MODUL 8 ARW

Click here to load reader

  • date post

    14-Aug-2015
  • Category

    Documents

  • view

    125
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of MODUL 8 ARW

MODUL 8

MODEL-MODEL ARW MUSIMANSecara umum model ARW Musiman dinyatakan sebagai model : ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)S yang mempunyai bentuk umum sbb : t = q ( B )Q ( B S ) at p ( B ) P ( B S )(1 B ) d (1 B ) D Z

dengan : p,d,q P,D,Q = orde AR, diff, MA non musiman (NS) = orde AR, diff, MA musiman (S) 3,4,6,12

p ( B) = (1 1B 2 B 2 .... p B p ) Polynomial AR(p)NS q ( B ) = (1 1B 2 B 2 .... q B q ) Polynomial MA(q)NS

P ( B S ) = (1 1B S .... P B S ) - Polynomial AR(P)S Q ( B S ) = (1 1B S ......Q B S ) - Polynomial MA(Q)S

Macam-Macamnya :1). MODEL ARIMA(P,D,Q)s MUSIMAN NON MULTIPLIKATIF STASIONER 2). MODEL ARIMA(P,D,Q)s MUSIMAN NON MULTIPLIKATIF NON STASIONER 3). MODEL ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s MUSIMAN MULTIPLIKATIF STASIONER 4). MODEL ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s MUSIMAN NON STASIONER DLM MEAN NON MUSIMAN 5). MODEL ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s MUSIMAN NON STASIONER DLM MEAN MUSIMAN 6). MODEL ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s MUSIMAN NON STASIONER DLM MEAN NON MUSIMAN DAN MEAN MUSIMAN 1. MODEL ARIMA(P,D,Q)s MUSIMAN NON MULTIPLIKATIF STASIONER Bentuk Umum Model ini adalah : Jenis-Jenis Model ini antara lain :A) MODEL SAR - ARIMA(1,0,0)12 ATAU ARIMA(0,0,0)(1,0,0)12 2 Z t = 1Z t 12 + at dengan at ~ N (0, a )

t = Q ( B S )at P ( B S )Z

Secara teoritis dapat ditunjukkan bahwa mean, varian, Autokovariansi, ACF dan PACF dari model SAR ini adalah :

t ) = 0 = t ) = 0 dan Var ( Z E (Z

2 a 2 (1 1 )

DARI AUTOKOVARIANSI TSB MAKA ACF DAN PACF MODEL SAR DAPAT DITURUNKAN SEBAGAI BERIKUT :

2 a , k =0 2 (1 1 ) k 12 k = 1 o , k = 12, 0, k yang lain

1, k = 0 k 12 k = 1 , k = 12, 0, k yang lain

DAN

kk

. k = 12 = 0. k = 0

B. MODEL SMA MODEL ARIMA(0,0,0)(0,0,1)12

2 Z t = at 1at 12 dengan at ~ N (0, a )

Secara teoritis dapat ditunjukkan bahwa mean, varian, Autocovariansi, ACF dan PACF model SMA adalah :

t ) = 0 = t ) = 0 dan Var ( Z E (Z

2 2 (1 + 1 ) a

2 2 (1 + 1 ) a , k =0 2 k = 1 a , k = 12, 0, k yang lain

DARI AUTOKOVARIANSI TSB MAKA ACF DAN PACF MODEL SMA DAPAT DITURUNKAN SEBAGAI BERIKUT :

1, k = 0 1 k = , k = 12, 2 1 1 0, k yang lain

DAN

. k = 12,24,.. kk = 0. k = 0

C. MODEL SARMA MODEL ARIMA(0,0,0)(1,0,1)12

Z t = 1Z t 12 + at 1at 12Secara teoritis dapat ditunjukkan bahwa mean, varian, Autocovariansi, ACF dan PACF model SARMA adalah :

t 1Z t 12 = at 1at 12 Z t = Z(1 B12 ) (1 B12

Jika disederhanakan diperoleh :

)

2 24 t = 0) at = (1 + 1B12 + 1 B + ...)(1 1B12 )at > E ( Z

Sedang variansinya adalah :2 24 t = (1 + 1B12 + 1 t = 0) Z B + ...)(1 1B12 ) at > E ( Z

Jika disedserhanakan maka diperoleh :2 t = at + (1 + 1 )[at 12 + 1at 24 + 1 Z at 36 + ....

Selanjutnya dengan menggunakan sifat-sifat variansi, maka diperoleh :2 2 2 2 4 2 t ) = a Var ( Z + (1 1 ) 2 [ a + 1 a + 1 a + .... atau 2 2 t ) = (1 + ( 1 1 ) ) a t ) = ( (1+ 1 211 ) a Var ( Z ==> Var ( Z 2 2 (1 1 ) (1 1 )2 2

Sedang untuk Autokovariansinya dapat diturunkan sebagai berikut :

t , Z t 12 ) 1 = 2 = 3 = .... = 10 = 11 = 0 = = = > 12 = E ( ZDengan melihat model-model sebelumnya, maka dapat disederhanakan

Jika disederhanakan lebih lanjut maka diperoleh :

12 = E ( at + (1 + 1 )[at 12 + ..])(at 12 + (1 + 1 )[at 24 + 1at 36 + ..]) 12 = [( 1 1 )(1 112 (1 1 )

2 ) a ==> 13 = 14 = 15 = 16 = 17 = .. = 23 = 0

Jika proses ini diteruskan, maka diperoleh Autokovariansi model SARMA sebagai berikut :

bentuk

umum

2 2 11 ) 2 (1+ 1 a ,k = 0 2 (1 1 ) ( )(1 ) 2 k = 1 1 2 1 1 a , k = 12 (1 1 ) 1 k 12, k = 24,36,48

Sehingga ACF untuk model SARMA adalah :

1 ,k = 0 ( )(1 11 ) k = 1 21 , k = 12 (1+ 1 2 11 ) 1 k 12, k = 24,36,48Dengan menggunakan Rumus Darbin (1960) maka PACF untuk model SARMA adalah :

kk

k , k = 12 k 1 k k 1, j k j j =1 = k , k = 24,36,.. 1 1 k 1, j k j j =1 k = yang lain 0,

2). MODEL ARIMA(P,D,Q)s MUSIMAN NON MULTIPLIKATIF NON STASIONER

Bentuk Umum ARW jenis ini adalah

t = Q ( B S )at P ( B S )(1 B ) D ZJenis-Jenis Model yang termasuk kelompok ini, antara lain : a). Model SARI (0,0,0)(1,1,0)12 (1 1B b). Model SIMA (0,0,0)(0,1,1)12 (1 B ( Model SARIMA ) Differencing dalam model ini D = 3,4,6,12. (1 B Biasanya disimbulkan dengan Wt4 D 12

t = at )(1 B D ) Z

t = (1 1B12 )at )Z 12 D 12 c). Model (0,0,0)(1,1,1)12 (1 1B )(1 B ) Z t = (1 1B ) at t = Z t Z t 4 )Z

t = Z t Z t 4 = (1 B 4 ) Z

Dalam praktek, jika data asli belum di defferncing, maka nilai ACF mendekati satu dan turun secara lambat pada lag-lag 12,24,36,48,.. dan turun seperti garis lurus, sehingga untuk menstasionerkan dilakukan operator differencing musiman Jika data setelah didefferencing musiman, maka nilai ACF dan PACFnya akan mengikuti nilai-nilai ACF dan PACF model ARIMA musiman yang stasioner, sesuai dengan orde SAR dan SMA atau ARIMA (P,0,Q)12 = SARMA(P,Q) = ARMA(P,Q)12

3). MODEL ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s MUSIMAN MULTIPLIKATIF

STASIONER Beberapa Model yang termasuk dalam kelompok ini, antara lain : a). Model ARIMA(0,0,1)(0,0,1)12 MASMA b). Model ARIMA(1,0,0)(1,0,0)12 ARSAR c). Model ARIMA(0,0,1)(1,0,0)12 MASAR d). Model ARIMA(1,0,0)(0,0,1)12 ARSMA a). Bentuk Umum Model MASMA :

t = (1 1B )(1 1B12 )at Z

Sebagaimana model-model di atas, maka rata-rata, variansi , ACF dan PACF dari model MASMA dapat dinyatakan sebagai berikut :

t ) = 0 , = (1 + 2 )(1 + 2 ) 2 E (Z 0 1 1 a2 2 (1 + 1 )(1 + 12 ) a ,k = 0 2 2 (1 + 1 )(1 ) a , k = 1 k = 2 k = 11,13 ( ) a , 2 2 ( )(1 + 1 ) a , k = 12

Dengan demikian ACF Model MASMA adalah

1, k =0 1 , k =1 2 ( 1 + ) 1 k = 11 , k = 11,13 (orde S 1, S + 1) 2 ) (1+12 )(1+ 1 1 , k = 12 (orde S ) 2 ( 1 + ) 1

kk =

k k 1, j k j1 k 1, j jj =1 j =1 k 1

k 1

b). Bentuk Umum Model ARSAR :

t = at (1 1B )(1 1B12 ) Z

Sebagaimana model sebelumnya, secara teoritis ACF dari model ARTSAR ini adalah :

k = 1 k 1 + 112 k 1113 k , k = 1,2,... dan nilaiPACFnya tidak nol pada lag 1, 12 dan lag 13. c). Bentuk Umum Model MASAR :

t = (1 1B )at (1 1B12 ) Z

Secara teoritis bentuk MASAR ini mempunyai ACF tidak sama dengan nol pada lag 1, 11, 12, 13, 23, 24, 25 , ... atau secara umum pada lag 1, S1, S, S+1, 2S-1, 2S, 2S+1,...k 12 k = 1 , k = 1,2,.. 1 k 12 k 1 = 1+ 2 1 , k = 0,1,2,.. 1 12 k = 0, k = lain

Sedang PACFnya menggunakan Durbin (1960) adalah sebagai berikut : adanya dua lag peak PACF pada lag 1 dan lag 12, dimana setelah lag 1 PACF turun eksponensial dan peak lagi pada lag 12 kemudian turun eksponensial seiring bertambahnya lag k

d). Bentuk Umum Model ARSMA :

t = (1 1B12 )at (1 1B ) Z

Secara teoritis bentuk ARSMA ini mempunyai ACF akan menyerupai PACF dari model ARIMA(0,0,1)(1,0,0)12, yakni adanya dua lag peak ACF pada lag 1 dan lag 12, dimana setelah lag 1 nilai ACF akan turun eksponensial, peak lagi pada lag 12dan kemudian turun eksponensial menuju nol seiring bertambahnya lag k. Namun demikian PACF dari model ini akan menyerupai PACF model ARIMA(0,0,1)(1,0,0)12, yakni bernilai sama dengan nol hanya pada lag 1, 11, 12,13, 23, 24, 25 atau secara umum pada lag 1, S-1, S, S+1, 2S-1, 2S, 2S+1,... 4). MODEL ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s MUSIMAN NON STASIONER DLM MEAN NON MUSIMAN Bentuk Umum Model ini adalah :

p ( B ) P ( B S )(1 B ) d (1 B ) D Z t = q ( B )Q ( B S ) at

Dimana orde d berbeda dengan nol, hal ini menunjukkan bahwa model adalah non stasioner dalam rata-rata non musiman. Contoh : Model ARIMA(1,1,0)(1,0,0)12 d=1 non stasioner mean dalam non musiman ( model biasa ). Jika model ini disederhanakan diperoleh : t = at (1 1B )( B (1 1B12 )(1 B)1 Z

Dalam model ini nilai ACF dan PACFnya dapat dijelaskan sebagai berikut :

1.

Data asli sebelum didefferencing : Nilai ACF mendekati satu dan turun secara lambat (garis lurus). Untuk menstasionerkan dilakukan differencing non musiman (d=1, d=2).==> Wt Data setelah didefferncing, nilai ACF dan PACFnya akan mengikuti nilai ACF dan PACF dari model ARIMA yang stasioner, sesuai dengan orde AR dan orde MA yakni ARIMA(p,0,q) (P,0,Q)12 dalam contoh ini modelnya menjadi ARIMA(1,0,0)(1,0,0)12

2.

5). MODEL ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s MUSIMAN NON STASIONER DLM MEAN MUSIMANBentuk Umum Model ini adalah :

p ( B ) P ( B S )(1 B ) d (1 B ) D Z t = q ( B )Q ( B S ) at

Dimana orde D berbeda dengan nol, hal ini menunjukkan bahwa model adalah non stasioner dalam rata-rata musiman. Contoh : Model ARIMA(1,0,0)(1,1,0)12 D=1 non stasioner mean dalam musiman. Jika model ini disederhanakan diperoleh : t = at (1 1B )(1 1B12 )(1 B12 )1 Z

Dalam model ini nilai ACF dan PACFnya dapat dijelaskan sebagai berikut :1.

Data asli sebelum didefferencing : Nilai ACF mendekati satu dan turun secara lambat (garis lurus) pada lag kelipatan musimannya (12,24,36,..). Untuk menstasionerkan dilakukan differencing musiman, biasanya (D=1, D=2).==>.Wt Data setelah didefferncing, nilai ACF dan PACFnya akan mengikuti nilai ACF dan PACF dari model ARIMA musiman yang stasioner, sesuai dengan orde AR dan orde MA yakni ARIMA(p,0,q)(P,0,Q)12 dalam contoh ini modelnya menjadi ARIMA(1,0,0)(1,0,0)12

2.

6). MODEL ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s MUSIMAN NON STASIONER DLM MEAN NON MUSIMAN DAN MEAN MUSIMAN Bentuk Umum Model ini adalah :

p ( B ) P ( B S )(1 B ) d (1 B ) D Z t = q ( B )Q ( B S ) at

Dimana orde d dan D berbeda dengan nol, hal ini menunjukkan bahwa model adalah non stasioner dalam rata-rata non musiman maupun musiman.

Contoh : Model ARIMA(0,