PEF-3306

Exercício 2

H. Britto – 18/03/20

Para um certo ponto de uma estrutura é dada a matriz do tensor das tensões

(em kN cm2⁄ ), na base ortonormal (i⃗, j⃗, k⃗⃗):

[T] = [3 −1 1

−1 5 −11 −1 3

]

Determinar:

a) As tensões principais σ1, σ2 e σ3, bem como as correspondentes direções

principais h⃗⃗1, h⃗⃗2 e h⃗⃗3

b) A tensão ρ⃗⃗ = T(n⃗⃗) no plano definido por n⃗⃗ =− 12

25 i⃗ +

15

25 j⃗ +

16

25 k⃗⃗

c) As componentes normal σ⃗⃗⃗ e tangencial τ⃗⃗ da tensão ρ⃗⃗

GABARITO RESUMIDO

a) σ1 = 6, σ2 = 3, σ3 = 2

[T] = [6 0 00 3 00 0 2

] na base (h⃗⃗1, h⃗⃗2, h⃗⃗3):

h⃗⃗1 =1

√6(i⃗ − 2 j⃗ + k⃗⃗) , h⃗⃗2 =

1

√3(i⃗ + j⃗ + k⃗⃗) , h⃗⃗3 =

1

√2(− i⃗ + k⃗⃗)

b) ρ⃗⃗ = T(n⃗⃗) =1

25(−35 i⃗ + 71 j⃗ + 21 k⃗⃗)

c) σ = ρ⃗⃗ ∙ n⃗⃗ =1 821

625

σ⃗⃗⃗ = σ n⃗⃗ =1 821

15 625(−12 i⃗ + 15 j⃗ + 16 k⃗⃗)

τ⃗⃗ = ρ⃗⃗ − σ⃗⃗⃗ =1

15 625(−23 i⃗ + 17 060 j⃗ − 16 011 k⃗⃗)

i!E F-2>5 0Co

E~&a°~ Z

~ oào % J,, (1 o 'vJ ind i s cY\ O Le,o se k.: ¼s D 1o i--13.z.z~

C. TJ

O-l 1? ~ ~ u:.:p~ · 'C =- 0 Jf ~

l3- u - ..1

.! ~}/0 Jl:J'L~l

(

3- a- - l l ) ciel - .1 S-o- - .l

..! -l ~ - CY

(3 - o- \~ lS- a-J -t .\ -+ J _ l__ç _ a- 1 - (}- o-) - ( 3- <í J = o

( 3 - o-·/· l s - a- 'J - -~ l2:>- c:r' > =- o ( .3- cr)\ l C:,- r?CJ"1"cr 2_ 3)"' O

'-- 3 - a- "\ l <r'~ &'cr-+1.;iJ -== D

(3 - a- , l o- 6) ,õ-~) = o

~ ~ 0 Q 'i tJ kw. z

Cf-=. cí .. ~ o lél\J ÍC.:-t-A2

2

O-a • G I<. ,:i \ (WI

,C,) <f -= p . ::fi-:: l_ (-\21

.lS ,.H,J•\-~s, ·:n,Q~);.Q_(U~G,

5~

PEF-3306

Exercício 3 – Gabarito

H. Britto – 15/04/20

As duas barras biarticuladas são perpendiculares entre si. Achar o ângulo θ de

modo que haja flambagem simultânea das duas barras:

Resolução:

Chamando de L a distância entre os apoios, e admitindo que a flambagem se dá

no regime elástico, as cargas de flambagem são dadas por:

P sin θ =π2EI

(L sin β)2 (barra da direita) (1)

P cos θ =π2EI

(L cos β)2 (barra da esquerda) (2)

Dividindo (1) por (2), membro a membro, resulta:

tan θ =1

(tan β)2

θ P

β

PEF-3306

Exercício 4 – gabarito

H. Britto – 22/05/20

Achar a carga de flambagem e o correspondente modo de flambagem:

Resolução:

EI w′′ = − M = − Pδ

L x − P w ∴ EI w′′ + P w = P(−

δ

Lx)

w′′ + k2 w = k2 (−δ

Lx) sendo k2 =

P

EI

Solução geral:

w = Csin kx + Dcos kx −δ

Lx ∴ w′ = Ck cos kx − Dk sin kx −

δ

L

São 3 incógnitas: C, D e δ . Portanto são necessárias 3 condições de contorno:

w(0) = 0 ∴ D = 0 (1)

w(L

2) =

δ

2 ∴

δ

2= C sin

kL

2−δ

2 ∴ C sin

kL

2− δ = 0 (2)

w′ (L

2) = −

δ

L ∴ −

δ

L= Ck cos

kL

2−δ

L ∴ Ck cos

kL

2= 0 (3)

P

𝑥

𝑤 𝛿

𝐸𝐼 𝐸𝐼 = ∞

𝐿 𝐿 2 𝐿 2

P

P

𝛿 2 𝑃𝛿 𝐿 𝑃𝛿 𝐿

De (3) podemos achar a carga de flambagem:

coskL

2= 0 ∴ kL = π ∴ k2L2 = π2 ∴ Pfℓ =

π2EI

L2

De (2) vem (sinkL

2= 1) :

C = δ

Sendo kL = π , o modo de flambagem assume a forma:

w = Csin kx + Dcos kx −δ

Lx ∴ w = δ (sin

πx

L −

x

L )

(o deslocamento δ fica indeterminado)

PEF-3306

Exercício 5

H. Britto

Determine a distribuição do fluxo de cisalhamento (q =? ) na seção transversal abaixo, e a posição do

centro de cisalhamento C∗ em relação à alma do perfil (d∗ =? ). A espessura δ das paredes é pequena

e constante (δ ≪ a):

É dada a posição do centroide C e o momento de inércia da figura (valor aproximado, levando em

conta a pequena espessura:

Iy =20

3 a3δ

ENTREGA: 09/06/20 (Moodle USP)

PEF-3306

Exercício 5 – Gabarito

13/06/20

Resolução

Na figura abaixo se mostra a distribuição do fluxo (q =VQ∗

I) :

A resultante do fluxo, em cada trecho, é a área sob o diagrama:

F1 =3V

40 , F2 =

3V

10 , F3 = V

Para achar a posição do centro de cisalhamento C* basta igualar a zero o momento, em relação a ele,

das resultantes dos fluxos:

(F2 − F1) 2a − F3 d∗ = 0 ∴ d∗ =9a

20

PEF – 3306

Exercício 6 – Gabarito

H. Britto – 28/06/20

Na treliça da figura (EA constante) determinar:

a) Deslocamento vertical (wC) do nó C

b) Deslocamento horizontal (uC) do nó C

Resolução: colocando os cálculos em forma de tabela (carga unitária para baixo e para a direita):

𝐁𝐚𝐫𝐫𝐚 𝐍 𝐧𝐚 𝐧𝐛 𝐋𝐄𝐀⁄

1 17 P12⁄ 17

12⁄ 179⁄ 17 a

EA⁄

2 −25 P12⁄ −25

12⁄ −109⁄ 10 a

EA⁄

3 −15 P12⁄ −15

12⁄ −159⁄ 9 a

EA⁄

wC = ∑ N na L

EA=

1099

12 Pa

EA (para baixo)

uC = ∑ N nb L

EA=

1573

18 Pa

EA (para a direita)

/ tJ1

A ~-- N3

'2.f:3?

~Y)Ci.:: 811 t

~~ -: J5 h. 1

- 1 1 / 1 , -"- ~ 'oa,:ç r ~ • E. A C.O'O S 1 '<l'l -R.. V tüclo,

L r ~ ::e o =-> "1.; t- 1-JJ • Le'.J <>< '° o

r ri -=- º -; '> Nj -,)11""' -= ~6 P

Lç~ :)~'P + N1~~ -;: o --::; ) ~ N~ -: - QI~ 'y '-1

L ç~ ;O-:'> ; ?-1- N1-- ~'{)\1 ~ o

[

13a_~f °' (\)

J .1 =l;, 'P J 2-

Q ·- ?..s;J?..1

.3 - 5j p J

We,-= l.N.<iA .~ EA

() A Lj EA

-l ➔J JZ...

J ?o.li EA

25/ - 12 .!Oo.lEA

-

- 5 /l.J, ?Ja.. / EA

✓'- :: (11\-< p_ \lc. +- ps\.2p _ ioa_ + (~y'P. ~°'

\,.2 ) GA \,~l EÀ \1..\ \::.Â

1TlliT 'd<>.

-- t,.__)~~ ·.

•no' A: ;"t-,.)~

~--f N3 ~/~p

~((= ~,,,

~e{.::- IS/1)

L F'{_ -=- o -=> 'P-? ::. o...­

Li:-~ -=- O :: ) VA4-VB , o

L.H,t, '.: 0 ~'> :)o .\Je+~a .'P ::. O

•

l

s;:;-tf "' ~/5p

h¼ f-> ,, ~ Is

Ceop-:. 3J5

J

Q

11--/ 'O 1'2.r

- 2.5/iz. p

'ÍJ 11..-5-9 L i::-')( = o => Y + t-..) ~ ~ ,.., - 3

[ ç'ô ~ a ~> Na~()P-> ·= ; P

\1c.;. t.A

tt-t (_ = - ~ i 1 ~3 J?o. EA

~mo Sú,pu'fflvS -p/ %"\,v~~c. e {(e_ /.. o =) cW.leco_ fo.Mi cl-u.: ~o.

PEF-3306

Exercício 7 – gabarito

H. Britto – 03/07/20

Resolver, pelo Processo dos Esforços, a treliça hiperestática (g = 1) da figura (EA constante):

Resolução: Cortando a barra (2) temos (supondo X1 de tração):

𝐁𝐚𝐫𝐫𝐚 𝐍𝟎 𝐧𝟏 𝐋𝐄𝐀⁄ 𝐍

1 P 43⁄ 8a

EA⁄ 179 P307⁄

2 0 1 6aEA⁄ − 96 P

307⁄

3 0 − 56⁄ 5a

EA⁄ 80 P307⁄

4 0 − 56⁄ 5a

EA⁄ 80 P307⁄

5 0 − 56⁄ 5a

EA⁄ 80 P307⁄

6 0 − 56⁄ 5a

EA⁄ 80 P307⁄

δ10 = ∑ N0 n1 L

EA=

32

3 Pa

EA e F11 = ∑ (n1)2

L

EA=

307

9

a

EA ⇒ X1 = −

96 P

307

■ p ' Ef'-330 Co

· tnlr~ 1

jD& o í1 J('i '5 º V\) , .., J1s&.,, Ol M s e i,_. , N<JA {J '>o 11 '> n '-1

. f IF ~

[o] ·.

•'()o A: ./ N -3

'l>~~tJ~

\, tJ 5

h.e.n O( -:: 3/ 5

¼:>~ -:: l..i/5

•~o,, • t) :

t,J '-1 '""

tJ, 4-~ -> 'P -::)

,,, Nc.

t \J B

[O]

Y r~ = o ~ > )? ~ ~to.. ~ -o " o -::-) r ¾ 7 o ::o )\),.._~ ve, -::.

LH p. ;: Q -=-) \JB -:.. C)

v

• nó A: / ~

~-> N~

~ ~!:,

· n d ~ _.

~ f-:, = "'.s ~ ~ ~3>)5"

1 f\ C) D : ~0d \o~:{'

·1:)o..., ,a.. No j

'P

Q o

3 D

~ o

5 'C)

~ o I

'Er"" :::-- o :::-- ) t-.:l.1 ~ l~3 .-l\hJLe">o( = u

~ ç'6 =- 0 -: ') t-J 3 ~ ri. = f0s ~oi

O.C) G, . t-.\ - - 5/ro 1 b -

(\ Á L /.'f:A

@

~,3 S::,_/ EA

6.Jo -= L füu "1 .l L .,, p i_ 80. b A ~ . E A +O ... . . 1- ()

J 60.; EA

~ 5/ c.,, se.; EA

- 5/ <o Se./ EA

- 5/e:, fio./ E A

- 5/ r:, 5a / GA

~ Jo = 32. '.Pa... 3 EA

Ç11 :: 3o1 ~ ') E A

X 1 .: - Ót\) <?) b

~ -= - 30 1 ~

N "'- N 0 + 'X.~• "'l

~QÇfQ. ~Q {) J N '

L/ EA -r

j p~ 1 8a Yj 1 /EA 1() ,581' . 3

Q o ) C,,c. li

EA -o. 3 ~-r

l 3 Se./

~ : 1 _5/ t A o . 2.(, 'P

1 ~ +

-S/ r..,, So./ 0 . 2b'P E-À

- + --,- --5 C)

-s; Se/ 10 _2~P G

E,A ---- -,

C) -5/ro \ So.;

C) _?.bY l 1

f A