iK ′+

Πόλος

K

Πόλος 0

Περίοδοι

iK ′ sn z cd z dc z ns z 2 ,4 4 ,4iK K iK K′ ′+

K iK ′+ cn z sd z nc z ds z 4 ,2 2 ,4iK K iK K′ ′+

K dn z nd z sc z cs z 4 ,4 4 ,2iK K iK K′ ′+

Στη συνέχεια αραθέτουµε µερικές ιδιότητες των ελλειτικών συναρτήσεων. 1. Σχέσεις των ελλειτικών συναρτήσεων µε την συνολική τριάδα sn z, cn z, dn z Έστω ότι τα p, q, r είναι τρία οοιαδήοτε αό τα γράµµατα s, c, d, n. Τότε ισχύει

pr

pqqr

zz

z=

αίρνοντας υόψιν ότι όταν δυο γράµµατα είναι ίδια τότε η αντίστοιχη συνάρτηση

τίθεται ίση µε τη µονάδα. Π.χ. ισχύουν sn

sddn

zz

z= ,

1ns

snz

z= ή

cncs

sn

zz

z= .

2. Στοιχειώδεις τιµές των συναρτήσεων sn z, cn z, dn z

sn(0) 0, cn(0) 1, dn(0) 1= = =

sn( ) snz z− = − , cn( ) cnz z− = , dn( ) dnz z− =

sn( ,0) sinz z= , cn( ,0) cosz z= , dn( ,0) 1z =

sn( ,1) tanhz z= , 1

cn( ,1) dn( ,1) sechz z

z z ze e−

= = =+

3. Σχέσεις µεταξύ των τετραγώνων των συναρτήσεων

(Υενθυµίζεται ότι 1 1m m+ = )

2 2cn sn 1z z+ =

2 2 21dn cn snz m m z m z m− + = − = −

2 2 21 1 1nd sd cdm z m mm z m z m− + = − = −

2 2 21 1 1sc nc dcm z m m z z m+ = = −

2 2 21cs ds nsz m z z m+ = = −

4. Ηµιερίοδοι, τέταρτα εριόδων

( ) cnsn cd

dn

zz K z

z± = ± = ± , ( )sn 2 snz K z± = − , ( ) cn

sn 3 cddn

zz K z

z± = =m m ,

( )sn 4 snz K z± =

( ) 1sn

snz iK

m z′+ = , ( )sn 2 snz iK z′+ =



207

και γενικά ( )sn 2 2 ( 1) snz K niK zλλ ′+ + = −

( )cn 2 2 ( 1) cnnz K nK zλλ +′+ + = −

( )dn 2 2 ( 1) dnnz K ni K zλ ′+ + = −

όου λ και n ακέραιοι. 5. Θεωρήµατα ρόσθεσης

1 2 2 1 2 11 2 2 2

1 2

sn cn dn cn sn dnsn( )

1 sn sn

z z z z z zz z

m z z

±± =

−

1 2 2 1 2 1 21 2 2 2

1 2

cn cn dn sn sn dn dncn( )

1 sn sn

z z z z z z zz z

m z z± =

−m

6. Τύοι διλασίου και ηµίσεως

4

2sn cn dnsn2

1 sn

z z zz

m z=

−

22

1 cn 1 dn dn cnsn

2 1 dn (1 cn ) dn cn

z z z z z

z m z m z m z

− − − = = = ′+ + + −

7. Παράγωγοι και ολοκληρώµατα

( )sn

cn dnd z

z zdz

= , ( )2

32

sn2 sn (1 )sn

d zm z m z

dz= − +

( )1sn ln dn cnz dz z m z

m= −∫

( )cn

sn dnd z

z zdz

= − , ( )1cn arccos dnz dz z

m=∫

( )dn

sn cnd z

m z zdz

= − , ( )dn arcsin snz dz z=∫

Στη συνέχεια αρουσιάζονται οι γραφικές αραστάσεις των ελλειτικών συναρτήσεων. Τα σχήµατα 1 έως 3 είναι αό το ‘HANDBOOK OF MATHEMATICAL FUNCTIONS’ των M. Abramowitz and I. Stegun, ενώ τα υόλοια έγιναν µε χρήση του ρογράµµατος Mathematica.



208

Σχήµα 1: Οι τρεις συνπολικές ελλειπτικές συναρτήσεις sn , cn και dn για 1 2m = . (το

όρισµά τους στο σχήµα συµβολίζεται µε u)

Σχήµα 2: Οι ελλειπτικές συναρτήσεις ns, nc και nd για 1 2m = .

Σχήµα 3: Οι ελλειπτικές συναρτήσεις sc, cs, cd και dc για 1 2m = .



209

-6 -4 -2 2 4 6x

-1

-0.5

0.5

1cd x m=0.2

-6 -4 -2 2 4 6x

-1

-0.5

0.5

1

cnx

-6 -4 -2 2 4 6x

-1

-0.5

0.5

1

cd x m=0.8

-6 -4 -2 2 4 6x

-1

-0.5

0.5

1

cnx

-6 -4 -2 2 4 6x

-1

-0.5

0.5

1

cd x m=0.9

-6 -4 -2 2 4 6x

-1

-0.5

0.5

1

cnx

-6 -4 -2 2 4 6x

-1

-0.5

0.5

1

cd x m=0.999

-6 -4 -2 2 4 6

x-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

cnx

-6 -4 -2 2 4 6x

0.5

1

1.5

2cd x m=1

-6 -4 -2 2 4 6x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

cnx

Σχήµα 4: Οι ελλειπτικές cn και cd για την τιµή της παραµέτρου 0m = ταυτίζονται µε τη

συνάρτηση του συνηµιτόνου, cn( ,0) cd( ,0) cosx x x= = . Για 1m = δίνουν

1

cn( ,1) sechcosh

x xx

= =

και cd( ,1) 1x =

Στο σχήµα βλέπουµε διαδοχικά γραφήµατα των συναρτήσεων καθώς 1m → .



210

-6 -4 -2 2 4 6x

-1

-0.5

0.5

1

sdx m=0.2

-6 -4 -2 2 4 6x

-1

-0.5

0.5

1

snx

-6 -4 -2 2 4 6x

-2

-1

1

2

sdx m=0.8

-6 -4 -2 2 4 6x

-1

-0.5

0.5

1

snx

-6 -4 -2 2 4 6x

-3

-2

-1

1

2

3

sdx m=0.9

-6 -4 -2 2 4 6x

-1

-0.5

0.5

1

snx

-6 -4 -2 2 4 6x

-10

-5

5

10sdx m=0.99

-6 -4 -2 2 4 6x

-1

-0.5

0.5

1

snx

-6 -4 -2 2 4 6x

-200

-100

100

200

sdx m=1

-6 -4 -2 2 4 6x

-1

-0.5

0.5

1

snx

Σχήµα 5: Οι ελλειπτικές sn και sd για την τιµή της παραµέτρου 0m = ταυτίζονται µε τη

συνάρτηση του ηµιτόνου, sn( ,0) sd( ,0) cosx x x= = . Για 1m = δίνουν

sn( ,1) tanhx x= και sd( ,1) sinhx x=

Στο σχήµα βλέπουµε διαδοχικά γραφήµατα των συναρτήσεων καθώς 1m → .



211

-15 -10 -5 5 10 15x

-40

-20

20

40

scx m=0

-15 -10 -5 5 10 15x

-20

-10

10

20

scx m=0.5

-15 -10 -5 5 10 15x

-30

-20

-10

10

20

30

scx m=0.8

-15 -10 -5 5 10 15x

-100

-50

50

100

scx m=0.99

-15 -10 -5 5 10 15x

-600000

-400000

-200000

200000

400000

scx m=1

Σχήµα 6: Η ελλειπτική συνάρτηση sc( , )x m για διάφορες τιµές της παραµέτρου m .

Ισχύουν: sc( ,0) tanx x= και sc( ,1) sinhx x=



212

Οι ελλειτικές συναρτήσεις είναι η γενίκευση των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων (όως το ελλειτικό ολοκλήρωµα 1ου είδους είναι η γενίκευση της

συνάρτησης τόξου ηµιτόνου). Εκτός αό την µορφή ου αίρνουν όταν 0m = ,

σηµειώνουµε και τις εξής ιδιότητες των συναρτήσεων sn( , )x m και cd( , )x m :

sn( ) snx x− = − , sn( ) cdx K x+ = , sn( 2 ) snx K x+ = − , sn( ) cdK x x− = −

cd( ) cdx x− = , cd( ) snx K x+ = − , cd( 2 ) cdx K x+ = − , cd( ) snK x x− =

Τοοθετώντας τώρα όου sn sin→ , cd cos→ και όου 2K π→ , αίρνουµε τις

ιδιότητες του ηµιτόνου και του συνηµιτόνου. Αό την άλλη µεριά οι συναρτήσεις

sn( , )x m και cn( , )x m ικανοοιούν τις εξισώσεις 2 2cn sn 1z z+ = , sn

sccn

xx

x= και θα

µορούσαµε να κάνουµε είσης την αντιστοιχία sn sin→ , cn cos→ και sc tan→ . 8.3.4 Η ΑΚΡΙΒΗΣ ΛΥΣΗ ΤΗΣ ∆ΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΤΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ

Έχοντας υόψιν τις ροηγούµενες αραγράφους όου εριγράφηκαν οι ελλειτικές συναρτήσεις και κυρίως η σχέση αντιστροφής της ελλειτικής συνάρτησης sn µε το ελλειτικό ολοκλήρωµα, µορούµε στη συνέχεια να βρούµε την ακριβή λύση της ∆.Ε.

του εκκρεµούς, ( )tθ θ= .

Η διαφορική εξίσωση ου εριγράφει την κίνηση του εκκρεµούς είναι

( ) sin ( ) 0g

t tl

θ θ′′ + =

Θεωρούµε ως αρχικές συνθήκες τις 0(0)θ θ= και (0) 0θ ′ = .

Ισχύει 2

2

( ) ( )( )

d t d t d d dt

dt d dt ddt

θ θ θ θ θθ θ

θ θ′ ′ ′

′′ ′= = = =

Αντικαθιστώντας στη ∆.Ε. και ολοκληρώνοντας ως ρος θ έχουµε

sing

d d Cl

θ θ θ θ′ ′ + =∫ ∫ ή

2

cos2

gC

l

θθ

′− =

Η σταθερά C ροσδιορίζεται αό τις αρχικές συνθήκες 0cosg

Cl

θ= − , οότε

0

2cos cos

d g

dt l

θθ θ= ± − .

Εφόσον η γωνία µειώνεται ξεκινώντας αό την τιµή 0θ , ο ρυθµός µεταβολής της,

µέχρι το εκκρεµές να φτάσει στην θέση ισορροίας θα είναι αρνητικός, οότε κρατάµε το αρνητικό ρόσηµο

0

2cos cos

d g

dt l

θθ θ− = −

O ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Documents

Transcript of O ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ