Numeros complexos

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Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Δ (b 2 - 4ac) na resolução da equação do 2º grau, nos deparamos com um valor negativo (Δ < 0). Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no universo considerado (R). A partir daí, vários matemáticos estudaram este problema, sendo Gauss e Argand os que realmente conseguiram expor uma interpretação geométrica num outro conjunto de números, chamado de números complexos, que representamos por C. Números Complexos Esquematicamente, temos: R C

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Page 1: Numeros complexos

Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Δ (b2 - 4ac) na resolução da equação do 2º grau, nos deparamos com um valor negativo (Δ < 0). Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no universo considerado (R). A partir daí, vários matemáticos estudaram este problema, sendo Gauss e Argand os que realmente conseguiram expor uma interpretação geométrica num outro conjunto de números, chamado de números complexos, que representamos por C.

Números Complexos

Esquematicamente, temos: R C

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►► Números ComplexosNúmeros Complexos

►► Chama-se conjunto dos números complexos, e Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por representa-se por CC, o conjunto de pares , o conjunto de pares ordenados, ou seja:ordenados, ou seja:

►► z = (x,y)z = (x,y)onde x pertence a onde x pertence a RR e y pertence a e y pertence a RR..

►► z= x + y.i (z= x + y.i (forma algébricaforma algébrica) , ) , em que i = √-1em que i = √-1

►► e z = (x,y) e z = (x,y) AfixoAfixo

Page 3: Numeros complexos

►► Exemplos:Exemplos: A A (5,3) = 5+3i(5,3) = 5+3i(2,1) = 2+i(2,1) = 2+i(-1,3) = -1+3i ...(-1,3) = -1+3i ...

Dessa forma, todo o números complexo Dessa forma, todo o números complexo z = (x,y)z = (x,y) pode ser escrito na forma pode ser escrito na forma z = x + y.iz = x + y.i, conhecido , conhecido como forma algébrica, onde temos: como forma algébrica, onde temos:

►► x = Re(z)x = Re(z), parte real de z, parte real de zy.i = Im(z)y.i = Im(z), parte imaginária de z, parte imaginária de z

x

y

5

3 A

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►►Igualdade entre números complexosIgualdade entre números complexos

Dois números complexos são iguais se, e Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se zAssim, se z11 = a+bi e z = a+bi e z22 = c+di, temos = c+di, temos que:que:

►►zz11 = z = z22 ↔↔ a = c e b = da = c e b = d

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►►Adição de números complexosAdição de números complexos

Para somarmos dois números complexos Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes basta somarmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, reais e imaginárias desses números. Assim, se zse z11 = = aa++bbi e zi e z22 = = cc++ddi, temos que:i, temos que:

►►zz11 + z + z22 = ( = (a+ca+c) + () + (b+db+d)i)i

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►►Subtração de números complexosSubtração de números complexos

Para subtrairmos dois números complexos Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, as basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. partes reais e imaginárias desses números. Assim, se zAssim, se z11 = = aa++bbi e zi e z22 = = cc++ddi, temos i, temos que:que:

►►zz11 – z – z22 = ( = (a-ca-c) + () + (b-db-d)i)i

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Multiplicação de números complexos Multiplicação de números complexos

►► Para multiplicarmos dois números complexos basta Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a distributiva dos dois binômios, efetuarmos a distributiva dos dois binômios, observando os valores das potência de observando os valores das potência de ii. Assim, se . Assim, se zz11 = a+bi e z = a+bi e z22= c+di, temos que:= c+di, temos que:

►► zz11 .z .z2 2 = a.c + adi + bci + bdi= a.c + adi + bci + bdi22

zz11 .z .z22 = a.c + bdi = a.c + bdi22 = adi + bci = adi + bcizz11 .z .z2 2 = (ac - bd) + (ad + bc)i= (ac - bd) + (ad + bc)iObservar que : iObservar que : i22= -1= -1

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z1= 2 w1 = i.z1 = 2i

z2 = 5 w2 = i.z2 = 5i

z3 = 6 + 2i w3 = 2i.z3 = 12i + 4i2 = - 4 + 12i

2

5

12

-4

3

4

624.3

2.

hbA

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►►Conjugado de um número complexoConjugado de um número complexoDado z = a + bi, define-se como conjugado Dado z = a + bi, define-se como conjugado de z (representa-se por z ) de z (representa-se por z ) z = a - biz = a - bi

Exemplo:Exemplo:z= 3 - 5i z= 3 - 5i z = 3 + 5i z = 3 + 5iz = 7i z = 7i z = - 7iz = - 7iz = 3 z = 3 z = 3 z = 3

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►► Divisão de números complexosDivisão de números complexosPara dividirmos dois números complexos basta Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. conjugado do denominador.

►► Assim, se zAssim, se z11= a + bi e z= a + bi e z22= c + di, temos que:= c + di, temos que:zz11 / z / z22 = [z = [z11 .z .z22 ] / [z ] / [z22 .z .z22 ] = ] =

[ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ] [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ]

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4184147

2121.

2147

ii

ii

iiz

iiz 2351015

Gabarito: B

04.

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22

2

4242

22.

22

22

iiii

ii

ii

ii

Se a parte imaginária é zero, então - 4=0 = 4

05. FUVEST

ii44

422

4)4()22(

222

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►► Potências de iPotências de i

Se, por definição, temos que i = Se, por definição, temos que i = √-1√-1, então:, então:

i i00 = 1 = 1ii11 = i = iii22 = -1 = -1ii33 = i = i22 .i = -1.i = -i .i = -1.i = -iii44 = i = i22 .i .i22 = -1.-1=1 = -1.-1=1ii55 = i = i44 .1= 1.i = i .1= 1.i = iii66 = i = i55 .i = i.i = i .i = i.i = i22 = -1 = -1ii77 = i = i66 .i = (-1).i = -i ...... .i = (-1).i = -i ......

Soma = 0

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►► Observamos que no desenvolvimento de iObservamos que no desenvolvimento de inn ((nn pertencente a pertencente a NN, de modo que os valores , de modo que os valores

se repetem de se repetem de 44 em em 44 unidades. Desta unidades. Desta forma, para calcularmos iforma, para calcularmos inn basta basta

calcularmos calcularmos iirr onde onde rr é o resto da divisão é o resto da divisão de de nn por por 44..

Exemplo:Exemplo:ii6363 63 / 4 dá resto 3, logo i63 / 4 dá resto 3, logo i6363 = i = i33= -i= -i

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02. Obtenha02. Obtenha

a) ia) i20072007 + i + i20092009 + i + i1006 1006 + i+ i1008 1008 == i i3 3 + i+ i11+ i+ i2 2 + i+ i00 = = - i + i – 1 + 1 = - i + i – 1 + 1 = 00b)b)

18

5

6518765 1)1(...n

n iiiiiiiii

12 parcelas têm soma zero

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►► Módulo de um número complexoMódulo de um número complexoDado z = a+bi, chama-se módulo de z Dado z = a+bi, chama-se módulo de z | z || z | = = √(a√(a22 + b + b22 ), conhecido como ), conhecido como ρ ρ

Interpretação geométricaInterpretação geométricaComo dissemos anteriormente, a interpretação Como dissemos anteriormente, a interpretação geométrica dos números complexos é que deu o geométrica dos números complexos é que deu o impulso para o seu estudo. Assim, representamos impulso para o seu estudo. Assim, representamos o complexo z = a+bi da seguinte maneirao complexo z = a+bi da seguinte maneira

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Forma GeométricaForma Geométrica

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Da interpretação geométrica, temos Da interpretação geométrica, temos que:que:

que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um número complexo.

z = ρ.(cos ө + i. sen ө)z = ρ.(cos ө + i. sen ө)

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Possibilidades de se trabalhar com números Possibilidades de se trabalhar com números complexos:complexos:

Forma

algébricaAfixo

Forma

geométricaForma

trigonométrica

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Operações na forma trigonométricaOperações na forma trigonométrica

a) Multiplicação

b) Divisão

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Potenciação

Radiciação

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Exercícios ResolvidosExercícios Resolvidos1 - Sejam os complexos z1=(2x+1) + yi e z2=-y + 2iDetermine x e y de modo que z1 + z2 = 0

Temos que:

z1 + z2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0

logo, é preciso que:

2x+1 - y =0 e y+2 = 0

Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2

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2 - Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginário puroEfetuando a multiplicação, temos que: z = x + (x+2)i + 2i2z= (x-2) + (x+2)iPara z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x=2

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3 - Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)? Efetuando a divisão, temos que:z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58O conjugado de Z seria, então z- = 11/58 - 13i/58

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4 - Os módulos de z1 = x + 201/2i e z2= (x-2) + 6i são iguais, qual o valor de x? Então, |z1= (x2 + 20)1/2 = |z2 = [(x-2)2 + 36}1/2Em decorrência, x2 + 20 = x2 - 4x + 4 + 3620 = -4x + 404x = 20, logo x=5

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5 - Escreva na forma trigonométrica o complexo z = (1+i) / iEfetuando-se a divisão, temos: z = [(1+i). -i] / -i2 = (-i -i2) = 1 - iPara a forma trigonométrica, temos que: r = (1 + 1)1/2 = 21/2sen t = -1/21/2 = - 21/2 / 2cos t = 1 / 21/2 = 21/2 / 2 Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que t = 315ºLembrando que a forma trigonométrica é dada por: z = r(cos t + i sen t), temos que:z = 21/2 ( cos 315º + i sen 315º )