Modelo Normal

1Modelo de Probabilidad Normal

( )( )

2

2

2

2

1

pi

=

x

exf

( );~ NX

El modelo normal. Definicin

Se trata de la distribucin ms utilizada en la modelizacin de experimentos

aleatorios. Esta distribucin puede obtenerse al considerar el modelo bsico de

una variable aleatoria binomial cuando el nmero de ensayos se vuelve cada vez

ms grande.

La importancia de la distribucin normal se extiende ms all de proporcionar

aproximaciones a las probabilidades binomiales. Por ejemplo, puede demostrarse

que cada vez que un experimento aleatorio est formado por una serie de ensayos

independientes, donde cada uno da como resultado un valor observado de la

variable aleatoria en particular, entonces la variable aleatoria que representa el

resultado promedio (o total) en n ensayos tiende hacia una distribucin normal.

Diremos que una variable aleatoria continua X es normal con media y varianza2 y lo representaremos como X~N(,2), siendo < x < y > 0, siempre quesu funcin de densidad de probabilidad sea:

( )( )

2

2

2

2

1

pi

=

x

exf

Modelos de Probabilidad Normal

2La funcin de densidad de probabilidad es una curva simtrica con forma de

campana (campana de Gauss):

El modelo normal. Funcin de densidad de probabilidad

Densidad Normal (Media = 10)

-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35

Varianza = 4 Varianza = 9 Varianza = 16


La principal caracterstica de la distribucin normal, a la que debe su gran

importancia terica y prctica, es que para cualquier distribucin, aunque no siga

una distribucin normal, la distribucin de su media muestral tiende a una

distribucin normal.

Ejemplo: Sea X~U(a = 0; b = 10). Si tomamos 10.000 muestras de 10

observaciones cada una de la variable X y calculamos sus medias, tenemos una

muestra de 10.000 individuos de la variable X10, que es la media de las 10

observaciones uniformes. El histograma de la variable X10 quedara:

El modelo normal

Que se corresponde, aproximadamente,

con una variable normal, con media = 5(la misma media que la variable uniforme)

y con varianza 2 = 0,833 (la dcima partede la varianza de la variable uniforme).

A mayor tamao de las muestras, mayor

parecido con el modelo normal.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


3Un resultado interesante para la distribucin normal es que:

El modelo normal

( )( )( )( )

=+

4En la figura de la derecha se muestra un fragmento de la tabla de la funcin de

distribucin de Z~N(0; 1), es decir, de F(t) = P(Z t).

El modelo normal. Uso de la tabla para Z

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239

0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636

0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026

0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406

0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772

0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454

0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764

0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051

0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770

1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962

Ejemplos

P(Z 0,53) = 0,7019

P(0,25 Z 0,82) =

= P(Z 0,82) P(Z 0,25) =

= 0,7939 0,5987 = 0,1952

P(Z 1,16) = 1 P(Z 1,16) = 0,123

P(Z 1,16) = 1 P(Z 1,16) = 0,123

P(Z 1,16) = P(Z 1,16) = 0,877

Calcula el percentil 67 de Z. P67 = 0,44, ya que P(Z 0,44) = 0,67


En una poblacin se asume que la tensin arterial sistlica (TAS) verifica una

distribucin normal, con media = 120 mm Hg y = 25 mm HG.a. Calcula la proporcin de personas con TAS mayor que 170 mm Hg.

El modelo normal. Ejemplo

( )( ) ( ) %28,297725,01212 25

120170

25

120170

====

=

ZPZP

TASPTASP

(

b. Calcula la proporcin de personas con TAS entre 160 y 180 mm Hg.

( ) ( )( ) ( ) %66,49452,09918,06,14,2

4,26,125

120180

25

120160180160

===

=

=

ZPZP

ZPZPTASP(

Con EXCEL: =1DISTR.NORM(170;120;25;1)

Con EXCEL: =DISTR.NORM(180;120;25;1)DISTR.NORM(160;120;25;1)


5c. Calcula la proporcin de personas con TAS menor que 100 mm Hg.El modelo normal. Ejemplo

( )( ) ( ) %19,217881,018,018,0 25

120100100

====

=

ZPZP

ZPTASP(

d. Calcula una TAS que slo sea superada por el 10% de la poblacin.

( ) Hg mmPPPZPPTASP 15228,125

1209,0

25

1209,0 90

9090

90

=

=

Con EXCEL: =DISTR.NORM(100;120;25;1)

Con EXCEL: =DISTR.NORM.INV(0,9;120;25) =152,04 mm Hg

e. Calcula una TAS que sea superada por el 60% de la poblacin.

( )Hg mmP

P

PZP

PZPPTASP

75,11325,025

120

6,025

1204,0

25

1204,0

4040

4040

40

=

=

=

Con EXCEL: =DISTR.NORM.INV(0,4;120;25) =113,67 mm Hg


Dada la variable X~Bi(n; p), si np > 5 y n(1p) > 5, se puede emplear el modelo

normal para aproximar X, construyendo XN~N( = np; 2 = np(1p)).Por ejemplo, si X~Bi(n = 50; p = 0,8), al ser np = 40 >5 y n(1p) = 10 > 5, se

puede construir XN~N( = 40; 2 = 8) para aproximar X.

Uso del modelo normal para aproximar el modelo binomial

( ) ( ) %38,9794,18

405,45)5,45(45 ==

= ZPZPXPXP N(

Con EXCEL obtenemos: =DISTR.BINOM(45;50;0,8;1) = 98,15%

Si X~Bi(n = 1.000; p = 0,6), XN~N( = 600; 2 = 240)

( ) ( ) %05,9565,1240

6005,625)5,625(625 ==

= ZPZPXPXP N(

Con EXCEL obtenemos: =DISTR.BINOM(625;1000;0,6;1) = 95,05%

Por qu P(X 45) P(XN 45,5),

en lugar de P(X 45) P(XN 45)?

44 45 46

45

6Dada la variable X~Po(), si 5, se puede emplear el modelo normal paraaproximar X, construyendo XN~N( = ; 2 = ).Por ejemplo, si X~Po( = 20), al ser = 20 > 5, se puede construir:

XN~N( = 20; 2 = 20) para aproximar X.

Uso del modelo normal para aproximar el modelo Poisson

( ) ( ) %07,8923,120

205,25)5,25(25 ==

= ZPZPXPXP N(

Con EXCEL obtenemos: =POISSON(25;20;1) = 88,78%

Si X~Po( = 100), XN~N( = 100; 2 = 100)

( ) ( ) %11,1795,0100

1005,90)5,90(90 ==

= ZPZPXPXP N(

Con EXCEL obtenemos: =POISSON(90;100;1) = 17,14%

( ) %44,4120

205,21

20

205,16)5,215,16(2217 =

=

7Transformaciones lineales del modelo normal

( )2;~ XXNX ( )222;~ XYXY bbaNY =+=bXaY +=

( )2;~ XXNX ( )22222;~ YXTYXT babaNT +=+=

bYaXT +=

( )2;~ YYNY indeptes e YX

Si X e Y no son independientes no

podemos garantizar la normalidad de Z


Teorema del lmite central

==

nNX X

XXX

22;~

Dada la variable aleatoria X con funcin de distribucin FX, si extraemos una

muestra aleatoria (observaciones independientes e idnticamente distribuidas) de

dicha variable: {X1, X2, , Xn}, con n lo suficientemente grande, se verifica que la

media muestral se distribuye aproximadamente como una variable normal, con la

misma media que X y con una varianza que es igual a la de X, dividida por n.

Xn FXXX dem.a.,,, 21 K

n

XXXX n

+++=

K21

Una caracterstica muy importante de este resultado es que no se exige la

normalidad de X. FX puede ser cualquier modelo de probabilidad, incluso un

modelo discreto.

Este resultado ayuda a comprender el ejemplo de la diapositiva 12.


8Ejemplo: Sea X~U(a = 0; b = 10) X = (0 + 10)/2 = 5 y X2 = (10 0)2/12 = 8,3Si tomamos 10.000 muestras de 10 observaciones cada una de la variable X y

calculamos sus medias, tenemos una muestra de 10.000 individuos de la variable

X10, que es la media de las 10 observaciones uniformes.

Segn el TLC la media muestral se distribuye segn una normal:

Teorema del lmite central. Ejemplo

Hemos calculado el histograma y el

polgono de frecuencias correspondiente

al ejemplo y vemos que en efecto, se

corresponde, aproximadamente, con una

variable normal, con media 5 y con

varianza 0,833.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

==

nNX X

XXX

22;~

( )83,0;5~ 2 ==

XXNX


Distribucin normal con EXCEL

Distribucin normal X~N(;)Funcin de distribucin:

F(t) = P(X t) = DISTR.NORM(t ; ; ; 1)Clculo de percentiles:

PK = DISTR.NORM.INV(K/100 ; ; )Ejemplo: X~N( = 160; = 15)P(X 150) = DISTR.NORM(150;160;15;1) = 25,25%

Q3 = P75 = DISTR.NORM.INV(75/100 ; 160 ; 15) = 170,12


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