Números complexos: aula

.sen e cos que concluir Podemos .0 com

) ,( polares scoordenada em dorepresenta ser pode ponto Esse

θθθ

rbrar

r

==≥

plano. num ponto um como plotado e ) ,( ordenado

par pelo dorepresenta ser pode complexo número O

ba

biaz +=

Números complexos na forma trigonométrica

.tg e || que em

)sen(cos

)sen(cos

22

ab

bazr

irz

irrbiaz

=+==

+=+=+=

θ

θθθθ Observação:

o ângulo θ é o argumento de z. Note que o argumento não é único. Quaisquer dois argumentos de z diferem entre si por um múltiplo inteiro de 2 π.

Números complexos na forma trigonométrica

:Portanto .)sen)(cossen(cos Então

).sen(cos e )sen(cos Sejam

22112121

22221111

θθθθ

θθθθ

iirrzz

irzirz

++=

+=+=

)]sencoscos(sen)sensencos[(cos

)cossencossensensencos(cos

)sensencossencossencos(cos

212121212121

211221212121

212

2112212121

θθθθθθθθθθθθθθθθ

θθθθθθθθ

++−=++−=+++=

irrzz

iirrzz

iiirrzz

Números complexos na forma trigonométrica

)]sen()[(cos(

:temos cosseno, e seno para adição de fórmulas as Usando

21212121 θθθθ +++= irrzz

Multiplicação

)]sen()[(cos( 21212121 θθθθ +++= irrzzObservação:para multiplicar dois números complexos multiplicamos os seus módulos e somamos os seus argumentos.

Números complexos na forma trigonométrica

Multiplicação

:obtemos , complexo número

mesmo um para çãomultiplica de fórmula a vezes repetidas Usando

z

:Moivre De de Teorema

como conhecido resultado seguinte o obtemos positivo, inteiro Para n

)sen(cos θθ ninrz nn +=

Números complexos na forma trigonométrica

Multiplicação

. por argumento seu o mosmultiplica e módulo seu o potência ésima-

à elevamos complexo número um potência ésima- à elevar Para

nn

n

)3sen3(cos

)2sen2(cos

)sen(cos

323

22

θθθθ

θθ

irzzz

irz

irz

+==+=

+=

1 – Ache o produto dos números complexos e .

Resolução:

−+

−=−

+=+6

sen6

cos23 e 4

sen4

cos21ππππ

iiii

ii −+ 3 1

−+

−=−+64

sen64

cos22)3)(1(ππππ

iii

+=−+12

sen12

cos22)3)(1(ππ

iii

Números complexos na forma trigonométrica

Exercícios resolvidos

++

+=24

sen24

cos621

ππππizz

+

+2

sen2

cos3 4

sen4

cos2ππππ

ii

+=4

3sen

43

cos621

ππizz

2 – Ache z1z2 sendo z1 = e z2 = .

Resolução:

Números complexos na forma trigonométrica

Exercícios resolvidos

. que tal complexo número um é complexo número

um de raiz ésima-n Uma complexos. números de raízes ésimas-n

as encontrar para usado ser pode também Moivre De de Teorema O

zwwz n =

( ) ( )[ ] :Portanto .)sen(cossencos

temos ,)sen(cos e )sen(cos

como ricatrigonomét forma na números dois esses Escrevendo

θθφφθθφφ

irnins

irziswn +=+

+=+=

( ) ( ) .sensen e coscos ,1

θφθφ ===⇔= nnrsrs nn

Números complexos na forma trigonométrica

Radiciação

.2

sen2

cos portanto ,2

22 é cosseno e seno funções das período o Como

1

++

+=+=⇔

⇔+=⇒

nk

in

krw

nk

kn

n πθπθπθφ

πθφπ

( ) ( ) .sensen e coscos que Temos θφθφ == nn

.1 ,...,2 ,1 ,0

que em 2

sen2

cos distintas raízes

as tem então positivo, inteiro um e )sen(cos Seja

1

−=

++

+=

+=

nk

nk

in

krw

nznirz

nk

πθπθθθ

Números complexos na forma trigonométrica

Radiciação

:que Concluímos

.1 ,...,1 ,0 cada para diferente valor um assume que Note −= nkw

1 – Determine as raízes cúbicas de .

Resolução:

111

sen ,010

cos e 11)1(0|| 22 −=−=====−+=⇒−= θθziz

i−

:Portanto .2

320 Como

πθπθ =⇒<≤

23

sen2

3cos

ππiz +=

Números complexos na forma trigonométrica

Exercícios resolvidos

:Portanto 2. ou 1 ,03 Como =⇒= kn

2sen

2cos

32

3sen

32

3cos0 0

ππππiiwk +=

+

=⇒=

−+−=+=

++

+=⇒=

21

23

67

sen6

7cos

3

223

sen3

223

cos1 1 iiiwkππππππ

−+=+=

++

+=⇒=

21

23

611

sen6

11cos

3

423

sen3

423

cos2 2 iiiwkππππππ

Números complexos na forma trigonométrica

Exercícios resolvidos

.22

1 Ache- 1

10

+ i

.31 e 3 sendo Determine - 2 iwizzw +=+=

. de quartas raízes as Determine - 3 i−

.1 de quadradas raízes as Determine - 4 i−

7 e) 14 d) 24 c) 36 b) 48 a)

:éc de valor o ,14)(

que tais positivos inteiros números são ,, Se (Vunesp) - 52 ibiac

cba

−+=

Números complexos na forma trigonométrica

Exercícios propostos