ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.2 - ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ...

ΠΛΗ31ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΓΕΝΕΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ

Μάθηµα 4.2: Βελτιστοποίηση Αριθµητικών Συναρτήσεων

∆ηµήτρης Ψούνης

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑA.Θεωρία

1. Εισαγωγή στους Γενετικούς Αλγορίθµους

1. Προβλήµατα Αριθµητικής Βελτιστοποίησης

2. Γενετικός Αλγόριθµος για Αριθµητικές Συναρτήσεις

1. Αρχικοποίηση

2. Αξιολόγηση

3. Επιλογή

4. ∆ιασταύρωση

5. Μετάλλαξη

3. Παραλλαγή του Γενετικού Αλγορίθµου

1. Βασική Παραλλαγή του Γενετικού Αλγορίθµου

2. Παράδειγµα 1: Ε∆Υ/ΑΑ-1



Εφαρµογές

2∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ31, Μάθηµα 4.2: Βελτιστοποίηση Αριθµητικών Συναρτήσεων

A. Θεωρία1. Εισαγωγή1. Προβλήµατα Αριθµητικής Βελτιστοποίησης


• Στα προβλήµατα αριθµητικής βελτιστοποίησης, µας δίνεται µια αριθµητική συνάρτηση f πολλών µεταβλητών και ζητείται να βρούµε το µέγιστό της.

• Γενική Μορφή προβλήµατος µεγιστοποίησης: , , … , : ℝ → ℝ και ζητείται το max

• Η συνάρτηση f καλείται αντικειµενική συνάρτηση (objective function)

• Ακόµη και αν ζητείται το πρόβληµα της ελαχιστοποίησης µιας συνάρτησης (εύρεση του ελαχίστου) µπορούµε να το µεταµορφώσουµε σε ένα πρόβληµα µεγιστοποίησης λύνοντας:

• αντί για το: min[]• το max[−]

• Ακόµη θα υποθέσουµε ότι η f παίρνει µόνο θετικές τιµές. • Ακόµη κι αν δεν παίρνει θετικές τιµές, µπορούµε να εισάγουµε µια θετική

σταθερά, ώστε να παίρνει µόνο θετικές τιµές.• Εργαζόµαστε δηλαδή µε τη συνάρτηση:

max[ + ]

• Η εύρεση ενός µεγίστου σε µία αριθµητική συνάρτηση είναι ένα πολύ σηµαντικό υπολογιστικό πρόβληµα. Έχουν προταθεί πολλές προσεγγίσεις για την αποδοτική επίλυση του προβλήµατος.

• Για παράδειγµα έχουν προταθεί:• Η αναρρίχηση λόφου που ακολουθεί µια αύξουσα πορεία στην γραφική

παράσταση της συνάρτησης• Οι γενετικοί Αλγόριθµοι που πράκτορες είναι ατάκτως εριµµένοι στον χώρο

αναζήτησης αναζητώντας ένα καλό τοπικό βέλτιστο.

Παράδειγµα 2Παράδειγµα 1

A. Θεωρία1. Εισαγωγή1. Προβλήµατα Αριθµητικής Βελτιστοποίησης


, = − −

A. Θεωρία2. Γενετικός Αλγόριθµος για Αριθµητικές Συναρτήσεις.


Ο βασικός Γενετικός Αλγόριθµος αποτελείται από τα εξής βήµατα:

1. Αρχικοποίηση του πληθυσµού (Initialization)2. Επανέλαβε:

1. Αξιολόγηση κάθε στοιχείου του πληθυσµού2. Επιλογή ενός νέου πληθυσµού (τελεστής επιλογής)3. ∆ιασταύρωση στοιχείων του πληθυσµού (τελεστής διασταύρωσης)4. Μετάλλαξη στοιχείων του πληθυσµού (τελεστής µετάλλαξης)Εως ότου να ικανοποιηθεί το κριτήριο τερµατισµού του ΓΑ

Θα µελετήσουµε πως µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τον γενετικό αλγόριθµο για να µεγιστοποιήσουµε µία αριθµητική συνάρτηση

A. Θεωρία2. Γενετικός Αλγόριθµος για Αριθµητικές Συναρτήσεις


• Ο Γενετικός Αλγόριθµος για Αριθµητικές Συναρτήσεις παρουσίάζει την εξής ιδιαιτερότητα:

• Πρέπει να αποφασιστεί ένας τρόπος για την αναπαράσταση των τιµών των µεταβλητών στην µνήµη.

• Θα επιλεχθεί δυαδική κωδικοποίηση• Θα προταθεί τρόπος για να επιτυγχάνεται η επιθυµητή ακρίβεια σε

δεκαδικά ψηφία των µεταβλητών.• Θα προταθεί τρόπος για να γίνεται η κωδικοποίηση και η

αποκωδικοποίηση των µεταβλητών• Ο τρόπος αυτός είναι συγκεκριµένος και θα παρουσιαστεί στις επόµενες

διαφάνειες.

• Τα υπόλοιπα βήµατα είναι ίδια µε αυτά που είδαµε στον Βασικό Γενετικό Αλγόριθµο:• Η επιλογή θα γίνεται µε εξαναγκασµένη ρουλέτα.• Η διασταύρωση θα είναι µονού σηµείου.• Η µετάλλαξη θα γίνει µε εναλλαγή bit µε βάση τους τυχαίους αριθµούς.

A. Θεωρία2. Γενετικός Αλγόριθµος για Αριθµητικές Συναρτήσεις.


ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΤΟΥ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΓΙΑ ΜΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ:

Συµβολισµός Επεξήγηση

, , … , όπου ∈ D = [ , ] Αντικειµενική Συνάρτηση και Πεδίο Ορισµού κάθε ορίσµατος.

pop_size Μέγεθος του πληθυσµού (χρωµοσόµατα)

Πιθανότητα ∆ιασταύρωσης

Πιθανότητα Μετάλλαξης

Κ Αριθµός Γενεών (επαναλήψεις τουαλγορίθµου)

A. Θεωρία2. Γενετικός Αλγόριθµος για Αριθµητικές Συναρτήσεις-1. ∆ιατύπωση του αριθµητικού προβλήµατος µεγιστοποίησης


Παράδειγµα

∆ίδεται η αντικειµενική συνάρτηση: , = −

Όπου ∈ [4,11] και ∈ [1,4]

Και αναζητούµε ένα τοπικό µέγιστο

Δίδεταιμίααριθμητικήσυνάρτηση:

, , … , : ℝ → ℝ3

και ζητείται το max

Κάθε όρισµα παίρνει τιµές στο αντίστοιχο κλειστό διάστηµα D = [ , ]

Η συνάρτηση καλείται εναλλακτικά:• Αντικειµενική Συνάρτηση• Συνάρτηση Καταλληλότητας• Συνάρτηση Ικανότητας• Συνάρτηση Απόδοσης

A. Θεωρία2. Γενετικός Αλγόριθµος για Αριθµητικές Συναρτήσεις0. Κωδικοποίηση των λύσεων στο δυαδικό σύστηµα


Η κωδικοποίηση της λύσης θα γίνει στο δυαδικό σύστηµα. Από την εκφώνηση θα µας δίνεται η επιθυµητή ακρίβεια σε δεκαδικά ψηφία, έστω q άρα:

∆ιαδοχικά για κάθε µεταβλητή x1,x2,…xn

• Χωρίζουµε το διάστηµα [ , ] σε ( − ) ∙ 108διαστήµατα • Εντοπίζουµε το ελάχιστο 9 για το οποίο ισχύει: :; − <; ∙ =>? ≤ AB; − =• Η τιµή του θα χρειαστεί 9 bits.

Συνεπώς η λύση αναπαρίσταται µε:• Τα πρώτα 9 bits αναπαριστούν την 1η µεταβλητή

• Τα επόµενα 9 bits αναπαριστούν την 2η µεταβλητή• …

• κ.ο.κ.




Στην αντικειµενική συνάρτηση: , = −

Όπου ∈ [4,11] και ∈ [1,4]

Ζητείται αναπαράσταση µε 0 δεκαδικά ψηφία.

Συνεπώς για την µεταβλητή θα χρειαστώ:11 − 4 ∙ 10C ≤ 2E − 1 ⇒ 7 ≤ 2E − 1 ⇒ HIJ8 ≤ HIJ2E ⇒ HIJ8 ≤ 9 .Άρα 3 bits.

Και για την µεταβλητή θα χρειαστώ:4 − 1 ∙ 10C ≤ 2L − 1 ⇒ 3 ≤ 2L − 1 ⇒ HIJ4 ≤ HIJ2L ⇒ HIJ4 ≤ 9 .Άρα 2 bits.

Συνολικά λοιπόν θα απαιτηθούν 5 bits. Τα τρία πρώτα θα αναπαριστούν την τιµή της x1και η δεύτερη θα αναπαριστά την µεταβλητή x2




Στην αντικειµενική συνάρτηση: , = −

Όπου ∈ [4,11] και ∈ [1,4]

Κωδικοποίηση της λύσης (6,2)NOP 6 − 4 = NOP 2 = 010NOP 2 − 1 = NOP 1 = 01

Άρα η λύση θα κωδικοποιηθεί ως 01001.

Αποκωδικοποίηση του διανυσµατος 01111

= + RSTN9H 011 11 − 42U − 1 = 4 + 3 = 7

= + RSTN9H 11 4 − 12 − 1 = 1 + 3 = 4

Είναι η λύση (7,4)

ΚΩ∆ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ στο δυαδικόΗ κωδικοποίηση της τιµής της µεταβλητής xi θα γίνεται ως εξής: Θα αντιστοιχίζεται µια δυαδική συµβολοσειρά bin_stri, τέτοια ώστε:

NOP( − − ∙ (2

V − 1))

ΑΠΟΚΩ∆ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ δυαδικής συµβολοσειράς

Η αποκωδικοποίηση της δυαδικής συµβολοσειράς στην αντίστοιχη δεκαδική τιµή θα γίνεται µε τον τύπο:

= + RSTN9H(NO_XYP) − 2V − 1

A. Θεωρία2. Γενετικός Αλγόριθµος για Αριθµητικές Συναρτήσεις1. Αρχικοποίηση


Αρχικοποίηση Έστω ότι ο πληθυσµός έχει pop_size=4Παράγουµε 4 δυαδικές συµβολοσειρές µήκους 5 µε τυχαίο τρόπο:

Α: 00110Β: 11000Γ: 01101∆: 11111

Αρχικοποίηση

Στο βήµα της αρχικοποίησης δηµιουργούµε έναν τυχαίο πληθυσµό από δυνατές λύσεις

Το πλήθος των τυχαίων λύσεων που παράγονται είναι pop_size (παράµετρος του προβλήµατος

Το µέγεθος του πληθυσµού µένει σταθερό στην διάρκεια του αλγορίθµου.

A. Θεωρία2. Γενετικός Αλγόριθµος για Αριθµητικές Συναρτήσεις2.1. Αξιολόγηση


ΑξιολόγησηΑ: 00110 Αποκωδικοποίηση … Z =(5,3)Αξιολόγηση: , = − = 16Άρα: SZH Z = 16Β: 11000Αποκωδικοποίηση …(10,1)Αξιολόγηση: , = − = 99Άρα: SZH Z = 99Γ: 01101Αποκωδικοποίηση …(7,2)Αξιολόγηση: , = − = 45Άρα: SZH ZU = 45∆: 11111Αποκωδικοποίηση …(11,4)Αξιολόγηση: , = − = 105Άρα: SZH Z] = 105

Αξιολόγηση

Η αξιολόγηση γίνεται σε δύο βήµατα.

1) Γίνεται η αποκωδικοποίηση της λύσης στο αντίστοιχο διάνυσµα τιµών: Z.

2) Για κάθε λύση υπολογίζεται η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης: SZH(Z).

A. Θεωρία2. Γενετικός Αλγόριθµος για Αριθµητικές Συναρτήσεις2.2. Επιλογή


Εφαµογή της Επιλογής στο Παράδειγµα

• Το άθροισµα των αξιολογήσεων των µελών είναι:^ = 16 + 99 + 45 + 105 = 265

• Η πιθανότητα επιλογής των µελών:

• = _àb(È)c = d

de = 0.060• = _àb(`L)

c = ggde = 0.374

• U = _àb(`h)c = ]e

de = 0.170• ] = _àb(ì)

c = Cede = 0.396

• Η αθροιστική πιθανότητα των µελών:• j = = 0.060• j = + = 0.434• jU = + + U = 0.604• j] = + + U + ] = 1.000

Επιλογή

Η επιλογή γίνεται µε την µέθοδο της εξαναγκασµένης ρουλέτας:

A. Θεωρία2. Γενετικός Αλγόριθµος για Αριθµητικές Συναρτήσεις2.2. Επιλογή


Επιλογή: ∆ιαδοχικά από µια γεννήτρια τυχαίων αριθµών έχουµε:

• P = 0.55: ΕπιλογήτουΓ• P = 0.89: ΕπιλογήτουΔ• P = 0.74: ΕπιλογήτουΔ• P = 0.09: ΕπιλογήτουΒΠροσωρινόςπληθυσμόςείναιο(Γ,Δ,Δ,Β)

Ρουλέτα

Λύση Α

Λύση Β

Λύση Γ

Λύση ∆

0.06

0.4340.604

1.00

A. Θεωρία2. Γενετικός Αλγόριθµος για Αριθµητικές Συναρτήσεις2.3. ∆ιασταύρωση


∆ΙΑΣΤΑΥΡΩΣΗ ΜΟΝΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ – ΠΡΟΕΡΓΑΣΙΑ

Η συµβολοσειρά που αναπαριστά µια λύση έχει µέγεθος 5.

Τα πιθανά σηµεία διαστάυρωσης είναι n-1=4. Θέτουµε κάθε ένα σηµείο ισοπίθανο µε πιθανότητα 1/4=0.25.

Συνεπώς το σηµείο διαχωρισµού θα επιλέγεται τυχαία µε βάση τους τυχαίους αριθµούς και θα επιλέγεται ανάµεσα στις:• Θέσεις 1-2 στο διάστηµα [0.00, 0.25]• Θέσεις 2-3 στο διάστηµα (0.25, 0.50]• Θέσεις 3-4 στο διάστηµα (0.50, 0.75]• Θέσεις 4-5 στο διάστηµα (0.75, 1.00]

∆ιασταύρωση

Η διασταύρωση που γίνεται είναι µονού σηµείου



∆ιασταύρωση (µε pc=0.80)

• Επιλέγουµε τυχαίους αριθµούς από το 0 εώς το 1 για κάθε µέλος του προσωρινού πληθυσµού (Γ,∆,∆,Β) και έστω ότι µας δίνεται η ακόλουθία τυχαίων αριθµών

• 0.45 0.68 0.77 0.93 0.35 0.22

1ο ζεύγος (Γ,∆).• Τυχαίος Αριθµός: 0.45≤pc. ∆ιασταυρώνονται!

• Τυχαίος Αριθµός: 0.68, άρα µεταξύ θέσεων 3-4.• Γ=011|01 Α’=011 |11• ∆=111|11 Β’=111 |01

2ο ζεύγος (∆,Β).• Τυχαίος Αριθµός: 0.77≤pc. ∆ιασταυρώνονται!

• Τυχαίος Αριθµός: 0.93, άρα µεταξύ θέσεων 4-5.• ∆=1111 |1 Γ’=1111 |0• Β=1100 |0 ∆’=1100 |1



∆ιασταύρωση (µε pc=0.80)

Συνεπώς ο πληθυσµός µετά το βήµα της διαστάυρωσης είναι:

• Α’=01111• Β’=11101• Γ’=11110• ∆’=11001

A. Θεωρία2. Γενετικός Αλγόριθµος για Αριθµητικές Συναρτήσεις2.4. Μετάλλαξη


Μετάλλαξη

Κάθε bit κάθε χρωµοσώµατος αλλάζει αν ο τυχαίος αριθµός που επιλέγουµε είναι µικρότερος από την πιθανότητα µετάλλαξης pm.

∆ιασταύρωση (µε pc=0.30)Χρησιµοποιώντας την εξής ακολουθία τυχαίων αριθµών: 0.77 0.23 0.09 0.93 0.28 0.22 0.15 0.82 0.34 0.32 0.44.

1ο bit 2o bit 3ο bit 4ο bit 5ο bit

0.770

0.231

0.091

0.931

0.281

0.221

0.151

0.821

0.340

0.321

0.441

0.771

0.231

0.091

0.930

0.281

0.221

0.150

0.820

0.341

Α’=01111 Α’’=01011

Β’=11101 Β’’=11101

Γ’=11110 Γ’’=11100

∆’=11001 ∆’’=11001

A. Θεωρία2. Γενετικός Αλγόριθµος για Αριθµητικές Συναρτήσεις


Εκτελέσαµε µία πλήρη επανάληψη στον γενετικό αλγόριθµο για την βελτιστοποίηση µιας αριθµητικής συνάρτησης. Θα αξιολογήσουµε τον πληθυσµό που προέκυψε:

ΑξιολόγησηΑ: 01011 Αποκωδικοποίηση … Z =(6,4)Αξιολόγηση: , = − = 20Άρα: SZH Z = 20Β: 11101Αποκωδικοποίηση …(11,2)Αξιολόγηση: , = − = 117Άρα: SZH Z = 117Γ: 11100Αποκωδικοποίηση …(11,4)Αξιολόγηση: , = − = 105Άρα: SZH ZU = 105∆: 11001Αποκωδικοποίηση …(10,2)Αξιολόγηση: , = − = 96Άρα: SZH Z] = 96

A. Θεωρία3. Παραλλαγή του Γενετικού Αλγορίθµου


Ο γενετικός αλγόριθµος που εξετάσαµε• Είναι στάνταρ στο Ε∆Υ, • Είναι στάνταρ στα θέµατα των εξετάσεων.• Είναι σχεδόν στάνταρ στα θέµατα των εργασιών.

Στο βιβλίο του ΕΑΠ (Λυκοθανάσης) χρησιµοποιείται παραλλαγή του γενετικού αλγορίθµου. • Το βήµα της επιλογής είναι ίδιο!• Το βήµα της διασταύρωσης διαφοροποιείται σηµαντικά!• Το βήµα της µετάλλαξης είναι ίδιο!Θα το δούµε µέσω του παραδείγµατος του βιβλίου.

A. Θεωρία3. Παραλλαγή του Γενετικού Αλγορίθµου1. Κωδικοποίηση


Η κωδικοποίηση γίνεται µε τον ίδιο τρόπο.

A. Θεωρία3. Παραλλαγή του Γενετικού Αλγορίθµου2. Αρχικοποίηση


Η αρχικοποίηση γίνεται µε τυχαίο τρόπο. Π.χ. ισοπίθανη επιλογή για κάθε bit

A. Θεωρία3. Παραλλαγή του Γενετικού Αλγορίθµου3. Αξιολόγηση


Η αξιολόγηση γίνεται µε την ίδια διαδικασία. Αποκωδικοποίηση-Υπολογισµός

A. Θεωρία3. Παραλλαγή του Γενετικού Αλγορίθµου4. Επιλογή


Η επιλογή γίνεται µε τον ίδιο τρόπο. Πιθανότητες-Αθροιστικές-Γυρισµα Ρουλέτας




Ο πρώτος αριθµός r = 0.513870 είναι µεγαλύτερος του q10 και µικρότερος του q11, γεγονός που σηµαίνει ότι το άτοµο v11 επιλέγεται για να ≪περάσει≫ στο νέο πληθυσµό. Ο δεύτερος αριθµός r = 0.175741 είναι µεγαλύτεροςτου q3 και µικρότερος του q4, οπότε το άτοµο v4 επιλέγεται για το νέο πληθυσµό. Συνεχίζοντας µε τον ίδιο τρόπο κατασκευάζουµε το νέο πληθυσµό:

Στην τελευταία στήλη, µέσα σε παρέθενση, φαίνονται τα άτοµα του αρχικού πληθυσµού που έχουν περάσει (αντιγραφεί) στην επόµενη γενιά.

A. Θεωρία3. Παραλλαγή του Γενετικού Αλγορίθµου5. ∆ιασταύρωση


ΠΡΟΣΟΧΗ! Για κάθε ατοµο επιλέγεται τυχαίος αριθµός. Επιλέγονται προς διασταύρωση µόνο τα στοιχεία για τα οποία ΤΥΧΑΙΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ≤ pc



∆ιασταυρώνονται κατά ζεύγη ΜΟΝΟ τα στοιχεία που επιλέχθηκαν µε διασταύρωση µονού σηµείου.



Τα υπόλοιπα στοιχεία περνάνε ως έχουν στην επόµενη γενιά.

A. Θεωρία3. Παραλλαγή του Γενετικού Αλγορίθµου6. Μετάλλαξη


Η Μετάλλαξη γίνεται µε τον ίδιο τρόπο. Για κάθε bit επιλέγεται τυχαίος αριθµός. Στο παράδειγµα εκτελείται (υπολογιστικά) µετάλλαξη µε πιθανότητα pm=0.01

Β. ΑσκήσειςΕ∆Υ/ ΑΑ-1


∆ίνεται ο εξής πληθυσµός στη γενιά 0:Α=11011, Β=01011, Γ=11001, ∆=10111

και η εξής αντικειµενική συνάρτηση για την αξιολόγηση των µελών του πληθυσµού:

NYOSXX =x 1− (−1)yV32

]

zCόπου το bi είναι το i-οστό δυαδικό ψηφίο (το πρώτο δυαδικό ψηφίο έχει δείκτη i=0).Επίσης, δίνεται και η παρακάτω λίστα τυχαίων αριθµών που έχει παραχθεί µε χρήση µιας γεννήτριας τυχαίων αριθµών:0.25, 0.73, 0.15, 0.52, 0.81, 0.65Θεωρήστε ότι:1. Ο Γ.Α. χρησιµοποιεί τελεστή επιλογής roulette wheel selection.2. Η πιθανότητα µετάλλαξης είναι ίση µε 0.3. H πιθανότητα διασταύρωσης είναι 1.0.4. Η επιλογή των ατόµων που θα συµµετέχουν στη διασταύρωση γίνεται µε βάση τον τελεστή επιλογής και τους τυχαίους αριθµούς που προέκυψαν από τη γεννήτρια τυχαίων αριθµών. Ο τελεστής διασταύρωσης είναι µονού σηµείου µε το σηµείο διασταύρωσης να επιλέγεται τυχαία ανάµεσα στα τέσσερα πιθανά σηµείαδιασταύρωσης κάθε χρωµοσώµατος. Με βάση κάποιο τυχαίο αριθµό τα σηµεία διασταύρωσης θα επιλέγονται από τα αριστερά προς τα δεξιά µε ίδια πιθανότητα και για τα τέσσερα πιθανά σηµεία (0.25 για κάθε πιθανή θέση). ∆ηλαδή εάν ο τυχαίος αριθµός είναι ο 0.45 το σηµείο διασταύρωσης θα είναι ανάµεσα στο δυαδικό ψηφίο 1 και το δυαδικό ψηφίο 2 (το πιο αριστερό ψηφίο κάθε συµβολοσειράς έχει αριθµό 0).5. Και τα δύο παιδιά που προκύπτουν από µία διασταύρωση αντικαθιστούν τους γονείς τους στον πληθυσµό της επόµενης γενιάς.Με βάση τις παραπάνω υποθέσεις να υπολογίσετε τα ακόλουθα:



α) Την απόδοση κάθε µέλους του πληθυσµού στη γενιά 0.Η απόδοση κάθε ατόµου του πληθυσµού στη γενιά 0 είναι:f(11011) = 2f(01011) = 1f(11001) = 3f(10111) = 4b) Την µέση απόδοση του πληθυσµού στη γενιά 0.Η µέση απόδοση του πληθυσµού στη γενιά 0 είναι:Η συνολική απόδοση για τη γενεά 0 είναι: 2+1+3+4 = 10, οπότε η µέση απόδοση της γενεάς 0 µε πληθυσµό 4 άτοµα είναι 10/4=2.5.c) Τη ρουλέτα που χρησιµοποιείτε για την επιλογή των ατόµων από τη γενιά 0. Να φαίνεται καθαρά το ποσοστό που αντιστοιχεί σε κάθε άτοµο του αρχικού πληθυσµού.Η ρουλέτα που δηµιουργείται µε βάση την απόδοση των ατόµων δίνεται από το ακόλουθο σχήµα, όπου το πρώτο άτοµο (Α) καταλαµβάνει το 20%, το δεύτερο άτοµο(Β) το 10%, το τρίτο άτοµο (Γ) το 30% και το τέταρτο άτοµο (∆) 40%.



d) Τον πληθυσµό των ατόµων στη γενιά 1.Ο πληθυσµός των ατόµων στη γενιά 1 υπολογίζεται ως εξής:Επιλογή: Οι πιθανότητες επιλογής για κάθε µέλος του πληθυσµού είναι:

pA = 0.2, pB = 0.1, pΓ = 0.3, p∆ = 0.4Υπολογίζουµε τις αθροιστικές πιθανότητες. Αυτές είναι:

qΑ = 0.2, qΒ = 0.3, qΓ = 0.6, q∆ = 1.0,Επιλέγουµε τα άτοµα που θα περάσουν στον επόµενο (προσωρινό) πληθυσµό. Αυτόγίνεται µε τη χρήση των τεσσάρων πρώτων τυχαίων αριθµών που µας έχουν δοθεί.Έτσι έχουµε 0.2<0.25<0.30 οπότε επιλέγεται το άτοµο Β, 0.6<0.73<1.0 οπότεεπιλέγεται το άτοµο ∆, 0.15<0.2 οπότε επιλέγεται το άτοµο Α και 0.3<0.52<0.6οπότε επιλέγεται το άτοµο Γ. Άρα ο προσωρινός πληθυσµός είναι ο:01011 (Β), 10111 (∆), 11011 (Α), 11001 (Γ)∆ιασταύρωση: Τα δυο ζευγάρια που προέκυψαν για διασταύρωση είναι τα:

01011 (Β) 10111 (∆)και

11011 (Α) 11001 (Γ)Επειδή η πιθανότητα διασταύρωσης είναι 1.0 (100%) τα δυο ζευγάρια θα διασταυρωθούν χωρίς να γίνει έλεγχος µε κάποιο τυχαίο αριθµό. Μένει µόνο να προσδιοριστούν τα σηµεία διασταύρωσης (ένα για κάθε ζευγάρι). Έτσι για το πρώτοζευγάρι το σηµείο διασταύρωσης προκύπτει µε χρήση του πέµπτου τυχαίου αριθµούπου είναι ο 0.81 και δίνει ως σηµείο διασταύρωσης αυτό ανάµεσα στο τρίτο και τοτέταρτο δυαδικό ψηφίο, οπότε µπορούµε να γράψουµε για το πρώτο ζευγάρι ότι:



Έτσι για το πρώτοζευγάρι το σηµείο διασταύρωσης προκύπτει µε χρήση του πέµπτου τυχαίου αριθµού που είναι ο 0.81 και δίνει ως σηµείο διασταύρωσης αυτό ανάµεσα στο τρίτο και τοτέταρτο δυαδικό ψηφίο, οπότε µπορούµε να γράψουµε για το πρώτο ζευγάρι . ότι:

0101|11011|1

όπου η κάθετη γραµµή ( | ) δηλώνει το σηµείο διασταύρωσης. Οι απόγονοι πουπροκύπτουν είναι οι:

0101110111

Για το δεύτερο ζευγάρι, το σηµείο διασταύρωσης βρίσκεται µε χρήση του τελευταίουτυχαίου αριθµού (0.65) και προκύπτει ότι είναι το σηµείο µεταξύ δεύτερου και τρίτουδυαδικού ψηφίου. Άρα το δεύτερο ζευγάρι µπορεί να γραφεί σαν:

110|11110|01

Οι απόγονοι που προκύπτουν είναι οι:1100111011

Μετάλλαξη: Επειδή η πιθανότητα µετάλλαξης είναι 0 δεν θα γίνει καµία µετάλλαξη.Οπότε ο ζητούµενος πληθυσµός της γενεάς 1 είναι όπως προέκυψε από τις δυοδιασταυρώσεις:

Α=01011, Β=10111, Γ=11001, ∆=11011

Η µέση απόδοση του πληθυσµού στη γενιά 1 είναιΗ συνολική απόδοση για τη γενεά 1 είναι 1+4+3+2 = 10, οπότε η µέση απόδοση τηςγενεάς 1 είναι 10/4=2.5.



e) Την απόδοση κάθε µέλους του πληθυσµού στη γενιά 1.Η απόδοση κάθε ατόµου του πληθυσµού στη γενιά 1 είναι:f(01011) = 1f(10111) = 4f(11001) = 3f(11011) = 2f) Την µέση απόδοση του πληθυσµού στη γενιά 1.

Με χρήση ενός Γενετικού Αλγορίθµου σταθερού πληθυσµού να επιλυθεί το πρόβληµα της εύρεσης του byte που περιέχει τις περισσότερες µονάδες. Έστω ότι ο αρχικός πληθυσµός του Γ.Α. (γενιά 0) αποτελείται από τα εξής 4 άτοµα:Α=01101100Β=10100010Γ=00110001∆=00111101Για το σκοπό αυτό χρησιµοποιούµε την συνάρτηση αξιολόγησης που είναι το άθροισµα των δυαδικών ψηφίων κάθε ατόµου:

= x

zόπου bi είναι το i-στο δυαδικό ψηφίο του ατόµου και το i παίρνει τιµές από 1 έως 8.Έστω ότι ο Γ.Α. ∆ιαθέτει τελεστή απλής αναλογικής επιλογής (roulette wheel selection), τελεστή διασταύρωσης ενός σηµείου µε πιθανότητα διασταύρωσης 0.8 και τελεστή µετάλλαξης µε πιθανότητα µετάλλαξης 0.2.Έστω, επίσης, ότι δίνεται η παρακάτω ακολουθία ψευδό-τυχαίων αριθµών:0.9501 0.2311 0.6068 0.7860 0.8913 0.7621 0.4565 0. 0185 0.82140.4447 0.6154 0.7919 0.9218 0.7382 0.1763 0.4057 0. 9355 0.91690.4103 0.8936 0.0579 0.3529 0.8132 0.0099 0.1389 0. 2028 0.19870.6030 0.8381 0.0196 0.6813 0.3795 0.83180 0.5028 0 .7095 0.49660.8998 0.8216 0.6449 0.2897



ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ

(ερώτηµα a)Με βάση τη συνάρτηση αξιολόγησης που επιλέξατε στο υποερώτηµα (a) να βρείτετην τιµή αξιολόγησης κάθε ατόµου της γενεάς 0, τη συνολική απόδοση της γενεάς 0και τη µέση απόδοση της γενεάς 0.Λύση:Η απόδοση των µελών του πληθυσµού είναι:f(A) = 4f(B) = 3f(Γ) = 3f(∆) = 5Η συνολική απόδοση της γενιάς 0 είναι 4+3+3+5 = 15 και η µέση απόδοση είναι15/4=3.75.Ερώτηµα b) Με χρήση των δοσµένων ψευδό-τυχαίων αριθµών (µπορεί να µην χρειαστούν όλοι, ή να χρειαστούν περισσότεροι, οπότε τους χρησιµοποιείτε ξανά µε την ίδια σειρά από την αρχή) και εφαρµογή των γενετικών τελεστών • επιλογής, • διασταύρωσης και• µετάλλαξης να βρείτε τα άτοµα του πληθυσµού της επόµενης γενιάς (γενιά 1). Θεωρείστε ότι αφού ολοκληρωθεί η διαδικασία της επιλογής για όλο τον πληθυσµό, τα άτοµα διασταυρώνονται ανά δυο µε τη σειρά που προέκυψε από την διαδικασία της επιλογής. Επίσης θεωρείστε ότι ο τελεστής µετάλλαξης εφαρµόζεται µετά την ολοκλήρωση της διαδικασία της διασταύρωσης για όλο τον πληθυσµό.



Επιλογή: Για να εφαρµόσουµε τον τελεστή απλής αναλογικής επιλογής πρέπει να υπολογίσουµε τις συσσωρευµένες πιθανότητες των ατόµων του πληθυσµού και να κατασκευάσουµε τη ρουλέτα.Οι πιθανότητες επιλογής για τα 4 άτοµα του πληθυσµού είναι:pA = 4/15 = 0.26667, pΒ = 3/15 = 0.2, pΓ = 3/15 = 0.2, p∆ = 5/15 = 0.33333Οι αντίστοιχες συσσωρευµένες πιθανότητες είναι:

q(A) = 0.26667, q(Β) = 0.46667, q(Γ) = 0.66667, q(∆) = 1.0Έχοντας υπολογίσει τις συσσωρευµένες πιθανότητες µπορούµε να κάνουµε χρήση του τελεστή της απλής αναλογικής επιλογής και µε βάση τη δοσµένη ακολουθία ψευδότυχαίων αριθµών µπορούµε να βρούµε τα άτοµα του αρχικού πληθυσµού που θα «περάσουν» στον προσωρινό πληθυσµό. • Με χρήση του πρώτου ψευδοτυχαίου αριθµού 0.9591 ο οποίος βρίσκεται στο διάστηµα (0.6667,

1], επιλέγεται το άτοµο ∆.• Με χρήση του δεύτερου ψευδοτυχαίου αριθµού 0.2311 ο οποίος βρίσκεται στο διάστηµα (0,

0.26667), επιλέγεται το άτοµο Α.• Με χρήση του τρίτου ψευδοτυχαίου αριθµού 0.6068 ο οποίος βρίσκεται στο διάστηµα (0.4667,

0.66667), επιλέγεται το άτοµο Γ.• Με χρήση του τέταρτου ψευδοτυχαίου αριθµού 0.7860 ο οποίος βρίσκεται στο διάστηµα

(0.66667, 1.0), επιλέγεται το άτοµο ∆.Ο προσωρινός πληθυσµός που προκύπτει είναι ο:

00111101 (∆), 01101100 (Α), 00110001 (Γ), 00111101 (∆)



∆ιασταύρωση: Έχοντας ολοκληρώσει τη διαδικασία επιλογής, µπορούµε ναπροχωρήσουµε στη διαδικασία της διασταύρωσης. Σύµφωνα µε την εκφώνηση τουπροβλήµατος τα άτοµα διασταυρώνονται ανά δυο µε τη σειρά που προέκυψαν από τηδιαδικασία της επιλογής.• Έτσι το πρώτο ζευγάρι για διασταύρωση αποτελείται από τα άτοµα ∆ και Α της γενεάς 0.

Εξετάζουµε αν αυτό το ζευγάρι όντως θα διασταυρωθεί συγκρίνοντας τον επόµενο (πέµπτο) ψευδοτυχαίο αριθµό 0.8913 µε την πιθανότητα διασταύρωσης που είναι 0.8. Επειδή ο ψευδοτυχαίος αριθµός είναι µεγαλύτερος της πιθανότητας διασταύρωσης δεν έχουµε διασταύρωση, οπότε τα δύο πρώτα άτοµα του προσωρινού πληθυσµού µένουν ως έχουν.

• Το δεύτερο ζευγάρι, τώρα, αποτελείται από τα άτοµα Γ και ∆. Εξετάζουµε αν τα δυο αυτά άτοµα διασταυρώνονται συγκρίνοντας τον επόµενο (έκτο) ψευδοτυχαίο αριθµό ίσο µε 0.7621 µε την πιθανότητα διασταύρωσης που είναι 0.8. Επειδή ο ψευδοτυχαίος αριθµός είναι µικρότερος θα πραγµατοποιηθεί διασταύρωση, οπότε πρέπει να επιλεγεί σηµείο διασταύρωσης. Αυτό επιλέγεται µε βάση το επόµενο (έβδοµο) ψευδοτυχαίο αριθµό που είναι ίσος µε 0.4565 γεγονός που οδηγεί στην εκλογή του σηµείου διασταύρωσης µεταξύ 4ου και 5ου δυαδικού ψηφίου των ατόµων. Σχηµατικά αυτό µπορεί να αναπαρασταθεί σαν:

0011|00010011|1101

Το παραπάνω σχήµα θα δώσει απογόνους τα άτοµα 00111101 και 00110001.



Με την ολοκλήρωση της διαδικασίας διασταύρωσης ο πληθυσµός που έχει προκύψειέχει ως εξής:

00111101 01101100 00111101 00110001Μετάλλαξη: Μένει να εφαρµοστεί ο τελεστής µετάλλαξης. Για να γίνει αυτόχρειαζόµαστε 4x8 = 32 ψευδοτυχαίους αριθµούς αρχίζοντας από τον 8ο της δοσµένηςακολουθίας. Συνεπώς οι ψευδοτυχαίοι αριθµοί που θα χρησιµοποιήσουµε είναι οι:0.0185 0.8214 0.4447 0.6154 0.7919 0.9218 0.7382 0.17630.4057 0.9355 0.9169 0.4103 0.8936 0.0579 0.3529 0.8132 0.0099 0.1389 0.2028 0.1987 0.6030 0.8381 0.0196 0.6813 0.3795 0.8318 0.5028 0.7095 0.4966 0.8998 0.8216 0.6449Υπογραµµισµένοι είναι οι αριθµοί που είναι µικρότεροι του 0.2 που αντιστοιχούν στα bits:

00111101 01101100 00111101 00110001Τα οποία και αντιστρέφονται:

10111100 01101000 11101101 00110001



Ερώτηµα c) Με βάση τη συνάρτηση αξιολόγησης να βρείτε την απόδοση των ατόµων της γενιάς 1, τη συνολική απόδοση της γενιάς 1 και τη µέση απόδοση της γενεάς 1. Να κάνετε σύγκριση µε τα αντίστοιχα αποτελέσµατα της γενεάς 0

Η απόδοση των µελών του πληθυσµού της γενιάς 1 είναι :f(A΄) = 5f(B΄) = 3f(Γ΄) = 7f(∆΄) = 3Οπότε η συνολική απόδοση της γενιάς 1 είναι 5+3+7+3 = 18 και η µέση απόδοση τουπληθυσµού είναι 18/4 = 4.5.Παρατηρούµε, λοιπόν, µια σαφή βελτίωση τόσο στη συνολική, όσο και στη µέσηαπόδοση του πληθυσµού της γενιάς 1 σε σχέση µε τον πληθυσµό της γενιάς 0.



Β. ΑσκήσειςΕφαρµογή 1


Έστω ότι ο πληθυσµός που δίνεται στον παρακάτω πίνακα είναι ο αρχικός πληθυσµός ενός Γενετικού Αλγορίθµου που χρησιµοποιείται

για τη µεγιστοποίηση της συνάρτησης: 21

2221 ),( xxxxf −= όπου τα x1 και x2 είναι ακέραιοι αριθµοί στο διάστηµα [0, 7]. Για την

αναπαράσταση κάθε ανεξάρτητης µεταβλητής χρησιµοποιούνται 3 bits (23 = 8), οπότε για την αναπαράσταση κάθε χρωµοσώµατος του πληθυσµού χρησιµοποιούνται 6 bits µε τα 3 αριστερά να αναπαριστούν την µεταβλητή x1 και τα 3 δεξιά τη µεταβλητή x2. Απαντήστε στα ζητήµατα που ακολουθούν και συµπληρώστε τον πίνακα (κάντε τις πράξεις µε ακρίβεια 4 δεκαδικών ψηφίων).

ΑΤΟΜΟ

-

ΧΡΩΜΟΣΩΜΑ

ΑΠΟ∆ΟΣΗ

-

ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ

(F

ITN

ESS

)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

ΕΠΙΛΟΓΗΣ

ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝ

ΟΣ

ΑΡΙΘΜΟΣ

ΑΝΤΙΓΡΑΦΩΝ

ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ

ΜΕΤΑ

ΤΗΝ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

ΤΩΝ

ΓΕΝΕΤΙΚΩΝ

ΤΕΛΕΣΤΩΝ

Α 101011 Β 111000 Γ 111011 ∆ 101000 Ε 111001


(α) Να υπολογίσετε την απόδοση (Fitness) κάθε µέλους του πληθυσµού (Να γράψετε την απάντησή σας στον παραπάνω πίνακα). Επειδή η καταλληλότητα (ικανότητα) περιέχει αρνητικές τιµές, δεν µπορούν να υπολογιστούν οι πιθανότητες επιλογής.Πώς µπορεί να αντιµετωπιστεί αυτό το πρόβληµα; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας και να συµπληρώσετε την κενή στήλη του παρακάτω πίνακα, µε τη νέα ικανότητα. Ποιο πρόβληµα υπάρχει µε τον υπολογισµό της πιθανότητας επιλογής του 2ου ατόµου; Πως µπορεί να αντιµετωπιστεί;

(β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα επιλογής κάθε ατόµου, χρησιµοποιώντας επιλογή εξαναγκασµένης ρουλέτας (Να γράψετε την απάντησή σας στον παραπάνω πίνακα).


(γ) Να υπολογίσετε τον αναµενόµενο αριθµό αντιγράφων κάθε ατόµου στην επόµενη γενιά (Να γράψετε την απάντησή σας στον παραπάνω πίνακα).

(δ) Έστω ότι η 1η γενιά που προκύπτει µετά την εφαρµογή των γενετικών τελεστών της επιλογής, διασταύρωσης και µετάλλαξης είναι αυτή που απεικονίζεται στον πίνακα.

Έχει βελτιωθεί η µέση απόδοση του πληθυσµού στη γενιά 1 σε σχέση µε τη γενιά 0; Πόσο έχει µεταβληθεί η απόδοση του καλύτερου µέλους του πληθυσµού στη γενιά 1 σε σχέση µε τη γενιά 0;

ΑΤΟΜΟ – ΧΡΩΜΟΣΩΜΑ

Α 111100 Β 110110 Γ 111000 ∆ 110011 Ε 111011

ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.2 - ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ...

Education

Transcript of ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.2 - ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ...