ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

ΟΡΙΣΜΟΣ: Ονομάζουμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής α.xν, ό-

που α είναι ένας πραγματικός αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος. Μονώνυμο του x ονομάζουμε επίσης και κάθε πραγματικό αριθμό.

Παραδείγματα: 3x5 , – 3 x8 5

7 x2005 , –9 , x , 0

ΟΡΙΣΜΟΣ: Ονομάζουμε πολυώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής:

αν.xν + αν–1.xν–1 + … + α1.x + α0 , όπου ν είναι ένας φυσικός αριθμός και α0 , α1 , … , αν είναι πραγμα-τικοί αριθμοί.

Παραδείγματα: 3x3+x2–5 , –2,4x6+ 2

9 x4–x3+x , 3 , 0 , 3x

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: (1) Τα μονώνυμα αν.xν , αν–1.xν–1 , … , α1.x , α0 λέγονται όροι του πολυωνύ-

μου και οι αριθμοί αν , αν–1 , α1 , α0 συντελεστές αυτού. Ειδικότερα ο α0 λέγεται σταθερός όρος του πολυωνύμου.

Τα πολυώνυμα της μορφής α , δηλαδή οι πραγματικοί αριθμοί, λέγονται σταθερά πολυώνυμα. Ειδικά το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο.

Δύο πολυώνυμα Ρ(x) = αμ.xμ + … + α1.x + α0 και

Q(x) = βν.xν + … + β1.x + β0 με μ ≥ ν θα λέμε ότι είναι ίσα όταν: α0 = β0 , α1 = β1 , … , αν = βν και αν+1 = αν+2 = … = αμ = 0.

ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = ακ.xκ + ακ–1.xκ–1 + … + α1.x + α0 με

ακ ≠ 0. τότε ο αριθμός κ λέγεται βαθμός του πολυωνύμου Ρ(x). Ένα σταθερό και μη μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό 0. Για το μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζεται βαθμός.

ΟΡΙΣΜΟΣ:

. - Αριθμητική τιμή για x = ξ: Λέγεται ο αριθμός ( ) ν

ν 1 0P ξ α ξ ... α ξ α= + + + που

προκύπτει αν στο ( )P x αντικαταστήσουμε το x με τον αριθμό ξ.

- Ρίζα: Ένας αριθμός ρ R∈ λέγεται ρίζα του ( )P x , αν και μόνο αν, ( )P ρ 0= .

ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Κεφ 2.1 : Πολυώνυμα19ο Γεν. Λύκειο Περιστερίου

9ο Γεν. Λύκειο Περιστερίου 2 Γ. Καρτελιάς

ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦ 2ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2.1 : Πολυώνυµα

1. Να βρεθεί η τιµή του λ ∈ R για την οποία το πολυώνυµο: P(x)=(λ+2)x3 -(λ2+λ-2)x+λ2-4

να είναι το µηδενικό πολυώνυµο.

2. ∆ίνεται το P(x) = ( λ – 2)x3 +(µ + 2)x2 + 3λ – µ + 2γ , όπου λ, µ, γ πραγµατικοί αριθµοί . Να

βρείτε τους λ, µ, γ σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις :

α) Ο βαθµός του P(x) είναι 0 .

β) Το P(x) είναι το µηδενικό πολυώνυµο .

γ) P(x) = 4x3 + 10 .

3. Αν α3+β3+γ3=3αβγ και α+β+γ ≠ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P(x)=(α-β)x2+(β-γ)x+γ-α είναι

το µηδενικό πολυώνυµο.

4. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P(x)=(κ-2)x2+(2λ+6)x+κ+λ-3 είναι διάφορο του µηδενικού.

5. Να βρεθεί για ποιες τιµές των κ, λ, µ είναι ίσα τα πολυώνυµα :

Π (χ) = λχ2 - (λ - κ) χ + µ - 2λ Q (χ) = (µ - λ) χ2 + 4χ + κ + λ.

6. Να προσδιοριστεί ο α ∈ R ώστε το πολυώνυµο P (x) = 9x3 - 3x2 + 8x – 27 να παίρνει τη

µορφή α (x3 + x) - 3x2 + (x - 3) (x2 + 3x + 9).

7. Να βρεθεί πολυώνυµο Κ (x) τέτοιο ώστε το τετράγωνό του να ισούται µε το:

P (x) = x4 + 2x3 - 3x2 - 4x + 4.

8. Να δειχθεί ότι για κάθε κ ∈ R το πολυώνυµο P (x) = (κ - 1) x5 + (3κ2 + 2) x3 + κx δεν

έχει ρίζα το 1

2.

9. Αν το πολυώνυµο P (x) = x2 + (α - 1) x + 2α έχει ρίζα το - 1 αποδείξτε ότι το ίδιο ισχύει

και για το Κ (x) = x3 + 4x2 + (α2 - 1) x. Το αντίστροφο ισχύει;

10. Να βρεθεί πολυώνυµο P(x) για το οποίο ισχύει: (x2 + 1)P(x)=3x5+2x4+x3-x2-2x-3

11. ∆ίνεται το πολυώνυµο Ρ (x) = x2 + 2x + 5. Να προσδιοριστεί ο πραγµατικός αριθµός α αν

ισχύει: Ρ (α - 1) = 13.