PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN - est.uc3m.es€¦ · Gamma (r=2, s=3) 8,9 Normal (μ=12; σ=2) Modelo...

Estadística Actuarial I

Prácticas de Simulación con Excel

Enunciados de las prácticas y guía para su realización

ESTADÍSTICA ACTUARIAL I PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN

LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS

2

Introducción

Este documento contiene los enunciados de las prácticas a resolver por los alumnos de la asignatura ESTADÍSTICA ACTUARIAL I de la LICENCIA-TURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS.

El formato de presentación será Excel, en concreto en un único libro que contendrá una única hoja para cada uno de los problemas que se hayan re-suelto. El nombre de fichero Excel será:

apellido1_apellido2_nombre_EA1.xls sin acentos ni mayúsculas, por ejemplo:

gomez_perez_macarena_EA1.xls

cada hoja se nombrará como P# siendo # el nº del problema que se resuelve en dicha hoja.

el enunciado concreto del problema dependerá del nº del DNI del alumno.

Los enunciados que hay que resolver aparecen en la tabla siguiente:

Enunciados Carácter

Del nº 1 al nº 10 (ambos incluidos) Obligatorio Del nº 11 al nº 17 (ambos incluidos) Hay que elegir 5

Nº 18 Los que opten a Matricula de Honor

De manera que, quien presente las prácticas completas, deberá haber presentado 15 problemas (o 16 si opta a MH).

El fichero que contenga las prácticas se entregara en un CD-ROM rotu-lado con el nombre y DNI del alumno a la entrega del examen, el día en que se haga éste.



3

1) Generar una muestra de tamaño n=1000 de la distribución enunciada. Obtener la función de probabilidad, la función de distribución, el histograma de ambas, y comparar las frecuencias observadas (empíricas) con las que cabría esperar (teó-ricas).

Caso a resolver DNI acabado en Uniforme discreta U[1;6] 0,1

Poisson (media=2) 2,3 Poisson (tasa=1 cada 12 minutos) 4,5

Binomial (n=12; p=0,35) 6,7 Binomial negativa (r=2, p=1/12) 8,9

Poisson (media=12) Modelo

Guía: Excel cuenta con una función para la distribución y densidad de Poisson,

cuenta también con la posibilidad de obtener muestras aleatorias así distribui-das (Herramientas + Análisis de Datos + Generación de números aleatorios).

En cualquier caso es posible obtener números que se distribuyan según una Poisson aleatorios utilizando la fórmula siguiente:

BINOM.CRIT(λ/0,001;0,001;ALEATORIO()) Utilizaremos la primera opción llamando al módulo de Análisis de Datos



4

Una vez obtenidos los números aleatorios (que hemos

colocado en la columna A) procedemos al análisis de la muestra usando la función Frecuencia. Antes creamos la columna X, que recogerá los posibles valores de la variable: empezamos en 0 y arrastramos creando una serie hasta un número suficiente de valores, por ejemplo 3 sigmas a la derecha de la media, es decir

12 + (3·120,5)≈20



5

Creamos también la columna N, en la que pondremos el resultado de usar Frecuencia, para que recoja la frecuencia absoluta de los datos

A continuación creamos una nueva columna (f) para recoger las frecuencias relativas, lo que haremos dividiendo las absolutas entre el número total de observaciones que habremos calculado en un celda aparte sumando las frecuencias relativas.

Con estos datos ya podemos crear los gráficos de la muestra.

N

0

20

40

60

80

100

120

140

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20



6

Falta compararlos con las frecuencias teóricas. Para saberlas usamos la función que tiene Excel relacionada con la probabilidad de una v.a. de Poisson:

Recordamos que la función de cuantía de la distribución Poisson(λ) es:

( )Xe

px x!

−λλ=

La función de distribución es:

( )nn X

n 0

F ex n!

=−λ

=

λ= ∑

La función de Excel que nos da ambas es:

POISSON(x ; media ; acumulado)

• x el valor que toma la variable; • media, el parámetro λ; • acumulado es un valor lógico que determina la forma de la función. Si el ar-

gumento acumulado es VERDADERO, devuelve la función de distribución; si es FALSO, devuelve la función de masa de probabilidad.



7

Para calcular las frecuencias absolutas multiplicamos las relativas por el tamaño de la muestra.

El resultado final será parecido al siguiente:

Si bien, debido a los diferentes números aleatorios generados en cada

ordenador, los resultados no serán nuca idénticos a los anteriores.

X N f f Teó N teór0 0 0,000 0,0000 01 0 0,000 0,0001 02 1 0,001 0,0004 03 1 0,001 0,0018 24 9 0,009 0,0053 55 16 0,016 0,0127 136 30 0,030 0,0255 257 36 0,037 0,0437 438 76 0,077 0,0655 649 115 0,117 0,0874 86

10 94 0,096 0,1048 10311 87 0,088 0,1144 11312 110 0,112 0,1144 11313 120 0,122 0,1056 10414 88 0,089 0,0905 8915 60 0,061 0,0724 7116 59 0,060 0,0543 5317 39 0,040 0,0383 3818 20 0,020 0,0255 2519 14 0,014 0,0161 1620 9 0,009 0,0097 10

16 0,016 0,0000

Comparación

0

20

40

60

80

100

120

140

0 1 2 3 4 5 6 7 8 91

01

1

12

13

14

15

16

17

18

19

20



8

2) Generar una muestra de tamaño n=1000 de la distribución enunciada. Obtener la función de probabilidad, la función de distribución, el histograma de ambas, y comparar las frecuencias observadas (empíricas) con las que cabría esperar (teó-ricas).

Caso a resolver DNI acabado en Uniforme continua U[-2;2] 0,1 Exponencial (media=12) 2,3

Exponencial (tasa=1 cada 12 minutos) 4,5 Beta (2,3) 6,7

Gamma (r=2, s=3) 8,9 Normal (μ=12; σ=2) Modelo

Guía:

A diferencia del ejemplo anterior, aunque podríamos hacerlo también puesto que el módulo de números aleatorios también tiene la distribución Nor-mal, generaremos nosotros la muestra aleatoria usando la función inversa que tiene Excel.

Así en la primera celda de la primera columna introduciremos la fórmula correspondiente

y la iremos arrastrando hasta la fila 1000, para generar la muestra de ese ta-maño.

Haremos como en el ejercicio anterior la distribu-

ción de frecuencias observadas en la muestra, para lo cual crearemos la columna N de posibles valores:

μ ± 3σ y utilizaremos la función Frecuencia para contar las fre-cuencias relativas

X N f6,0 3 0,0036,5 3 0,0037,0 2 0,0027,5 5 0,0058,0 10 0,0108,5 9 0,0099,0 29 0,0299,5 42 0,04210,0 53 0,05310,5 82 0,08211,0 69 0,06911,5 93 0,09312,0 79 0,07912,5 110 0,11013,0 89 0,08913,5 96 0,09614,0 64 0,06414,5 52 0,05215,0 39 0,03915,5 31 0,03116,0 14 0,01416,5 12 0,01217,0 8 0,00817,5 2 0,00218,0 3 0,00318,5 1 0,00119,0 0 0,00019,5 0 0,00020,0 0 0,000



9

Para obtener la distribución de las frecuencias teóricas, utilizaremos la función DISTR.NORM que tiene Excel:

Sin embargo, a diferencia de como haríamos en el caso de las

discretas calculamos primero la función de distribución (Acumulado=TRUE) para estimar la función de densidad a partir de los valores de esta:



10

Una vez hecho esto tendremos tanto la distribución empíricas como la

teórica:

con lo cual ya podremos hacer la comparación gráfica de una y otras, tanto en frecuencias absolutas:

1000 1000,0

X N f F f N(Teó)6,0 3 0,003 0,0013 0,0013 1,36,5 3 0,003 0,0030 0,0016 1,67,0 2 0,002 0,0062 0,0032 3,27,5 5 0,005 0,0122 0,0060 6,08,0 10 0,010 0,0228 0,0105 10,58,5 9 0,009 0,0401 0,0173 17,39,0 29 0,029 0,0668 0,0267 26,79,5 42 0,042 0,1056 0,0388 38,810,0 53 0,053 0,1587 0,0530 53,010,5 82 0,082 0,2266 0,0680 68,011,0 69 0,069 0,3085 0,0819 81,911,5 93 0,093 0,4013 0,0928 92,812,0 79 0,079 0,5000 0,0987 98,712,5 110 0,110 0,5987 0,0987 98,713,0 89 0,089 0,6915 0,0928 92,813,5 96 0,096 0,7734 0,0819 81,914,0 64 0,064 0,8413 0,0680 68,014,5 52 0,052 0,8944 0,0530 53,015,0 39 0,039 0,9332 0,0388 38,815,5 31 0,031 0,9599 0,0267 26,716,0 14 0,014 0,9772 0,0173 17,316,5 12 0,012 0,9878 0,0105 10,517,0 8 0,008 0,9938 0,0060 6,017,5 2 0,002 0,9970 0,0032 3,218,0 3 0,003 0,9987 0,0016 1,618,5 1 0,001 0,9994 0,0008 0,819,0 0 0,000 0,9998 0,0003 0,319,5 0 0,000 0,9999 0,0001 0,120,0 0 0,000 1,0000 0,0001 0,1



11

como en frecuencias relativas:

o en las Funciones de distribución sin más que añadir una nueva columna, F, a las frecuencias empríricas que recoja las sumas de éstas:

1000 1000,0

X N f F F f N(Teó)6,0 1 0,001 0,001 0,0013 0,0013 1,36,5 1 0,001 0,002 0,0030 0,0016 1,67,0 4 0,004 0,006 0,0062 0,0032 3,27,5 2 0,002 0,008 0,0122 0,0060 6,08,0 12 0,012 0,020 0,0228 0,0105 10,58,5 20 0,020 0,040 0,0401 0,0173 17,39,0 24 0,024 0,064 0,0668 0,0267 26,79,5 42 0,042 0,106 0,1056 0,0388 38,810,0 55 0,055 0,161 0,1587 0,0530 53,010,5 65 0,065 0,226 0,2266 0,0680 68,011,0 85 0,085 0,311 0,3085 0,0819 81,911,5 94 0,094 0,405 0,4013 0,0928 92,812,0 94 0,094 0,499 0,5000 0,0987 98,712,5 107 0,107 0,606 0,5987 0,0987 98,713,0 88 0,088 0,694 0,6915 0,0928 92,813,5 82 0,082 0,776 0,7734 0,0819 81,914,0 57 0,057 0,833 0,8413 0,0680 68,014,5 56 0,056 0,889 0,8944 0,0530 53,015,0 42 0,042 0,931 0,9332 0,0388 38,815,5 30 0,030 0,961 0,9599 0,0267 26,716,0 24 0,024 0,985 0,9772 0,0173 17,316,5 7 0,007 0,992 0,9878 0,0105 10,517,0 3 0,003 0,995 0,9938 0,0060 6,017,5 3 0,003 0,998 0,9970 0,0032 3,218,0 1 0,001 0,999 0,9987 0,0016 1,618,5 0 0,000 0,999 0,9994 0,0008 0,819,0 0 0,000 0,999 0,9998 0,0003 0,319,5 1 0,001 1,000 0,9999 0,0001 0,120,0 0 0,000 1,000 1,0000 0,0001 0,1

0

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

0,700

0,800

0,900

1,000

6 7 8 9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20



12

3) Sea X una variable aleatoria definida de la forma siguiente

( )( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

λ≈λ≈λ≈

⇒++=

33

22

11

321

PoissonXPoissonXPoissonX

XXXX

a) Generar 1000 valores de X. b) Ajustar a Poisson y comparar ambas distribuciones empírica y ajustada de

forma gráfica. c) Comparar la ajustada con la que se deduce de la propiedad aditiva de Pois-

son. Caso a resolver

DNI acabado en λ1 λ2 λ3 nº par 12 15 21

nº impar 6 9 7 modelo 2 3 4

Guía Recordamos lo siguiente sobre la Poisson: Generación.

Excel cuenta con una función para la distribución y densidad de Poisson, cuenta tam-bién con la posibilidad de obtener muestras aleatorias así distribuidas (Herramientas + Análisis de Datos + Generación de números aleatorios). En cualquier caso es posible obtener números aleatorios que se distribuyan según una Poisson de parámetro λ, utili-zando la fórmula siguiente:

BINOM.CRIT(λ/0,001;0,001;ALEATORIO()) Caracterización.

El parámetro λ puede ser estimado fácilmente de la forma siguiente: ˆ x(n)λ =

Simulamos las 3 variables usando la fórmula anterior Tabulamos X desde 0 hasta 20 y calculamos las frecuencias empíricas F con la función Frecuencia: Calculamos la función de probabilidad estimada de X Emp dividiendo la frecuencia de cada valor por el numero total de observaciones.

Calculamos primero la media de los datos y calculamos después las frecuencias teóricas de X usando la función Poisson :



13

X F Emp Teo Teo0 0 0,000 0,000 01 1 0,001 0,001 12 2 0,002 0,005 53 20 0,020 0,015 154 43 0,043 0,033 335 66 0,066 0,060 606 81 0,081 0,090 907 117 0,117 0,116 1168 127 0,127 0,131 1319 119 0,119 0,132 13210 125 0,125 0,119 11911 97 0,097 0,098 9812 73 0,073 0,074 7413 45 0,045 0,051 5114 31 0,031 0,033 3315 24 0,024 0,020 2016 11 0,011 0,011 1117 7 0,007 0,006 618 6 0,006 0,003 319 3 0,003 0,001 120 1 0,001 0,001 1

11000

0

20

40

60

80

100

120

140

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Emp Teo

Finalmente tenemos todos los datos necesarios para poder representar ambas funciones Con lo que ya podemos obtener los gráficos correspondientes:



14

Media 4 Media*a 20a 5

X N f f1 f20,00 0 02,00 97 0,117 0,045 0,1144,00 95 0,114 0,041 0,1036,00 83 0,100 0,037 0,0938,00 67 0,081 0,034 0,08410,00 68 0,082 0,030 0,07612,00 47 0,057 0,027 0,06914,00 49 0,059 0,025 0,06316,00 60 0,072 0,022 0,05718,00 45 0,054 0,020 0,05120,00 30 0,036 0,018 0,04622,00 29 0,035 0,017 0,04224,00 32 0,039 0,015 0,03826,00 25 0,030 0,014 0,03428,00 22 0,027 0,012 0,03130,00 26 0,031 0,011 0,02832,00 26 0,031 0,010 0,02534,00 15 0,018 0,009 0,02336,00 14 0,017 0,008 0,021

170830 1 0,397 1


( )( )

1

1

a 5a X

X Exponencial media 4

⎧ =⎪= ⋅ ⇒ ⎨⎪ =⎩

Y

Caso a resolver

DNI acabado en a Medianº par 12 2

nº impar 6 6 modelo 5 4

a) Generar 1000 valores de Y. b) Ajustar a Exponencial y comparar de forma gráfica los resultados obte-

nidos en la simulación con los teóricos. Generación.

Excel no cuenta con una función para la inversa de la función de distribución, sin embargo, la generación de variables aleatorias puede hacerse utilizando la fórmula siguiente:

Media* -LN(ALEATORIO()) Definimos los nombres Media y a y empleamos la fórmula para generar los valores de Y



15

Generamos la tabla de frecuencias empíricas relativas (f) y de frecuencias teóricas (f1) usando FRECUENCIA, DISTR.EXP teniendo en cuenta que:

Si X ≅ Exp(λ) → aX ≅ Exp(λ·a)

será necesario ajustar f1, dividiendo por su suma para “pasar de discreto a continuo” así la probabilidad teórica que usamos para la comparación es f2

( ) ( )( )

12

1

f Xf X

f X=

∑

Finalmente utilizamos gráficos de dispersión para dibujar las frecuencias teóricas y empíricas. El resultado será parecido al siguiente:

Media 4 Media*a 20

a 5X N f f1 f2

0,00 0 02,00 81 0,096 0,045 0,1144,00 78 0,093 0,041 0,1036,00 89 0,106 0,037 0,0938,00 66 0,078 0,034 0,08410,00 68 0,081 0,030 0,07612,00 56 0,066 0,027 0,06914,00 73 0,087 0,025 0,06316,00 49 0,058 0,022 0,05718,00 42 0,050 0,020 0,05120,00 42 0,050 0,018 0,04622,00 25 0,030 0,017 0,04224,00 32 0,038 0,015 0,03826,00 32 0,038 0,014 0,03428,00 26 0,031 0,012 0,03130,00 20 0,024 0,011 0,02832,00 26 0,031 0,010 0,02534,00 19 0,023 0,009 0,02336,00 19 0,023 0,008 0,021

157843 1 0,397 1

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0 5 10 15 20 25 30 35 40

f2

f



16

X N f f1 f20,0 0 0,0000,5 236 0,217 0,450 0,2051,0 156 0,144 0,359 0,1641,5 153 0,141 0,287 0,1312,0 108 0,099 0,229 0,1042,5 83 0,076 0,183 0,0833,0 90 0,083 0,146 0,0673,5 54 0,050 0,117 0,0534,0 47 0,043 0,093 0,0424,5 35 0,032 0,074 0,0345,0 23 0,021 0,059 0,0275,5 20 0,018 0,047 0,0226,0 15 0,014 0,038 0,0176,5 18 0,017 0,030 0,0147,0 13 0,012 0,024 0,0117,5 14 0,013 0,019 0,0098,0 11 0,010 0,015 0,0078,5 4 0,004 0,012 0,0069,0 6 0,006 0,010 0,004

141086 1 2,19 1

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f2 f


{ } ( )( )⎩

⎨⎧

≈≈

⇒=22

1121 mlExponenciaY

mlExponenciaYY;YminX

DNI acabado en m1 m2

nº par 12 2 nº impar 6 6 modelo 5 4

a) Generar 1000 valores de Y. b) Ajustar a Exponencial y comparar de forma gráfica los resultados obtenidos en

la simulación con los teóricos. Definimos los nombres Media1 y Media2 y empleamos la fórmula para generar los va-lores de Y usando la función MIN

Generamos la tabla de frecuencias empíricas relativas (f) y de frecuencias teóricas (f1) usando FRECUENCIA, DISTR.EXP y teniendo en cuenta que

( )

( ){ }

1 1

1 2

2 21 2

Y Exp1

min Y , Y Exp1 1

Y Exp

⎛ ⎞⎫λ ⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟⎬⎜ ⎟⎪ +λ ⎜ ⎟⎭ λ λ⎝ ⎠

Al compensar f1, igual que en el

ejercicio anterior, obtendremos las dos frecuencias a comparar, las que hemos

llamado f2 y f.



17

r1+r2 9r1 4r2 5

Lambda 1


( ) ( )( )⎩

⎨⎧

≈≈

⇔+=14GammaY15GammaY

YY2

121

;

;Y

a) Generar 1000 valores de Y. b) Ajustar a Gamma y comparar de forma gráfica los resultados obtenidos en la

simulación con los teóricos. Generación.

Excel cuenta con una función para la inversa de la función de distribución Gamma, la generación de variables aleatorias puede hacerse utilizando la fórmula siguiente:

DISTR.GAMMA.INV(ALEATORIO();r,β) Definimos los parámetros del problema

Generamos los valores de Y1 e Y2 y los sumamos para obtener Y

Construimos la tabla de frecuencias como en los anteriores teniendo en cuenta que :

( )( ) ( ) ( )1rrGammaYY

1rGammaY1rGammaY

212122

11;

;

;+≈+⇒

⎭⎬⎫

≈≈

X N f f1 f20,0 0 0,0001,0 0 0,000 0,000 0,0002,0 0 0,000 0,000 0,0003,0 2 0,002 0,001 0,0014,0 17 0,017 0,008 0,0085,0 52 0,052 0,030 0,0306,0 95 0,095 0,065 0,0667,0 129 0,130 0,103 0,1048,0 121 0,122 0,130 0,1329,0 138 0,139 0,140 0,14110,0 137 0,138 0,132 0,13311,0 86 0,086 0,113 0,11412,0 83 0,083 0,089 0,09013,0 47 0,047 0,066 0,06614,0 34 0,034 0,046 0,04615,0 22 0,022 0,030 0,03116,0 16 0,016 0,019 0,02017,0 10 0,010 0,012 0,01218,0 6 0,006 0,007 0,007

5995 1 0,99 1



18

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20f2 f

Para calcular la frecuencia teórica usamos la función DISTR.GAMMA Como en los problemas anteriores es necesario normalizar f1, calculada como

( ) ( )( )

12

1

f Xf X

f X=

∑

Finalmente realizamos el gráfico de dispersión de ambas frecuencias



19

Roja 148 "=SUMA(A:A)"Total 500 "=CONTAR(A:A)"

Probabilidad 0,30

7) Se tienen 2 urnas A={5r,3b,8a} y B={3r,5b}. Se lanza un dado, si sale un 2 o un 6 se elige la urna B, en caso contrario la A.

a) ¿Qué probabilidad hay de elegir una bola roja?. b) Simular 100 veces, estimar P(roja) y comparar con los resultados teóricos.

Guía: Este problema fue resuelto en clase Por comodidad crearemos una variable U=Aleatorio() en Nombre> Definir para usarla en los cálculos posteriores Para calcular el resultado podemos usar SI anidados Una vez hechas las réplicas sólo queda contar y dividir:



20

X P(x) G(x) G(x)2

0 0,5787 -100 100001 0,3472 200 400002 0,0694 300 900003 0,0046 400 160000

8) Sea el siguiente juego: el jugador elige un número del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Se lanza tres veces un dado equilibrado. Si el número elegido aparece 1, 2 o 3 ve-ces entonces gana 200€, 300€ o 400€ . Si su número no sale pierde 100€. Resol-ver primero en teórico después simular y comparar los resultados.

a) Calcular la distribución de la ganancia b) Calcular la ganancia media. c) Calcular la varianza de la ganancia.

Guía: La variable X= nº de veces que sale nuestro número, es B(n=3;p=1/6). Calculamos la función de cuantía usando:

a partir de ella calculamos la ganancia G(x) y la ganancia al cuadrado G(x)2 para calcular la media y la varianza: para la media usaremos la función Sumaproducto: para la varianza hacemos los cálculos teniendo en cuenta que

V(X)=E(X2)-[E(X)]2



21

Simulamos los dados mediante: Una forma rápida de hacer el cálculo del beneficio es media fórmulas matriciales: y usando la función Indice le asignamos el beneficio calculado anteriormente Como alternativa a la fórmula matricial podemos usar SI anidados Si suponemos que el número elegido es el 1, el resultado final debe ser parecido a este:

Teórica 34,26Estimada 40,30

Teórica 25492,97Estimada 26372,28

Media

Varianza

aunque, debido a los diferentes número aleatorios generados, los resultados no serán exactamente los mismos.



22

0

50

100

150

200

250

69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101

103

105

107

109

111

113

9) Una acción tiene un precio inicial de 100€. Cada día su cotización puede subir 1€ o bajar esa misma cantidad. La probabilidad de subir es del 35%.

a) Calcular la distribución de su precio al cabo de 31 días. b) Comparar el resultado de la simulación con el teórico, de forma gráfica y

por la comparación de la media y la varianza observada y teórica. Guía

• Hay al menos dos formas distintas de abordar el problema: se puede simular cada uno de los 31 dias, usando Aleatorio() y comparando con 0,35, o se puede considerar que el número de subidas durante 31 días es una v.a. binomial B(n=31 , p=0,35).

• El precio final será 100+x-(31-x)=69+2x, siendo x la realización de la v.a. binomial o la suma de la Bernouilli individuales.

El resultado gráfico, análogo al explicado en el problema 1, podría ser de la forma siguiente:

Para comparar la media y varianza observada con las teóricas recordamos que la media y varianza de una binomial B(n,p) son (respectivamente):

( ) ( )E x n p ; Var x n p (1 p)= ⋅ = ⋅ ⋅ −

también que:

( ) ( ) ( ) ( )2E ax b a E x b ; Var ax b a Var x+ = ⋅ + + = ⋅



23

10) Una compañía de seguros tiene una cartera con tres tipos de pólizas A, B y C. Ca-da una de ellas tiene una reclamación media diferente aunque las tres siguen una distribución uniforme U[a,b]. Los datos de los parámetros y del número de clientes en cada tipo de póliza se dan en la tabla siguiente:

Póliza A B C

a 1 5 10 b 15 15 20

Clientes 200 500 300

a) Calcular la distribución de la reclamación total. b) Comparar el resultado de la simulación con el teórico.

Guía

Este problema se puede abordar de varias formas. En primer lugar se puede intentar simular cada una de las reclamaciones individuales y sumar los im-portes para calcular la reclamación total, para ello necesitaríamos 1000 co-lumnas que habría que sumar, lo cual no es práctico. Se recomienda, bien usar una combinación de las funciones FILA e INDIREC-TO que, junto con SUMA y SI, al ser combinadas en una fórmula matricial en la forma siguiente:

=SUMA(SI(FILA(INDIRECTO("1:200"));ALEATORIO()*15;0))

proporcionan, en una única operación, tantos sumandos “uniformes” como indique el rango de INDIRECTO (200 en el ejemplo); bien usar una aproxi-mación basada en TCL.



24

11) Un comerciante vende calendarios. Cada calendario se compra a 1,2€ y se vende a un precio de 2,4€. Por cada calendario comprado pero no vendido se recupera un importe de 0,6€. La demanda diaria de calendarios sigue una distribución uni-forme entre 100 y 300.

a) Calcular el pedido óptimo de calendarios que debe hacer el comerciante. b) Una vez determinado éste, calcular la distribución, la media y la varianza

del beneficio obtenido.

Guía Calcular el Beneficio (B) en función de lo demandado y lo fabricado

( ) ( )( )

( )

B

B

B B

Dev Ven

Ven

Com

Si pedido demandado NO Vendido *P Vendido * P

Si pedido demandado Vendido *P

siempre

pedido * P

⎧ > → = +⎪⎨

≤ → =⎪⎩

= −

A continuación ponderar B para cada posible demanda y estimar el beneficio para cada cifra de pedido



25

12) (Hossack) Un periódico publica la noticia de que los hombres tienen una pro-pensión a sufrir accidentes de tráfico que resulta ser el doble de la que tienen las mujeres. Intentando demostrar la falsedad de tal afirmación un marido pacta con su mujer el siguiente juego: “Durante los próximos diez años llevaremos cuenta de los accidentes de tráfico que tengamos cada uno, al final de ese período te pa-garé 1000€ por cada accidente que yo haya tenido más que vosotras dos (refi-riéndose a ella y a la hija de ambos)”.

Supóngase que los datos que ofreció el periódico fueron los siguientes:

• Accidentes de hombres ≈ Poisson de media 1 cada 10 años, • Accidentes de mujeres ≈ Poisson de media 1 cada 20 años

(Como ocurre en la más cruda realidad, el marido sólo paga, no recibe dinero en caso de que las mujeres tengan más accidentes que él).

a) ¿Cómo es la distribución del pago esperado del marido?. b) ¿Cuál será el pago medio?. c) Resolver el problema teóricamente y comparar los resultados teóricos y los ob-

tenidos mediante simulación.

Guía: Para resolver el apartado c) téngase en cuenta que:

( )( ) ( ) ( )2121

22

11 oissonYYoissonYoissonY

λ+λ≈+⇒⎭⎬⎫

λ≈λ≈

PPP

y que es lógico suponer que ambos accidentes los del marido y los de ambas mujeres son independientes de manera que la distribución conjunta será:

( ) ( ) ( ) Mar1 2

MujMar Muj

0 Ac 7Poisson Poisson

0 Ac 7f Ac , Ac

0 resto

⎧ ≤ ≤⎧λ ⋅ λ⎪ ⎨ ≤ ≤= ⎨ ⎩

⎪⎩

a partir de lo anterior es posible determinar la función de probabilidad de la variable pedida:

( )Mar Muj1000 max 0;Ac Ac= ⋅ −Y



26

Para los apartados a) y b) basta con simular un número suficiente de veces:

para el apartado c) se puede crear la distribución conjunta de frecuencias de ambas variables y calcular la distribución de la diferencia



27

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

0

20

40

60

80

100

120

140

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

13) El número mensual de reclamaciones de un determinado grupo de pólizas sigue una distribución Poisson de parámetro 4; a su vez, cada una de esas posibles re-clamaciones tiene un importe que se distribuye según una exponencial de pará-metro (media) igual a 12. a) Calcular la distribución del total de reclamaciones mensuales. b) Calcular el resultado teórico y comparar

El resultado a) debería ser parecido a este:

El resultado b) debería ser parecido a este:



28

Guía: para el apartado a)

• Simular primero la Poisson, • En columnas siguientes un número suficiente de exponenciales. • Usar la función de Excel DESREF junto con SUMA para calcular la suma men-

sual de las exponenciales dadas por la Poisson.

para el apartado b)

Por la teoría sabemos que la suma de exponenciales es una distribución Gamma.

( ) ( ) ( )υ≈Λλ≈=Λ PoissonysGammasRecMensual ,|

El número de sumandos que integran la Gamma es el resultado de una Poisson, de manera que habrá que:

1) Calcular la densidad de la Gamma para un rango razonable del importe de las

reclamaciones, para cada una de los posibles valores del parámetro s: s ≈ Poisson (4).

2) Ponderar estos valores por los de la función de cuantía de la Poisson. 3) Agregarlos todos para obtener la función de distribución de la reclamación

mensual.

( ) ( ) ( )( )⎩

⎨⎧

λ≈λ≈

⇐λ⋅= ∑ ∫∞

=

∞λ−

22

112

0i 0

y21Y PoissonY

PoissonYdyeypF 22



29



30

14) El número de reclamaciones de un determinado grupo de pólizas sigue una dis-tribución Poisson (λ), donde λ es a su vez una variable aleatoria que se distribuye según una Gamma (5 ; 2): a) Calcular la distribución de la variable aleatoria “número de reclamaciones”. b) Realizar el test de bondad del ajuste a una Binomial Negativa que se deduce

de los datos anteriores. c) Realizar el test de bondad del ajuste a la Binomial Negativa teóricamente espe-

rada.

Guía Para realizar el apartado a):

• Simular primero la gamma para obtener un valor. • Utilizar este valor para simula la Poisson.

Para realizar el apartado b): • Calcula media μ y varianza σ de la distribución simulada. • Calcular los parámetros de la BN(r,p) de la forma siguiente:

2

2 2ˆr̂ ; p

⎧ ⎫μ μ= =⎨ ⎬μ − σ σ⎩ ⎭

• Calcular la función de probabilidad usando la fórmula correspondiente1:

( ) ( )( ) ( ) ( )xrr x

p x p 1 pr x 1Γ +

= −Γ Γ +

Para realizar el apartado c):

• La teoría nos dice que:

( ) ( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+αα

≈

α≈Λλ≈λ=Λ

111

rX

entonces

rGammayPoissonX

Si

,BN

:

,,

1 Para calcular la función Gamma en Excel hay que usar dos funciones concatenadas EXP y GAM-MA.LN de esta forma:

( ) ( )( ) ( )Ln xx EXP GAMMA.LN x e ⎡Γ ⎤⎣ ⎦Γ = ≡

ya que Excel no tiene una función Gamma pero si el logaritmo neperiano de ésta, por lo que hay que “deshacerlo”.



31

El resultado final debería ser parecido al siguiente (en el, por comodidad,

se han utilizado gráficas continuas para representar distribuciones de probabilidad de variables aleatorias de carácter discreto):

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 5 10 15 20 25

Emp Teo Ajus



32

15) Sea la siguiente cartera de pólizas de vehículos:

≥25 ≥25 <25 <25 Familiar Deportivo Familiar Deportivor 6,000 1,601 12,950 12,540 α 0,970 0,892 0,987 0,978 N 5826 1281 3570 1622 € 1020 1486 1097 1413

siendo:

• ≥25 el asegurado tiene 25 años o más de edad, • <25 el asegurado tiene 24 años o menos edad, • Familiar, Deportivo tipo de vehículo, • (r,α) los parámetros de la distribución Binomial negativa que describe

la distribución del número de reclamaciones anuales que hace cada uno de los asegurados,

• N el número de pólizas suscritas, es decir el número de asegurados en esas condiciones concretas,

• € la reclamación media por asegurado.

a) Estimar la distribución del monto total anual de las reclamaciones



33

16) Una compañía de seguros tiene una cartera con 3 tipos de pólizas: La primera cubre un máximo de 12.000€ y tiene una franquicia de 600€, es decir que los pa-gos P1 por reclamaciones de este tipo de póliza, D1, son de la forma siguiente:

1

1 1 1

1

0 si R 600P R 600 si 600 R 12.000

11.400 si R 12.000

≤⎧⎪= − < <⎨⎪ ≥⎩

La segunda cubre un máximo de 11.250€ y paga las 2/3 partes del daño D2:

22

2

2

3Rsi R 15.000

4P

11.250 si R 15.000

⎧ <⎪⎪

= ⎨⎪ ≥⎪⎩

La tercera es de la forma siguiente:

3

3

3 3

0 si R 500P

R si R 500

<⎧⎪= ⎨⎪ ≥⎩

Por experiencia anterior se sabe que las distribuciones de los daños son de la for-ma siguiente:

( )( )( )

1

2

3

D Exp 5000D Exp 6000D Exp 1000

⎧ ≅ λ =⎪ ≅ λ =⎨⎪ ≅ λ =⎩

Se esperan 15 reclamaciones: 8 de D1, 4 de D2 y 3 de D3.

a) ¿A qué cantidad debe ascender la reserva de la compañía para que la probabi-

lidad de que pueda hacer frente a la reclamación total sea del 80%? Guía

Se trata de una aplicación típica del TCL, las v.a.s. de los pagos son modificacio-nes de una exponencial, de la media de ésta:

[ ] dxexxE0

x∫∞

λ−λ⋅=

podríamos deducir la media de cada una de ellas, por ejemplo la de P1 seria

[ ] ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ⋅−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ⋅⋅= ∫∫∫

∞λ−λ−λ− dxex400.11dxe600xdxe08PE

12000

x12000

600

x600

0

x1

Podríamos también deducir, con un mayor esfuerzo, la varianza y una vez hechas las operaciones correspondientes, deducir la media y la varianza de la normal a la que se aproxima - en virtud del TCL - la distribución del pago total.



34

Aún así, la aproximación a la distribución Normal no sería demasiado buena: se trata de una suma de pocas variables aleatorias y éstas son muy sesgadas. En es-tas situaciones el recurso a la simulación del pago es la mejor solución.

La simulación es muy sencilla, basta simular primero las exponenciales de las reclamaciones iniciales (R1, R2 y R3) y a partir de éstas, aplicando los criterios de pago de la compañía, calcular los pagos (P1, P2 y P3) que finalmente se harán.

Para responder a la pregunta sobre la reserva necesaria para afrontar los pa-

gos bastará aplicar la función PERCENTIL sobre los datos simulados.



35

17) Una empresa sabe que la demanda diaria en kilogramos del producto que fabrica sigue una distribución Pareto(3,2) mientras que la oferta de ese mismo producto se distribuye según una distribución Normal(3;0,5). Tiene un coste de 0,05€ por kilo fabricado y no vendido y de 0,5€ por kilo demandado y no servido: a) Calcular la distribución de la diferencia entre demanda (D) y oferta (O) es decir

de la variable D-O. b) Calcular la distribución de las ganancias o pérdidas.

Guía: Generación de Pareto:

La notación habitual es X∼Par(α,β), ambos parámetros son de escala. En la lite-ratura aparecen descritos diversos métodos para generar v.a. de Pareto. En Ex-cel es posible obtener v.a. a través de cualquiera de las fórmulas siguientes:

=β*((1/(1-ALEATORIO()))^(1/α))

=β*(ALEATORIO()^(-1/α))

Generación de Normal:

Excel cuenta con la función inversa de la distribución:

=DISTR.NORM.INV(ALEATORIO();μ;σ)



36



37

18) Una compañía de seguros de automóviles tiene un sistema bonus-malus, o de descuento por buen conductor. Hay varios tramos de descuento para el pago anu-la de una póliza por la que se comienza pagando 250€:

1 2 3 4 5 6 7

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%

si durante un plazo de un año no se hace ninguna reclamación, se aumenta un tramo de descuento al año siguiente, hasta el descuento máximo del 60% que se alcanza al llegar al 7º tramo. Mientras que si, durante un plazo de un año, se hace una única reclamación (o más de una) se vuelve al comienzo de la escala, es de-cir, al 0% de descuento del primer tramo. Se está en proceso de decidir si cambiar o no este sistema por otro análogo. Este nuevo sistema tendría sólo 4 tramos de descuento:

1 2 3 4 0% 20% 40% 60%

Pero, a diferencia del anterior, sólo se retrocede un puesto en la escala por recla-mación, es decir si durante un año no hay reclamaciones se gana un 20% de des-cuento, si hay una reclamación se pierde un 20% de descuento. El descuento no puede ser superior al 60% ni negativo. También sería diferente la prima que pasa-ría de 250€ a (250+75) €. Se sabe que el número de accidentes que ocurren anualmente sigue una distribu-ción de Poisson de parámetro 0,1 por año, mientras que la distribución del impor-te de las reclamaciones se distribuye de forma LogNormal(μ = 6,012 ; σ = 1,792). También hay que tener en cuenta que las reclamaciones que no le interesan al cliente no se realizan, por ejemplo en el primer sistema, un cliente que éste en el tramo 4 (30%) perdería este descuento si hiciera una reclamación así que si el daño que recibe es inferior a lo que pierde no le interesa reclamar. Las pérdidas mínimas por sistema y tramo son las siguientes:

Tramo 1 2 3 4 5 6 7 Importe 25 50 75 100 125 150 150

Tramo 1 2 3 4

Importe 125 175 175 125

a) Decidir qué sistema es el mejor para la compañía, si la póliza está suscrita por 1000 clientes.

PRÁCTICAS DE SIMULACIÓN - est.uc3m.es€¦ · Gamma (r=2, s=3) 8,9 Normal (μ=12; σ=2) Modelo...

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