U.Gasparini, Fisica I 1

Corpo soggetto ad una forza elastica ed a una forza resistente proporzionale alla velocità : m a F ve l

r r r= − λ

m d x td t

k x t d x td t

2

2( ) ( ) ( )

= − − λ

d x td t

d x td t

x t2

2 022 0( ) ( ) ( )+ + =γ ω

≡km “pulsazione propria”

γ≡λ/2m“coefficiente di smorzamento”:

Si hanno tre possibili casi:

γ > ω0 ”moto sovrasmorzato”γ = ω0 ”smorzamento critico”γ < ω0 ”oscillazioni smorzate”

Moto armonico smorzato

U.Gasparini, Fisica I 2

d x td t

d x td t

x t2

2 022 0( ) ( ) ( )+ + =γ ω

Posto: x t e t( ) ≡ α

“Equazione (algebrica) caratteristica” associata all’equazione differenziale:

α γ α ωα α α2022 0e e et t t+ + =

α γ α ω2022 0+ + =

soluzione:α γ γ ω= − ± −2

02

⇒ = =

d x td t

e d x td t

et t( ) , ( )α αα α

2

22

Soluzione di un’equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti:

U.Gasparini, Fisica I 3

Soluzione generale: x t A e B et t( ) = +α α1 2

= +− + − − − −A e B et t( ) ( )γ γ ω γ γ ω202 2

02

soluzioni reali dell’eq.caratteristica;α α1 2,

x t A e B et t( ) ( ) ( )= +− − − − + −γ γ ω γ γ ω202 2

02

ω

γ0

1

1

3 1 4

6 0 0

=

=

−

−

.

.

s

s

Moto “sovrasmorzato” : γ>ω0

Esempio:

U.Gasparini, Fisica I 4

d x td t

d x td t

x t2

222 0( ) ( ) ( )+ + =γ γ

dd t

d x td t

x t d x td t

x t( ) ( ) ( ) ( )+

+ +

=γ γ γ 0

d x td t

d x td t

d x td t

x t2

22 0( ) ( ) ( ) ( )+ + + =γ γ γ

≡ z(t)d z td t

z t( ) ( )+ =γ 0 z t A e t( ) = − γ

Pertanto: d xd t

x t z t A e t+ ≡ = −γ γ( ) ( )

e d xd t

e x t At tγ γγ+ =( )[ ]d e x t

d tA

tγ ( )=

e x t A t Btγ ( ) = + x t e A t Bt( ) ( )= +− γ

“Smorzamento critico”: γ=ω0

U.Gasparini, Fisica I 5

moto con “smorzamento critico”:

x t e A t Bt( ) ( )= +− γ

x t A e B et t( ) ( ) ( )= +− − − − + −γ γ ω γ γ ω202 2

02

moto “sovrasmorzato”:Leggi orarie del moto:

U.Gasparini, Fisica I 6

soluzioni complesse dell’eq.caratteristica :α α1 2,

x t A e B et t( ) = +α α1 2

= +− + − −A e B ei t i t( ) ( )γ ω γ ω

= +− −e A e B et i t i tγ ω ω( )

c o s s i nω ωt i t+c o s s i nω ωt i t−

= + + −−e A B t i A B ttγ ω ω[ ( ) c o s ( ) s i n ]

Imponendo che x(t) ≡ funzione reale(ossia: A+B = numero reale

A - B = numero immaginario)

A,B complessi coniugati :

A a i bB a i b

= += −

Infatti, posto:A a i bB a i b

= += +

1 1

2 2

A B a a i b b rA B a a i b b i r

+ = + + + ≡− = − + − ≡

1 2 1 2 1

1 2 1 2 2

( )( )

b ba a

1 2

1 2

00

+ =− =

dove: ω ≡ √ω02 − γ2

b b ba a a

1 2

1 2

= − ≡= ≡

Moto oscillatorio smorzato : γ<ω0

U.Gasparini, Fisica I 7

A a i bB a i b

= += −⇒

A B aA B i b

+ =− =

22⇒

⇒ x t e a t i b t

e a t b t

t

t

( ) [ c o s s i n ]

[ c o s s i n ]

= +

= −

−

−

γ

γ

ω ω

ω ω

2 2

2 2

2

x t X e tt( ) s i n ( )= +−0

γ ω φ⇒

[ con: t a n / ,φ = − a b X b a b022 1= − + ( / )

infatti: x t X e t

X e t t

e a t b t

t

t

t

( ) s i n ( )

[ s i n c o s c o s s i n ]

[ c o s s i n ]

= +

= +

≡ −

−

−

−

0

0

2 2

γ

γ

γ

ω φ

ω φ ω φ

ω ω

X bX a

0

0

22

c o ss i n

φφ

= −=⇒

t a n ( / )

s i n t a n

t a n

φ

φφ

φ

= −

=+

=

a b

X X a0 0

2

212⇒ ]

Soluzione per il moto debolmente smorzato:

U.Gasparini, Fisica I 8

x t X e tt( ) s i n ( )= +−0

γ ω φ

Soluzione dell’oscillatore armonico con

T = =−

2 2

02 2

π ωπ

ω γ/“Pseudoperiodo”:

ωπ

ω01

00

3 1 4 2 2= ≡ =−. ,s T s

γ ω ω ω γ ωπ

ω= ≅ ≡ − ≅ ≡ ≅−0 6 5 0 9 7 2 1 0 31

0 02 2

0 0. / , . , .s T T

debole smorzamento ( γ < ω0 ) : legge oraria

Esempio:

U.Gasparini, Fisica I 9

oscillazione con forte smorzamento:

ωπ

ω

γω

τγ

01

00

1 0

0

6 2 82 1

0 23 0

1 5 5

=

≡ =

= ≅

≡ = ≅

−

−

.

.

s

T s

s

s T

costante ditempo dellosmorzamento

ωπ

ω

γω

τγ

01

00

1 0

0

6 2 82 1

23

1 0 52

=

≡ =

= ≅

≡ = ≅

−

−

.

.

s

T s

s

sT

Esempi: oscillazione con debole smorzamento:

2.0 5.04.03.01.0 t(s)

x (t)

x (t)

t(s)1.0 2.0 3.0 4.0 5.0