ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ · 162 Κεφάλαιο...

161161 KΕΦΑ Λ ΑΙΟ 3

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μετα-βλητή είναι γνωστή. Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελα-χίστων για πραγματικές συναρτήσεις περισσότερων μεταβλητών. Δίνουμε όμως πρώτα τον επόμενο γενικό ορισμό:

«Έστω f συνάρτηση ορισμένη σ’ ένα τόπο Τ. Θα λέμε ότι η f έχει σχετι-κό μέγιστο (αντίστοιχα ελάχιστο) στο σημείο Ρ0 εσωτερικό του τόπου Τ, αν υπάρχει κατάλληλη περιοχή ω του Ρ0, τέτοια ώστε για όλα τα σημεία Ρω να είναι 0( ) ( )f P f P (αντίστοιχα 0( ) ( ))f P f P ».

Αυτά τα σχετικά ακρότατα είναι με την ευρεία έννοια. Αν δεν ισχύει η ισό-τητα έχουμε ακρότατα με τη στενή έννοια. Όπως και στη θεωρία των ακρότατων μιας πραγματικής συνάρτησης πραγματικής μεταβλητής, έτσι κι’ εδώ θα μελε-τήσουμε τις συνθήκες ύπαρξης ακρότατων συνάρτησης f πολλών μεταβλητών και θα βρούμε τα σημεία όπου η f έχει μέγιστο ή ελάχιστο.

Προς τούτο θα διακρίνουμε διάφορες κατηγορίες συναρτήσεων πολλών με-ταβλητών που θα αναζητήσουμε τα ακρότατα. Αυτές είναι:

● Ακρότατα συνάρτησης δύο μεταβλητών

● Ακρότατα συνάρτησης πολλών μεταβλητών

● Ακρότατα πεπλεγμένης συνάρτησης

● Ακρότατα συνάρτησης με συνθήκες.

03_MATHEMATIKA II_.indd 16103_MATHEMATIKA II_.indd 161 19/2/2014 9:56:00 πμ19/2/2014 9:56:00 πμ

Κεφάλαιο 3: ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ162

3.1 Ακρότατα συνάρτησης δύο μεταβλητώνΈστω η συνάρτηση δύο μεταβλητών z = f (x, y) και σημείο Ρ0 (x0, y0) του τόπου ορισμού Τ R2. Αν το f (x0, y0) είναι ένα σχετικό μέγιστο, τότε με βάση τον πα-ραπάνω ορισμό, είναι δυνατό να βρούμε έναν αριθμό θετικό, τέτοιο ώστε για κάθε h και k μικρότερα απολύτως του , δηλαδή

για ,h k να προκύπτει ότι 0 0 0 0( , ) ( , )f x h y k f x y . (1)

Θα αναζητήσουμε τις αναγκαίες συνθήκες για την εύρεση σημείων όπου η f (x, y) παίρνει άκρες τιμές. Ας υποθέσουμε ότι το y παραμένει σταθερό και ίσο με 0y . Τότε το z γίνεται συνάρτηση μόνο της μεταβλητής x, οπότε, για να δια-τηρεί η διαφορά

0 0 0 0( , ) ( , )f x h y f x y

σταθερό πρόσημο για μικρές τιμές του h, πρέπει η παράγωγος fx

να είναι μη-

δέν για 0x x και 0y y . Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι πρέπει να είναι

μηδέν και η παράγωγος fy

.

Επομένως οι τιμές των x και y που δίνουν σχετικά μέγιστα ή ελάχιστα πρέπει να αναζητηθούν στη λύση του συστήματος

0, 0f fx y

. (2)

(επέκταση της συνθήκης ( ) 0f x της ( )y f x με μία μεταβλητή).

Τα σημεία του τόπου Τ που οι συντεταγμένες τους είναι λύσεις του παραπά-νω συστήματος λέγονται σημεία στάσης. Όπως τονίστηκε πριν, οι παραπάνω συνθήκες είναι αναγκαίες, όχι όμως ικανές. Δηλαδή, η λύση του συστήματος αυτού δίνει σημεία τα οποία μπορεί να είναι ή να μην είναι ακρότατα της συνάρ-τησης z = f (x, y). Την απάντηση στο θέμα αυτό μας τη δίνουν μερικές ακόμα συνθήκες που πρέπει να ισχύουν για την z = f (x, y).

Υποθέτουμε ότι οι παράγωγοι 2ης τάξης της f (x, y) είναι συνεχείς στην περιοχή του σημείου στάσης 0 0 0( , )P x y και δεν είναι όλες 0, για x = x0 και y = y0. Θέ-τουμε:


3.1 Ακρότατα συνάρτησης δύο μεταβλητών 163

0 0 0

2 2 2

2 2, ,P P P

f f fx x y y

. (3)

Αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι παρακάτω περιπτώσεις:

1η: Αν 2 0, τότε η f (x, y) έχει άκρα τιμή στο σημείο στάσης Ρ0(x0, y0) και μάλιστα:

σχετικό μέγιστο αν 0

2

2 0,P

fx

ή 0

2

2 0P

fy

,

σχετικό ελάχιστο αν 0

2

2 0,P

fx

ή 0

2

2 0P

fy

.

(Τα Α, Γ αποδεικνύεται ότι έχουν πάντα το ίδιο πρόσημο).

2η: Αν 2 0, τότε η f (x, y) δεν έχει άκρα τιμή στο σημείο στάσης Ρ0 .

3η: Αν 2 0, τότε δεν μπορούμε να αποφανθούμε με βεβαιότητα αν η ( , )f x y παρουσιάζει στο σημείο στάσης Ρ0 τοπικό ακρότατο. Στη περίπτω-

ση αυτή καταφεύγουμε στον ορισμό. Εξετάζουμε δηλαδή την διαφορά:

0 0( , ) ( , )f x y f x y ή 0 0 0 0( , ) ( , )f x h y k f x y .

Αν το δ διατηρεί σταθερό πρόσημο σε μια περιοχή του σημείου 0 0 0( , )P x y τότε,

όταν δ > 0 το 0 0 0( , )P x y είναι σημείο ελαχίστου,

διότι τότε θα είναι 0 0 0 00 ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , )f x y f x y f x y f x y , ενώ

όταν δ < 0 το 0 0 0( , )P x y είναι σημείο μεγίστου.

Αν όχι, (δηλαδή αν η διαφορά δ δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο), τότε το 0 0 0( , )P x y θεωρείται ταυτόχρονα σημείο μεγίστου και ελαχίστου και λέγεται

σημείο σάγματος (σαμαριού) ή σαγματικό σημείο. Η ονομασία του προέρχε-

ται απ’ τη γνωστή επιφάνεια με εξίσωση 2 2

2 2

x yz

, υπερβολικό παραβολο-

ειδές – το σαμάρι – όπως την γνωρίσαμε στην 2.9.7 (σχήμα 4, 2ζ), όπου για



x = 0 παίρνουμε 2

2

yz

δηλαδή την κάτω παραβολή, ενώ για y = 0 παίρνουμε 2

2

xz

δηλαδή την πάνω παραβολή.

Οι δύο αυτές παραβολές έχουν το σημείο (0, 0) σημείο μεγίστου η πρώτη και ελαχίστου η δεύτερη, όμως και οι δύο αυτές παραβολές ανήκουν στην ίδια επι-φάνεια, όπως είχε τονιστεί και στην παράγραφο 2.9.7.

Ώστε συμπερασματικά, για να βρούμε τα ακρότατα μιας συνάρτησης ( , )f x y διπλά διαφορίσιμης σ’ ένα τόπο Τ εργαζόμαστε ως εξής:

α) Εξισώνουμε τις μερικές παραγώγους ως προς x και y με μηδέν, δηλαδή

0, 0f fx y

και βρίσκουμε όλες τις λύσεις του συστήματος που δίνουν τα σημεία στά-σης. Θεωρούμε τα σημεία στάσης που βρίσκονται μέσα στον τόπο Τ.

β) Βρίσκουμε την τιμή της παράστασης Β2 – ΑΓ όπου τα Α, Β, Γ ορίζονται απ’ τις σχέσεις (3) για κάθε σημείο στάσης. Για το εκάστοτε σημείο στάσης:

● Αν Β2 – ΑΓ < 0, τότε υπάρχει άκρα τιμή και μάλιστα σχετικό μέγιστο αν Α < 0 (ή Γ < 0), ενώ σχετικό ελάχιστο αν Α > 0 (ή Γ > 0).

● Αν Β2 – ΑΓ > 0, τότε δεν υπάρχει άκρα τιμή.

● Αν Β2 – ΑΓ = 0, τότε έχουμε απροσδιοριστία και πάμε στο δ.

γ) Υπολογίζουμε τις άκρες τιμές της συνάρτησης αντικαθιστώντας τις τιμές των σημείων στάσης στην z = f (x, y).

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1) Δίνεται η συνάρτηση 3 3( , ) 3 .z f x y x y xy Να βρεθούν οι θέσεις των τοπικών ακρότατων αυτής.

03_MATHEMATIKA II_.indd 16403_MATHEMATIKA II_.indd 164 24/2/2014 1:33:33 μμ24/2/2014 1:33:33 μμ

3.1 Ακρότατα συνάρτησης δύο μεταβλητών 165

ΛΥΣΗ

Η f (x, y) είναι ορισμένη σ’ όλο το επίπεδο R2 και έχει μερικές παραγώγους 2ης τάξης στο R2. Τα τοπικά ακρότατα της f (x,y) – αν υπάρχουν – θα αναζητηθούν στις πραγματικές τιμές του συστήματος:

23 3 0,f x yx

(1), 23 3 0f y xy

(2)

Η (2) δίνει x = – y 2 οπότε η (1) γίνεται 2 2( ) 0y y ή 4 0y y η οποία έχει πραγματικές ρίζες y = 0 και y = –1. Για τις τιμές αυτές του y η (1) δίνει x = 0 και x = 1. (Η τιμή x = 1 απορρίπτεται γιατί δεν επαληθεύει τη 2η εξίσωση).

Άρα τα σημεία στάσης (πιθανά ακρότατα) είναι τα 0 (0, 0)P και 1( 1, 1)P .

Επιπλέον είναι 2 2 2

2 26 , 3, 6f f fx yx x y y

.

α) Για το σημείο στάσης 0 (0, 0)P έχουμε:

2 2 2

2 20 0 00 0 0

0, 3, 0x x xy y y

f f fx x y y

.

Επομένως Β2 – ΑΓ = 32 – 0·0 = 9 > 0,

άρα το σημείο στάσης 0 (0, 0)P δεν είναι σημείο ακρότατου.

β) Για το σημείο στάσης 1( 1, 1)P έχουμε

2 2 2

2 21 1 11 1 1

6, 3, 6x x xy y y

f f fx x y y

.

Επομένως Β2 – ΑΓ = 32 –(–6)·(–6) = – 27 < 0.

Άρα το 1( 1, 1)P είναι θέση τοπικού ακρότατου της f (x, y) και επειδή

Α = – 6 < 0 το Ρ1(–1, –1) θα είναι θέση τοπικού μεγίστου που είναι:

z = fμεγ. (–1, –1) = (–1)3 +(–1)3 +3(–1)(–1) = 1 .



2) Δίνεται η συνάρτηση 2 4( , )z f x y x y . Να βρεθούν οι θέσεις των το-πικών ακρότατων αυτής (αν υπάρχουν).

ΛΥΣΗ

Είναι 32 0, 4 0 0, 0f fx y x yx y

.

Άρα το μοναδικό σημείο στάσης είναι το 0 (0, 0)P . Είναι

2 2 2

22 22, 0, 12f f f y

x x y y

επομένως

2 2 2

2 20 0 00 0 0

2, 0, 0x x xy y y

f f fx x y y

οπότε

Β2 – ΑΓ = 02 – 2·0 = 0

άρα έχουμε απροσδιοριστία (3η περίπτωση).

Πιθανώς λοιπόν το 0 (0, 0)P να είναι θέση τοπικού ακρότατου, πιθανώς όχι. Έτσι καταφεύγουμε στον ορισμό. Εξετάζουμε δηλαδή αν η διαφορά

2 4 2 4 2 4( , ) (0,0) (0 0 )f x y f x y x y

διατηρεί σταθερό πρόσημο σε μια περιοχή του 0 (0, 0)P . Είναι όμως

2 4 0x y

για κάθε (x, y) T1 – {(0,0)}, όπου T1 είναι μια περιοχή του 0 (0, 0)P . Δηλαδή

2 4( , ) (0,0) 0,f x y f x y άρα ( , ) (0,0)f x y f .

Άρα, το 0 (0, 0)P είναι θέση τοπικού ελάχιστου του 2 4(0, 0) 0 0 0f .


3.2 Ακρότατα συνάρτησης πολλών μεταβλητών 167

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1) Να βρεθούν και να χαρακτηριστούν τα στάσιμα σημεία των παρακάτω συ-ναρτήσεων

α) 3 3( , ) 12f x y xy x y (Απ.: (0,0) 0f σαγματικό, max (4, 4) 64f ),

β) ( , ) xf x y y (Απάντηση: (0,1) 1f σαγματικό).

2) Να βρεθούν (αν υπάρχουν) τα ακρότατα των συναρτήσεων

α) 3 2( , )f x y x xy x (Απ.: min max3 2 3 3 2 3,0 , ,0

3 9 3 9f f

)

β) 2 2( , ) 4 6 1f x y x xy y y (Απ.: Δεν υπάρχουν ακρότατα),

γ) 3 3( , ) 3 3 1f x y x y x y (Απ.: max min( 1, 1) 5, (1,1) 3f f ),

δ) 4 4 2( , ) 2( )f x y x y x y (Απ.: min min( 2, 2) ( 2, 2) 8f f )

ε) 3 2( , ) 2 ( ) 6f x y x x y y (Απάντηση: min (1, 4) 13, ( 1,2) 5f f σαγματικό),

στ) ( , ) ( )(10 )f x y xy x y x y (Απάντηση: max10 10 100,3 3 3

f

),

ζ) ( , ) ( )f x y x y x y με (x, y) [0, π] x [0, π].

(Απάντηση: max3 3( , )

3 3 2f

),

η) 4 2( , ) ( )f x y x y y (Απάντηση: (0,0) 0f σαγματικό).

3.2 Ακρότατα συνάρτησης πολλ ών μεταβλητώνΈστω η πραγματική συνάρτηση 1 2( , , , )f x x x ορισμένη σ’ ένα σύνο-λο Τ Rν, της οποίας υπάρχουν στο Τ και είναι συνεχείς οι μερικές παράγω-γοι πρώτης και δεύτερης τάξης. Έστω ακόμα το σημείο 0 1 2( , , , )P το οποίο είναι λύση του συστήματος των εξισώσεων

1 2

0, 0, , 0f f fx x x

.



Θέτουμε 0

2

i ji j P

fx x

.

Ως γνωστό ισχύει 2 2

i j j i

f fx x x x

δηλαδή i j j i ,

(εφόσον οι μερικές παράγωγοι 1ης και 2ης τάξης είναι συνεχείς).

Για p = 1, 2, …, ν σχηματίζουμε την εκάστοτε ορίζουσα

11 12 1

21 22 2

1 2

p

pp

p p pp

a a aa a a

a a a

με 1 11a .

Έτσι σχηματίζονται οι ορίζουσες:

11 12 111 12 13

21 22 211 122 3 21 22 23

21 2231 32 33

1 2

, , ,

a a aa a a

a a aa aa a a

a aa a a

a a a

.

Αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες:1. Για να έχει η f ένα τοπικό ελάχιστο στο σημείο 0P , αρκεί οι ορίζουσες

1 2, , ..., να είναι όλες θετικές.2. Για να έχει η f ένα τοπικό μέγιστο στο σημείο 0P , αρκεί οι παραπάνω ορίζου-

σες να είναι 1 0, 2 0, 3 0 , … δηλαδή να είναι εναλλάξ αρνητι-κές και θετικές (ξεκινώντας με αρνητική την πρώτη).

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: 1. Αν για το σημείο 0P δεν ικανοποιείται μια απ’ τις συνθήκες 1 ή 2, δεν θα

πρέπει να συμπεράνουμε ότι το 0P δεν αποτελεί θέση ακρότατου. Στην περίπτωση αυτή, η τελική διαπίστωση θα γίνεται με τη βοήθεια του ορι-σμού (πρόσημο του δ).

2. Διαπιστώνεται εύκολα, ότι οι συνθήκες ύπαρξης σχετικού μεγίστου ή ελαχίστου στην περίπτωση δύο ανεξάρτητων μεταβλητών συμπίπτουν με τις συνθήκες ύπαρξης άκρων τιμών της προηγούμενης παραγράφου, για-τί στην περίπτωση αυτή έχουμε προφανώς:



11 22 21 12, ,a a a a .

Επομένως είναι

11 12 21 11 2

21 22

,a a

aa a

.

Άρα για

1 20, 0, δηλαδή για 20, 0 ή 2 0

έχουμε ελάχιστο, όπως φαίνεται στην 1η περίπτωση της παρ. 3.1., ενώ για

1 20, 0, δηλαδή για 20, 0 ή 2 0

έχουμε μέγιστο.

Π Α ΡΑ ΔΕΙΓΜ Α

Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης

3 3 3( , , ) 3 3 3f x y z x y z xy yz zx .

ΛΥΣΗ

Λύνουμε το σύστημα

23 3 3 0f x y zx

(1)

23 3 3 0f y x zy

(2)

23 3 3 0f z y xz

(3)

Με αφαίρεση των (2) και (3) κατά μέλη έχουμε

2 2 0y z z y ή ( )( 1) 0y z y z . (4)

Από την (4) προκύπτει: z y (5), ή 1y z (6)



● Από την (5), για z y

η (1) γίνεται 2 2 0x y (ι), ενώ η (2) γίνεται 2 0y x y (ιι)

Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (ι) και (ιι) υπολογίζουμε τα x, y.

Έτσι, η (ιι) δίνει 2( )x y y , ενώ η (ι) για την τιμή αυτή του x γίνεται

22( ) 2 0y y y ή 2 2( ) 2 0y y y ή 4 3 22 2 0y y y y

3 2 2( 2 2) 0 ( 2) ( 2) 0y y y y y y y y

2( 2)( 1) 0.y y y (7)

Απ’ την (7) παίρνουμε τις πραγματικές ρίζες 0y ή 2y .

▪ Για 0y η (5) δίνει 0z και η (1) δίνει 0x .

Άρα το σημείο 1(0, 0, 0)P είναι ένα σημείο στάσης.

▪ Για 2y η (5) δίνει 2z και η (2) δίνει 2x .

Άρα το σημείο 2 ( 2, 2, 2)P είναι ένα δεύτερο σημείο στάσης.

● Από την (6) για 1z y η (1) γίνεται

2 1 0x y y που δίνει φανταστικές ρίζες για το x τις x i .

Μετά την εύρεση των σημείων στάσης βρίσκουμε τις μερικές παραγώγους 2ης τάξης της f (x, y, z) στη θέση 1(0, 0, 0)P . Είναι:

1 1 1

1 1 1

2 2 2

11 22 332 2 26 0, 6 0, 6 0,P P P

P P P

f f fa x a y a zx y z

1 1 1

2 2 2

12 21 23 32 13 313, 3, 3.P P P

f f fa a a a a ax y y z x z

Οπότε, 1 11 0,a



11 122

21 22

0 39 0

3 0a aa a

, Δ3 = 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

0 2 32 0 3 36 03 3 0

.

Παρατηρούμε ότι Δ1 = 0, Δ2 < 0, Δ3 > 0, άρα δεν εφαρμόζονται οι συνθήκες 1. ή 2., επομένως δεν μπορούμε να αποφανθούμε αν το σημείο 1(0, 0, 0)P είναι σημείο ακρότατου. Θα εξετάσουμε αυτό με τη βοήθεια του ορισμού. Δηλαδή θα βρούμε αν υπάρχει περιοχή του 1(0, 0, 0)P στην οποία η διαφορά

( , , ) (0, 0, 0)f x y z f

διατηρεί σταθερό πρόσημο.

Όμως, σε οποιαδήποτε περιοχή του 1(0, 0, 0)P υπάρχουν σημεία

0 0 0( , , )x y z π.χ. 0 0 00, 0, 0x y z τέτοια ώστε

3 3 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) (0, 0, 0) 3 3 3 0f x y z f x y z x y x z y z ,

καθώς και σημεία

0 0 0( , , )x y z π.χ. 0 0 00, 0, 0x y z τέτοια ώστε

3 3 3

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) (0, 0, 0) 3 3 3 0f x y z f x y z x y x z y z ,

δηλαδή η διαφορά δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο.

Άρα το 1(0, 0, 0)P δεν είναι θέση τοπικού ακρότατου. Στην περίπτωση αυτή επομένως το 1(0, 0, 0)P αποτελεί σημείο σάγματος (ή σαγματικό σημείο).

Εργαζόμαστε τώρα εντελώς ανάλογα για το 2 ( 2, 2, 2)P .

Είναι 11 22 33 12 21 13 31 23 3212, 3,a a a a a a a a a οπότε

1 2 3

12 3 312 3

12 0, 135 0, 3 12 3 1350 03 12

3 3 12

.

Άρα σύμφωνα με τη συνθήκη 2., στο σημείο στάσης 2 ( 2, 2, 2)P έχουμε τοπικό μέγιστο, το max ( 2, 2, 2) 12f .



ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης3 3 3( , , ) 3 3 3f x y z x y z xy yz zx

(Απάντηση: max ( 2, 2, 2) 12, (0,0,0) 0f f σαγματικό σημείο).

2) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης

( , , ) (1 )f x y z xyz x y z (Απάντηση: max1 1 1 1( , , )4 4 4 256

f ).

3) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης4 4 4( , , ) 4f x y z x y z xyz (Απ.: (0, 0, 0) 0f σαγματικό σημείο, ενώ

min min min min(1,1,1) (1, 1, 1) ( 1,1, 1) ( 1, 1,1) 1f f f f ).

4) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης2

( , , )2xf x y z xyz y z (Απάντηση: 3(1,1, 1)

2f σαγματικό σημείο).

5) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης2 2 2( , , ) 7 2 3 2f x y z x y z xz (Απάντηση: max (0, 0, 0) 7f ).

3.3 Ακρότατα πεπλεγμένης συνάρτησηςΔιακρίνουμε τις παρακάτω δύο περιπτώσεις:

3.3.1 (1η Περίπτωση): Πεπλεγμένη με μια μεταβλητήΈστω η πεπλεγμένη συνάρτηση y που ορίζεται με μια ανεξάρτητη μεταβλητή

f (x, y) = 0 (1)

όπου 0fy

. Υποθέτουμε ότι η (1) έχει παραγώγους μέχρι 2ης τάξης συνεχείς.


3.3 Ακρότατα πεπλεγμένης συνάρτησης 173

Όπως ξέρουμε, στην περίπτωση που η (1) θα ήταν λυμένη ως προς y, η συνθήκη άκρων τιμών είναι y´ = 0. Αν παραγωγίσουμε την (1) θα πάρουμε

0f f yx y

, (2)

η οποία για τα σημεία ακρότατων (y´ = 0) παίρνει τη μορφή 0fx

.

Λύνοντας το σύστημα

f (x, y) = 0 και 0fx

(3)

έχουμε τα πιθανά σημεία ακροτάτων της y. Για να εξακριβώσουμε, αν οι λύσεις του συστήματος (3) αποτελούν μέγιστο ή ελάχιστο, πρέπει να καθορίσουμε το σημείο της y . H παραγώγιση της (2) δίνει

2 2 2

22 22 0f f f fy y y

x x y y y

(βλέπε τύπο (4) της 2.7.1).

Λαμβάνοντας υπόψη ότι y´ = 0, έχουμε 2

2f fy

x y

.

Έτσι, αν 0y έχουμε ελάχιστο, αν 0y μέγιστο και αν 0y απροσδιο-ριστία οπότε δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την ύπαρξη ή μη άκρας τιμής.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Να βρεθούν οι άκρες τιμές της συνάρτησης 3 3( , ) 3 0f x y x y xy .

ΛΥΣΗ

Είναι 2

2 223 3 , 3 3 , 6f f fx y y x x

x y x

.

Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων

f (x, y) = 0 και 0fx

, ή 3 3 3 0 (1),x y xy και 23 3 0 (2)x y .

Απ’ τη (2) y = x2 οπότε η (1) γίνεται 3 6 33 0x x x ή 6 3x 2 0x ή

3 3( 2) 0x x απ’ όπου προκύπτει 0x ή 3 2x .



Για x = 0 η (2) δίνει y = 0, ενώ για 3 2x δίνει 3 4y .

● Για x = 0 έχουμε 2

020

00x

y

f fyx y

(απροσδιοριστία),

άρα δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την ύπαρξη ή μη άκρας τιμής.

● Για 3 2x έχουμε 3

3

2

2 24

xy

f fyx y

= 3

3

6 2 04

,

επομένως για 3 2x έχουμε μέγιστο, το 3 4y .

3.3.2 (2η Περίπτωση): Πεπλεγμένη με δύο μεταβλητέςΈστω η πεπλεγμένη συνάρτηση z που ορίζεται απ’ την εξίσωση με δύο μεταβλη-τές x, y, και είναι η

f (x, y, z) = 0 (1)

η οποία έχει μερικές παραγώγους μέχρι 2ης τάξης συνεχείς. Όπως και στην προη-γούμενη περίπτωση, θεωρούμε το σύστημα των εξισώσεων

( , , ) 0, 0, 0f ff x y zx y

και έστω μια λύση αυτού η 0 0 0 0( , , )P x y z με 0

0P

fz

. Τότε, σύμφωνα με το

θεώρημα 2.6.1. ορίζεται η συνάρτηση z = φ(x, y) σε μια περιοχή του σημείου Ρ0.

Στη συνέχεια υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους 2 2 2

2 2, ,z z zx y x y

στη θέση

0 0( , )x y και εφαρμόζουμε τη θεωρία της παραγράφου 3.1. για τα ακρότατα της συνάρτησης z = φ(x, y). Η ίδια μεθοδολογία μπορεί να γενικευθεί και για πε-πλεγμένες συναρτήσεις με περισσότερες από δύο ανεξάρτητες μεταβλητές.

Στη πράξη όμως, για τη συνάρτηση f (x, y, z) = 0 το 0 0 0 0( , , )P x y z αποτελεί:

i) σημείο τοπικού ελαχίστου, όταν:

0

2 2

2

1 2 2

2

0

P

f fx x y

Df f

x y y

και 0

2

2 2 0P

f fDx z


3.3 Ακρότατα πεπλεγμένης συνάρτησης 175

ii) σημείο τοπικού μεγίστου, όταν 1 0D και 2 0D .

Αν 1 0D , τότε για την εξακρίβωση ακρότατων χρειαζόμαστε τις μερικές παραγώγους ανώτερης τάξης της f (x, y, z) (αν υπάρχουν).


Να υπολογιστούν τα ακρότατα της πεπλεγμένης συνάρτησης

2 2 3 2( , , ) 2 2 1 0f x y z x y z z z .

ΛΥΣΗ

Είναι 2 2 2

22 22 , 2 , 3 4 2, 2, 2, 0f f f f f fx y z z

x y z x y x y

.

Λύνουμε το σύστημα: ( , , ) 0, 0, 0f ff x y zx y

,

δηλαδή το σύστημα: 2 2 3 22 2 1 0, 2 0, 2 0x y z z z x y .

Οι δύο τελευταίες αν αντικατασταθούν στην πρώτη δίνουν 3 22 2 1 0z z z ή 3 1 2 ( 1) 0z z z ή 2( 1)( 1) 2 ( 1) 0z z z z z ή 2( 1)( 1) 0z z z .

Η τελευταία εξίσωση έχει τη μοναδική πραγματική ρίζα z = –1. Άρα το σημείο στάσης της f είναι το Ρ0 με 0 0 0( , , ) (0, 0, 1),x y z για το οποίο είναι

0

23( 1) 4( 1) 2 1 0P

fz

.

Εξ άλλου έχουμε

0

0

2 2

2 2

1 2 22 2

2

2 04 0, 2 1 0

0 2 P

P

f fx x y f fD D

x zf fx y y

.

Άρα το σημείο Ρ0(0, 0, –1) είναι θέση τοπικού μεγίστου της z = φ(x, y) και είναι:

zμεγ. = φ(0, 0) = –1.



ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης ( )y y x που ορίζεται με πεπλεγμένη μορφή από την εξίσωση 4 4( , ) 4 0f x y x xy y .

(Απάντηση: 8 8 8 8max min( 3) 27, ( 3) 27y y ).

2) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης ( , )z f x y που ορίζεται με πεπλεγμένη μορφή από την εξίσωση 2 2 3( , , ) 0F x y z z xyz x y y

(Απάντηση: max min( 6 3, 6) 12 3, (6 3, 6) 12 3f f ).

3) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης ( , )z f x y που ορίζεται με πεπλεγμένη μορφή από την εξίσωση 2 2 3( , , ) 0F x y z z xyz xy x

(Απάντηση: max min( 6, 6 3) 12 3, ( 6, 6 3) 12 3f f ).

3.4 Ακρότατα συνάρτησης με συνθήκεςΈστω μια πραγματική συνάρτηση

1 2( , , , ) 2, 3, ...f x x x (1)

που ορίζεται στον τόπο Τ R , της οποίας όμως οι μεταβλητές 1 2, , ,x x x δεν είναι ανεξάρτητες, αλλά επαληθεύουν τις p εξισώσεις (p < ν)

1 1 2

2 1 2

p 1 2

( , , , ) 0( , , , ) 0

( , , , ) 0

x x xx x x

x x x

(2)

όπου οι πραγματικές συναρτήσεις (2) ορίζονται σ’ ένα υποσύνολο του Τ, το Τ0 Τ R . Θα ζητήσουμε να βρούμε τις θέσεις των ακρότατων τιμών της συνάρτησης 1 2( , , , )f x x x που υπόκειται στις συνθήκες (2).

Μια μέθοδος για την αντιμετώπιση τέτοιου είδους προβλημάτων είναι αυτή των πολλαπλασιαστών του Lagrange.

Κατά την μέθοδο αυτή εργαζόμαστε ως εξής:


3.4 Ακρότατα συνάρτησης με συνθήκες 177

1. Σχηματίζουμε τη συνάρτηση

1 2 1 2 p 1 1 2 2 p p( , , , , , , , )F x x x f

με παραμέτρους τα p, , , R.

2. Μηδενίζουμε τις μερικές παραγώγους της F ως προς τις ν + p μεταβλητές, τις 1 2 p, , , , , ,x x x δηλαδή

p1 21 2 p

1 1 1 1 1

p1 21 2 p

2 2 2 2 2

p1 21 2 p

0 0

0 0

0 0

F fx x x x xF fx x x x x

F fx x x x x

ή

ή

ή

1 1 21

2 1 22

p 1 2p

0 ( , , , ) 0

0 ( , , , ) 0

0 ( , , , ) 0

F x x x

F x x x

F x x x

ή

ή

ή

Οι παραπάνω σχέσεις αποτελούν σύστημα ν + p εξισώσεων με ν + p αγνώστους, τους 1 2 p, , , , , ,x x x . Αν 0 1 2 p( , , , , , , )P εί-ναι μια λύση του συστήματος αυτού των ν + p εξισώσεων, τότε το σημείο

0 1 2( , , , )P ενδέχεται να είναι μια θέση ακρότατου της f που υπόκειται στις συνθήκες (2).

Μένει να διαπιστωθεί αν ένα τέτοιο σημείο 0P είναι ή όχι θέση ακρότατου, και αν είναι, ποιο είναι το είδος του. Επειδή στις εφαρμογές συνήθως παρου-σιάζονται οι περιπτώσεις (ν = 3, p = 2) ή (ν = 3, p = 1), θα αναφέρουμε χωρίς απόδειξη τις ικανές συνθήκες που δίνουν τις θέσεις ακροτάτων για κάθε μια απ’ τις περιπτώσεις αυτές.



3.4.1 (1η Περίπτωση) (ν = 3 μεταβλητές, p = 2 συνθήκες)Έστω η συνάρτηση f (x, y, z) με συνεχείς μερικές παραγώγους ως προς τις μετα-βλητές x, y, z που περιέχει, και οι συνθήκες ( , , ) 0, ( , , ) 0x y z x y z .

Θεωρούμε τη συνάρτηση 1 2 1 1 2 2( , , , , )F x y z f ,

και έστω 0 0 0 0( , , , , )P x y z μια λύση του συστήματος

1 2

0, 0, 0, 0, 0F F F F Fx y z

.

Εξετάζουμε την ορίζουσα

2

2

2

0

1 2

1 2

1 2

1 1 1

2 2 2

0 00 0

xy xz x xx

yx yz y yy

zx zy z zz

x y z

x y z P

F F FF F F

F F F

.

● Αν Δ > 0 τότε το 0 0 0 0( , , )P x y z είναι σημείο ελαχίστου για την f, ενώ

● αν Δ < 0 τότε το 0 0 0 0( , , )P x y z είναι σημείο μεγίστου.

Π Α ΡΑ ΔΕΙΓΜ Α

Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης 2 2 2( , , )f x y z x y z , που πλη-ρούν τους περιορισμούς 1 2( , , ) 2 0, ( , , ) 1 0x y z xz yz x y z xy .

ΛΥΣΗ

Σχηματίζουμε τη βοηθητική συνάρτηση

2 2 21 2 1 2( , , , , ) ( 2) ( 1).F x y z x y z xz yz xy

Πιθανές θέσεις των ακρότατων είναι οι λύσεις του συστήματος:

1 22 0F x z yx

(1)



1 22 0F y z xy

(2)

1 12 0F z y xz

(3)

1

2 0F xz yz

(4)

2

1 0F xy

(5)

Απ’ τη (2) αφαιρούμε την (1) κι έχουμε

22( ) ( ) 0y x y x ή 2( )(2 ) 0y x

απ’ όπου προκύπτει

x = y ή 2 2 .

Διακρίνουμε επομένως τις παρακάτω περιπτώσεις:

● Για x = y:

η (5) γίνεται 2 1 1,x x οπότε και 1y .

▪ H (4) για 1, 1x y δίνει 2 2 0z ή z = –1,▪ ενώ για 1, 1x y δίνει 2 2 0z ή z = 1. ▪ Η (3) για x = 1, y = 1, z = –1 δίνει – 2 + 1 + 1 = 0 ή 1 = 1, ▪ ενώ για x = –1, y = –1, z = 1 δίνει 2 – 1 – 1 = 0 ή 1 1 .▪ Η (2) για x = 1, y = 1, z = –1, 1 1 δίνει 2 – 1 + 2 = 0 ή 2 1 , ▪ ενώ για x = –1, y = –1, z = 1, 1 1 δίνει –2 + 1 – 2 = 0 ή 2 = –1.

Ώστε για x = y έχουμε δύο πεντάδες ως λύση του συστήματος, τις:

1(1,1, 1,1, 1)P και 2 ( 1, 1,1,1, 1)P .

● Για 2 2 :

▪ η (2) γίνεται 12 2 0y z x ή 12( ) 0,x y z (6)

▪ η (4) γίνεται 2x y z , (7)



▪ οπότε η (6) λόγω της (7) γίνεται 12 2 z 0z ή 21z 4 . (8)

▪ Η (3) γίνεται 12 ( ) 0z x y ή λόγω της (7)

12 2 0z z ή 21 0z . (9)

Απ’ τις (8) και (9) προκύπτει 1 14 ή 21 4

άρα (λόγω του περιορισμού της (9))

1 = 2, οπότε η (9) δίνει 2 2z άρα z 2 και επομένως

▪ η (7) δίνει 2 222

x y

.

Και επειδή η (5) δίνει xy = 1, (δηλαδή είναι γνωστά το άθροισμα x y και το γινόμενο xy), άρα αυτά (τα x και y) θα είναι ρίζες της εξίσωσης

2 2 1 02

με διακρίνουσα Δ = –7/2 < 0,

επομένως οι τιμές των x και y που θα προκύψουν θα είναι μιγαδικές, οπότε απορρίπτονται.

Ώστε για 1 2 δεν υπάρχει πραγματική πεντάδα ως λύση του συστήμα-τος, επομένως οι μόνες πραγματικές λύσεις είναι οι 1(1,1, 1,1, 1)P και

2 ( 1, 1,1,1, 1)P .

Βρίσκουμε τώρα τα στοιχεία της ορίζουσας Δ. Είναι

2

2

2

2 1 1 2

2 1 1 2

1 1 1 2

2, , , ,

, 2, , ,

, , 2, , 0

xy xz x xx

yx yz y yy

zx zy z zz

F F F z y

F F F z x

F F F x y

οπότε η ορίζουσα Δ για τις τιμές 1P και 2P γίνεται

1 2

1 2

2 1 1 1 1 2 1 1 1 11 2 1 1 1 1 2 1 1 1

24, 241 1 2 2 0 1 1 2 2 01 1 2 0 0 1 1 2 0 0

1 1 0 0 0 1 1 0 0 0P P

.



Επομένως, τόσο το σημείο 1(1,1, 1)P όσο και το 2 ( 1, 1,1)P είναι θέσεις το-πικού ελαχίστου της 2 2 2( , , )f x y z x y z και είναι

. .(1,1, 1) ( 1, 1,1) 3f f .

3.4.2 (2η Περίπτωση) (ν = 3 μεταβλητές, p = 1 συνθήκη)Εδώ δηλαδή έχουμε μια συνάρτηση με τρεις ανεξάρτητες μεταβλητές, όπως και πριν, την f (x, y, z) και μια συνθήκη την φ(x, y, z) = 0.

Θεωρούμε τη συνάρτηση

( , , , ) ( , , ) ( , , )F x y z f x y z x y z

και έστω 0 0 0 0( , , , )P x y z μια λύση του συστήματος

0, 0, 0, 0F F F Fx y z

. (1)

Θεωρούμε τις ορίζουσες:

22

2

2

2

00

1 2,0

0

xy xz xxyz yy

yx yz yyzy zz

zx zy zzy z

Px y z P

F F F F FF F F

F FF F F

.

Αν για τη λύση 0 0 0 0( , , , )P x y z του συστήματος (1) είναι

i) Δ1 > 0, Δ2 > 0, τότε η λύση αυτή 0P είναι θέση ελαχίστου της f,

ii) Δ1 < 0, Δ2 > 0, τότε είναι θέση μεγίστου της f.

iii) Αν δεν συμβαίνει καμία απ’ τις περιπτώσεις (i) και (ii), τότε εφαρμόζουμε τον ορισμό, εξετάζοντας το πρόσημο του .



ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ:

1. Στην πράξη, αν η συνθήκη φ(x, y, z) = 0 λύνεται εύκολα ως προς μια των μεταβλητών της, π.χ. της z (χωρίς όμως να εκφράζεται με ριζικά) και δίνει έστω την ( , )z g x y , συνήθως αντικαθίσταται η τιμή αυτή του z στη συνάρτηση f (x, y, z), οπότε προκύπτει νέα συνάρτηση η f (x, y, g(x, y)) = h(x, y) της οποίας υπολογίζουμε τα ακρότατα κατά τα γνωστά.

2. Στη περίπτωση που έχουμε (ν = 2, p = 1) και δεν μπορεί η φ(x, y) = 0 να εκφραστεί συναρτήσει του ενός από τους x, y, τότε βρίσκουμε μια λύση

0 0 0( , , )P x y απ’ το σύστημα των εξισώσεων

0, 0, 0F F Fx y

(2)

όπου ( , , ) ( , ) ( , )F x y f x y x y και παίρνουμε τις

2

20 2

0

1 2, xyxx P yx y P

F FF F F

Αν για τη λύση 0 0 0( , )P x y του συστήματος (2) είναι

i) Δ1 > 0, Δ2 > 0, τότε το 0 0 0( , , )P x y είναι θέση ελαχίστου της f,

ii) Δ1 < 0, Δ2 > 0, τότε το 0 0 0( , , )P x y είναι θέση μεγίστου της f.

iii) Αν δεν ισχύει τίποτε από τα παραπάνω, τότε πάμε στον ορισμό, εξε-τάζοντας το πρόσημο του δ.


1) Να βρεθούν οι άκρες τιμές της συνάρτησης 2 2 2( , , )f x y z x y z με τη συνθήκη ( , , ) 1 0.x y z x y z

ΛΥΣΗ

1ΟΣ ΤΡΟΠΟΣ

Σχηματίζουμε τη βοηθητική συνάρτηση



2 2 2( , , ) ( 1)F x y z x y z x y z

όπου λ R και λύνουμε το σύστημα

2 0 , 2 0 ,

2 0 , 1 0 .

F Fx yx yF Fz x y zz

(1) (2)

(3) (4)

Από (2) – (1): 2y – 2x = 0 x = y (5). Από (3) – (2): 2z – 2y = 0 z = y (6).

Από (5), (6) προκύπτει x = y = z (7). Η (4) λόγω της (7) δίνει 3x + 1 = 0.

Άρα x = y = z = - ⅓, οπότε η (1) δίνει λ = - ⅔. Άρα Ρ0′(-⅓, -⅓, -⅓, -⅔).

Βρίσκουμε τώρα τα στοιχεία της ορίζουσας Δ1 και Δ2 για τις τιμές της λύσης

Ρ0′(-⅓, -⅓, -⅓, -⅔). Είναι:

2

2

2

2, 0, 0, 1

0, 2, 0, 1

0, 0, 2, 1

xy xz xx

yx yz yy

zx zy zz

F F F

F F F

F F F

Άρα

0

0

1 2

2 0 0 12 0 1

0 2 0 112, 0 2 1 4

0 0 2 11 1 0

1 1 1 0 PP

.

άρα δεν πληρούται καμία από τις συνθήκες i) και ii).

Επομένως το σημείο Ρ0′(- ⅓, -⅓, -⅓, -⅔) πιθανώς να αποτελεί θέση ακρότατου πιθανώς όχι. Πάμε στον ορισμό και παίρνουμε τη διαφορά:

0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , )f x h y k z l f x y z . Είναι

2 2 2 2 2 21 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3h k l

με τη συνθήκη

1 3 1 3 1 3 1 0h k l ή 0h k l . Είναι



2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 1 19 3 9 3 9 3 9 9 9

2 2( ) 0 03 3

h k lh k l

h k l h k l h k l h k l

.

Άρα το σημείο Ρ0′(- ⅓, - ⅓, - ⅓, - ⅔) είναι θέση τοπικού ελαχίστου του

( 1 3, 1 3, 1 3) 1 3f .

2ΟΣ ΤΡΟΠΟΣ

Η συνθήκη ( , , ) 1 0x y z x y z μπορεί να λυθεί π.χ. ως προς z οπότε γίνεται ( , ) 1z g x y x y . Άρα η δοθείσα συνάρτηση γίνεται

2 2 2( , , ) ( , , ( , )) ( 1)f x y z f x y g x y x y x y ή

2 2( , ) 2 2 2 2 2 1h x y x y xy x y .

Επομένως, αρκεί να υπολογίσουμε τα ακρότατα της h(x, y). Είναι κατά τα γνω-στά:

4 2 2 0, 4 2 2 0h hx y y xx y

.

Λύνοντας το παραπάνω σύστημα βρίσκουμε x = y = - ⅓.

Άρα το σημείο Α0(- ⅓, - ⅓) είναι σημείο στάσης. Εξ άλλου είναι

0 0 0

2 2 2

2 24 0, 2, 4A A A

h h hx x y y

, οπότε

2 22 4 4 12 0 .

Επομένως, σύμφωνα με τη θεωρία της παραγράφου 3.1 η h(x, y) παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο σημείο Α0(- ⅓, - ⅓) το

2 21 1 1 1 1 1 1 1 1, 2 2 2 2 2 1

3 3 3 3 3 3 3 3 3h

.



Κατά συνέπεια η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στη θέση 0 1 3, 1 3, 1 3P το

2 2 21 1 1 1 1 1 1, , ,3 3 3 3 3 3 3

f

.

2) Να βρεθεί σημείο του επιπέδου 2 5 0x y z που απέχει την μικρότε-ρη απόσταση από την αρχή των αξόνων Ο(0,0,0).

ΛΥΣΗ

Το πρόβλημα είναι να βρούμε τα ακρότατα της συνάρτησης 2 2 2w x y z με τη δέσμευση ( , , ) 2 5 0x y z x y z . Μπορούμε, αντί της συνάρτησης w να χρησιμοποιήσουμε την συνάρτηση 2 2 2( , , )f x y z x y z για να αποφύ-γουμε τα ριζικά. Σχηματίζουμε λοιπόν τη βοηθητική συνάρτηση

2 2 2( , , , ) ( , , ) ( , , ) (2 5)F x y z f x y z x y z x y z x y z .

Την παραγωγίζουμε ως προς τις μεταβλητές x, y, z, λ και λύνουμε το σύστημα

2 2 02 0

2 02 5 0

x

y

z

F xF yF zF x y z

που έχει λύση 5 5 5 5, , ,3 6 6 3

x y z .

Eπομένως, θα ελέγξουμε στο σημείο 0 (5 3, 5 6, 5 6, 5 3)P το πρόσημο των οριζουσών

22

2

2

2

00

1 2,0

0

xy xz xxyz yy

yx yz yyzy zz

zx zy zzy z

Px y z P

F F F F FF F F

F FF F F

. Αλλά

2 2x

F , 0xyF , 0xzF , 2x



0yxF , 2 2y

F , 0yzF , 1y

0zxF , 0zyF , 2 2z

F , 1z .

Επομένως

1

2 0 0 20 2 0 1

24 0,0 0 2 12 1 1 0

2

2 0 10 2 1 4 01 1 0

και άρα δεν πληρούται καμία από τις συνθήκες (i) και (ii) της θεωρίας (2η Περί-πτωση ν = 3, p = 1), επομένως το σημείο 0 (5 3, 5 6, 5 6)P πιθανώς να αποτε-λεί θέση ακροτάτου, πιθανώς όχι. Πάμε λοιπόν στον ορισμό και παίρνουμε τη διαφορά:

0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , )f x h y k z l f x y z . Είναι

2 2 2 2 2 25 5 5 5 5 53 6 6 3 6 6

h k l

με τη συνθήκη

5 5 52 5 03 6 6

h k l

ή 2 0h k l . Άρα

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

25 10 25 5 25 5 25 25 259 3 36 3 36 3 9 36 36

5 5(2 ) 0 03 3

h k lh k l

h k l h k l h k l h k l

.

Ώστε το σημείο 0 (5 3, 5 6, 5 6)P είναι θέση τοπικού ελαχίστου του

min (5 3, 5 6, 5 6) 25 6f .



ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης 1 4 9( , , )f x y zx y z

με

τη δέσμευση ( , , ) 12 0x y z x y z (Απάντηση: min (2, 4, 6) 3f ).

2) Να βρεθεί σημείο του επιπέδου 2 3 7 0x y z που να απέχει την ελάχι-στη απόσταση από το σημείο ( 1, 4, 2)A . Ποια είναι η απόσταση αυτή;

(Υπόδ.: Να θεωρήσετε τη συνάρτηση 2 2 2( , , ) ( 1) ( 4) ( 2)f x y z x y z με τη δέσμευση ( , , ) 2 3 7 0x y z x y z ).

(Απάντηση: min12 1 47 19, , 147 14 14 14

f

).

3) Να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση 2 2 2( , , )f x y z x y z για τα σημεία της ευθείας που ορίζουν τα επίπεδα 2 3 0x y z και 2 3 4 0x y z .

(Απάντηση: min68 16 76 224, ,75 15 75 75

f

).

4) Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης 2 2 2( , , )f x y z x y z με τις δεσμεύσεις 2 2 4 0x y και 1x z .

(Απάντηση: max ( 2, 0, 3) 13,f max (2, 0, 1) 5,f

min min(1, 3, 0) (1, 3, 0) 4f f ).

5) Να βρεθούν οι άκρες τιμές της συνάρτησης 2 3( , , )f x y z xy z που υπόκειται στη συνθήκη x + y + z = 6 με x, y, z > 0. (Απάντηση: max (1, 2, 3) 108f ).

6) Να βρεθούν τρεις θετικοί αριθμοί των οποίων το άθροισμα είναι 12 και το γινόμενό τους γίνεται μέγιστο. (Υπόδειξη: Θεωρήσετε τη συνάρτηση ( , , )f x y z xyz με δέσμευση

( , , ) 12 0x y z x y z ). (Απάντηση: max (4, 4, 4) 64f ).

7) Κιβώτιο με σχήμα ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου, που είναι ανοιχτό προς τα πάνω, πρέπει να έχει όγκο 108 cm3. Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του, ώστε η ολική του επιφάνεια S να είναι ελάχιστη;



(Υπόδειξη: Αν y, z, οι διαστάσεις της βάσης και x το ύψος του κιβωτίου, θεωρήσετε τη συνάρτηση ( , , ) 2 2S f x y z xy xz yz με τη δέσμευση

( , , ) 108.V x y z xyz Αντικαθιστώντας το 108zxy

στην S προκύπτει συνάρτηση δύο μεταβλητών ( , )F x y ).

(Απάντηση: min (3, 6, 6) 108f ).

8) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης ( , , )f x y z xyz που υπό-κειται στις συνθήκες

1( , , ) 5 0x y z x y z , 2 ( , , ) 8 0x y z xy yz zx .

(Απάντηση: min min min(2, 2,1) (2,1, 2) (1, 2, 2) 4f f f ).


ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ · 162 Κεφάλαιο...

Documents

Transcript of ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ · 162 Κεφάλαιο...