Pengujian Hipotesis

(Bagian 4)

Dr. Kusman Sadik, M.Si

Departemen Statistika IPB, 2016

1

2

β(θ1)

3

4

5

β(θ1)

β(θ1)

β(θ1)

β(θ1) β(θ1)

6

7

Jabarkan : Tolak H0 jika [f(x|σ1)/f(x|σ0)] > k

Tentukan nilai k berdasarkan ukuran ujinya (α ):

P(Tolak H0 | H0 Benar) = α

Karakteristik sebaran : jika X1, … Xn ~ N(μ, σ)

maka (Σ(xi- μ)2/σ2) ~ χ2(n)

Solusi:

8

Penjabaran Solusi:

Hipotesis : H0 : σ = σ0 vs H1 : σ = σ1 dengan σ0 < σ1 dapat

pula ditulis sebagai berikut:

H0 : σ = σ0 vs H1 : σ > σ0

Berdasarkan Lemma Neyman-Pearson, TOLAK H0 jika:

𝐿(𝒙|H1Benar)

𝐿(𝒙|H0Benar)> 𝑘

9

𝐿(𝒙|H1Benar)

𝐿(𝒙|H0Benar)> 𝑘

( 2𝜋𝜎1)−1exp −𝑥𝑖

2

2𝜎12

𝑛𝑖=1

( 2𝜋𝜎0)−1exp −𝑥𝑖

2

2𝜎02

𝑛𝑖=1

> 𝑘

( 2𝜋𝜎1)−𝑛exp − 𝑥𝑖

2

2𝜎12

( 2𝜋𝜎0)−𝑛exp − 𝑥𝑖

2

2𝜎02

> 𝑘

(𝜎0)𝑛

(𝜎1)𝑛exp

𝑥𝑖2

2𝜎02 −

𝑥𝑖2

2𝜎12 > 𝑘

exp 𝑥𝑖

2

2𝜎02 −

𝑥𝑖2

2𝜎12 > 𝑘

(𝜎1)𝑛

(𝜎0)𝑛

10

exp 𝑥𝑖

2

2𝜎02 −

𝑥𝑖2

2𝜎12 > 𝑘

(𝜎1)𝑛

(𝜎0)𝑛

𝑥𝑖2

2𝜎02 −

𝑥𝑖2

2𝜎12 > 𝑙𝑛 𝑘

(𝜎1)𝑛

(𝜎0)𝑛

1

2

1

𝜎02 −

1

𝜎12 𝑥𝑖

2

𝑛

𝑖=1

> 𝑙𝑛 𝑘(𝜎1)𝑛

(𝜎0)𝑛

Karena 𝜎0 < 𝜎1 maka 1

𝜎02 −

1

𝜎12 > 0, sehingga

𝑥𝑖2

𝑛

𝑖=1

>𝑙𝑛 𝑘

(𝜎1)𝑛

(𝜎0)𝑛

12

1𝜎0

2 −1𝜎1

2 ⇔ 𝑥𝑖

2

𝑛

𝑖=1

> 𝑘∗

11

𝑥𝑖2

𝑛

𝑖=1

>𝑙𝑛 𝑘

(𝜎1)𝑛

(𝜎0)𝑛

12

1𝜎0

2 −1𝜎1

2 ⇔ 𝑥𝑖

2

𝑛

𝑖=1

> 𝑘∗

Berdasarkan hasil tersebut maka Tolak H0 jika 𝑥𝑖2 > k*.

Diketahui bahwa Peluang Salah Jenis I adalah α, maka:

𝑃 𝑥𝑖2 > 𝑘∗|𝜎 = 𝜎0 = α

12

Perlu dicari suatu sebaran yang mengandung 𝑥𝑖2 , yaitu:

jika X1, …, Xn ~ N(μ, σ2) maka (Σ(xi- μ)2/σ2) ~ χ2(n).

Karena μ = 0 dan H0 dianggap benar (σ = σ0), maka

(Σxi2/σ02) ~ χ2(n).

Berdasarkan hasil tersebut, maka:

𝑃 𝑥𝑖2 > 𝑘∗ = α

𝑃 𝑥𝑖

2

𝜎02 >

𝑘∗

𝜎02 = α ⇔ 𝑃 𝜒(𝑛)

2 >𝑘∗

𝜎02 = α

13

𝑃 𝑥𝑖2 > 𝑘∗ = α

𝑃 𝑥𝑖

2

𝜎02 >

𝑘∗

𝜎02 = α ⇔ 𝑃 𝜒(𝑛)

2 >𝑘∗

𝜎02 = α

Berarti:

𝑘∗

𝜎02 = 𝜒(𝛼; 𝑛)

2 ⇔ 𝑘∗ = 𝜎02 𝜒(𝛼; 𝑛)

2

Jadi UMP dengan ukuran uji sebesar α adalah Tolak H0 jika:

𝑥𝑖2 > 𝑘∗ ⇔ 𝑥𝑖

2 > 𝜎02 𝜒(𝛼; 𝑛)

2

14

Kasus lain yang serupa :

Bagaimana UMP-nya kalau kasusnya seperti di atas, tetapi

uji hipotesisnya : H0 : σ = σ0 vs H1 : σ < σ0?

Jawab :

Dengan cara yang sama, UMP-nya dengan ukuran uji sebesar

α adalah Tolak H0 jika:

𝑥𝑖2 < 𝑘∗ ⇔ 𝑥𝑖

2 < 𝜎02 𝜒(1−𝛼; 𝑛)

2

15

16

Jabarkan : Tolak H0 jika [f(x|p1)/f(x|p0)] > k

Tentukan nilai k berdasarkan ukuran ujinya (α ):

P(Tolak H0 | H0 Benar) = α

Karakteristik sebaran : jika X1, …, Xn ~

Bernoulli(p) maka (ΣXi) ~ Binomial(n, p)

Solusi:

17

Penjabaran Solusi:

Penjabaran lebih lanjut disediakan sebagai latihan

bagi mahasiswa.

18

19

Jabarkan : Tolak H0 jika [f(x|λ1)/f(x|λ0)] > k

Tentukan nilai k berdasarkan ukuran ujinya (α ):

P(Tolak H0 | H0 Benar) = α

Karakteristik sebaran : jika X1, …, Xn ~

Poisson(λ) maka (ΣXi) ~ Poisson(nλ)

Solusi:

20

Penjabaran Solusi:

Hipotesis : H0 : λ ≤ λ0 vs H1 : λ > λ0 .

Ubah menjadi hipotesis sederhana, yaitu H1 : λ = λ1 dengan

λ1 > λ0

Berdasarkan Lemma Neyman-Pearson, TOLAK H0 jika:

𝐿(𝒙|H1Benar)

𝐿(𝒙|H0Benar)> 𝑘

(𝜆1)𝑥𝑖 𝑒−𝜆1

𝑥𝑖 !𝑛𝑖=1

(𝜆0)𝑥𝑖 𝑒−𝜆0

𝑥𝑖 !𝑛𝑖=1

> 𝑘 ⇔

(𝜆1) 𝑥𝑖𝑒−𝑛𝜆 1

( 𝑥𝑖 !)𝑛

(𝜆0) 𝑥𝑖𝑒−𝑛𝜆 0

( 𝑥𝑖 !)𝑛

> 𝑘

21

(𝜆1)𝑥𝑖 𝑒−𝜆1

𝑥𝑖 !𝑛𝑖=1

(𝜆0)𝑥𝑖 𝑒−𝜆0

𝑥𝑖 !𝑛𝑖=1

> 𝑘 ⇔

(𝜆1) 𝑥𝑖𝑒−𝑛𝜆 1

( 𝑥𝑖 !)𝑛

(𝜆0) 𝑥𝑖𝑒−𝑛𝜆 0

( 𝑥𝑖 !)𝑛

> 𝑘

(𝜆1) 𝑥𝑖𝑒−𝑛𝜆 1

(𝜆0) 𝑥𝑖𝑒−𝑛𝜆 0> 𝑘 ⇔

(𝜆1) 𝑥𝑖

(𝜆0) 𝑥𝑖> 𝑘

𝑒−𝑛𝜆 0

𝑒−𝑛𝜆 1

(𝜆1) 𝑥𝑖

(𝜆0) 𝑥𝑖> 𝑘

𝑒−𝑛𝜆 0

𝑒−𝑛𝜆 1 ⇔

𝜆1

𝜆0 𝑥𝑖

> 𝑘𝑒−𝑛𝜆 0

𝑒−𝑛𝜆 1

⇔ ( 𝑥𝑖)𝑙𝑛 𝜆1

𝜆0 > 𝑙𝑛 𝑘

𝑒−𝑛𝜆 0

𝑒−𝑛𝜆 1

22

(𝜆1) 𝑥𝑖

(𝜆0) 𝑥𝑖> 𝑘

𝑒−𝑛𝜆 0

𝑒−𝑛𝜆 1 ⇔

𝜆1

𝜆0 𝑥𝑖

> 𝑘𝑒−𝑛𝜆 0

𝑒−𝑛𝜆 1

⇔ ( 𝑥𝑖)𝑙𝑛 𝜆1

𝜆0 > 𝑙𝑛 𝑘

𝑒−𝑛𝜆 0

𝑒−𝑛𝜆 1

Karena λ1 > λ0 maka 𝑙𝑛 𝜆1

𝜆0 > 0, sehingga:

𝑥𝑖 > 𝑙𝑛 𝑘

𝑒−𝑛𝜆 0

𝑒−𝑛𝜆 1

𝑙𝑛 𝜆1𝜆0

⇔ 𝑥𝑖 > 𝑘∗

Sehingga UMP-nya adalah:

𝑃 𝑥𝑖 > 𝑘∗|𝜆 = 𝜆0 = α

23

Dapat dilanjutkan jika misalnya hipotesisnya adalah

H0 : λ ≤ 1 vs H1 : λ > 1

Sehingga UMP-nya adalah: 𝑃 𝑥𝑖 > 𝑘∗|𝜆 = 1 = α

Perlu diingat : jika peubah acak X1, …, Xn ~ Poisson(λ),

dan Y = 𝑥𝑖 maka 𝑌 ~ Poisson(nλ). Berdasarkan hal

tersebut E(Y) = nλ dan Var(Y) = nλ.

Teorema Limit Pusat : 𝑌−𝐸(𝑌)

𝑉𝑎𝑟 (𝑌)~Normal(0, 1), untuk n ~

24

Berdasarkan hasil tersebut:

𝑃 𝑥𝑖 > 𝑘∗|𝜆 = 1 ≈ 0.05 ⇔ 𝑃 𝑌−𝑛

𝑛>

𝑘∗−𝑛

𝑛 = 0.05

𝑃 𝑍 >𝑘∗−𝑛

𝑛 = 0.05 ⇔

𝑘∗−𝑛

𝑛 = 1.645 Pers(1)

𝑃 𝑥𝑖 > 𝑘∗|𝜆 = 2 ≈ 0.90 ⇔ 𝑃 𝑌−2𝑛

2𝑛>

𝑘∗−2𝑛

2𝑛 = 0.90

𝑃 𝑍 >𝑘∗−2𝑛

2𝑛 = 0.90 ⇔

𝑘∗−2𝑛

2𝑛 = -1.280 Pers(2)

Berdasarkan Pers(1) dan Pers(2)

n + 1.645 𝑛 = 2n - 1.28 2𝑛 ⇔ n = 12

k* = 12 + 1.645 12 = 17.698

25

Casella :

Exercises 8.33, 8.37, 8.38, 8.41

26

1. Casella, B. and R.L. Berger. 2002. Statistical Inference,

2nd Edition. Duxbury.

2. Hogg, R., Mc Kean, and Craig, A. 2005. Introduction to

Mathematical Statistics, 6th Edition. Prentice Hall.

3. Pustaka lain yang relevan.

27

Bisa di-download di

http://www.stat.ipb.ac.id/en/index.php?page=dr-kusman-sadik