Analisis de un modelo SSpIS

Maribel Restrepo T., Jose A. ZuletaAnibal Munoz L.

Grupo de Modelacion Matematica en Epidemiologıa (GMME)Facultad de Educacion

Universidad del Quindıo, Colombia

Resumen

Se formula un modelo para la dinamica de incidencia de una epidemiaSSpIS con poblacion constante, termino de transmision estandar conprobabilidades de transmision β y σ y personas susceptibles con pre-vencion, mediante un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales paralas magnitudes promedio, que corresponde a un proceso estocastico con-tinuo homogeneo, con estados discretos y tasas constantes de flujos dePoisson. Se realiza el analisis de estabilidad local con base en el umbralepidemico Numero Basico de Reproduccion R0, el analisis de sensibil-idad local del R0 y de la solucion de prevalencia con respecto a cadaparametro y la simulacion del sistema se realiza en MAPLE con datoshipoteticos para los parametros.

Palabras clave: Modelo SSpIS, Estabilidad local, Proceso estocastico, NumeroBasico de Reproduccion, Sensibilidad local.

1 Introduccion

Los modelos matematicos son de gran utilidad para el estudio, analisis y com-prension de diferentes procesos y fenomenos que surgen en ciencias tales comola medicina, ecologıa, fısica y la biologıa entre otros. A partir de los resultadosy simulaciones obtenidas basadas en modelos matematicos es posible tener unmejor entendimiento del fenomeno analizado y tambien estos resultados puedenser utilizados para estimar parametros correspondientes al proceso en estudioo descubrir propiedades que no eran evidentes desde la experimentacion.

La meta fundamental de la ciencia, parece ser crear modelos que permitan alhombre explicar los diferentes fenomenos naturales. La utilizacion de modelossencillos y empıricos es antigua; sin embargo la generalizacion de los mismossolo ha ocurrido en los ultimos tiempos como una necesidad de la matemati-zacion y simplificacion de los procesos [1].

2 Restrepo, et al

En terminos historicos, las enfermedades infecciosas han constituido una ame-naza muy grave para la sociedad. Durante la mayor parte del siglo XX laspandemias (epidemias que se propagan por areas y poblaciones de enormetamano) se habıan ya considerado amenazas del pasado; la medicina modernase habıa ocupado para siempre de la peste, la viruela y otras catastrofes decaracter contagioso. No obstante, los cambios ambientales actuales han prop-iciado cambios en las distribuciones geograficas de organismos en general y deparasitos en particular.

La resistencia a los agentes antimicrobianos tambien se ha convertido en ungrave problema mundial. Algunas infecciones, antes faciles de tratar con an-tibioticos, representan ahora una grave amenaza para la salud en todas partes.El caso de Toronto (Canada), la unica ciudad de un paıs occidental en la quela epidemia del sındrome respiratorio agudo grave (SARG) se ha extendido deforma local, es un claro ejemplo de ello. Por lo tanto, en anos recientes, lasenfermedades infecciosas como malaria, tuberculosis,VIH/SIDA, SARG y laposibilidad del bioterrorismo han provocado de nueva cuenta un gran efectoeconomico y de salud, sea en paıses desarrollados o del tercer mundo, lo cualindica que esta amenaza sigue presente.

Por ello, el uso de metodos cuantitativos basados en modelos matematicos paraestudiar la dinamica de transmision y control de las enfermedades infecciosasha ganado importancia de forma notoria entre los cientıficos y profesionales dela salud para idear programas efectivos de control e interpretar patrones epi-demiologicos. En el presente trabajo se revisan los antecedentes, la relevanciay la clasificacion de los modelos matematicos para enfermedades infecciosas;ademas, se describen de forma detallada algunos modelos tıpicos y otros es-quemas recientes que se utilizan cada vez mas para modelar las enfermedadesinfecciosas.

Es probable que el hombre formulara ya teorıas acerca de la naturaleza de lasenfermedades infecciosas desde mucho tiempo atras. Por ejemplo, se atribuyoa una lenta nube de aire danino la difusion de la peste negra en el sigloXIV como una explicacion causal. D´Alembert fue el primero en describir lapropagacion de enfermedades infecciosas mediante un modelo matematico enel siglo XVIII. Sin embargo, el primer artıculo conocido que incluye un modeloexplıcito para una enfermedad infecciosa aparecio en 1760 que fue publicadopor Daniel Bernoulli (1700-82) [12].

El siguiente gran avance fue el trabajo matematico de Kermack y McKendrick,realizado durante el periodo de 1927 a 1939. En su trabajo tambien se con-sideraron las enfermedades endemicas y diversos hallazgos interesantes se rela-

Analisis de un modelo SSpIS 3

cionaron en datos experimentales con ratones. El resultado excepcional fueel celebre teorema del umbral, segun el cual la introduccion de individuos in-fecciosos dentro de una poblacion de susceptibles podıa originar una epidemiasolo si la densidad de susceptibles rebasa un cierto valor crıtico o umbral. Si elumbral se excede, entonces sobreviene el brote y, de lo contrario, desaparece.El trabajo pionero atrajo escasa atencion y solo se tomo en cuenta 20 anos mastarde cuando se dispuso de metodos efectivos de procesos estocasticos [11].

Es importante resaltar que un modelo esta en verdad definido por las relacionesque incorpora. Estas relaciones son independientes de los datos a introducir enel modelo, ya que un modelo puede usarse para diferentes ocasiones y en distin-tos contextos. Cabe senalar que los modelos matematicos para enfermedadesinfecciosas se utilizan como herramienta para tomar decisiones y que debenvalorarse en su justa medida, ya que difıcilmente es comprensible un problemacomplejo sin una mınima modelacion, aunque tambien hay que reconocer queno es posible modelar la totalidad de las situaciones reales. En esencia, lafuncion central de crear y analizar modelos matematicos es mejorar la com-prension de un sistema para prevenir futuras situaciones de enfermedades,determinar la prevalencia e incidencia y coadyuvar a tomar decisiones objeti-vas para controlar o erradicar las enfermedades.

Algunos conceptos basicos son numero reproductivo basico. El principal parame-tro utilizado en epidemiologıa es el numero reproductivo basico, R0 , defınidocomo el numero promedio de infecciones causadas por un individuo infecciosocuando este es introducido a una poblacion de susceptibles e intenta capturarla capacidad reproductiva de la enfermedad [13]. Hernandez-Suarez [14] pro-pone otra definicion de R0 y la expresa en terminos de contactos: R0 es elnumero esperado de contactos que un individuo infeccioso tiene durante su pe-riodo completo de infeccion, definiendo como un contacto cualquier actividadque pueda causar la infeccion de un susceptible.

Tamano de la epidemia. Esta es una de las propiedades asintoticas mas im-portantes en los modelos epidemiologicos y se defıne como el numero total deindividuos infectados en una epidemia [15]. Es una medida cuantitativa muyimportante porque se relaciona de forma estrecha con los costos de la epidemia.

En los modelos epidemiologicos estandar se parte del supuesto de que los in-dividuos se encuentran en uno de varios estados posibles. En funcion de di-chos estados, la poblacion puede incluirse en algunas categorıas: individuossusceptibles (S), infectados (I) o removidos (R), etc. Los modelos mas impor-tantes son: SI, SIS y SIR, que pueden modelarse en forma determinista oestocastica y en todos ellos se asume que la interaccion entre los individuos es

4 Restrepo, et al

aleatoria [10].

Para la mayor parte de las enfermedades de transmision sexual (ETS) resultamas util el modelo SIS, toda vez que tan solo un numero reducido de ETSconfıere inmunidad tras la infeccion. El VIH es una excepcion clara y todavıapuede describirse de forma adecuada, al menos en el mundo occidental, medi-ante el modelo SI.

La filosofıa de Descartes, a veces llamada cartesianismo, le llevo a elaborarexplicaciones complejas y erroneas de diversos fenomenos fısicos. Estas expli-caciones, sin embargo, cobraron valor al sustituir los vagos conceptos espiri-tuales de la mayorıa de los autores clasicos por un sistema de interpretacionesmecanicas de los fenomenos fısicos [7].

La contribucion mas notable que hizo Descartes a las matematicas fue la sis-tematizacion de la geometrıa analıtica. Fue el primer matematico que intentoclasificar las curvas conforme al tipo de ecuaciones que las producen, y con-tribuyo tambien a la elaboracion de la teorıa de las ecuaciones. Descartes fueel responsable de la utilizacion de las ultimas letras del alfabeto para designarlas cantidades desconocidas y las primeras letras para las conocidas. Tambieninvento el metodo de los exponentes (como en x2) para indicar las potenciasde los numeros. Ademas, formulo la regla, conocida como la ley cartesiana delos signos, para descifrar el numero de raıces negativas y positivas de cualquierecuacion algebraica [7].

Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el numero decambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuacion polinomica con elnumero de raıces positivas de dicha ecuacion. Por desgracia no da una cantidadexacta de soluciones, sino que nos da una cota, aunque en muchas ocasionesdicha cota puede proporcionar informacion muy interesante sobre la cantidadde raıces positivas de la ecuacion [8].

El analisis de sensibilidad se utiliza para determinar que tan ”sensible” es unmodelo a los cambios en el valor de los parametros y los cambios en la estruc-tura del modelo. La sensibilidad de los parametros se realiza generalmentecomo una serie de pruebas en las que se establece diferentes valores de losparametros para ver como un cambio en el parametro provoca un cambio enel comportamiento dinamico de las poblaciones.

Al observar como el comportamiento del modelo responde a los cambios en losvalores de los parametros, el analisis de sensibilidad es una herramienta utilen la construccion de modelos, ası como en la evaluacion del modelo [9].

Analisis de un modelo SSpIS 5

La ecuacion para el modelo SIS difıere de la del modelo SI porque se agregael termino µI(t) que describe el ritmo al que los individuos se recuperan dela enfermedad o se convierten en susceptibles, por lo que se aplica en ambasecuaciones.

En el modelo SIS estocastico la tasa de contacto es tambien λ (contactos porunidad de tiempo). De nuevo cuenta, la variable aleatoria el tiempo transcur-rido entre la infeccion del individuo k−1 y el individuo k, para k = 1, 2, 3, . . . ,tiene una distribucion exponencial con parametro λ. Del mismo modo, la vari-able aleatoria tiempo transcurrido entre la recuperacion (el individuo se vuelveotra vez susceptible) del individuo k− 1 y el individuo k, para k = 1, 2, 3, . . . ,tiene una distribucion exponencial con parametro µ [16].

Ambas, λ y µ, son constantes que no cambian con el tiempo. Por lo tanto,la variable aleatoria x(t), que alude al numero de susceptibles e infectados altiempo t, es un proceso Poisson homogeneo y tambien N = S(t)+I(t),de man-era que los estados del proceso al tiempo t se identifıcan por x(t) = S(t), I(t),es decir, el numero de susceptibles e infectados al tiempo t.

Aquı, cuando hay I infectados y S susceptibles, las probabilidades de tran-sicion son:

P [x(t+ δ) = S(t)− 1, I(t) +1

x(t)= S(t), I(t)] = I(t)

S(t)

N

P [X(t+ δ) = S(t) + 1, I(t)− 1

x(t)= S(t), I(t)] = µI(t) + 0(δ)

De igual manera, 0(δ) es una cantidad que tiende a cero cuando tambien lohace δ. La solucion al modelo SIS en ambas versiones tambien muestra quese deberıa esperar una trayectoria en forma de S en la cifra de infectados. Noobstante, la trayectoria SIS difıere de la SI en que el numero de personasinfectadas al mismo tiempo nunca alcanza el total de la poblacion (lo que noexcluye la posibilidad de que cada uno de los individuos pueda infectarse enalgun otro momento).

Por el contrario, el proceso alcanza un equilibrio cuando exactamente el mismonumero de individuos infecciosos se convierte en susceptible o viceversa [16].

2 El modelo

Las variables y parametros del modelo son x: numero promedio de personassusceptibles sin prevencion, xp: numero promedio de personas susceptibles con

6 Restrepo, et al

prevencion, y: numero promedio de personas infecciosas, N : la poblacion to-tal constante en un tiempo t, respectivamente; µ: tasa constante de natalidadigual a la tasa de muerte natural, θ: tasa de personas infecciosas que vuelvenhacer susceptibles, β, σ: probabilidades de transmision, ω: tasa de personasque toman prevencion.

La dinamica se interpreta mediante las siguientes ecuaciones diferenciales or-dinarias no lineales de acuerdo a el diagrama de compartimientos del procesoinfeccioso:

µN

��

x

��ωx

��

β yN x // y

��

θy

yy

µx µy

xp

��

σ yN xp

EE

µxp

Figura 1: Dinamica de transmision SSpIS.

dx

dt= µN + θy − β y

Nx− µx− ωx

dxpdt

= ωx− σ yNxp − µxp (1)

dy

dt= β

y

Nx+ σ

y

Nxp − (θ + µ)y

donde, µ, θ, ω > 0, 0 < σ, β < 1 y condiciones iniciales x(0) = x0, xp(0) = xp0,y(0) = y0.

Analisis de un modelo SSpIS 7

3 Analisis del modelo

3.1 Numero basico de reproduccion R0

Se define como el numero promedio de casos que una persona infecciosa puedeprovocar durante el periodo de infeccion en una poblacion susceptible.

Si y = 0, entonces x + xp = N . Cuando la infeccion crece es decir y > 0 (almenos una persona infecciosa), es decir, x+ xp ≈ N . La poblacion susceptiblecrece cuando dy

dt> 0 luego,

y[βx

N+ σ

xpN− (θ + µ)

]> 0

Como y > 0 y la poblacion total esta dividida en dos tenemos entonces que:

βµ

µ+ ω+ σ

ω

µ+ ω− (θ + µ) > 0

Luego,βµ

(µ+ ω)(θ + µ)+

σω

(µ+ ω)(θ + µ)> 1

Por lo tanto,

R0 =βµ+ σω

(µ+ ω)(θ + µ)> 1

Donde ω y µ son la tasa de personas que ingresan a las poblaciones susceptibles,β y σ son la probabilidad de ser contagiados, 1

θ+µes el periodo de infeccion y

µµ+ω

, ωµ+ω

fracciones de las poblacion, la suma de estas conforman la poblaciontotal.

3.2 Soluciones estacionarias

Las soluciones estacionarias se obtienen cuando dxdt

= 0, dxpdt

= 0, dydt

= 0 en elsistema de ecuaciones (2) y resolviendo el sistema algebraico no lineal:

0 = µN + θy − β yNx− (µ+ ω)x (2)

0 = ωx− σ yNxp − µxp (3)

0 = βy

Nx+ σ

y

Nxp − (θ + µ)y (4)

obtenemos la solucion estacionaria libre de infeccion E0 =(µNµ+ω

, ωNµ+ω

, 0)

y la

solucion estacionaria con infeccion E1 = (x, xp, y) con:

xp =N(θ + µ)− βx

σ

y =N [(µ+ ω)x− µN ]

θN − βx

8 Restrepo, et al

donde, x esta dada por la expresion:

Ax2 +Bx+ C = 0 (5)

en la cual:

A = βµ(β − σ)

B = σµN(θ + ω + µ+ β)− µβN(2θ + µ)

C = −µσN2(θ + µ)

La ecuacion cuadratica 5 se analizara con la ley de los signos de Descartes [3].

Raıces reales RaıcesN ro

+ - imaginarias Total Condiciones

1. 0 0 1 2β > σ

σµN(θ + ω + µ+ β) > µβN(2θ + µ)

2. 2 0 0 2β < σ

σµN(θ + ω + µ+ β) > µβN(2θ + µ)

3. 0 2 0 2β > σ

σµN(θ + ω + µ+ β) < µβN(2θ + µ)

4. 0 2 0 2β < σ

σµN(θ + ω + µ+ β) < µβN(2θ + µ)

Las soluciones que se buscan, son aquellas en que ambas raıces sean realespositivas, para 5 solo existe una solucion que cumple esta condicion.

3.3 Analisis de estabilidad local

La matriz de estabilidad correspondiente a la solucion estacionaria libre deinfeccion es:

J

(µN

µ+ ω,ωN

µ+ ω, 0

)=

−(ω + µ) 0 θ − βµ

µ+ω

ω −µ − σωµ+ω

0 0 (θ + µ)(R0 − 1)

Lo cual tiene como ecuacion caracterıstica

∣∣∣J ( µNµ+ω

, ωNµ+ω

, 0)− λI

∣∣∣ = 0, es decir

(µ+ ω + λ)(µ+ λ)[(θ + µ)(R0 − 1)− λ] = 0

Analisis de un modelo SSpIS 9

Los valores propios son:

λ1 = −(µ+ ω)

λ2 = −µλ3 = (θ + µ)(R0 − 1)

Por el criterio de la parte real de los valores propios se obtiene el siguienteteorema de estabilidad:

Teorema 3.1. Si R0 < 1 la solucion estacionaria libre de infeccion delsistema de ecuaciones (1) es estable.

En el caso de la solucion estacionaria con infeccion, E1 = (x, xp, y) la matrizjacobiana o matriz de coeficientes en el proceso de linealizacion es:

J(x, xp, y) =

−β y

N− (ω + µ) 0 θ − β x

N

ω σ yN− µ −σ xp

N

β yN

σ yN

β xN

+ σ xpN− (θ + µ)

Lo cual tiene como ecuacion caracterıstica |J (x, xp, y)− λI| = 0, es decir

λ3 + a1λ2 + a2λ+ a3 = 0 (6)

a1 =βy

N+ 2µ+ ω +

σy

N

a2 =

(βy

N+ µ+ ω

)(σyN

+ µ)

+βy

N

(βx

N− θ)

+σ2xpy

N2

a3 =

(βx

N− θ)[

σωy

N+βy

N

(σyN

+ µ)]

+σ2xpy

N2

(βy

N+ µ+ ω

)

La ecuacion cuadratica 6 se analizara con la ley de los signos de Descartes [3].

10 Restrepo, et al

Raıces reales RaıcesNro

+ − imaginarias Total Condiciones

1. 0 3 0 3 b0 ≥ θ

2. 0 3 0 3b0 < θ

b1 < b2

b3 < b4

3. 2 1 0 3b0 < θ

b1 > b2

b3 < b4

4. 1 2 0 3b0 < θ

b1 < b2b3 > b4

5. 1 2 0 3b0 < θ

b1 > b2b3 > b4

donde:

b0 =βx

N

b1 =βy

N

(βx

N− θ)

b2 =

(βy

N+ µ+ ω

)(σyN

+ µ)

+σ2xpy

N2

b3 =

(βx

N− θ)[

σωy

N+βy

N

(σyN

+ µ)]

b4 =σ2xpy

N2

(βy

N+ µ+ ω

)Las soluciones que se buscan, son aquellas en que todas las raıces sean reales

negativas, para 6 existen dos soluciones que cumplen esta condicion.

Por el criterio de la parte real negativa de los valores propios se obtiene lasiguiente conjetura de estabilidad:

Conjetura 3.2. La solucion estacionaria con infeccion del sistema de ecua-ciones 1 es local y asintoticamente estable si se cumplen alguna de las siguientesdos condiciones:

Analisis de un modelo SSpIS 11

1. βxN≥ θ

2. βxN< θ y ademas que:

2.1 βyN

(βxN− θ)<(βyN

+ µ+ ω) (

σyN

+ µ)

+ σ2xpy

N2

2.2(βxN− θ) (

σωyN

+ βyN

(σyN

+ µ))< σ2xpy

N2

(βyN

+ µ+ ω)

4 Analisis de sensibilidad local

Reducir el umbral de infeccion R0 puede no ser la forma mas indicada o facilpara controlar una infeccion, es importante observar la sensibilidad del umbrala las variaciones en los parametros. El parametro con el ındice de sensibilidadde magnitud mayor es el mas eficaz para aumentar o disminuir el umbral deinfeccion.

El analisis de sensibilidad local o global se enfoca en determinar la respuestade un modelo a variaciones en valores de los parametros. El analisis de sen-sibilidad local, tambien conocido como analisis diferencial o analisis de sensi-bilidad de rango nominal, se centra en un punto particular en el espacio deparametros, variando un parametro en el tiempo para obtener una respuestalocal del modelo a cada parametro[4], [5].

4.1 Analisis de sensibilidad local del umbral R0

Es importante determinar la sensibilidad del umbral de infeccion respecto acada parametro, la cual se calcula mediante el indice [4], [5], [6]:

IpRl=

p

Ri

∂Ri

∂p

donde, p es un parametro del modelo y Ri es cada umbral de infeccion paraeste caso solo existe uno R0.Con base en el umbral mencionado en la subseccion 3.1, calculamos los ındicesde sensibilidad local correspondientes a cada parametro. Para el umbral R0

los indices son:

Parametro Valor del parametro IpR0

β 0.05 0.555µ 0.00003 0.999σ 0.04 0.555ω 0.004 -0.993θ 0.04 -0.999

12 Restrepo, et al

El indice de sensibilidad para la tasa de transmision β de personas susceptiblessin prevencion que adquieren la infeccion es de 0.555 lo cual implica que si setiene un incremento de 55.5% el umbral R0 aumenta en un 55.5%

El indice de sensibilidad para µ fue de 0.999 implica que si se tiene un aumentoen un 99.9%, lo cual implica que el umbral R0 es mas sensible a crecer en un99.9%.

El indice de sensibilidad para la tasa de transmision σ de personas susceptiblescon prevencion que adquieren la infeccion es de 0.555 el cual afecta a al umbralR0 haciendo que aumente en un 55.5%

El indice de sensibilidad para ω fue de −0.993 que induce un decrecimiento enun 99.3%, haciendo el umbral R0 sensible a decrecer en un 99.3%.

El indice de sensibilidad para θ fue de −0.999 implica que si se tiene un de-crecimiento en un 99.9%, el umbral R0 disminuye en un 99.9%.

Figura 2: Grafica del umbral con respecto β, µ, σ.

Figura 3: Grafica del umbral con respecto ω, θ.

Analisis de un modelo SSpIS 13

Figura 4: Grafica del umbral (β, µ), (β, ω), (β, σ).

Figura 5: Grafica del umbral (µ, θ),(β, θ), (µ, ω).

Figura 6: Grafica del umbral (µ, σ), (ω, θ).

Figura 7: Grafica del umbral (σ, θ, ), (σ, ω).

14 Restrepo, et al

5 Simulaciones

Las simulaciones del modelo se hicieron utilizando el programa MAPLE 15con las condiciones iniciales y valores hipoteticos de los parametros que semuestran en el cuadro 1.

Variables y parametros R0 < 1 R0 ≈ 1 R0 > 1x(0) 473 473 473xp(0) 20 20 20y(0) 7 7 7β 0.05 0.05 0.05σ 0.04 0.004 0.03ω 0.004 0.007 0.001θ 0.04 0.0002 0.0001µ 0.00003 0.00003 0.00003N 500 500 500

Tabla 1: Parametros hipoteticos y condiciones iniciales

Figura 8: Simulacion de un modelo SSpIS

Analisis de un modelo SSpIS 15

6 Conclusiones

El empleo de modelos matematicos para enfermedades infecciosas ha crecidoen grado significativo en los ultimos anos debido a que proporcionan infor-macion util para tomar decisiones, e instituir medidas operativas en el controlo erradicacion de una enfermedad infecciosa. Estos modelos son muy utilesporque capturan propiedades esenciales de la dispersion de una enfermedad deuna forma simplifıcada. Ademas, al modificar los parametros del modelo sepueden representar o descubrir situaciones que difıcilmente se pueden obtenermediante experimentacion [17]. Por lo tanto, contribuyen a prevenir futurassituaciones patologicas, determinar la prevalencia e incidencia y coadyuvar atomar decisiones objetivas para el control o supresion de las enfermedades in-fecciosas.

Cabe mencionar que la adicion de elementos mas reales al modelo matematico(mayor sofisticacion), exige una mayor cantidad de parametros a calcular ymayor numero de supuestos. por eso el umbral epidemiologico puede ser rela-tivamente sensible a varios parametros, lo cual puede ser bueno, dependiendode cual sea el parametro para el modelo SSpIS estudiado en este articulo, senota que el modelo es muy sensible a los parametros: µ, ω, θ, de acuerdo alanalisis de sensibilidad que se realizo en la seccion 4.1.

Se demuestra la estabilidad del sistema para R0 < 1 en el punto de equilib-rio libre de infeccion utilizando el criterio de la parte real de los valores propios.

Al utilizar la ley de signos de descartes se observaron varias condiciones nece-sarias para que el punto de equilibrio endemico sea estable, estas condicionespueden ser una complicacion para el analisis del modelo y quiza sea difıcil quese cumplan.

Infortunadamente, en muchas circunstancias del mundo real no se dispone dedatos confiables para realizar las cuantificaciones de los parametros requeridos,lo cual da lugar a que las predicciones o calculos de los modelos presenten enmuchos casos un considerable margen de error. Por ello, los resultados delmodelo deben tomarse en estos casos con cautela.

No obstante, a pesar de que muchos modelos matematicos no pueden realizarpredicciones precisas, sobre todo por la falta de datos, estos son de gran util-idad para medir el efecto de las medidas de control aun antes de iniciar laepidemia.

16 Restrepo, et al

Referencias

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