INSTITUTO TECNOLGICO DE AERONUTICA

CONSELHO NACIONAL DE DESENVOLVIMENTO CIENTFICO E

TECNOLGICO - CNPq

CNPqCONSELHO NACIONAL DE DESENVOLVIMENTO

CIENTFICO E TECNOLGICO

PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAO CIENTFICA -

PIBIC

TEORIA DO CAOS APLICADA AO

MODELO DE INTERMITNCIA EM UM DNAMO

SOLAR

Luan Gabriel Silva Fernandes

RELATRIO FINAL DE ATIVIDADES

Orientador: Erico Luis Rempel

Maro/2014

INSTITUTO TECNOLGICO DE AERONUTICA

CONSELHO NACIONAL DE DESENVOLVIMENTO CIENTFICO E

TECNOLGICO - CNPq

CNPqCONSELHO NACIONAL DE DESENVOLVIMENTO

CIENTFICO E TECNOLGICO

PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAO CIENTFICA -

PIBIC

RELATRIO FINAL DE ATIVIDADES

TEORIA DO CAOS APLICADA AO

MODELO DE INTERMITNCIA EM UM DNAMO SOLAR

So Jos dos Campos, __ / __ / _____

Nome do aluno Luan Gabriel Silva Fernandes

Assinatura do aluno

Nome do orientador Erico Luis Rempel

Assinatura do orientador

INSTITUTO TECNOLGICO DE AERONUTICA PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAO CIENTFICA -

PIBIC

FORMULRIO DE APROVAO DE RELATRIO PELO ORIENTADOR

Relatrio: Rel. Parcial Rel. Final

1- CONSIDERO O RELATRIO APROVADO COM BASE NOS SEGUINTES

ASPECTOS

2- APRECIAES DO ORIENTADOR SOBRE O DESEMPENHO DO BOLSISTA NA EXECUO DO TRABALHO DE INICIAO CIENTFICA

Local e data:

Assinatura do Orientador:

NDICE

RESUMO DO PLANO INICIAL .................................................................................. 1

RESUMO DAS ATIVIDADES REALIZADAS .......................................................... 1

DESCRIO DO PROBLEMA ................................................................................... 1

RESULTADOS OBTIDOS ............................................................................................ 2

CONCLUSES ............................................................................................................. 14

AGRADECIMENTOS ................................................................................................. 15

BIBLIOGRAFIA .......................................................................................................... 16

1

RESUMO DO PLANO INICIAL

O plano inicial deste projeto resume-se no estudo prvio de alguns tpicos da

teoria do caos abordada no livro [1], para ento us-los para estudar o problema do ciclo

solar sob certas restries, usando o chamado modelo de dnamo solar , e tambm

simul-lo numericamente por meio de um caso particular.

RESUMO DAS ATIVIDADES REALIZADAS

Os seis primeiros meses foram previstos para o estudo de sete captulos do livro

de Yorke, que envolvem aspectos fundamentais da teoria do caos, tais como: definies

de mapas, bifurcaes, caos, fractais, atratores caticos, variedades estveis e crises. O

estudo desses assuntos encerrou-se pouco antes do perodo de seis meses, de forma que

o restante desse perodo foi utilizado para entender o problema do modelo de dnamo

solar .

DESCRIO DO PROBLEMA

A observao de campos magnticos intensos em corpos astrofsicos (planetas,

estrelas e galxias) sugere a existncia de um processo de dnamo, onde um campo

magntico fraco amplificado por meio da converso de energia cintica em energia

magntica. Os dnamos podem ser classificados em dnamos de larga-escala ou de

pequena-escala (flutuaes), de acordo com o crescimento do campo magntico ser de

escala maior ou menor do que a escala de energia cintica do fluido em movimento.

Uma manifestao tpica de um dnamo de larga-escala o ciclo solar, onde a

distribuio das manchas solares no espao e tempo mostram uma coerncia espacial

em larga escala e uma correlao temporal a longo prazo, como visto em um diagrama

de borboleta (Solanki 2003; Solanki, Inhester & Schssler 2006; Thomas & Weiss

2

2008). Embora os mximos e mnimos da atividade solar formem um ciclo recorrente de

11 anos, longos perodos de baixa atividade solar (grand minima) levaram vrios

autores a olhar a descrio do ciclo solar como um evento intermitente devido

natureza catica do dnamo, levando o sistema a alternar randomicamente entre fases de

atividade magntica regular e grand mnima.

Dentro desse contexto, o problema proposto nesse trabalho refere-se a um

modelo especfico de dnamo, o chamado dnamo , isto , procuramos entender o

modelo assumindo a natureza catica do dnamo.

Por fim, uma vez estruturado a soluo desse problema, pode-se simul-lo

numericamente por meio de um caso particular, onde o problema de intermitncia

tratado por um modelo de dnamo truncado, conforme proposto no artigo [2].

RESULTADOS OBTIDOS

O perodo de estudo iniciou-se com uma reviso aprofundada do captulo Mapas

Unidimensionais, o qual comea com o conceito fundamental de sistema dinmico, que

nasceu da necessidade de se construir uma teoria geral para sistemas que evoluem (com

o tempo) segundo uma regra que relaciona seu estado presente com os estados passados.

Essas regras devem ser bem determinsticas, ou seja, podemos determinar o estado

presente unicamente atravs dos estados passados. Se um sistema evolui de maneira

aleatria ou probabilstica, dizemos que estes so sistemas estocsticos ou aleatrios.

Os sistemas dinmicos podem ser discretos ou contnuos de acordo com o

incremento de tempo necessrio para a evoluo do sistema, sendo os sistemas

contnuos um limite dos discretos quando se faz o incremento de tempo tender a zero:

nesse caso, a regra que rege a evoluo do sistema forma um conjunto de equaes

diferenciais. Aqui percebe-se a aplicabilidade das equaes diferenciais, largamente

conhecidas pela cincia pois esto presentes em muitos fenmenos da natureza, e

tambm so fundamentais para explicar o modelo de dnamo solar .

Em seguida, ainda nesse captulo, viu-se a definio de mapas como uma funo

com domnio e imagem iguais, os quais so usados para descrever a evoluo de

sistemas dinmicos atravs das rbitas, que so o conjunto de iteraes de um mapa

aplicado em um valor inicial. Nesse contexto, os mapas podem assumir

3

comportamentos distintos como, por exemplo, nos mapas e :

enquanto o primeiro mapa cresce indefinidamente independente do valor inicial, o

segundo mapa pode atingir um valor de saturao e ficar estagnado nele.

A representao de uma rbita (para mapas de domnio e imagem reais) pode ser

feita de maneira grfica atravs da tcnica do cobweb plot. Para isso, deve-se traar em

um plano cartesiano os grficos do mapa e da funo identidade . Na figura 1,

vemos o exemplo . Para obter a rbita de um valor inicial do domnio de ,

(no exemplo, usamos ) seguimos o seguinte raciocnio:

A partir do ponto , encontramos a sada traando uma reta

vertical de at o grfico de ,obtendo o ponto ;

Em seguida, para obtermos ( ) preciso transformar a

sada como valor de entrada para . Para faz-lo, traamos uma linha

horizontal desde o par at a reta , a qual age como um

espelho gerando o ponto , onde podemos ento usar

como entrada para ;

Repetimos o processo para a nova entrada , de maneira que a repetio desse

processo constri a rbita , formada pelas linhas

pontilhadas na figura 1.

Figura 1 rbita produzida pelo mapa ([1], p. 6)

4

Outra definio importante para mapas a de ponto fixo: Um ponto dito

ponto fixo de um mapa se . Os pontos fixos assumem um importante papel

no comportamento de mapas, pois existem pontos fixos que atraem ou repelem uma

rbita de acordo com o valor inicial tomado e o mapa tomado; o que leva ao conceito de

estabilidade de um ponto fixo. Dessa maneira, um ponto fixo assintoticamente estvel

tem a propriedade de que qualquer ponto de sua vizinhana atrado para ainda mais

perto do ponto fixo atravs da evoluo do sistema, enquanto um ponto fixo instvel

tem a propriedade de repelir qualquer ponto de sua vizinhana para mais longe do ponto

fixo medida que o sistema avana. A noo de estabilidade muito importante para

sistemas reais, pois estes so frequentemente sujeitos a pequenas modificaes, em

especial de valores iniciais.

Os conceitos de atrator e repulsor podem ser tratados matematicamente por

meio da seguinte definio:

Se existir tal que para todo , tivermos ,

ento chamado ralo ou ponto fixo atrator. Similarmente, se dada uma

vizinhana , tivermos pelo menos um valor tal que

eventualmente caia fora da vizinhana, para algum , ento dito

uma fonte ou ponto fixo repulsor.

Alm disso, h o seguinte teorema utilizado como teste para verificar se um

ponto fixo atrator ou repulsor:

Seja (suave) um mapa real, e um ponto fixo de . Assim ,temos:

a) Se , um atrator ou um ralo.

b) Se , um repulsor ou uma fonte.

c) Se , nada pode se afirmar acerca da estabilidade de .

Com essa definio, definimos o conjunto de valores iniciais cujas rbitas por

um mapa real so atradas para como a de , assim como o

conjunto de valores iniciais cujas rbitas so repelidas de p chama-se bacia de repulso

de p, porque as rbitas so repelidas para cada vez mais longe de p (as quais podem se

distanciar at o infinito ou podem ser atradas para outro atrator).

Ao considerar o exemplo (chamado mapa logstico),

podemos obter diferentes comportamentos de acordo com a escolha do parmetro .

Para , os pontos fixos so e , os quais so repulsores.

Entretanto, ao fazer alguns testes com diferentes pontos iniciais, observamos que a

5

rbita atinge um padro, alternando entre os valores e

(com 4 casas decimais de preciso). Esse exemplo ilustra o comportamento de um

atrator peridico, que nesse caso tem perodo , isto , e so pontos peridicos

de perodo 2.

Quando variamos o parmetro no mapa logstico do exemplo anterior,

obtemos diferentes mapas, os quais possuem comportamentos distintos quanto

presena de pontos fixos ou peridicos. O fato mais interessante ao se analisar essa

famlia de mapas o aparecimento de instabilidades nas suas rbitas. Quando

, o mapa tem um ralo em e qualquer valor inicial no intervalo atrado

para o ralo. Para , o mapa tem outro ralo bem definido, e para esse

ralo d lugar a um ralo de perodo 2. Quando maior que , o ralo de

perodo 2 tambm se torna instvel.

O comportamento de se torna bastante complicado medida que

aumentado de at . Os grficos das figuras 2 e figura 3 mostram o aparecimento

de muitas outras rbitas peridicas medida que aumenta, e foi obtido no MATLAB

atravs dos seguintes passos:

1. Escolha um valor para , comeando com ;

2. Agora escolha aleatoriamente valor de dentro do intervalo ;

3. Calcule a rbita de atravs de ;

4. Ignore as 100 primeiras iteraes e plote a rbita comeando da 101

iterao;

5. Incremente o valor de e repita todo o processo novamente.

. A figura 3 mostra em detalhes essa rpida multiplicao de rbitas peridicas,

assim como o surgimento de janelas onde h apenas um ralo de perodo 3. Alm disso,

interessante notar que, ao ampliar a figura, percebemos uma autossimilaridade das

multiplicaes de rbitas, isto , os padres encontrados na ampliao assemelham-se

figura original (figura 2). Essa configurao mostra que o sistema no se simplifica com

mudanas de escala, o que sugere uma estrutura fractal.

6

Figura 2: Diagrama de bifurcao do mapa logstico (Autoria prpria).

(a) (b)

Figura 3: Partes mais detalhadas do diagrama de bifurcao anterior.

Os eixos horizontais so (a) e (b) (Autoria prpria).

7

No captulo seguinte, que trata de Mapas Bidimensionais, focou-se apenas em

certos tpicos do captulo. Para mapas unidimensionais, apenas uma informao

necessria para avanar com o sistema, e nenhuma outra informao era considerada

relevante para o modelo (por exemplo, se representa o modelo de

um crescimento populacional e a populao em um certo instante, no preciso mais

nenhuma informao dessa populao para calcular o crescimento). No caso de um

mapa bidimensional, sero necessrias duas informaes para avanar o sistema. Em

modelos com equaes diferenciais parciais, pode-se considerar mapas de dimenses

maiores, inclusive de dimenso infinita (como o exemplo da corda vibrante, cuja

informao necessria para situar seu estado a funo real que d sua forma inicial).

Para mapas bidimensionais e outros de maior ordem, a instabilidade das rbitas

pode ser bem mais complicada do que a apresentada na figura 2. Outro conceito

importante visto nesse segundo captulo foi o de Mapa de Poincar, que uma maneira

mais simples de analisar trajetrias contnuas mais complicadas. Ao invs de olhar para

toda a trajetria (em 3 dimenses,por exemplo), Poincar notou que muitas informaes

estavam guardadas nos pontos onde a trajetria espacial cruzava um determinado plano.

Dessa forma, o conjunto de interseces nesse plano define um mapa plano, como pode-

se observar na figura 4.

Figura 4: Mapa de Poincar derivado de um mapa tridimensional ([1], p. 49)

Em um caso como o da figura 4, estudar o movimento de um sistema dinmico

contnuo impossvel do ponto de vista computacional, pois no haveria como tratar os

8

infinitos pontos da sua rbita. Assim, a ideia de Poincar com o mapa justamente

discretizar o problema, ou seja, estudar um sistema dinmico discreto. Outro mapa

discreto muito estudado em sistemas dinmicos o chamado Mapa de Hnon, o qual

mapeia um par ordenado em um novo ponto , segundo a seguinte

lei:

{

onde e so parmetros, e dependendo da escolha de seus valores o mapa de Hnon

pode ser catico,intermitente ou convergir para uma rbita peridica.

Outro conceito discutido nesse captulo , nos mapas bidimensionais, a

existncia de pontos de sela. Esses pontos possuem uma caracterstica bem distinta: eles

se comportam como atratores para uma certa direo, e como repulsores para outra certa

direo. A figura 5 ilustra isso de maneira didtica por meio de uma sela de cavalo,

onde se derramarmos gua observaremos a mesma escorrer em direo ao centro na

direo frente-trs, enquanto se afastar do centro na direo lateral da sela.

Figura 5: Ilustrao didtica do comportamento de um ponto de sela ([1], p. 64).

Um ponto fixo de sela instvel, pois existe no mnimo uma direo na qual o

ponto fixo atua como repelidor, chamada variedade instvel do ponto. Da mesma

forma, um ponto fixo de sela no uma fonte, pois tambm possui no mnimo uma

direo na qual atua como atrator, a qual chama-se variedade estvel do ponto.

Dentre os mapas bidimensionais, existem os mapas lineares em . Um mapa

linear aquele cuja iterao se d por uma transformao linear de um vetor

para outro vetor , onde uma matriz . Nesse contexto, sendo a origem sempre

9

um ponto fixo, existe uma relao direta entre os autovalores da matriz e a

estabilidade da origem:

A origem um ralo se todos os autovalores de so menores que 1 em

mdulo;

A origem uma fonte se todos os autovalores so maiores que 1 em

mdulo.

De forma anloga, para os mapas no lineares existe uma relao parecida com a

acima, porm relaciona os autovalores do jacobiano do mapa

(dimenso ) em um ponto com a estabilidade de .

O prximo captulo trata do Caos. Uma rbita catica aquela que se comporta

indefinidamente de maneira instvel assim como uma rbita prxima a uma fonte, mas

essa fonte no fixada e nem peridica, e nunca atrada por um ralo. Em qualquer

ponto de tal rbita, h pontos arbitrariamente prximos que iro se mover para longe do

ponto durante iteraes futuras do mapa. Essa irregularidade matematicamente

avaliada atravs dos nmeros de Lyapunov ou expoentes de Lyapunov (que o

logaritmo natural do nmero de Lyapunov). O nmero de Lyapunov quantifica a taxa

multiplicativa de separao de pontos da vizinhana de um dado ponto . Por

exemplo, se o nmero de Lyapunov 3, ento a distncia entre a rbita de e a rbita

de pontos de sua vizinhana triplicam (na mdia) a cada iterao.

Da mesma forma, o nmero de Lyapunov pode ser menor que 1, indicando que

as rbitas de e se aproximam a cada iterao. O conceito de nmero de Lyapunov

pode ser aplicado tanto em rbitas peridicas como em no peridicas. Assim, uma

rbita catica seria aquela que no tende periodicidade e cujo nmero de Lyapunov

maior que 1. Matematicamente, o nmero de Lyapunov dado pela definio:

Seja um mapa suave real. O nmero de Lyapunov da rbita

definido como

| | | |

No captulo seguinte, estudou-se o conceito de Fractais. Um exemplo simples de

fractal o conjunto de Cantor, o qual obtido pelo seguinte processo interativo:

Parte-se do intervalo , e retira-se o tero do meio, sobrando o

conjunto *

+ *

+. Em seguida, retira-se o tero do meio de

cada um dos intervalos de , obtendo-se um novo conjunto .

Recursivamente,no passo , retira-se o tero do meio de cada um dos

10

intervalos de . O conjunto de cantor a interseco de todos os

conjuntos produzidos, quando .

Alm desse conjunto, existem diversos outras figuras que possuem caracterstica

fractal: quando observamos um detalhe da figura, observamos a figura inteira se

repetindo no detalhe, e esse padro segue indefinidamente. So exemplos dessas figuras

o conjunto de Mandelbrot, o Tapete de Sierpinski e o Tringulo de Sierpinski.

A definio de fractal leva em conta que, em um fractal, o nvel de complicao

no se simplifica quando quando se d um zoom nele. Para ilustrar essa ideia,

imaginamos um fractal dentro de uma grade igualmente espaada, e verificamos o

nmero de caixas da grade necessrias para cobri-lo totalmente. Assim, podemos variar

o tamanho das caixas a fim de tom-las to pequenas quanto possvel.

De uma maneira geral, para um intervalo unidimensional o nmero de caixas de

tamanho necessrias para cobrir um intervalo no ultrapassa (

), onde uma

constante que depende do tamanho do intervalo. Por exemplo, tomando o intervalo

e uma diviso com passo

, temos os pontos da grade

.

Nesse caso, vemos que o nmero de caixas unidimensionais formadas , de forma que

o passo

e .

Quando tomamos um caso bidimensional, por exemplo o quadrado

, precisamos de caixas quadradas de lado

. O expoente justamente a

diferena em relao ao exemplo unidimensional. Qualquer retngulo no pode ser

coberto por (

) caixas de tamanho .

Denotando o nmero de caixas de lado necessrias para cobrir um dado

conjunto , diremos que um conjunto de dimenso quando ele pode ser

coberto por um nmero de caixas igual a (

) (essa maneira de contar

chama-se box-counting). Segundo essa definio, no necessariamente um inteiro.

Para medir a dimenso de , colocamos o conjunto em uma grade de caixas de

dimenses com lados . Assim, resolvendo a equao que d para temos:

11

e sendo uma constante para todo pequeno, a contribuio do segundo termo no

numerador dessa frmula ser desprezvel, de maneira que chegamos a seguinte

definio de dimenso fractal:

Um conjunto em tem uma dimenso box-counting dada por

quando o limite existe.

O prximo captulo estudado chama-se Atratores Caticos. Nesse captulo a

discusso central mostrar que o movimento catico, apesar de representar algo

aleatrio e confuso, pode ser um atrator, isto , rbitas podem convergir para o

movimento catico. Isso significa que um conjunto de valores iniciais podem ter suas

rbitas convergentes para um atrator catico.

Para ilustrar essa ideia, tomamos o mapa de Hnon ,

com e . Na figura 6, vemos trs regies, as quais so propriedades

fundamentais dos atratores caticos:

A regio cinza, que representa a bacia de atrao da rbita catica;

A rbita em preto, a qual a rbita catica atratora;

A regio em branco, que representa os valores iniciais cujas rbitas

divergem para o infinito.

Figura 6: Atrator catico do mapa de Hnon. Fonte [3].

Vale ressaltar que, para atingir a rbita catica da figura 6, os valores iniciais ao

longo da regio cinza primeiro iro em direo rbita atratora, ou seja, a figura do

atrator s se forma, em geral, aps um nmero considervel de iteraes do mapa (e por

12

isso em um processo computacional deve-se jogar fora as primeiras 1000 iteraes, por

exemplo).

Os captulos de Variedades Estveis e Crises e o captulo de Bifurcao em

Equaes Diferenciais foram, ento, deixados para o segundo semestre, e ento passou-

se etapa de entender a estrutura do modelo de dnamo .

O problema do dnamo consiste em demonstrar a existncia de um movimento

que mantenha um campo magntico oscilante e que se sustenta pelas foras presente na

estrela em questo. Diversos autores como Backus e Herzenberg (1958) se empenharam

em desenvolver modelos que explicassem de fato o dnamo, mas os resultados no

foram to promissores: muitos apresentam na prtica muita discrepncia entre os

valores esperados das observaes do sol e aqueles necessrios para satisfazer as

equaes do dnamo.

Essas dificuldades levaram proposio de campos mdios, isto , o campo

magntico flutuaria em torno de valores efetivos. Dessa maneira, os valores efetivos so

usados explicitamente, enquanto as flutuaes surgem como parmetros no modelo. Os

parmetros mais importantes para o dnamo so devidos ao efeito , que representa a

gerao de campos poloidais a partir de toroidais. Outro fator muito utilizado nos

modelos a difusividade magntica, a qual acompanha o efeito nas equaes do

dnamo.

Este projeto tinha no s o propsito de se focar mais em um modelo

computacional para avaliar o problema do dnamo , mas tambm procurar entender o

seu funcionamento. A fonte [2] utilizada para entender o problema traz consigo um caso

truncado, onde se considera um espao de solues antissimtrica em relao ao

equador. O dnamo solar, de modo simplificado, tem um funcionamento anlogo a um

dnamo mecnico, o qual um sistema que transforma a energia mecncia em energia

eltrica. No caso do dnamo solar, o plasma da regio de conveco possui cargas

eltricas livres, e est em constante movimento de rotao. Com isso, as cargas eltricas

em movimento geram corrente eltrica, que por sua vez geram campo magntico (Lei de

Ampere). Por sua vez, o campo magntico gera corrente eltrica (Lei de Faraday),

formando ento um looping corrente eltrica campo magntico.

Entretanto, a rotao do plasma no pode ser laminar (o que significaria que as

linhas do campo de velocidades estariam distribudas em camadas ordenadas ao redor

do sol, com a velocidade variando gradualmente dos polos ao equador), mas sim

turbulenta (aqui, velocidades de diferentes camadas podem misturar-se em

13

redemoinhos,e o campo distribui-se de maneira aleatria ao redor do sol, no

obedecendo nenhuma ordenao), caso contrrio o campo magntico no seria to

intenso. Alm disso, como a rotao do sol maior no equador do que nos polos, a

rotao do plasma varia com a latitude. Esse fato responsvel por transformar o campo

magntico meridional em campo magntico azimutal, fortalecendo-o, e esse efeito

chama-se efeito (figura 6).

1. (b)

Figura 7: (a) Campos azimutais e meridionais; (b) Efeito . Fonte [3].

Outro efeito que acompanha o efeito o , o qual transforma todo o

campo azimutal gerado pelo efeito novamente em campo magntico meridional.

Entretanto, o funcionamento do ainda no foi totalmente descrito, mas ele

representado pelo parmetro na equao de induo magntica.

O modelo de campo mdio tem a seguinte equao (obtida das equaes de

maxwell):

onde o campo magntico mdio, a velocidade mdia do movimento do fluido

em rotao, a difusividade magntica turbulenta do fluido, e o coeficiente

relacionado ao efeito . Essa equao tem muitas solues, as quais podem ser

simtricas ou antissimtrica com respeito ao equador; axissimtricas ou no

axissimtrica; estacionrias; peridicas ou caticas. Na fonte [2], analisado um

modelo truncado para o caso em que o subespao de solues antissimtrico com

relao ao equador. A partir dos resultados da simulao numrica, o autor analisa

diversos efeitos como os atratores do sistema, suas bacias de atrao,diagramas de

bifurcao, crises, intermitncias e selas caticas, tudo a fim de compreender a dinmica

global do modelo.

14

CONCLUSES

O modelo de dnamo solar um problema bastante complicado e novo (o campo

magntico solar foi descoberto em 1908), que ainda no foi completamente resolvido,

mas se trata de um problema extremamente interessante no apenas para a matemtica

aplicada, mas como para diversas reas da fsica, pois o seu entendimento pode

contribuir para futuras previses acerca do comportamento do Sol.

O presente projeto buscou compreender os fundamentos da teoria do caos, outro

assunto relativamente novo para a cincia, a fim de prover as ferramentas suficientes

para estudar o modelo de dnamo . Ainda que o modelo no possa ter sido estudado

a fundo conforme a proposta do projeto, foi possvel entender os princpios bsicos que

definem o problema do dnamo.

15

AGRADECIMENTOS

Ao professor e orientador Erico Luis Rempel, pela experincia e habilidade em

conduzir os encontros para discusso dos assuntos, pelo convvio equilibrado, pelo

incentivo e orientaes precisas e, principalmente, pela oportunidade dada a mim para

estudar esse assunto to desafiador. Meus sinceros agradecimentos.

Ao CNPq, por fomentar e financiar essa pesquisa. Essa oportunidade

extremamente enriquecedora tanto para o aluno como para o orientador, e ajuda a

capacitar jovens em diversas reas do conhecimento.

Ao ps-doutorando Pablo R. Muoz, pela contribuio ao explicar o seu

prprio trabalho em [2].

Ao ps-graduando Emanuel Chimanski, pela orientao na programao de

alguns exemplos do livro [1].

16

BIBLIOGRAFIA

[1] ALLIGOOD, T. K., SAUER, D. T., AND YORKE, JAMES S. Chaos: An

Introduction to Dynamical Systems. Estados Unidos. Springer, 1996.

[2] MUOZ, P. R. Intermitncia induzida pela crise no modelo truncado do

dnamo solar.

[3] THE SOLAR DYNAMO [Internet]. NWRA. Disponvel em

http://www.cora.nwra.com/~werne/eos/text/dynamo.html Acesso em

19/02/2014.