La matematica per cominciare - Zanichelli...5 La matematica per cominciare 5 LA PROPORZIONALITÀ...

1

La matematicaper cominciare

1 SENO, COSENO E TANGENTEIl seno, il coseno e la tangente di un angolo sono numeri privi di unità di misura,

perché sono definiti come rapporti tra le lunghezze di due lati di un triangolo

rettangolo.

cos θ = hha

sin θ = hho

tan θ = hh

a

o

Nella tabella seguente sono riportati i valori di seno, coseno e tangente per alcuni

valori degli angoli. I valori per angoli diversi si ottengono con la calcolatrice.

Angolo 𝛉 cos 𝛉 sin 𝛉 tan 𝛉

0° 1 0 0

30°2

32

1 3

3

45°2

2

2

2 1

60°2

1

2

33

90°

h = Lunghezza

dell’ipotenusa

ho = Lunghezza del

lato opposto

all’angolo θ

ha = Lunghezza del lato

adiacente all’angolo θ

θ

θ = 60°

= 130 mha

ho

Esempio L’altezza di un grattacielo

L’ombra proiettata da un grattacielo in un giorno soleggiato è lunga 130 m.

La direzione dei raggi solari forma un angolo θ di 60° con il terreno.

▸ Qual è l’altezza dell’edificio?

La soluzione

Dalla figura osserviamo che è possibile pensare il grattacielo e la sua ombra

sul terreno come i cateti h0 e ha di un triangolo rettangolo.

Dal testo sappiamo che l’angolo θ compreso tra l’ipotenusa del triangolo e il

cateto ha, corrispondente all’ombra del grattacielo, è di 60°.

Poiché

tan hh

a

0i =

l’altezza h0 del grattacielo è:

h0 = ha tanθ = (130 m) tan 60° = (130 m) 3 = 225 m

1

2

La matematica per cominciare

2 I GRAFICI

Un grafico rappresenta visivamente la relazione tra due grandezze.

Un grafico può essere realizzato a partire da un insieme di dati oppure dalla for-

mula che mette in relazione le grandezze.

Esempio La pioggia al Nord

Nella tabella a sinistra sono indicate le precipitazioni annue registrate nelle

regioni del Nord Italia dal 2004 al 2014.

▸ Disegna il grafico.

La soluzione

Il grafico si costruisce in tre passi:

1. si tracciano l’asse orizzontale, o asse delle ascisse, e l’asse verticale, o asse

delle ordinate, con le relative grandezze e unità di misura;

2. si sceglie una scala per ogni asse;

pre

cip

itazi

oniannue

(mm

)

tempo (anno)

pre

cip

itazi

oni annue (

mm

)

tempo (anno)2004

600

1400

1000

700

800

900

1100

1200

1300

20122008

3. si inseriscono i punti che hanno come coordinate le coppie di valori della

tabella.

pre

cip

itazi

oni annue (

mm

)

tempo (anno)2004

600

1400

1000

700

800

900

1100

1200

1300

20122008

2

Il grafico di una tabella è un insieme di punti.

L’asse delle ascisse rappresenta la variabile indipendente; l’asse delle ordinate rap-

presenta la variabile dipendente. La lettura di un grafico ci consente dunque di

dire se la variabile dipendente cresce, diminuisce o resta costante in un determi-

nato intervallo di valori della variabile indipendente; inoltre possiamo indivi-

duare rapidamente qual è il valore massimo e minimo della variabile dipendente.

tempo(anno)

precipitazioniannue (mm)

2004 950

2005 860

2006 680

2007 700

2008 1020

2009 950

2010 1200

2011 860

2012 900

2013 1150

2014 1380

3


3 LA PROPORZIONALITÀ DIRETTA

Due grandezze x e y sono direttamente proporzionali se:

• la relazione matematica che le lega ha la forma:

y = kx

dove k è una costante;

• il grafico è una retta che passa per l’origine degli assi e il rapporto y/x = k

indica la pendenza della retta rispetto all’asse x.

Per esempio, se un ciclista viaggia a velocità v costante, lo spazio percorso s e il

tempo impiegato t sono grandezze direttamente proporzionali. In particolare, lo

spazio percorso in 2 ore di corsa è il doppio dello spazio percorso in 1 ora. Più in

generale vale la relazione:

s = v t

Se rappresentiamo in un grafico la relazione tra spazio percorso e tempo im-

piegato, otteniamo una retta la cui pendenza dipende dal valore della velocità v.

Maggiore è la velocità, maggiore è la pendenza della retta.

Esempio Il costo del pane

1 kg di pane costa 3 €.

▸ Disegna il grafico della spesa in funzione della massa di pane.

La soluzione

Se 1 kg di pane costa 3 €, diciamo che il prezzo del pane è 3 €/kg. Quando

compriamo 2 kg di pane, quindi, spendiamo 6 €; quando ne compriamo 3

kg, spendiamo 9 €. La spesa è quindi direttamente proporzionale alla massa

di pane che acquistiamo.

Il grafico della spesa in funzione della massa del pane è una retta del tipo:

(spesa) = k ∙ (massa)

con k = 3 €/kg.

spesa

(€)

massa (kg)

0,5

1,5

3

6

9

1 2 3

3

4


4 LA PROPORZIONALITÀ INVERSA

Due grandezze x e y sono inversamente proporzionali se:


y = k/x


• il grafico è un arco di iperbole equilatera.

Esempio Cilindri da laboratorio

Versiamo un volume d’alcol V = 200 ml in quattro cilindri di vetro da labo-

ratorio con area di base: 10 cm2, 25 cm2, 50 cm2 e 100 cm2.

▸ Calcola l’altezza raggiunta dall’alcol nei diversi cilindri e traccia il grafico

dell’altezza in funzione dell’area.

La soluzione

Il volume di un cilindro è V = Ah, dove A è l’area di base e h è l’altezza.

Il volume d’alcol da versare è sempre lo stesso per cui:

200 ml = Ah → h = A200 ml

L’altezza e l’area del cilindro sono quindi inversamente proporzionali.

Usando la relazione, calcoliamo i valori dell’altezza in base all’area:

area (cm2) altezza (cm)

100 2

50 4

25 8

10 20

Riportiamo ora i valori trovati nel grafico dell’altezza in funzione dell’area:

alt

ezz

a(c

m)

area (cm2)

10

20

8

2

4

10025 50

4

5


5 LA PROPORZIONALITÀ QUADRATICA

Una grandezza y è direttamente proporzionale al quadrato di una grandezza

x se:


y = kx2


• il grafico è una parabola con il vertice nell’origine degli assi.

Per esempio, in un quadrato l’area è direttamente proporzionale al quadrato del

lato: A = kl2, con k = 1. Costruiamo una tabella con 4 punti:

l (m) A (m2)

1 1

2 4

3 9

4 16

Il grafico dell’area di un quadrato in funzione del lato sarà quindi:

are

a(m

2)

lato (m)1

0

16

1

4

9

320 4

Esempio La crostata

Per fare una crostata di 16 cm di diametro, un pasticcere utilizza 300 g di

pastafrolla.

▸ Quanta pastafrolla deve utilizzare il pasticcere per una crostata con un

diametro di 32 cm?

La soluzione

Visto che la crostata ha una forma circolare, la sua area è A = πr2, dove r è il

raggio della crostata.

Supponiamo che le crostate abbiano lo stesso spessore; in questo caso la mas-

sa di pastafrolla è direttamente proporzionale all’area della crostata, dunque

al quadrato del raggio:

mpastafrolla ∝ r2

Il simbolo ∝ significa «proporzionale a».

In base alla precedente relazione, possiamo dire che se il raggio raddoppia

(cioè il diametro raddoppia), la massa di pastafrolla che il pasticcere deve

utilizzare diventa 4 volte maggiore:

mpastafrolla = 4 ∙ (300 g) = 1200 g = 1,2 kg

5

6

1 LA NATURA DELLA FISICALa fisica è una scienza nata dai tentativi di spiegare l’ambiente in cui viviamo. Leleggi fisiche spiegano fenomeni che avvengono in vari campi, dall’astronomia allenanoscienze.

Le leggi fisiche descrivono i fenomeni naturali tramite il linguaggio matema-tico.laws of physics

Una legge fisica è una generalizzazione delle osservazioni della natura, perchénon descrive un fenomeno singolo ma tutti i fenomeni dello stesso tipo. La suaformulazione, infatti, è il frutto di una lunga serie di esperimenti che hanno datogli stessi risultati.

A partire dalle leggi fisiche si possono poi dedurre matematicamente nuoveprevisioni, che di volta in volta dovranno essere confermate dagli esperimenti.Questa capacità di previsione pone la fisica alla base della tecnologia moderna equindi ha una grande influenza sul nostro modo di vivere.

Per esempio, le tecnologie impiegate per il lancio dei satelliti e lo sviluppodell’esplorazione spaziale hanno le radici nelle leggi fisiche scoperte da GalileoGalilei (1564-1642) e Isaac Newton (1642-1727). L’industria elettronica e quel-la dei computer sono fondate sull’invenzione dei transistor, resa possibile dallascoperta delle leggi fisiche che descrivono il comportamento elettrico dei solidi.La medicina usa metodi diagnostici basati sulle leggi fisiche che descrivono ilcomportamento dei raggi X, degli ultrasuoni e della risonanza magnetica.

1Per descrivere un oggetto è

necessario scegliere alcune

grandezze per catturarne i

tratti più importanti. Nell’antico

Egitto si credeva che gli dèi, per

giudicare la vita di un uomo

dopo la morte, ne pesassero il

cuore su una bilancia. Sull’altro

piatto era posta una piuma: solo

se il cuore fosse pesato meno,

l’anima sarebbe potuta entrare

nel regno dei morti.

Le grandezze fisiche

G Psicostasia, Papiro di Ani (1275 a.C. ca.).Londra, British Museum

7

Le grandezze fisiche 1

I fenomeni a cui la fisica dà, o tenta di dare, una spiegazione sono innumerevoli.È sufficiente guardarsi attorno, anche in un ambiente familiare come una cucina,per formulare domande a cui la fisica dà una risposta (figura 1).

MECCANICA1Come funziona una

cappa aspirante?

2Perché il mestolo

non cade?

TERMODINAMICA3Come funziona

un frigorifero?

4Perché l’acqua bolle?

OTTICA5Come si formano le

ombre?

6Perché le ante sono

gialle?

MAGNETISMO7Come funziona

un forno

a microonde?

8Perché

una lampadina accesa

si scalda?

FISICA ATOMICA9Come funziona una

lampada al neon?

10Perché il forno

elettrico cuoce

i cibi?

2 LE GRANDEZZE FISICHEGli oggetti attorno a noi presentano una grande varietà di proprietà, come il co-lore e la forma. Spesso persone diverse percepiscono queste proprietà in mododifferente.

Per esempio, è più bella la Bugatti Royale (foto a sinistra) o la Ferrari 488 (a de-stra)? Probabilmente un amante di auto d’epoca indicherà la Bugatti, mentre unappassionato di auto sportive la Ferrari. Il concetto di «bellezza» è infatti sogget-tivo, perché può variare da persona a persona. Esistono però proprietà degli og-getti che non dipendono dall’osservatore e che possono essere valutate in modooggettivo. Per esempio, due persone in disaccordo sulla bellezza delle auto nonavranno dubbi nel dire che la Ferrari 488 è più veloce della Bugatti Royale.

Una grandezza fisica (o grandezza) è una proprietà di un corpo o di un feno-meno che può essere misurata con uno strumento.

Sono esempi di grandezze fisiche la lunghezza, la velocità e l’energia.

Figura 1gli oggetti presenti in una cucinapossono far nascere molte do-mande che riguardano la fisica.

©fl

ickr

-Ph

oto

©yo

nsa

ng

/sh

utt

erst

ock

8

Le grandezze fisiche1

Le unità di misura

Prima di misurare una grandezza bisogna scegliere un’unità di misura.

L’unità di misura è la grandezza di riferimento a cui viene assegnato il valorenumerico uguale a 1.

Per questa ragione,

eseguire una misura di una grandezza fisica significa stabilire quante volte

l’unità di misura fissata è contenuta in quella grandezza.

Consideriamo la parete nella figura 2. Se scegliamo come unità di misura la pia-strella, la lunghezza della parete è 8 piastrelle.

Definizione operativa di una grandezza

La definizione operativa di una grandezza consiste nello stabilire una proceduraattraverso la quale determinare la sua misura in modo oggettivo, che non dipen-da cioè da chi la esegue.

L’esempio della misura della lunghezza della parete illustra bene le caratteristichedi questo procedimento (figura 2):

• si sceglie un campione (la piastrella) come unità di misura;

• si confronta la grandezza (la lunghezza della parete) con il campione e si stabi-lisce il numero n di campioni che bisogna sommare per ottenere una grandez-za uguale a quella che si vuole misurare (nell’esempio, n = 8);

• si esprime la misura attraverso il numero n seguito dall’indicazione dell’unitàdi misura (8 piastrelle).

Spesso una grandezza fisica è misurata in modo indiretto, attraverso le misure digrandezze fisiche legate a essa. Per esempio, l’area della parete può essere calcola-ta a partire dalla misura della sua lunghezza e della sua altezza.

3 IL SISTEMA INTERNAZIONALEDELLE UNITÀ DI MISURA

A livello internazionale è stato concordato un insieme di unità di misura comuni.L’Unione Europea ha adottato il Sistema Internazionale delle unità di misura,abbreviato in SI, che stabilisce sette grandezze fisiche fondamentali e ne fissa leunità di misura come riportato nella tabella 1.

Grandezza fisica Unità di misura Simbolo

intervallo di tempo secondo s

Lunghezza metro m

Massa kilogrammo kg

intensità di corrente ampere a

Temperatura kelvin K

intensità luminosa candela cd

Quantità di sostanza mole mol

Le unità di misura del Sistema Internazionale sono dette unità fondamentali

perché le unità di misura di tutte le altre grandezze fisiche possono essere ottenu-te a partire da queste applicando le leggi della fisica.

Unit of measurement

Figura 2La lunghezza della parete può

essere misurata usando lapiastrella come unità.

se scegliamola piastrellala piastrellacome unità dicome unità dimisura dellamisura dellalunghezza...lunghezza...

... la pareteè lunga 8è lunga 8piastrellepiastrelle

HAI CAPITO?

Perché le piastrellepossono essere usatecome unità di misuraper la lunghezza dellastanza?a Perché sono

quadrate.B Perché si trovano

sul pavimento.c Perché sono tutte

uguali.d Perché è facile

contare quantesono.

SI units

Tabella 1Le unità fondamentali del si.

©B

iPM

9


Multipli e sottomultipli

A volte il valore numerico della misura di una grandezza fisica è molto grande omolto piccolo. In questi casi è conveniente usare un multiplo o un sottomultiplodelle unità SI secondo le potenze di 10, indicato da un prefisso che precede ilnome dell’unità di misura (tabella 2).

Per esempio, 1000 m equivalgono a 103 m o a 1 km (un kilometro), mentre0,001 m equivale a 10−3 m o a 1 mm (un millimetro).

Prefisso Simbolo Fattore

tera T 1 000 000 000 000 = 1012

giga g 1 000 000 000 = 109

mega M 1 000 000 = 106

kilo k 1000 = 103

etto h 100 = 102

deca da 10 = 101

deci d101

= 10−1

centi c1001

= 10−2

milli m10001

= 10−3

micro µ1000 000

1 = 10−6

nano n1000 000 000

1 = 10−9

pico p1000 000 000 000

1 = 10−12

Conversioni tra unità di misura

La «500 miglia di Indianapolis» è una gara automobilistica che si svolge nel circu-ito ad anello di Indianapolis, negli Stati Uniti. La lunghezza della gara è espressain miglia: il miglio è un’unità di misura che non appartiene al SI ed è usato pre-valentemente nei paesi anglosassoni. Un miglio corrisponde a circa 1,609 km.

Per calcolare la lunghezza della gara in kilometri, applichiamo la procedura de-scritta di seguito.

1. Scriviamo la misura identificando l’unità di misura di partenza (miglio):

500 miglia = 500 ∙ (1 miglio)

2. Esprimiamo l’unità di misura di partenza nella nuova unità di misura (km):

1 miglio = 1,609 km

3. Eseguiamo i calcoli per ricavare il valore nella nuova unità di misura:

500 miglia = 500 (1 miglio) = 500 (1,609 km) = (500 ∙ 1,609) km = 804,5 km

La stessa procedura può essere applicata per le conversioni che coinvolgono imultipli o i sottomultipli di un’unità di misura. Per esempio, esprimiamo in me-tri il risultato ottenuto:

804,5 km = 804,5 (1 km) = 804,5 (1000 m) = 804 500 m

Tabella 2Prefissi standard per i multiplie i sottomultipli delleunità di misura.

• 1 hm = 100 m

• 1 nm = 10−9 m

©a

ctio

nsp

ort

sP

ho

togr

aph

y/

shu

tter

sto

ck

10


Esempio Quanti nanometri è alta?

Sarah è alta 176 cm.

▸ Esprimi la sua altezza in nanometri.

La soluzione

Per rispondere alla domanda possiamo prima convertire la misura in metri:

( ) ,176 176 1 176 1001

100176

1 76cm cm m m m= = = =b l

Sappiamo che 1 nm = 10−9 m. Moltiplicando per 109 entrambi i membridell’uguaglianza, ricaviamo l’equivalenza tra metri e nanometri:

1 m = 109 nm

A questo punto, esprimiamo il risultato della misura in nanometri:

1,76 m = 1,76 (109 nm) = 1 760 000 000 nm

1

• 1 nm = 10−9 m

(1 nm) ∙ 109 = (10−9 m) ∙ 109

109 nm = 1 m

4 LA NOTAZIONE SCIENTIFICAQuando il valore di una misura è molto grande o molto piccolo, possiamo scri-verlo in notazione scientifica usando le potenze di 10. Per esempio:

raggio della Terra rT = 6 400 000 m = 6,4 ∙ 106 m

raggio dell’atomo di idrogeno rH = 0,000 000 000 053 m = 5,3 ∙ 10−11 m

Un numero scritto in notazione scientifica è il prodotto di un coefficiente,maggiore o uguale a 1 e minore di 10, e di una potenza di 10.

Il vantaggio più evidente della notazione scientifica è che fornisce una scritturapiù compatta di un numero. Il fattore 106 corrisponde a 1 milione, perciò la mi-sura del raggio della Terra è 6,4 ∙ 106 m, una forma più facile sia da scrivere sia daleggere rispetto a 6 400 000 m.

Inoltre, eseguire moltiplicazioni e divisioni con numeri in notazione scientifica èfacile grazie alle proprietà delle potenze:

2 600 000 ∙ 3500 = (2,6 ∙ 106)(3,5 ∙ 103) = (2,6 ∙ 3,5) ∙ 106 + 3 = 9,1 ∙ 109

2100094000000

=,,

2 1 109 4 10

4

7

$

$

= ,,

2 19 4

∙ 107 − 4 = 4,5 ∙ 103

L’approssimazione di una misura

Quante persone c’erano allo stadio per il derby di Milano? Se facciamo questa do-manda alla società che ha incassato i soldi dei biglietti, la risposta potrebbe essere,per esempio, «71348 spettatori». Alla stessa domanda, un tifoso che era allo stadiorisponderebbe «circa 70 mila». A seconda delle situazioni, infatti, nella vita quoti-diana trattiamo i numeri con diverse approssimazioni. Anche in fisica le misuresono spesso approssimate. Per esempio, sappiamo che il raggio medio della Terra è:

RT = 6372,797 km = 6,372 797 ∙ 103 km

Se vogliamo confrontare questo valore con lo spessore della crosta terrestre, puòessere sufficiente esprimere il raggio della Terra con tre cifre.

Alcune proprietàdelle potenze

Per n e m interi positivi:

• 10n ∙ 10m = 10n+m

•10

10m

n

= 10n−m

• 10−n =10

1n

• (10n)m = 10n∙m

MATEMATICA

11


Per approssimare il valore di una misura:

• se la prima cifra da trascurare è maggiore o uguale a 5, si aumenta di 1 la cifraprecedente (approssimazione per eccesso);

• se la prima cifra da trascurare è minore di 5, la cifra precedente resta la stessa(approssimazione per difetto).

©n

Pete

r/

shu

tter

sto

ck

Per esempio, per approssimare la misura del raggio terrestre a tre cifre scriviamo:

RT = 6,372 797 ∙ 103 km ≈ 6,37 ∙ 103 km

L’ordine di grandezza

L’ordine di grandezza di una misura è la potenza di 10 che meglio approssimail valore della misura.

Quando una misura è espressa in notazione scientifica, valutare il suo ordine digrandezza è immediato. Vediamo alcuni esempi nella tabella.

Valore della misura Ordine di grandezza

raggio del sole 7,0 ∙ 108 m ≈ 10 ∙ 108 m = 109 m 109 m

raggio della Luna 1,7 ∙ 106 m ≈ 2 ∙ 106 m ≈ 106 m 106 m

diametro di un globulo rosso 7,5 ∙ 10−6 ≈ 10 ∙ 10−6 m ≈ 10−5 m 10−5 m

L’uso degli ordini di grandezza aiuta nel fare rapide stime numeriche. Per esempio,il rapporto fra gli ordini di grandezza del raggio solare e del raggio lunare indica cheil raggio del Sole è circa 109/106 = 103 = 1000 volte più grande di quello della Luna.

L’ordine di grandezza di una misura dipende dall’unità scelta. Per esempio, l’or-dine di grandezza dell’altezza di un uomo è 1 m = 100 m, mentre è 103 mm sel'altezza è espressa in millimetri.

Esempio Un grande girotondo

Gli italiani sono circa 60 milioni. Immaginiamo un girotondo formato da tuttequeste persone e supponiamo che ogni partecipante occupi lo spazio di 1 m.

▸ Qual è l’ordine di grandezza della lunghezza del girotondo formato datutti gli italiani?

La soluzione

Per semplificare i calcoli, scriviamo il dato in notazione scientifica:60 milioni = 60 000 000 = 60 ∙ 106 = 6,0 ∙ 107

Dato che ogni italiano occupa 1 m di spazio, la lunghezza totale Ltot sarebbe:

Ltot = (6,0 ∙ 107) (1 m) = 6,0 ∙ 107 m = 6,0 ∙ 104 km

L’ordine di grandezza di questo girotondo è 105 km.

2

HAI CAPITO?

L’equatore terrestre è lungo circa 4,0 ∙ 107 m.Qual è l’ordine di grandezza della lunghezza dell’equatore in km?a 106 km B 104 km c 105 km d 1010 km

minore di 5

3 cifre

12


5 LE GRANDEZZE FONDAMENTALI

In questo capitolo studiamo in maggior dettaglio tre delle sette grandezze fonda-mentali del SI: l’intervallo di tempo, la lunghezza e la massa.

L’intervallo di tempo

Quanto dura un film? Quanto tempo impiega un treno per andare da Roma aMilano? Per quanto tempo riesci a stare in apnea? Quando nella vita di tutti igiorni parliamo di tempo, in realtà ci riferiamo quasi sempre a intervalli di tempo

tra due eventi: i titoli di testa e i titoli di coda di un film; la partenza e l’arrivo diun treno; l’inizio e la fine di un’immersione. Quando parliamo di tempo ci rife-riamo dunque alla durata di un fenomeno.

La durata di alcuni fenomeni periodici, ossia che si ripetono sempre uguali a sestessi, è usata per definire unità di misura del tempo. Il giorno, per esempio, èl’intervallo di tempo impiegato dalla Terra per compiere una rotazione completaintorno al proprio asse, mentre l’anno corrisponde al periodo di rivoluzione delnostro pianeta intorno al Sole.

La misura di un intervallo di tempo consiste nel contare quante volte un feno-meno periodico si ripete durante quell’intervallo.

I primi orologi meccanici sfruttavano i moti periodici di un pendolo (figura 3)oppure di un bilanciere a molla. Oggi, molti orologi da polso scandiscono il tem-po contando le oscillazioni periodiche di un cristallo di quarzo.

Nel corso dei secoli gli scienziati sono andati alla ricerca di fenomeni periodicisempre più accurati per definire il secondo, l’unità di misura del tempo nel SI.

La prima definizione del secondo era basata sul giorno solare medio, cioè sultempo medio impiegato dalla Terra per compiere una rotazione attorno all’as-se terrestre, a cui fu attribuita una durata di 86 400 secondi. Il numero 86 400 èsemplicemente il prodotto del numero di ore in un giorno (24) per il numero diminuti in un’ora (60) per il numero di secondi in un minuto (60).

Gli scienziati capirono però che la durata del giorno solare medio non è abba-stanza costante da poter costituire un campione sufficientemente preciso dell’u-nità di misura degli intervalli di tempo. Un accordo internazionale del 1967 sta-bilì di definire il secondo basandosi su una proprietà dell’atomo di cesio-133, cheè usato nei cosiddetti orologi atomici come il NIST-F1 (figura 4).

Il secondo (s) è l’intervallo di tempo impiegato da una particolare radiazione,emessa da atomi di cesio-133, per compiere 9 192 631 770 oscillazioni.

Tabella 3 Principali multipli e sottomultipli del secondo.

Nome Simbolo Valore in secondi

anno a 3,15 ∙ 107

giorno d 86 400

ora h 3600

minuto min 60

millisecondo ms10001

= 10−3

microsecondo μs1000 000

1 = 10−6

Figura 3il moderno orologio

a pendolo di Krasnoyarsk,una città della russia.

©Ju

liaB

atu

rin

a/

shu

tter

sto

ck

Figura 4L’orologio atomico nisT-f1,che si trova negli stati Uniti,

è uno dei più precisi del mondo.indica l’ora con un'incertezza dicirca un secondo ogni sessanta

milioni di anni.

©g

eoff

rey

Wh

eele

r

13


Esempio Quanti secondi hai?

Immagina che oggi sia il giorno del tuo quindicesimo compleanno.

▸ Quanti secondi fa sei nato?

La soluzione

Sappiamo che un anno è formato da 365 giorni, un giorno da 24 ore, un’orada 60 minuti e un minuto da 60 secondi. Così un anno equivale a:

1 a = (365 ∙ 24 ∙ 60 ∙ 60) s = 3,1536 ∙ 107 s ≈ 3,15 ∙ 107 s

Possiamo ora convertire «15 anni» in secondi:15 a ≈ 15 (3,15 ∙ 107 s) = 47,25 ∙ 107 s ≈ 4,73 ∙ 108 s

A 15 anni, quindi, hai circa mezzo miliardo di secondi.

3

HAI CAPITO?

Quale di questi fenomeni potresti usare come unità di misura del tempo?a La periodica caduta delle gocce da un rubinetto che perde.B I rimbalzi di un pallone che cade da una certa altezza.c Una porta che sbatte per la corrente.d Un neon intermittente.

La lunghezza

Un’unità di misura della lunghezza usata fin dall'antichità è la spanna, pari alladistanza tra le punte del pollice e del mignolo di una mano aperta (figura 5). Laspanna non è un’unità di misura oggettiva, perché varia da persona a persona.

Nel Sistema Internazionale l’unità di misura della lunghezza è il metro (m).

La prima definizione del metro risale al 1791, quando si stabilì che il metro è ladecimilionesima parte della distanza tra l’Equatore e il Polo Nord, calcolata lungoil meridiano passante per Parigi. La necessità di avere un campione più precisoportò nel 1799 a ridefinire il metro come la distanza tra due linee sottili incise suuna barra composta da una lega di platino e iridio e mantenuta a temperaturacostante. Infine, nel 1983 fu stabilita la definizione valida ancora oggi.

Il metro (m) è la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tem-po di 1/299 792 458 secondi.

Questa definizione di metro è valida perché la velocità della luce nel vuoto è costan-te nel tempo ed è uguale in ogni punto dello spazio.

Tabella 4 Principali multipli e sottomultipli del metro.

Nome Simbolo Valore in metri

kilometro km 1000 = 103

ettometro hm 100 = 102

decametro dam 10

decimetro dm101

= 10−1

centimetro cm1001

= 10−2

millimetro mm10001

= 10−3

Figura 5La doppia freccia indicala spanna.

©Ti

kho

nv

/sh

utt

erst

ock

14


La massa

La massa di un corpo è definita in modo operativo come la grandezza che si mi-sura con la bilancia a bracci uguali (figura 6). In particolare, due oggetti hanno lastessa massa se quando sono posti sui due piatti della bilancia i piatti non salgononé scendono, ossia se restano in equilibrio.

Nel Sistema Internazionale l’unità di misura della massa è il kilogrammo (kg).

Come la definizione del metro, anche quella del kilogrammo è stata cambiatavarie volte nel corso della storia. Il kilogrammo fu introdotto nel 1793 come mul-tiplo del grammo, che era stato definito come la massa di un centimetro cubo diacqua in determinate condizioni di temperatura e pressione. Nel 1795 esigenzedi maggiore precisione portarono a definire il kilogrammo come la massa del ci-lindro di 39 mm di altezza e di diametro composto da una lega di platino e iridioconservato sotto tre campane di vetro.

Come accaduto al metro con la velocità della luce, negli ultimi anni gli scienziatihanno cercato di usare una costante universale per definire anche il kilogrammo.

Dal 20 maggio 2019 la definizione del kilogrammo è basata sul valore di unacostante fondamentale, la costante di Planck.

Tabella 5 Principali multipli e sottomultipli del kilogrammo.

Nome Simbolo Valore in kilogrammi

tonnellata t 1000 = 103

ettogrammo hg101

= 10−1

grammo g10001

= 10−3

decigrammo dg10000

1 = 10−4

milligrammo mg1000 000

1 = 10−6

Esempio Qual è la massa di un libro in tonnellate?

Un libro ha massa m = 900 g.

▸ Esprimi la massa in tonnellate.

La soluzione

Per rispondere alla domanda possiamo iniziare convertendo la misura inkilogrammi:

900 g = 900 (10−3 kg) = 0,9 kg

Sappiamo che 1 t = 103 kg. Moltiplicando per 10−3 entrambi i membri dell’u-guaglianza, ricaviamo l’equivalenza tra kilogrammi e tonnellate:

1 kg = 10−3 t

A questo punto, esprimiamo il risultato della misura in tonnellate:

0,9 kg = 0,9 (10−3 t) = 0,0009 t = 9 ∙ 10−4 t

4

• 1 t = 103 kg

(1 t) ∙ 10−3 = (103 kg) ∙ 10−3

10−3 t = 1 kg

Figura 6Una bilancia a bracci uguali che

non si trova in equilibrio.

©B

asyn

/sh

utt

erst

ock

15


6 LE GRANDEZZE DERIVATE

Le grandezze derivate sono definite a partire dalle grandezze fondamentali.

Le unità di misura delle grandezze derivate si deducono dalle unità di misuradelle grandezze fondamentali di partenza.

In questo capitolo studiamo tre grandezze derivate: l’area, il volume e la densità.

L’area

La copertina di questo libro è rettangolare. Per calcolare la sua area possiamo mi-surare la larghezza e l’altezza, per esempio con un righello, e poi moltiplicarle traloro. La misura indiretta che abbiamo appena descritto ci suggerisce che l’area diuna superficie è il prodotto di due lunghezze.

Nel Sistema Internazionale l’unità di misura dell’area è il metro quadrato

(m2), definito come l’area di un quadrato di lato 1 m:

1 m2 = (1 m) (1 m)

Per eseguire una misura diretta dell’area di una superficie, dovremmo contarequanti quadrati di lato 1 m sono contenuti nella superficie. Nella maggior partedei casi però questa operazione non è agevole, perciò si calcola l’area in modoindiretto come descritto nel caso della copertina del libro.

L’area di una superficie può essere misurata anche usando multipli e sottomul-tipli del metro quadrato. Per passare da una misura espressa in metri quadrati auna espressa, per esempio, in decimetri quadrati, dobbiamo sapere quanti qua-drati di lato 1 dm sono contenuti in un quadrato di lato 1 m, cioè a quanti dm2

equivale 1 m2 (figura 7):

1 m2 = (1 m) (1 m) = (10 dm) (10 dm) = 100 dm2

Allo stesso modo si possono ottenere altre equivalenze come queste:

1 m2 = (1 m)2 = (103 mm)2 =106 mm2

5 dm2 = 5 (1 dm)2 = 5 (102 mm)2 = 5 ∙ 104 mm2

200 mm2 = 200 (1 mm)2 = 200 (10−1 cm)2 = 200 ∙ 10−2 cm2 = 2 cm2

Esempio Quanto spazio occuperebbero gli italiani?

Gli italiani sono 60 milioni. Supponiamo che si trovino tutti vicini, 4 personein 1 m2, come capita in un concerto.

▸ Quanti kilometri quadrati occuperebbero gli italiani?

La soluzione

Per calcolare la superficie S occupata dagli italiani, dividiamo il numero degliitaliani per il numero di persone che si trovano in un metro quadrato:

S = 460000000

persone/mpersone

2 = 1,5 ∙ 107 m2

Quindi convertiamo l’area della superficie in km2:

S = 1,5 ∙ 107 (1 m)2 = 1,5 ∙ 107 (10−3 km)2 = 1,5 ∙ 107 ∙ 10−6 km2 = 15 km2

L'area corrisponde a quella di un quadrato con il lato lungo meno di 4 km.

5

Figura 7Un quadrato di lato 1 m contiene100 quadrati di lato 1 dm.

1 m2 = 100 dm2

1 dm2

16


Il volume

Per calcolare il volume dell’acqua contenuta in una piscina olimpionica, possiamomisurare la lunghezza della piscina, la sua larghezza, la sua profondità e poi molti-plicare queste tre misure. Il volume di un oggetto, di una regione di spazio oppuredi un contenitore è il prodotto di tre lunghezze.

Nel Sistema Internazionale l’unità di misura del volume è il metro cubo (m3),definito come il volume di un cubo di lato 1 m:

1 m3 = (1 m) (1 m) (1 m)

Il volume può essere misurato usando multipli e sottomultipli del metro cubo.Per passare da una misura espressa in metri cubi a una espressa, per esempio, indecimetri cubi, dobbiamo sapere quanti cubi di lato 1 dm sono contenuti in uncubo di lato 1 m, cioè a quanti dm3 equivale 1 m3 (figura 8):

1 m3 = (1 m) (1 m) (1 m) = (10 dm) (10 dm) (10 dm) = 1000 dm3

Allo stesso modo si possono ottenere altre equivalenze come queste:

1 m3 = (1 m)3 = (103 mm)3 =109 mm3

0,08 dm3 = 0,08 (1 dm)3 = 0,08 (10 cm)3 = 0,08 ∙ 103 cm3 = 80 cm3

4,5 ∙104 cm3 = 4,5 ∙104 (1 cm)3 = 4,5 ∙104 (10−2 m)3 = 4,5 ∙104 ∙10−6 m3 = 4,5 ∙10−2 m2

Molto spesso per esprimere il volume di liquidi e gas si usa un’unità di misurache non appartiene al SI: il litro.

Un litro (L) è uguale a un decimetro cubo:

1 dm3 = 1 L

Questo vuol dire che:

1 L = 1 dm3 = 10−3 m3

Esempio Un sacco d’acqua!

In Italia ogni anno vengono consumati 10 milioni di metri cubi diacqua minerale. Supponiamo che tutta quest’acqua sia contenuta inbottiglie di plastica da 1,5 L.

▸ Quante bottiglie di acqua minerale vengono consumate in Italiaogni anno?

La soluzione

Esprimiamo il primo dato (10 milioni di metri cubi) in litri:

10 ∙ 106 m3 = 107 m3 = 107 (103 dm3) = 107 (103 L) = 1010 L

Per calcolare il numero di bottiglie, dividiamo il volume totale di acqua con-sumata per il volume di una singola bottiglia:

,1 510

L/bottigliaL10

= 6,7 ∙ 109 bottiglie

In Italia, quindi, vengono consumate quasi 7 miliardi di bottiglie di plasticaogni anno.

6

©sc

iset

tia

lfio

/sh

utt

erst

ock

Figura 8Un cubo di lato 1 m contiene

1000 cubi di lato 1 dm.

1 m3 = 1000 dm3

1 dm3

GOT THE CONCEPT?

An Olympic-sizeswimming pool is50 m long, 25 m wideand 2.0 m deep.How many liters ofwater does it contain?a 2500 LB 2.5 ∙ 106 Lc 2.5 ∙ 109 Ld 2.5 ∙ 103 L

17


La densità

A parità di volume occupato, è maggiore la massa di un palloncino pieno d’ariao di uno pieno d’acqua? Sulla risposta abbiamo pochi dubbi: il palloncino pienod’acqua ha massa maggiore perché l’acqua è più densa dell’aria.

La densità di un corpo è uguale al rapporto tra la sua massa m e il suo volume V:

d =Vm [1]

Questo significa che:

• a parità di volume, la densità è direttamente proporzionale alla massa;

• a parità di massa, la densità è inversamente proporzionale al volume.

Poiché la densità è data dal rapporto tra massa e volume, la sua unità di misura èuguale al rapporto tra le unità di misura della massa e del volume.

Nel SI la densità si misura in kilogrammi al metro cubo (kg/m3).

Tabella 6 La densità di alcune sostanze.

Sostanza Densità (kg/m3) Sostanza Densità (kg/m3)

Solidi Liquidi

alluminio 2700 acqua (a 4 °c) 1000

argento 10 500 alcool etilico 806

cemento 2200 Mercurio 13 600

ferro 7860 Olio (lubrificante) 800

ghiaccio 917 Gas

Legno (di pino) 550 aria 1,29

Oro 19 300 Ossigeno 1,43

Piombo 11 300 Biossido di carbonio 1,98

rame 8890 elio 0,179

a meno che non sia indicato diversamente, i valori si riferiscono alle densità a 0 °c e alla pressione di 1 atm.

Esempio Quanto sangue abbiamo nel nostro corpo?

Il corpo di una persona adulta contiene circa 5,2 L di sangue. La densità delsangue è d = 1060 kg/m3.

▸ Calcola la massa del sangue presente nel corpo di una persona adulta.

La soluzione

Calcoliamo a quanti metri cubi equivalgono 5,2 L:

5,2 L = 5,2 dm3 = 5,2 ∙ 10−3 m3

La densità d è data dall’espressione [1]. Per ricavare la massa m, moltipli-chiamo entrambi i membri dell’espressione per V:

dVVm

V dV m$= =

La massa del sangue di una persona adulta è quindi:

m = dV = (1060 kg/m3) (5,2 ∙ 10−3 m3) = 5,5 kg

7

HAI CAPITO?

L’olio ha una densitàleggermente inferiorea quella dell’acqua.Ha una massamaggiore 1 L d’oliooppure 1 L d’acqua?Perché?

• Un metro cubo dipiombo ha una massa di11 300 kg = 11,3 t.

• Un metro cubo d’aria ha unamassa di 1,29 kg.

MMM

55bbb

5bbbbbbb

ks

b

18


7 LE DIMENSIONI FISICHE DELLE GRANDEZZELa distanza tra due città può essere misurata in miglia, la dimensione di unosmartphone è misurata in pollici mentre l'altezza di una persona è misurata inmetri o in centimetri.

Chepstow

43,8 miglia

Pontypridd

Pontypool

Weston--super-Mare

Wellington

Minehead

Taunton

Bridgwater

Wells

Merthyr Tydfil

Newport

BristolCardiff

0 10 km

10 miglia

PPPPPPPP

WWWWWWWWWW

MMMMMMMMMMM

MMMMMMMMMMMMM

15:45Friday October 25

10:38

Search...

Pages

CameraMail

Music

Books Play Store

5555555555555555555555bbbbbbeeeer 2eee 5

10:38:38:383838383838383338383838388:383838

455555555555555555555555oboobbbbbbbbbbbbb

Mail

Music

Bookokkkskskskskksskskskskskkkskss

ay Octoobobobbbbbbbbbbbobobbbbbbeeee

6p

olli

ci 1,47 m

Anche se sono espresse con unità di misura differenti, le tre grandezze descrittesono tutte lunghezze. In casi come questo diciamo che le grandezze hanno tuttele stesse dimensioni fisiche.

Le dimensioni fisiche sono indicate tra parentesi quadre. Per esempio, le dimen-sioni della lunghezza si indicano con [l], le dimensioni dell’intervallo di tempo siindicano con [t] e quelle della massa con [m].

Sommare grandezze che hanno dimensioni diverse non ha senso: per esempio,non è possibile sommare 2 m e 5 s. È invece possibile moltiplicare o dividere traloro grandezze che hanno dimensioni diverse. Per esempio, visto che la densità èil rapporto tra la massa e il volume, le sue dimensioni fisiche sono:

[d] =lm[ ]

[ ]3 = [ml−3]

In qualsiasi formula che coinvolga grandezze fisiche, i due membri a destra e asinistra dell’uguale devono avere le stesse dimensioni fisiche. Il controllo delledimensioni fisiche a sinistra e a destra del segno «=» è detto analisi dimensionale

ed è necessario per accertarsi che una formula abbia senso dimensionalmente.

L'analisi dimensionale è un utile controllo da fare quando svolgi un esercizio: sei due membri di una formula che hai ricavato hanno dimensioni fisiche diverse,la formula contiene sicuramente un errore.

HAI CAPITO?

Quali sono le dimensioni di una grandezza definita dal rapporto tra unalunghezza e un intervallo di tempo?

• se d è la densità di un corpocon massa m e volume V, laformulaV dm=

è sbagliata per ragionidimensionali, infatti

m ll3 2 3! -6 6@ @


MAPPA DEI CONCETTI

19

si misuranoscegliendo una

LE GRANDEZZE FISICHEsono le proprietà misurabili di un corpo

o di un fenomeno

definite a partire dallegrandezze fondamentali

Grandezze derivate

• secondo (s)• metro (m)• kilogrammo (kg)• ampere (a)• kelvin (K)• candela (cd)• mole (mol)

©B

iPM

Sistema Internazionale

cioè la grandezza di riferimento a cuiassegniamo il valore 1

Unità di misura

cioè contare quante volte l’unità dimisura è contenuta in una grandezza

Misurare

cioè la potenza di 10 che meglioapprossima il valore della misura.Per esempio: l’ordine di grandezza

di ,7 22 10 m4$ è 105 m

Ordine di grandezza

Per esempio:

,l 7 22 10 m4$=

Notazione scientifica

1 cifra

virgola

cifre decimali

potenza di 10

unità dimisura

che si usa per

la misura può esserescritta in

da cui si ricava un

si misurano con il per esempioquelle

fondamentalicostituiscono il

possono essere

Per esempio l’intervallo ditempo, la lunghezza e la massa

Grandezze fondamentali

nel sistema internazionalesi misura in m2

Area

nel sistema internazionalesi misura in m3.

spesso si usa come unitàdi misura il litro:

1 L 1 dm 10 m3 3 3= =

-

Volume

dv

m=

unità di misura: kg/m3

Densità

massa (kg)

volume (m3)

Video

in inglese

GUARDA!

1

20

Esercizi

Le grandezze fisiche

1 LA NATURA DELLA FISICA2 LE GRANDEZZE FISICHE3 IL SISTEMA INTERNAZIONALE

DELLE UNITÀ DI MISURA

Per cominciareCOMPLETA

Una . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fisica è una . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

di un corpo o di un fenomeno che può essere

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . con uno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., come lalunghezza, l’intervallo di tempo e la massa.misurata • parola • grandezza • strumento •

situazione • proprietà • sensibilità • rivoluzionata

TEST

Quale delle seguenti non è una delle sette grandezzefondamentali del SI?a lunghezza

B intervallo di tempo

c intensità di corrente

d velocità

1●●●

2●●●

Una matita misura 12,6 cm.

12,6 cm

▸ Esprimi questa lunghezza in metri e in millimetri.[0,126 m, 126 mm]

COMPLETA

Converti le lunghezze indicate.

Metri (m) Kilometri (km)

1000

25

47 000

0,14

1

3●●●

4●●●

COMPLETA

Converti le masse indicate.

Grammi (g) Kilogrammi (kg)

10

1

18 000

150

5,2

COMPLETA

Converti i tempi indicati.

Secondi Minuti Ore

30

1,2

900

360

0,3

COMPLETA

Scrivi i nomi dei prefissi dei multipli e dei sottomul-tipli e la potenza di 10 corrispondente.

Simbolo Prefisso Potenza

M

μ

k

T

n

COMPLETA

Controlla se le misure sono scritte in modo corretto.Se sono sbagliate, correggile.

hm 15

5 cm

13 Km

150 gr

15 moli

COMPLETA

Converti nelle unità di misura indicate.

10 m km

200 mm m

34 cm m

18 g kg

5 kg mg

65 000 μg kg

5●●●

6●●●

7●●●

8●●●

9●●●

Esercizi 1

21

PROVA TU

Lo spessore massimo di un capello umano è 0,000 10 m.▸ Esprimi lo spessore massimo di un capello nell’unità di misura più conveniente.

PROVA TU

Il pianeta Giove dista dal Sole, in media, circa 780 miliardi di metri.▸ Esprimi la distanza media di Giove dal Sole nell’unità di misura più conveniente.

13●●●

14●●●

COMPLETA


82 mm m

33 g kg

12 min s

3700 ma a

1 cmol mol

1500 μcd cd

10●●●

COMPLETA


18 nm μm

3 Mg mg

48 min ore

640 pm nm

0,1 Tg Mg

12 μg mg

11●●●

12 PROBLEM SOLVING

Un tipo di batterio detto micoplasma è lungo circa 0,000 000 2 m.

▸ Converti la lunghezza del micoplasma nel sottomultiplo più conveniente.

RisolviamoConvertiamo la misura in alcuni sottomultipli del metro:

0,000 000 2 m 0,0002 mm 0,2 μm 200 nm

L’unità di misura più conveniente è il μm, oppure, in alternativa, il nm.È quindi conveniente dire che la lunghezza del batterio è 0,2 μm oppure 200 nm.

L'unità di misura più conveniente

è più convenientescrivere un numeroscrivere un numerocon pochi zericon pochi zeri

4 LA NOTAZIONE SCIENTIFICA

Per cominciare

COMPLETA

L’ordine di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . di un numero è la

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . di 10 con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . intero chemeglio approssima quel numero. Per esempiol’ordine di grandezza di ,1 8 103

$ è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..potenza • grandezza • coefficiente • radice •

esponente • 103 • 3

TEST

Quale delle seguenti misure non è scritta innotazione scientifica?a ,2 2 10 m3

$

B ,2 34 10 m3$

c 4 10 m3$

d 54 10 m3$

15●●●

16●●●

COMPLETA

Completa la tabella seguendo l’esempio.

8 decine 80

6 migliaia

5 centinaia

3 milioni

4 decimi

6 milionesimi

11 centesimi

COMPLETA

Completa la tabella seguendo l’esempio.

700 000 7 centinaia di migliaia

30 000

500

9 000 000

0,01

0,004

0,000 002

17●●●

18●●●

1 Le grandezze fisiche

22

CHI HA RAGIONE?

Il professore di fisica chiede agli studenti di riscriverela misura 321 10 m3

$ in notazione scientifica. Anto-nio scrive la misura come ,32 1 10 m4

$ ; Carla scrive,3 21 10 m5$ e Greta scrive ,0 321 10 m6

$ .▸ Chi l’ha scritta in maniera corretta?

COMPLETA

Ordina in modo crescente gli ordini di grandezza.

10−2 10−6 103 107 104

COMPLETA

Ordina in modo decrescente gli ordini di grandezza.

centinaiadecinedi migliaia

Milionesimicentesimidi millesimi

Millesimi

COMPLETA

Cerca le dimensioni dei seguenti oggetti e ordinali inbase alla loro lunghezza, indicando il loro ordine digrandezza.

cellula atomo Torre eiffel everest Penna

COMPLETA

Cerca le dimensioni dei seguenti oggetti e ordinali inbase alla loro massa, indicando il loro ordine di gran-dezza.

auto zanzara cellula Terra stellaBetelgeuse

Titanic

COMPLETA

Esprimi le grandezze indicate in notazione scientifica.

1000 m

0,0005 s

800 g

0,012 km

6 400 000 m

COMPLETA

Converti le grandezze indicate dalla notazione scien-tifica al numero corrispondente.

1,623 ∙ 101 km

5,2 ∙ 10−3 a

1,15 ∙ 103 g

1,3 ∙ 10−2 km

6,00 ∙ 102 s

19●●●

20●●●

21●●●

22●●●

23●●●

24●●●

25●●●

COMPLETA

Ordina in modo crescente i seguenti numeri espressiin notazione scientifica.

1,2 ∙ 10−3 1,9 ∙ 10−6 1,0 ∙ 10−6 9,9 ∙ 102 1,0 ∙ 103

COMPLETA

Converti le grandezze nelle unità di misura fonda-mentali del SI seguendo l’esempio.

Grandezza Notazionescientifica Numero

32 μm 3,2 ∙ 10−5 m 0,000 032 m

75 km

12 ns

4,2 ma

9,6 mg

500 μs

COMPLETA

Esegui le operazioni tra numeri in notazione scienti-fica e indica l’ordine di grandezza.

Operazione Risultato Ordine digrandezza

(1,5 ∙ 102) + (7,8 ∙ 102)

(1,1 ∙ 102) − (7,8 ∙ 101)

(3,2 ∙ 107) ∙ (1,0 ∙ 101)

(9,5 ∙ 103) : (1,3 ∙ 102)

COMPLETA

Esegui le operazioni tra numeri in notazione scienti-fica approssimando il risultato a due cifre e indical’ordine di grandezza.


(5,9 ∙ 103) + (3,1 ∙ 102)

(5,5 ∙ 107) − (4,8 ∙ 109)

(5,1 ∙ 107) ∙ (1,2 ∙ 105)

(1,2 ∙ 102) : (1,8 ∙ 106)

In un anno un raggio di luce percorre una distanza dicirca 9 460 500 000 000 km.▸ Scrivi questo numero in metri approssimandolo a

due cifre e in notazione scientifica.▸ Indica l’ordine di grandezza.

[9,5 ∙ 1015 m; 1016 m]

L’Universo è nato circa 14 miliardi di anni fa in un’e-norme esplosione chiamata Big Bang.▸ Calcola l’età dell’Universo in secondi e indica il

suo ordine di grandezza. [4,4 ∙ 1017 s]

26●●●

27●●●

28●●●

29●●●

30●●●

31●●●

1Esercizi

23

Marco e Luca misurano la lunghezza di una motoci-cletta con le loro braccia. Marco ottiene una misuradi 7 braccia mentre Luca ottiene una misura di 5,5braccia.▸ Il braccio di Luca è lungo 40 cm: quanto è lunga la

motocicletta?▸ Quanto è lungo il braccio di Marco?

[2,2 m; 31 cm]

Un camion può portare un carico massimo di 10 Mg.▸ Quanti scatoloni da 120 kg possono essere caricati

sul camion?[83]

Il pianeta Saturno impiega 29,45 anni terrestri percompiere un giro completo intorno al Sole.

©n

asa/

JPL/

spac

esc

ien

cein

stit

ute

▸ Se un diciottenne, abitante del pianeta Terra, an-dasse su Saturno, quanti anni saturniani avrebbe?

▸ Se un diciottenne di Saturno venisse sulla Terra,quanti anni terrestri avrebbe?

[0,61 anni saturniani; 530 anni terrestri]

Misuri la lunghezza di un tavolo con matite lunghe16 cm, penne lunghe 14 cm e gomme lunghe 3,0 cm.▸ Quanto è lungo il tavolo se per ricoprire la sua in-

tera lunghezza hai utilizzato 3 matite, 4 penne e 2gomme? [1,1 m]

Quante lattine (0,33 L) si possono riempire con1,0 m3 di acqua?

[circa 3300]

La massa del Sole è di circa MS = 2,0 ∙ 1030 kg, mentrela massa di un elettrone è di circa me = 9,1 ∙ 10−31 kg.▸ Calcola l’ordine di grandezza del rapporto MS/me.

[1060]

In Italia il volume complessivo diacqua immessa nelle reti comuna-li di distribuzione dell’acqua pota-bile è 8,3 miliardi di metri cubi. Acausa del deterioramento delle tubazioni, il 39% diquesta acqua non raggiunge gli utilizzatori e si di-sperde nel sottosuolo.▸ Calcola di quanti litri di acqua al giorno dispone

in media ognuno dei 60 milioni di italiani.[230 L]

37●●●

38●●●

39●●●

40●●●

41●●●

42●●●

43●●●

5 LE GRANDEZZE FONDAMENTALI


La misura di un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . di tempo consistenel contare quante volte la . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

di un fenomeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . si ripetedurante quell’intervallo di tempo.intervallo • periodico • fisico • durata • velocità

• istante

PROBLEMA GUIDATO

Durante una partita di calcio, una squadra va in van-taggio a 5 minuti dalla fine.▸ Quanti secondi ha la squadra avversaria per recu-

perare lo svantaggio?

Soluzione.........

......... ...........

1

5 5 1 5

minuto s

minuti minuto s s$ $

=

= = =^ ^h h

32●●●

33●●●

In un gioco da tavola il tempo a disposizione per fareuna mossa viene misurato con una clessidra di dura-ta 0,5 minuti. La clessidra può essere girata per unmassimo di 4 volte.

▸ Qual è il tempo massimo a disposizione per ese-guire una mossa?

[2 min]

Per misurare il lato di un pavimento usi dei tovaglio-li quadrati di lato 10 cm, disponendoli in modo ordi-nato uno dietro l’altro. In totale usi 32 tovaglioli.▸ Calcola la lunghezza dal pavimento.

[3,2 m]

SPIEGA PERCHÉ

La lunghezza di due strade è stata misurata in metri.▸ Cambierebbe il loro rapporto se si misurasse in

kilometri?

34●●●

©a

-ph

oto

grap

hyy

/sh

utt

erst

ock

35●●●

36●●●


24

COMPLETA

Converti i volumi nelle unità di misura indicate.

0,001 m3 cm3

6 m3 cm3

93 m3 dm3

5300 m3 km3

0,047 m3 mm3

19 000 m3 km3

Un campo da calcio ha dimensioni 90 m × 120 m.▸ Calcola l’area del campo da calcio.▸ Esprimi l’area del campo da calcio in ettari. Un et-

taro (ha) corrisponde a 1,0 ∙ 104 m2.[10 800 m2; 1,08 ha]

Il raggio della Terra è di circa 6,4 ∙ 106 m.▸ Calcola l’area della superficie terrestre ed esprimi

il risultato in km2. [5,1 ∙ 108 km2]

Il litro (L) è un’unità di misura che non appartiene alSI ma è comunemente usato per indicare la capacitàdei recipienti.▸ Converti il volume di una lattina da 33 cL in L.▸ Converti il volume di un recipiente da 100 L in m3.

[0,33 L; 0,10 m3]

Il raggio della Terra è circa 6,4 ∙ 106 m.▸ Calcola il volume della Terra in km3.

[1,1 ∙ 1012 km3]

Per stimare il volume di un recipiente versi all’inter-no l’acqua di una bottiglia da mezzo litro. Il recipien-te si riempie completamente dopo 20 travasi.▸ Calcola il volume del recipiente in m3.

[1,0 ∙ 10−2 m3]

COMPLETA

Converti le densità in nelle unità di misura indicate.

1 g/cm3 kg/m3

0,38 g/cm3 kg/m3

0,0043 g/cm3 kg/m3

3700 kg/m3 g/cm3

28 kg/m3 g/cm3

4,6 ∙ 10−3 kg/m3 g/cm3

Un cilindro di alluminio ha una massa di 3,4 kg.▸ Calcola il volume del cilindro.

[1,25 ∙ 10–3 m3]

Un parallelepipedo di ferro ha dimensioni a = 4,0 cm,b = 7,0 cm e c = 3,0 cm.▸ Calcola la massa del parallelepipedo.

[0,66 kg]

Per determinare la densità di un cubo misuri uno deisuoi lati, ottenendo il valore di 10 cm, e la sua massa,ottenendo un valore di 100 g.

50●●●

51●●●

52●●●

53●●●

54●●●

55●●●

56●●●

57●●●

58●●●

59●●●

6 LE GRANDEZZE DERIVATE

Per cominciareQUALE DEI DUE?

L’area è una grandezza derivata/fondamentale. NelSistema Internazionale/Nazionale la sua unità dimisura è il metro al cubo/quadrato. Anche il volumeè una grandezza derivata/fondamentale. La suaunità di misura nel Sistema Internazionale è il metroal cubo/quadrato.

TEST

L’unità di misura della densità nel SI è:

a mkg

3

B mkg

2

c mkg

d mkg2

44●●●

45●●●

SPIEGA PERCHÉ

L’area di un esagono regolare di lato l è una grandezzaderivata?

COMPLETA

Converti le aree in m2.

100 cm2 m2

2 cm2 m2

440 dm2 m2

3 km2 m2

7500 mm2 m2

6,2 ∙ 10−4 km2 m2

COMPLETA

Converti le aree nelle unità di misura indicate.

15 m2 cm2

3 m2 cm2

0,45 m2 dm2

6900 m2 km2

1,2 ∙ 10−4 m2 mm2

810 m2 km2

COMPLETA

Converti i volumi in m3.

10 000 cm3 m3

2400 cm3 m3

5700 dm3 m3

0,001 km3 m3

4900 mm3 m3

0,03 km3 m3

46●●●

47●●●

48●●●

49●●●

1Esercizi

25

▸ Calcola la densità del cubo in g/cm3.▸ Converti questa densità in kg/m3.

[0,1 g/cm3; 100 kg/m3]

Il raggio della Terra è circa 6,4 ∙ 106 m, mentre la suamassa è circa 6,0 ∙ 1024 kg.▸ Calcola la densità della Terra. [5,5 ∙ 103 kg/m3]

7 LE DIMENSIONI FISICHEDELLE GRANDEZZE


La distanza ha le dimensioni di una . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,che è indicata con il simbolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..Le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dell’intervallo di tempo siindicano con il simbolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e quelle della

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . con [m]. Le dimensioni della

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sono quindi [m] [l-3].lunghezza • velocità • unità • massa • densità •

intensità • dimensioni • [l] • [d] • [t]

PROBLEMA GUIDATO

L’area di un triangolo si trova con la formula Abh2= .

▸ Determina le dimensioni fisiche dell’area di untriangolo e indica l’unità di misura nel SI.

61●●●

62●●●

60●●●

SoluzioneLa base e l’altezza hanno le dimensioni di una lun-ghezza, cioè [. . . . . . . . . . . . . . . . . . .]. Quindi:

.......... ......... ..........A bh b h21

21

= = = =6 9 9 6 6 6 6@ C C @ @ @ @

L’unità di misura di una lunghezza nel SI è il . . . . . . . . . . . . . . . . .,quindi l’unità di misura dell’area è . . . . . . . . . . . . . . . . ..

Il volume di una sfera si trova con la formulaV = (4/3)πr3.▸ Determina le dimensioni fisiche del volume e in-

dica l’unità di misura del SI.

SPIEGA PERCHÉ

È possibile che due grandezze abbiano le stesse di-mensioni ma unità di misura diverse? E la stessa uni-tà di misura ma dimensioni diverse?

La densità di un cubo è definita come la sua massadiviso il suo volume.▸ Determina le dimensioni fisiche della densità di

un cubo e indica la sua unità di misura nel SI.

SPIEGA PERCHÉ

Che dimensioni ha il rapporto tra due volumi?È possibile confrontare il rapporto tra due lunghezzecon il rapporto tra due volumi?

63●●●

64●●●

65●●●

66●●●

67 PROBLEM SOLVING

Durante un esperimento, si misura più volte la posizione s di un oggetto in diversi istanti di tempo t. I dati raccoltimostrano che la posizione e il tempo sono legati dalla legge s = kt3, dove k è un parametro di valore 2,3.

▸ Quali sono le dimensioni del parametro k?

▸ Qual è una sua possibile unità di misura?

Risolviamo• Invertiamo la legge s = kt3, isolando il parametro k:

k =ts3

Da questa relazione deduciamo che le dimensioni di k sono quelle di una lunghezza diviso il cubo di untempo, cioè

[k] =tl3: D = [lt−3]

• Una possibile unità di misura del parametro k è m/s3.

Le dimensioni di un parametro

PROVA TU

Man mano che un serbatoio viene riempito, la sua massa aumenta con la legge M ta= , dove t indica il tempo e a èuna costante di valore 0,025.▸ Quali sono le dimensioni di a?▸ Qual è la sua unità di misura nel SI?

68●●●


26

PROBLEMI FINALI

COMPLETA


52 g kg

350 m km

76 km m

420 s min

0,02 kg g

2,4 h s

COMPLETA


6 km2 m2

260 m3 km3

12 g/cm3 kg/m3

3600 s h

0,02 kg/m3 g/cm3

2,4 km2 m2

COMPLETA

Esegui le operazioni tra numeri in notazione scienti-fica e indica l’ordine di grandezza.


(1,2 ∙ 105) + (5,8 ∙ 105)

(1,6 ∙ 103) − (6,0 ∙ 102)

(4,2 ∙ 105) ∙ (1,5 ∙ 103)

(6,0 ∙ 107) : (2,0 ∙ 102)

A student sees a newspaper ad for an apartmentthat has 120 m2 of floor space.▸ How many square centimeters of area are there?

[1,20 10 cm6 2$ ]

Supponi di avere un grande foglio di carta di spes-sore 0,1 mm e di ripiegarlo su se stesso per 10 volte.▸ Calcola lo spessore del foglio di carta così ripie-

gato.[10 cm]

La luce percorre 3,0 ∙108 m ogni secondo.▸ Calcola a quanti metri corrisponde un anno-luce,

ovvero quanto spazio percorre la luce in un anno.[9,5 ∙ 1015 m]

La lunghezza del ponte di Brooklyn a New York è di1825 m.▸ Indica l’ordine di grandezza della lunghezza

espressa in centimetri.

In un parco comunale l’albero più vecchio ha 71anni.▸ Esprimi l’età dell’albero in secondi.

[2,2 ∙ 109 s]

69●●●

70●●●

71●●●

72●●●

73●●●

74●●●

75●●●

76●●●

Un allevatore deve acquistare la recinzione per il suoterreno di forma quadrata e area 1600 m2.▸ Calcola quanti metri di recinzione deve acquistare.

[160 m]

La massa di un uomo adulto è 92 kg.▸ Determina l’ordine di grandezza della massa

dell’uomo in grammi. [105]

Un cubo di lato 10 cm ha una massa di 150 g; un altrocubo dello stesso materiale ha un lato di 32 cm.▸ Calcola la massa del secondo cubo.

[4,9 kg]

Un cilindro di alluminio ha una massa di 1400 g ed èalto 26 cm. La sua densità è di 2700 kg/m3.▸ Calcola la superficie di base del cilindro ed esprimi

il risultato in m2.[2,0 ∙ 10−3 m2]

Un parallelepipedo ha una massa di 12 g, è largo0,010 m, è profondo 10 mm ed è alto 1,0 ∙ 105 μm.▸ Determina la sua densità in kg/m3.

[1200 kg/m3]

Da una tubatura fuoriescono 50 litri d’acqua ogniminuto. L’acqua che fuoriesce si accumula in unavasca da 150 m3.▸ Calcola il tempo necessario affinché la vasca si

riempia completamente. [50 h]

Ogni anno 13 milioni di tonnel-late di plastica finiscono in mare.Nel tempo, circa la metà di questaplastica si frammenta in particellecon dimensioni inferiori al millimetro ed entra nellacatena alimentare della fauna marina.Una bottiglietta per bibite è fatta con circa 20 cm3 diplastica.

▸ Quanti kg di plastica entrano nel mare in mediaogni secondo?

▸ Stima il numero di particelle da 0,5 mm che si for-mano da una bottiglietta di plastica.

[410 kg; 1,6 ∙ 105]

77●●●

78●●●

79●●●

80●●●

81●●●

82●●●

83●●●

©r

ich

car

ey/s

hu

tter

sto

ck

1Esercizi

27

TEST

Un nanosecondo equivale a:a 10 s6-

B 10 s3-

c 10 s9-

d 10 s6

La centesima parte della millesima parte di un nano-metro equivale a:a 10 m14-

B 10 m13-

c 10 m15-

d 10 m12-

Il monte Everest ha un’altitudine di 8848 m. Qual è ilsuo ordine di grandezza?a 103 m

B 104 m

c 10–4

d 103

Una sfera di massa 15 kg ha una densità di 454,4 kg/m3.Il raggio della sfera è:a 2 cm

B 9 cm

c 20 cm

d 0,9 m

TEST PER L’UNIVERSITÀ

Il prefisso milli, indicato con la lettera m (ad esempio2,2 mg) indica che l’unità di misura che segue la m(nell’esempio il grammo) deve essere moltiplicataper:a 10–3

B 10–2

c 10–1

d 10–6

e 103

Test di ammissione a Medicina e Chirurgia, 2002/2003

Una città con un milione di alloggi, ciascuno deiquali consuma mediamente 1 Kilowatt di potenzaelettrica, richiede una centrale elettrica:a da 1 Kilowatt

B da 1 Megawatt

c da 1 Gigawatt

d da 1 GeV

e da 1 Megajoule

Test di ammissione a Veterinaria, 2003/2004

1

2

3

4

5

6

Nella figura sotto, quattro barre di vetro di densi-tà 2,6 g · cm−3 sono appoggiate sulla base la cui area,per tutte, è 1 cm2. Qual è il blocco di massa 13 g?

h = 15 cm

h = 10 cm

h = 5 cm

h = 2 cm

Tratto dai Giochi di Anacleto, 2009

Nelle seguenti equazioni i simboli a, b, c, d rappre-sentano grandezze fisiche: a è misurato in m, b in s, cin m/s e d in m/s2. Una sola delle equazioni è dimen-sionalmente corretta, quale?a a = b2 c / 2

B b = a2 / c

c c2 = da

d a = dc

Tratto dai Giochi di Anacleto, 2011

A proposito di prefissi, un milli di un milli corri-sponde a:a un micro

B un Mega

c 1 000 000 000

d un kilo

e un nano

Test di ammissione a Odontoiatria e Protesi dentaria, 2008/2009

Il prefisso Giga equivale a:a 106

B 103

c 1012

d 109

e 1020

Test di ammissione a Medicina e Chirurgia, 2001/2002

Il prefisso pico, indicato con la lettera p, (per esem-pio 2 pF) indica che l’unità di misura che segue la p(nell’esempio il farad) deve essere moltiplicata per:a 10 9-

B 106

c 109

d 10 15-

e 10 12-

Test di ammissione a Veterinaria, 2000/2001

7

dcBa

8

9

10

11


28

Domande

Che cosa si intende per grandezza fisica? Fai qualche esempio.

Che cosa si intende per definizione operativa di una grandezza?

Come si scrive un numero in notazione scientifica? Fai qualche esempio.

Test

Mille picosecondi equivalgono a:

a 1 microsecondo

B 1 millisecondo

c 1 megasecondo

d 1 nanosecondo

Il pavimento di uno stanzino è composto da 42 piastrelle identiche, di lato 10 cm. Quanto vale la superficiedel pavimento?

a 4,2 m2

B 42 m2

c 4200 cm2

d 420 cm2

Quale tra le seguenti non è una grandezza fondamentale?

a La lunghezza

B L’intensità di corrente

c La temperatura

d La carica elettrica

L’ordine di grandezza di 8,2 ∙ 10−3 s è

a 10 s3-

B 10 s4-

c 10 s2-

d 10 s5-

Problemi

La distanza media tra il Sole è la Terra è di 150 milioni di kilometri.

▸ Scrivi tale distanza in notazione scientifica usando l’unità di misura fondamentale del SI.▸ Se l’orbita terrestre fosse una circonferenza, quanto misurerebbe?

[9,4 ∙ 1011 m]

Una sfera d’oro ha un raggio di 1,2 mm. L’oro ha una densità di 19 300 kg/m3.

▸ Calcola il volume della sfera.▸ Quanti grammi di oro sono stati usati per realizzare la sfera?

[7,2 ∙ 10−9 m3; 0,14 g]

1… /10

2… /10

3… /10

… /10 4

… /10 5

… /10 6

… /10 7

8… /15

9… /15

............ /100

SEI PRONTO PER LA VERIFICA? In 1 ora

La matematica per cominciare - Zanichelli...5 La matematica per cominciare 5 LA PROPORZIONALITÀ...

Documents

Transcript of La matematica per cominciare - Zanichelli...5 La matematica per cominciare 5 LA PROPORZIONALITÀ...