Matemati~ka statistika2.1 NEKOI RASPREDELBI ZNA^AJNI ZA MATEMATI^KATA STATISTIKA a) n -raspredelba2

Ako X e slu~ajna promenliva od neprekinat tip so gustina na raspredelbax n 1 2 x2 e , x>0 n ( x) = 2 n 2 2 0 , x0

toga{ velime deka X ima n raspredelba so n stepeni na sloboda.2

Matemati~koto o~ekuvawe na ovaa raspredelba e: n 2 + 1 x e 2 2 t E( X ) = x n dx = t e dt = n = n , n n 0 0 2 2 2 2 2 n x 1 2 2 n 2

dodeka disperzijata na ovaa raspredelba e: n 4 + 1 x e 2 D( X ) = E ( X 2 ) E 2 ( X ) = x 2 n dx n 2 = n 2 = 2n . n n 0 2 2 2 2 Karakteristi~nata funkcija }e bide: n +1 2 n 2

X (t ) = 0

x e dx = dx = n n 0 m =0 m! n 2 2 2 2 2 n x m (it ) x m+ 2 1e 2 dx = 1 (it )m 2 m+ n v m + n 1e v dv = 1 = n 0 m! 0 m! 2 2 n n m= n m= 0 0 2 2 2 2 2 2 n 2

n

e itx x 2 e

1

x 2

1

(itx )m

n x 1 2 2

1

n n n n m + 1 L m + m m m + (2it ) 2 = (2it ) 2 2 2 = = m! m! n n m =0 m =0 2 2 (2it )m n n + 1 L n + m 1 ( 2it )m n n 1L n m + 1 2 2 2 = 2 2 2 = = 0 m! m! m =0 m= m

n 1 m = 2 ( 2it ) = . n m =0 (1 2it ) 2 m

Teorema 2.1.a. Ako se X i Y nezavisni slu~ajni promenlivi taka {to X 2 2 2 ima n - raspredelba, a Y ima r - raspredelba, toga{ X + Y ima n+ r raspredelba. 1 1 Dokaz. Bidej}i X (t ) = i Y (t ) = , od nezavisnosta na n r 2 2 (1 2it ) (1 2it ) slu~ajnite promenlivi X i Y sleduva deka 1 X +Y (t ) = X (t )Y (t ) = , n+r (1 2it ) 2 a toa e karakteristi~nata funkcija na n+ r - raspredelbata.2

Teorema 2.1.b. Ako se X 1 , X 2 ,K , X n nezavisni slu~ajni promenlivi taka {to site imaat standardizirana normalna raspredelba2

N (0,1) , toga{

2 slu~ajnata promenliva Y = X 12 + X 22 + L X n ima n - raspredelba.

Dokaz. Bidej}i site slu~ajni promenlivi X m , m = 1,2,K , n imaat N (0,1)x 2 1

2 raspredelba, sleduva deka X m , m = 1,2, K , n , }e imaat gustina

X (x ) =2 m

2 {to zna~i deka X m

, x > 0, 1 2 2 2 ima 1 - raspredelba. Vrz osnova na prethodnata x 2 e1 22

1

=

x2 e

1

x 2

teorema, zbir od n nezavisni slu~ajni promenlivi od koi site imaat 1 raspredelba ima n - raspredelba.2

Teorema 2.1.v. Ako X n - raspredelb, x , 2

X n 1 P < x 2 2n

e

x

t2 2

dt n .

2

b) Studentova t n - raspredelba Ako T e slu~ajna promenliva od neprekinat tip so gustina na raspredelba: n +1 2 (t ) = , t R, n N n +1 2 2 n t n 1 + n 2 toga{ velime deka T ima Studentova t n -raspredelba so n stepeni na sloboda. Od parnosta na funkcijata sledi deka E (T ) = 0 . Teorema 2.1.g. Ako se X i Y nezavisni slu~ajni promenlivi taka {to Y 2 ima n - raspredelba, a X ima N (0,1) raspredelba, toga{ X T= Y n ima Studentova t n - raspredelba. Dokaz. ]e ja najdeme zaedni~kata gustina za T i Y , y y y y = X t Y ( y ) TY (t , y ) = XY t , y t = n n n n t

y > 0. n 2 2 Od zaedni~kata gustina }e ja najdeme marginalnata gustina T : 2 en 2

=

1

t2y 2n

n

y2 e

1

y 2

y , t R, n

n y e n 2 2 2 n 0 2 t2 1 So voveduvawe na smenata y 2n + 2 = v dobivame

T (t ) =

1

n 1 2 2

t2 1 y + 2n 2

dy.

T (t ) =

n +1 2 n t n 1 + n 2 2

n +1

, t R,2

3

{to treba{e da se doka`e.

2.2 OSNOVNI POIMI NA MATEMATI^KATA STATISTIKA Sevkupnosta od elementite koi gi ispituvame ili elementite za koi sakame da dobieme odredena informacija se narekuva populacija. Na populacijata ispituvame odredena karakteristika koja ja narekuvame obele`je. Ako gi sporedime ovie termini so terminite od teorija na verojatnost toga{ populacija pretstavuva mno`estvo na site elementarni nastani (mno`estvo ), a obele`je e slu~ajna promenliva koja ja ozna~uvame so X , Y , Z ,.... . Bidej}i obele`jeto X e slu~ajna promenliva, toa se karakterizira so svoja funkcija na raspredelba F (x ) . Pri ispituvawe na brojnite karakteristiki na populacijata e nevozmo`no ili mnogu te{ko da se ispita celata populacija. Poradi toa se odbira del od populacijata, nare~en primerok, komu mu se odreduvaat brojnite karakteristiki i se donesuva zaklu~ok za celata populacija. Slu~ajnite promenlivi X 1 , X 2 ,..., X n koi imaat zaedni~ka funkcija na raspredelba FX 1 , X 2 ,..., X n ( x1 , x 2 ,..., x n ) = F ( x1 ) F ( x 2 )...F ( x n ) , kade {to F (x ) e funkcija na raspredelba na obele`jeto X , go ~inat prostiot slu~aen primerok so obem n od populacijata so obele`je X . Prostiot slu~aen primerok pretstavuva n -dimenzionalna slu~ajna promenliva ~ii komponenti X i , i = 1,2,..., n , se nezavisni i ednakvo raspredeleni. Vo matemati~kata statistika }e rabotime samo so prost slu~aen primerok koj }e go narekuvame nakratko primerok. Slu~ajnata promenliva X i pretstavuva numeri~ka karakteristika za i -tiot opit. Posle izborot na primerok, dobivame konkretni vrednosti na slu~ajnite promenlivi X i , i = 1,2,..., n , koi gi obele`uvame so xi , i = 1,2,..., n . Pritoa velime deka ( x1 , x 2 ,..., x n ) e realiziran primerok. Statistika e funkcija od primerokot, Y = g ( X 1 , X 2 ,..., X n ) vo koja ne figuriraat nepoznati parametri na raspredelbata na obele`jeto X . Naj~esto koristeni statistiki se: Aritmeti~ka sredina na primerok: X n =1 n Xi i n i =1 1 n 1 n 2 2 Disperzija na primerok: S n2 = (X i X n ) = X i2 X n . n i =1 n i =1

4

Ako ( X 1 , X 2 ,..., X n ) e primerok od populacijata na obele`jeto X , toga{ statistikata 1 n k M n = X ik n i =1 pretstavuva moment od k -ti red na primerokot. Moment od prv red na primerokot pretstavuva aritmeti~kata sredina na primerokot. Centralen moment od k -ti red na primerokot e definiran kako:k Sn =

1 n k (X i X n ) . n i =1

Za k = 2 ovaa statistika pretstavuva disperzija na primerokot.1 n Xi n i =1 Ako ( X 1 , X 2 ,..., X n ) e primerok od populacijata na obele`jeto X , ~ija 1 funkcija na raspredelba e F (x ) , toga{ E (X n ) = E ( X ) i D ( X n ) = D ( X ). n Navistina, nE ( X ) 1 n 1 n E (X n ) = E X i = E ( X i ) = = E ( X ), n n i =1 n i =1 i nD( X ) 1 1 n 1 n D ( X n ) = D X i = 2 D ( X i ) = = D( X ). n n2 n i =1 n i =1 Ako obele`jeto X ima normalna raspredelba N (m, ) , }e poka`eme

2.2.1 Aritmeti~ka sredina na primerokot, X n =

deka X n ima normalna raspredelba N m, . Karakteristi~nata funkcija n na slu~ajnata promenliva X n ima oblikn t 2 2 i t m t 2 t t e n e 2 n = e itm e 2 n , X n (t ) = 1 n (t ) = n = X = i =1 X i n n Xi n i =1 {to pretstavuva karakteristi~na funkcija na slu~ajna promenliva so raspredelba N m, . n Vrz osnova na centralnata grani~na teorema imame deka prethodnoto tvrdewe aproksimativno va`i za sekoja raspredelba, odnosno za dovolno2 2

n

5

golem

primerok

mo`eme

da

smetame

deka

Xn

ima

raspredelba

D( X ) . N E ( X ), n 2.2.2 Disperzija na primerokot, S n2 =1 n 2 (X i X n ) n i =1

Disperzijata na primerokot ~estopati se presmetuva so pomo{ na 1 n 2 formulata X i2 X n . Navistina, n i =1 1 n 1 n 2 2 S n2 = ( X i X n ) = (X i2 2 X i X n + X n ) = n i =1 n i =1 1 n 1 n 1 n 2 2 = X i2 2 X i + X n = X i2 X n . n i =1 n i =1 n i =1 Ako e ( X 1 , X 2 ,..., X n ) primerok od populacijata na obele`jeto X , so obem n }e poka`eme deka n 1 E (S n2 ) = DX . n ]e go najdeme matemati~koto o~ekuvawe za S n2 :2 1 n 1 n 2 1 n 2 2 E (S ) = E X i X n = E ( X i ) E X i = n n n i =1 i =1 i =1 2 n

n nE ( X 2 ) 1 n 2 = 2 E X i + X i X j = n n i =1 i , j =1 i j n n 1 1 = E ( X 2 ) 2 E ( X i2 ) 2 E ( X i )E X j = n i =1 n i , j =1

( )

1 n 1 n(n 1) 2 (E (X 2 ) E 2 ( X )) = n n 1 D( X ). E (X ) = = 1 E (X 2 ) 2 n n n

i j

Statistikata S n2 ja ima slednata osobina: Ako raspredelba N (m, ) , toga{ Statistikata teoremata 2.1.a.

X

ima normalna

nS

2 n 2

2 ima n 1 raspredelba.

nS

2 n 2

}e ja transformirame taka {to da mo`e da se primeni

6

nS n2

2

=

n 1 n 1 2 (X i X n ) = 2 2 n i =1n 2

(( Xi =1

n

i

m ) ( X n m )) =2

X m n n 2 X m = i 2 n 2 X i m + 2 (X n m) = i =1 i =1 Xn m 1 n n 2 Xi m n X i nm + 2 ( X n m ) = = 2 n 2 i =1 i =1 n 2

2n n X m 2 = i 2 (X n m) + 2 (X n m) = i =1 n 2

2 n Xi m Xn m . = i =1 n

2

Bidej}i slu~ajnite promenlivi S n2 i X se nezavisni, sleduva deka X m i n n 2 ravenstvo dobivame

nS n2

2

se nezavisni slu~ajni promenlivi. Od poslednoto2

2 2 n nS n X n m Xi m + = . 2 i =1 n Xi m Slu~ajnite promenlivi imaat N (0,1) raspredelba za sekoe

X m 2 i = 1,2, K , n , pa vrz osnova na teorema 2.1.b sleduva deka i ima n i =1 Xn m raspredelba i bidej}i n ima N (0,1) raspredelba sleduva dekan 2

Xn m n ima 12 raspredelba. Vrz osnova na teorema 2.1.a sleduva deka 2 nS n 2 ima n 1 raspredelba, {to treba{e da se doka`e. 2

2

2.2.3 Statistikata

Xn m n 1 Sn

7

X koe ima raspredelba N (m, ) , toga{ statistikata

Ako e ( X 1 , X 2 ,..., X n ) primerok so obem n od populacijata na obele`jeto

Xn m n 1 , ima studentova t n 1 raspredelba, Snkade {to S n = S n2 . Navistina, so ednostavni transformacii na po~etnata statistika dobivame (X n m) n X n m n Xn m = n 1 = , 2 Sn nS n2 Sn n n 1 2 (n 1) pa bidej}i

X