Mitmemõõtmeline normaaljaotus. Statistika põhijaotused. Segujaotus.
16
Mitmemõõtmeline normaaljaotus. Statistika põhijaotused. Segujaotus. Loeng 8
description
Mitmemõõtmeline normaaljaotus. Statistika põhijaotused. Segujaotus. Loeng 8. Eelmises loengus. Õppisime genereerima normaaljaotusega N(0,1) juhuslikke (või pseudojuhuslikke) suuruseid. Kui X 1 , X 2 ~ U(0,1), sõltumatud siis Y 1 = sin(2 π X 2 ) * sqrt(-2 ln( X 1 )) - PowerPoint PPT Presentation
Transcript of Mitmemõõtmeline normaaljaotus. Statistika põhijaotused. Segujaotus.
Mitmemõõtmeline normaaljaotus.
Statistika põhijaotused. Segujaotus.
Loeng 8
Eelmises loengus...
Õppisime genereerima normaaljaotusega N(0,1) juhuslikke (või pseudojuhuslikke) suuruseid. Kui
X1, X2 ~ U(0,1), sõltumatudsiis
Y1 = sin(2π X2) * sqrt(-2 ln(X1))
Y2 = cos(2π X2) * sqrt(-2 ln(X1))
on sõltumatud normaaljaotusega N(0,1) juhuslikud suurused
Normaaljaotus N(μ; σ2)
Kui X~N(0,1), siis mis jaotusega on
Y := aX+b ?
2
2
2
2
1
1
11
2
)(exp
2
1/1
2
)/)((exp
2
1)(
/1)('
/)()(
)(0
)()('))(()(
a
by
aa
abyyf
ayg
abyyg
Igy
Igyygygfyf
Y
XY
Y ~ N(b, a2)
Mitmemõõtmeline normaaljaotus
Juhuslik vektor Y~N(μ; Σ) on normaaljaotusega juhuslik suurus parameetritega μ ja Σ, kui tema tihedusfunktsioon avaldub kujul
EY = μ; DY = Σ
)()(5,0exp2)( 12/1μyΣμyΣyY Tf
Teoreem
Kui X~N(μ; Σ), siis Y:=AX+b ~ N(Aμ+b; AΣAT).
Tõestus:
1
1
*
*
)(
)()(
0
)())(()(
AyJ
byAyh
y
yyJyhy X
YG
Gff
))(())((5,0exp2
))(())((5,0exp2
))(())((5,0exp2)(
)()(5,0exp2)(
1112/1
11112/1
11112/1
12/1
AμbyAΣAAμbyΣAA
AμbyAΣAAμbyAΣ
AμbyAΣμbyAΣy
μxΣμxΣx
Y
X
TTT
TT
T
T
f
f
Y ~ N(b+Aμ; AΣAT)
Normaaljaotusest N(μ; Σ) genereerimine
• Lihtne genereerida p-mõõtmeline juhuslike suuruste vektor X jaotusega
X ~ N(0; I)
• Leia selline maatriks A, et AAT = Σ
• Genereeri juhuslike suuruste vektor Y:
Y = AX + μ
• Eeltoodud teoreemi põhjal Y ~ N(μ; Σ).
Maatriksi A, AAT=Σ, konstrueerimisest
Arv λi on pxp maatriksi Σ omaväärtus ning px1 vektor vi pikkusega 1 (vi
T vi =1) on omaväärtusele λi vastav omavektor, kui
Σ vi = λi vi
Maatrikskujul on omaväärtused ja omavektorid määratud võrranditega:
Σ V = V Λ
VT V = I p
p
vvvV
Λ
|||
00
00
00
21
2
1
Σ V = V Λ
Σ V VT = V Λ VT
Σ = V Λ VTV-1 = VT
Variant 1
A = VΛ1/2
Variant 2
A = VΛ1/2 VT
Segujaotuse modelleerimine
150 160 170 180 190 200
0.0
00
.01
0.0
20
.03
0.0
40
.05
0.0
6
f(x)
f(x) = 0.77/sqrt(2π33)*exp(-(x-167)2/66)+0.23/sqrt(2π46)*exp(-(x-182)2/92)
Segujaotuse modelleerimine
150 160 170 180 190 200
0.0
00
.01
0.0
20
.03
0.0
40
.05
0.0
6
f(x)
Segujaotuse modelleerimine
150 160 170 180 190 200
0.0
00
.01
0.0
20
.03
0.0
40
.05
0.0
6
f(x)
Histogram of pikkus
pikkus
150 160 170 180 190 200
0.0
00
.01
0.0
20
.03
0.0
40
.05
0.0
6
Kuidas simuleerida LEGO-jaotusega juhuslikke suuruseid?
1 2 3 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
f(x)
Statistika põhijaotuste modelleerimine
Hii-ruut jaotus
X1, X2, ..., Xk ~ N(0,1)
sõltumatud
Z := X12 + X2
2 + ... + Xk2
Z ~ Χ2df=k
Kui k→∞, siis Χ2df=k→ N(μ=k, σ2=2k)
T-jaotus
Olgu X~N(0,1); Y~ Χ2df=k; X ┴ Y
siis
Z := X/sqrt(Y/k) ~ t df=k
