151

CAPTULO 11

MXIMOS Y MNIMOS

11.1 INTERPRETACIN GEOMTRICA DE LA DERIVADA

Para interpretar geomtricamente el concepto de la derivada, debe recordarse primera-mente su definicin dada en la pgina 45, as como el significado de un lmite:

0x

dy ylimdx x

=

que equivale a la pregunta hacia dnde se

acerca el valor del cociente bajo layx

condicin de que el incremento de x seest aproximando a cero?

Luego debe entenderse la figura11.1. En ella, f(x) representa la grfica decualquier funcin (de hecho, la que se estderivando). Sobre esa curva hay dos pun-tos: un punto P por el que pasa la recta

y

T

S

x

f(x)

P

Q

M

x

y

figura 11.1

Mximos y mnimos

152

tangente T a la curva y otro punto Q por el que pasa la secante S.

La recta tangente T forma un ngulo con el eje x mientras que la secante S forma unngulo . Obsrvese que las coordenadas del punto P son P (x,y). Adems, el ngulo QPMes igual al ngulo . Por lo tanto, en el tringulo QPM se tiene que

ytanx

= cateto opuesto

cateto adyacente

Es necesaria una aclaracin: En el idioma Espaol, como en muchos otros, las palabrassuelen tener ms de un significado. Por ejemplo, la palabra clase tiene el significado del sitio endonde se imparten ctedras; pero tambin se emplea para denotar clasificacin en Biologa, losseres vivos pertenecen a una clase, a un orden, a una familia, a un gnero y a una especie. Tam-bin se utiliza la palabra clase para denotar categora o distincin, cuando se habla de una perso-na con clase.

Es el caso particular de la palabra tangente, que en esta explicacin de la interpretacinde la derivada se emplear con dos significados diferentes, por lo que el estudiante debe estaralerta para interpretar correctamente dicha palabra cada vez que aparezca. La palabra tangentetiene un significado trigonomtrico que quiere decir el cateto opuesto entre el cateto adyacente;por otra parte, tiene un significado geomtrico y se utiliza para denotar la recta o curva que tocaen un solo punto a otra curva. Se distinguen, entre otras cosas, porque la tangente trigonomtricase abrevia tan y adems tiene argumento, por ejemplo, tan 23, mientras que la tangente geo-mtrica no se abrevia y no tiene argumento.

En la figura 11.1, la recta T es la tangente (geomtrica) a la curva , mientras( )y f x=que el cociente de los incrementos al que se refiere la definicin de la derivada es la tan-

yx

gente trigonomtrica del ngulo .

Mximos y mnimos

153

La definicin de la derivada exige que el incremento de x tienda a cero ( ) . En-0x tonces observando la figura 11.1 se ve que si el punto Q se mueve sobre la curva aproximndoseal punto P, lo que se consigue simultneamente es que

a) La recta secante S se aproxime a la recta tangente T.b) El ngulo se acerca al ngulo .c) El incremento de x tiende a cero ( ).0x

Recordando de la Geometra Analtica que la pendiente m de una recta es la tangente(trigonomtrica) del ngulo que forma dicha recta con la horizontal, en la figura 11.1, la pendien-te de la recta tangente (geomtrica) T es mT = tan , mientras que la pendiente de la secante es

Sym tanx

= =

y como cuando el ngulo tiende al ngulo , necesariamente la pendiente de la se-0x cante S se aproxima a la pendiente de la tangente T, o lo que es lo mismo, ,tan tan finalmente se concluye que

0 Tx

ylim m tanx

= =

pero como este lmite es la derivada, se llega a que

Tdy m tandx

= =

la cual, interpretada con palabras y conforme a lo que representa cada literal y smbolo en la fi-gura 11.1, se puede decir que:

Mximos y mnimos

154

La derivada de una funcin y = f(x) es la pendiente de larecta tangente a la curva de dicha funcin, en el punto decoordenadas P ( x, y ).

Tmese en cuenta que las variables x e y que aparezcan en las derivadas de los siguien-tes ejemplos representan las coordenadas del punto de tangencia de la recta tangente a la curvade la funcin que se deriva y = f(x).

Ejemplo 1: Calcular el ngulo de inclinacin que forma la tangente a la curva y = x2 en el punto P(2, 4).

Solucin: Conviene graficar la funcin y su tan-2y x=gente para visualizar el problema. Dicha grfi-ca es la figura 11.2.

Aunque debe suponerse que el estudiante enestos momentos ya tiene conocimientos sobrelas grficas ms elementales, la manera mssimple de graficar es tabulando:

x 0 1 2 - 1 - 2

y 0 1 4 1 4

En la figura 11.2 se muestra la tangente T a laparbola en el punto P(2, 4), as como2y x=el ngulo que forma con el eje x. Dichongulo es el que se pide calcular.

p(2, 4)

T

figura 11.2

Mximos y mnimos

155

Derivando y = x2 :

2dy xdx

=

Se dijo recientemente que las variables x e y que aparezcan en la derivada representan lascoordenadas del punto de tangencia, de manera que en este caso, x = 2, y = 4, aunque en estaderivada no aparece la variable dependiente y. Entonces

( )2 2dydx

=

4dydx

=

Y como la derivada es la tangente (trigonomtrica) del ngulo que forma la recta tangente(geomtrica) con la horizontal, se tiene que

4dy tandx

= =

de donde

4arc tan =

75 96. =

Ejemplo 2: Una recta tangente a la curva forma un ngulo de 50 grados con la hori-2 4 6y x x= +zontal. Encontrar las coordenadas del punto de tangencia P ( x, y ).

Mximos y mnimos

156

Solucin: Nuevamente conviene graficar para visua-lizar el enunciado del problema. La figura11.3 lo muestra. La recta tangente T estformando un ngulo grados con la = 50horizontal, se desea saber cules son lascoordenadas del punto P en donde pegadicha recta con la parbola.

Derivando :2 4 6y x x= +

2 4dy xdx

=

y como la derivada es la tangente (trigono-mtrica) del ngulo que forma la recta tan-gente a la curva, entonces

2 4 50dy x tandx

= =

Esto es

2x - 4 = tan 502x - 4 = 1.19175 2x = 1.19175 + 4 2x = 5.19175

5 19175

2.x =

2 59x .=

Como se dijo que las variables x e y que aparezcan en la derivada son las coordenadas del

= 50

P(x, y)

T

figura 11.3

Mximos y mnimos

157

punto de tangencia, significa que este valor de x pertenece a la parbola; por lo tanto, susti-tuyendo en su ecuacin se obtiene el valor de la ordenada (y) del punto de tangencia P.

As que sustituyendo en el valor de se obtiene:2 4 6y x x= + 2 59x .=

( ) ( )22 59 4 2 59 6y . .= +6 7081 10 36 6y . .= +2 34y .=

Las coordenadas del punto pedido son:

( )P 2 59 2 34. ; .

Ejemplo 3: Obtener las coordenadas del punto de tangencia a la circunferencia (x - 2)2 + (y - 3)2 = 25, talque su recta tangente a ella sea horizontal.

Solucin: La circunferencia correspondiente a la ecua-cin dada tiene centro en y un radio( )C 2 3,

. Por lo tanto, su grfica es la mostrada5r =en la figura 11.4. Por simple intuicin se veque por los puntos P y Q pasan las tangenteshorizontales, mientras que en cualquier otropunto de la circunferencia su tangente tendralguna inclinacin, pero no ser horizontal, locual se comprobar con los clculos.

Derivando la ecuacin de la circunferencia, lacual est en forma implcita:

C(2, 3)

P

Q

figura 11.4

Mximos y mnimos

158

( ) ( )2 22 3 25d d dx ydx dx dx

+ =

( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 12 2 2 2 3 3 0d dx x y ydx dx

+ =

( ) ( )2 2 2 3 0dyx ydx

+ =

( ) ( )2 3 2 2dyy xdx

=

23

dy xdx y

=

La pendiente debe ser igual a cero para que la recta sea horizontal y como la derivada es lapendiente de la recta tangente, se tiene que

2 03

dy xdx y

= =

lo que implica que x - 2 = 0, ya que una divisin es igual a cero solamente si el numerador esigual a cero. Por lo tanto, x = 2. Ya se dijo que los valores de x e y que aparezcan en la de-rivada son las coordenadas del punto de tangencia, de manera que la abscisa del punto detangencia de las recta tangente horizontal a la circunferencia es x = 2.

Para obtener la ordenada del punto de tangencia, basta sustituir el valor de x = 2 en la ecua-cin de la circunferencia, ya que dicho punto de tangencia pertenece tanto a la recta tangentecomo a la circunferencia:

( ) ( )2 22 2 3 25y + =( )23 25y =

Mximos y mnimos

159

3 25y = 3 5y =

5 3y = + 1 5 3y = + +

1 8y =2 5 3y = +2 2y =

Significa que para el mismo valor de x = 2, le corresponden dos valores para la ordenada,uno es y1 = 8 y el otro es y2 = - 2. Por lo tanto las coordenadas de los puntos de tangencia ala circunferencia dada son

P (2, 8) y Q (2, - 2)

tal como se haba previsto desde que se visualiz la figura 11.4 y ahora se muestra en la figu-ra 11.5.

C(2, 3)

P

Q

tangente 1

tangente 2

figura 11.5

Mximos y Mnimos

160

11.2 MXIMOS Y MNIMOS

Lo anterior lleva a una aplicacin de laderivada muy interesante llamada Mximos yMnimos. Se refiere a la forma de obtener lospuntos mximos y mnimos de una funcin, locual tiene aplicaciones muy importantes como sever ms adelante.

Supngase que la grfica de cualquierfuncin es la curva mostrada en la( )y f x=figura 11.6. En ella, los puntos A y E se llamanmximos; los puntos C y G se llaman mnimos;y los puntos B, D, F y H se llaman puntos deinflexin.

No se puede definir un mximo como elpunto ms alto de la curva, pues obsrvese en lafigura 11.6 que el punto H est ms alto que lospuntos mximos A y E. Por la misma razn, nose puede definir un mnimo como el punto msbajo de la curva, pues vase que el punto F estms abajo que el punto mnimo C.

Como definir un punto mximo y un puntomnimo con todo rigor ha sido motivo de contro-versias entre los matemticos, aqu se va a dar unadefinicin simplemente convincente. En la figu-ra 11.7, el punto M es mximo con coordenadas(x, y), es decir, para una abscisa x le correspondela ordenada y. Entonces, se tiene un mximo endicho punto si para cualquier abscisa alrededor de

A

B

C

D

E

F

G

H

xx

y

y

figura 11.6

M

xx

y

y

yy1 y2

x1x

x2

figura 11.7

AleXHighlight

AleXHighlight

Mximos y Mnimos

161

M le corresponde una ordenada ym menor que la de M. Efectivamente, en la figura 11.7, para laabscisa x1 le corresponde una ordenada y1 que es menor que y; y para la abscisa x2 le corres-ponde una ordenada y2 tambin menor que y.

Por similitud, un punto N de coordenadas (x, y) es mnimo si para cualquier abscisa (x)alrededor de N le corresponde una ordenada yn mayor que la de N. O sea que para una abscisax1 le corresponda una ordenada y1 mayor que y; y para una abscisa x2 le corresponda una orde-nada y2 tambin mayor que y, con x1 < x < x2.

Un punto de inflexin es aquel en donde cambia el sentido de la curvatura.

Una caracterstica importantsima de los puntos mximos y mnimos es que all la tangen-te es horizontal, es decir, con pendiente cero. Entonces para localizar dichos puntos debe seguir-se un procedimiento semejante al mostrado en el ejemplo 3 de la pgina 157, en el que solamentehara falta investigar cul punto es mximo y cul es mnimo.

En la figura 11.8 se tiene la tangente T1con punto de tangencia en x1 < x, la cual tienependiente positiva. Y se tiene otra tangente T2con punto de tangencia en x < x2, la cual tienependiente negativa.

x1 < x < x2

La pendiente de la tangente T1 es posi-tiva mientras que la pendiente de la tangente T2es negativa. Como la pendiente de la recta tan-gente es la derivada, se puede afirmar que cuan-do se toma un valor de la abscisa (de la x ), res-pecto del punto M, primero menor y luego ma-yor, si la derivada pasa de positiva a negativa,ese punto M es un mximo.

M

y

y

x1x

x2

T = pendiente negativa

2

T =

pen

dien

te p

ositiv

a

1

figura 11.8

AleXHighlight

AleXHighlight

AleXHighlight

Mximos y Mnimos

162

Para calcular los mximos y/o mnimos de una funcin f(x):

1) Se deriva la funcin y = f( x ) y se iguala a cero la derivada.

2) Se resuelve la ecuacin resultante del paso anterior. Las racesencontradas se llaman valores crticos y son los que por tenertangente con pendiente cero (tangentes horizontales), puedenser mximos o mnimos.

3) Para investigar cada valor crtico si es mximo o mnimo:

a) Se toma un valor un poco menor a ese valor crtico y sesustituye en la derivada. Luego se toma un valor unpoco mayor y se sustituye en la derivada.

b) Si el valor de la derivada cambia de positivo a negativo,el valor crtico en anlisis es un mximo; si cambia denegativo a positivo, es un mnimo. En el caso extremode que no cambie de signo, se trata de un punto de in-flexin.

Lo inverso, pero bajo el mismo anlisis, se puede deducir para un mnimo: Cuando setoma un valor de la abscisa (de la x ), respecto del punto M, primero menor y luego mayor, si laderivada pasa de negativa a positiva, ese punto M es un mnimo.

En sntesis, se puede formular la siguiente regla para calcular los mximos y/o mnimosde una funcin f(x):

Mximos y Mnimos

163

Ejemplo 1: Hallar los valores mximos y/o mnimos de la funcin .2 4 7y x x= +

Solucin: Graficando la funcin anterior se obtiene la pa-rbola de la figura 11.9, en la cual se ve que tie-ne solamente un mnimo. Lo anterior deberconfirmarse aplicando el procedimiento.

Paso 1: Derivando la funcin e igualando acero:

2 4 0dy xdx

= =

Paso 2: Resolviendo 2x - 4 = 0, se llega a que x = 2. Este es el valor crtico. En estemomento se sabe que en x = 2 hay unmximo o un mnimo, pero no se sabecul de los dos.

Paso 3a: Dando primero un valor un poco ms pequeo que x = 2, por ejemplo, con x = 1 ysustituyendo en la derivada:

( )2 1 4 2dydx

= =

luego con un valor un poco mayor que x = 2, por ejemplo con x = 3 y sustituyendoen la derivada:

( )2 3 4 2dydx

= = +

Paso 3b: Como la derivada cambi de signo de negativo a positivo significa que existe unmnimo en el valor crtico que se analiza, es decir, hay un mnimo en x = 2.

- 2 - 1 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

figura 11.9

Mximos y Mnimos

164

Ejemplo 2: Investigar los mximos y mnimos de la funcin 3 23 9 15y x x x= +

Solucin: Paso 1: Derivando e igualando a cero se obtiene: 23 6 9 0dy x xdx

= =

Paso 2: Resolviendo la ecuacin anterior:

23 6 9 0x x = x1 = 3 x2 = - 1

Se sabe en este momento que uno de esos dos puntos es un mximo y el otro esmnimo, pero no se sabe cul es cada uno. Para investigarlo son los pasos siguien-tes.

Paso 3: Analizando el valor crtico x1 = 3. Tomando primero un valor un poco menor, porejemplo x = 2 y sustituyndolo en la derivada:

( ) ( )23 2 6 2 9 9dydx

= = Como cambi el sig-no de la derivada demenos a ms, signifi-ca que hay un mni-mo en el valor crtico

.1 3x =

Tomando ahora un valor un poco ma-yor, por ejemplo, x = 4 y sustituyn-dolo en la derivada:

( ) ( )23 4 6 4 9 15dydx

= = +

Paso 4: Analizando el valor crtico x2 = - 1. Tomando primero un valor un poco menor, porejemplo x = - 2 y sustituyndolo en la derivada:

Mximos y Mnimos

165

( ) ( )23 2 6 2 9 15dydx

= =Como cambi el sig-no de la derivada dems a menos, signifi-ca que hay un mxi-mo en el valor crtico

.2 1x =

Tomando ahora un valor un poco ma-yor, por ejemplo, x = 0 y sustituyn-dolo en la derivada:

( ) ( )23 0 6 0 9 9dydx

= =

EJERCICIO 17

Obtener los valores mximos y/o mnimos de las funciones

1) 2)25 10 9y x x= + 27 14 9y x x= + 3) 4)28 8 1y x x= + 26 24 9y x x= 5) 6)3 22 9 12 24y x x x= + + + 3 23 45 3y x x x= + +7) 8)3 22 15 84 18y x x x= + 3 24 27 24 30y x x x= + +9) 10)3 24 7 6 2y x x x= + 3 28 17 12 14y x x x= + +

Mximos y Mnimos

166

11.3 APLICACIN DE MXIMOS Y MNIMOS

Existen muchos problemas del mundo real cuyas diferentes posibles soluciones van pri-mero creciendo y luego decreciendo o a la inversa, lo que implica que tienen un valor mximo oun valor mnimo, los cuales no pueden encontrados por mtodos algebraicos, sino solamente conla aplicacin del Clculo Diferencial.

La parte medular de la solucin de estos problemas consiste en saber construir una fun-cin que describa el comportamiento del fenmeno enunciado. Una vez construida dicha fun-cin, simplemente se le aplica el procedimiento de encontrarle sus mximos y/o mnimos.

Ejemplo 1: Un problema clsico es el de la cajita. Se desea construir una caja sin tapa, de base cuadran-gular, a partir de una lmina cuadrada de 60 unidades de longitud de lado, recortando cuadra-dos de sus esquinas y doblando las pestaas sobrantes para que sean su altura. Calcular lasdimensiones de la caja de mayor volumen.

Solucin: La figura 11.10 muestra la idea. Lalmina entera est a la izquierda conlos dobleces que se le han de hacery los cuadritos en las esquinas quedeben eliminarse. A la derecha apa-rece la cajita ya construida.

Sea x la longitud del cuadrito a eli-minarse, por lo tanto la longitudrestante que ser realmente lo largoy ancho de la cajita es de 60 - 2x.

Antes de resolver el problema con-viene hacer una pequea tabla paramostrar que con diferentes valoresdel cuadrito a eliminar de lado x ,que es lo mismo que la altura de lacaja, se obtienen volmenes diferen-

X X

X

60 - 2x 60 - 2x

60 - 2

x

Eliminar

Dobleces

figura 11.10

Mximos y Mnimos

167

tes. O sea, si la altura de la caja es, por ejemplo, x = 1, las otras dimensiones son de 58 58y su volumen es de 1 58 58 3364V = =

x 1 2 4 9 11 15 20

largo y ancho 58 56 52 42 38 30 20

Volumen 3 364 6 272 10 816 15 876 15 884 13 500 8 000

va aumentando va disminuyendo

Puede verse en la tabla que el volumen va aumentando hasta cierto valor y luego comienza adescender, lo que significa que hay algn volumen que es ms grande que los dems, o seaque es mximo. No puede afirmarse a la ligera que el volumen mximo es V = 15 884 corres-pondiente a las dimensiones 11 38 38 simplemente porque ese es el que se ve en la tabla,pues bien podra ser que antes de x = 11 y despus de x = 9 se haya logrado el mximo yque al pasar por x = 11 ya venga en descenso. O tambin podra ser posible que despus dex = 11 siga creciendo el volumen y luego al descender (entre x = 11 y x = 15) se lleg a V= 13 500 cuando x = 15, segn la tabla.

Tampoco tendra validez completar la tabla con los valores de ; ; y10x = 12x = 13x = para analizar la tabla y sacar una conclusin, pues de entrada nada garantiza que el14x =

mximo se obtenga para un valor entero de x, sino para un valor decimal. La nica maneracertera de obtener el valor de x para el cual el volumen es mximo es aplicando el procedi-miento de mximos y/o mnimos del Clculo Diferencial.

El volumen de la cajita es

V = x (60 - 2x)(60 - 2x) = x (3600 - 240x + 4x2) = 360 0x - 240x2 + 4x 3

Esta es la funcin que describe el comportamiento del enunciado, por lo tanto es la que debederivarse y aplicarle todo el procedimiento de mximos y/o mnimos:

Mximos y Mnimos

168

23600 480 12dV x xdx

= +

igualando a cero y resolviendo:

212 480 3 600 0x x + =

de donde los valores crticos que se obtienen son

1 30x =2 10x =

Cul de ambos valores es mximo y cul es mnimo? Para investigarlo se puede recurrir alproceso general, es decir, dar un valor un poco menor, luego un valor un poco mayor, etc.,pero a veces, como en este ejemplo, se puede deducir por lgica. Recordando que x repre-senta la altura de la cajita, es decir, la longitud del cuadrito a eliminarse, si sta mide 30, alquitar por cada esquina cuadritos de 30, cunta lmina queda para hacer la cajita? Nada!Significa que en x = 30 hay un mnimo. Por lo tanto, en x = 10 hay un mximo.

De hecho, conviene siempre que se va a resolver un problemas de mximos y/o mnimos lo-calizar los valores frontera de la variable independiente. En este caso, los valores frontera dex son, por un extremo x = 0, ya que as la caja carece de altura y su volumen es cero; el otroes x = 30 porque as se elimina toda la lmina y no queda nada para construir la caja, por lotanto su volumen es cero. Como no puede haber dos mnimos seguidos sin que haya al menosun mximo en medio, el valor crtico obtenido de x = 10 debe ser mximo.

Las dimensiones de la cajita han de ser 10 40 40 y el volumen mximo que se puedeobtener es de

10 40 40V = .16 000V =

Mximos y Mnimos

169

Ejemplo 2: Con 875 metros de rollo de alambrada debe cercarse un terreno rectangular por tres de suslados, ya que el cuarto lado estar limitado por el cause de un ro. De qu medidas deberhacerse para que su superficie sea la mxima abarcada?

Solucin: A pesar de la irregularidad delbordo del ro, se considerar co-mo si fuera una lnea recta paraque el terreno tome una formarectangular perfecta.

Sea x la altura del rectngulo(ver figura 11.11); por lo tanto,la base ser 875 - 2x y la super-ficie del terreno ser

S = x ( 875 - 2x )S = 875x - 2x 2

Esta es la funcin a la que debeaplicarse el procedimiento de mximos y/o mnimos. Entonces derivndola:

875 4dS xdx

=

igualando a cero y resolviendo:

875 - 4x = 0 - 4x = - 875

875

4x =

218 75x .=

Este es el valor crtico. Por lgica se deduce que cuando x = 0 o bien cuando x = 437.5 se

875 - 2x

x

figura 11.11

Mximos y Mnimos

170

obtiene la superficie mnima (son los valores frontera de la variable x), que es cero, porqueen realidad se construye una lnea recta doble. Por lo tanto, con x = 218.75 se obtiene el m-ximo.

Las dimensiones del terreno deben ser

x (875 - 2x)218.75 (875 - 437.5)

218 75 437 5. .

Ejemplo 3: Con 875 metros de rollo de alambrada debe cercarse un terreno rectangular por sus cuatrolados. De qu medidas deber hacerse para que su superficie sea la mxima abarcada?

Solucin: A diferencia del ejemplo anterior, ahora vaa cercarse el terreno por sus cuatro lados.

Sea x la altura del rectngulo; por lo tanto,

la base ser (ver figura 11.12)875 2

2x

y la superficie del terreno ser

( ) 875 22

xS x = 2875 2

2x xS =

que es la funcin a derivar:

( )1 875 42

dS xdx

=

x x

2

875 - 2x

figura 11.12

Mximos y Mnimos

171

igualando a cero y resolviendo la ecuacin resultante:

( )1 875 4 02

x = 875 4 0x =

4 875x =

8754

x = 218 75x .=

Este es el valor crtico. Los valores frontera de la variable x son x = 0 y x = 437.5 porquedicha variable no puede valer menos que cero ni ms que 437.5. Nuevamente se deduce porlgica que este valor crtico es un valor mximo, ya que cuando o bien cuando0x =

el rea abarcada es mnima (igual a cero). Por lo tanto, el cuadrado es el de ma-437 5x .=yor rea en virtud de que los cuatro lados deben medir 218.75.

Ejemplo 4: En un terreno fangoso rectangular quemide 5 km de ancho por 8 km de largo setiene que comunicar el punto A con elpunto B por medio de una carretera, co-mo lo muestra la figura 11.13. La carrete-ra debe atravesar desde el punto A hastacierto punto P situado en el lado contra-rio; y luego desde P hasta B debe tra-zarse la carretera paralelamente al terrenofangoso, pero ya por tierra firme. El cos-to a travs del terreno fangoso es de 10millones de pesos el kilmetro mientrasque por tierra firme es de 7 millones depesos el kilmetro. Calcular las distan-cias AP por terreno fangoso y PB portierra firme tales que el costo total de la carretera sea el mnimo.

terreno fangoso

A

B

5

8

x 8 - x

P

figura 11.13

Mximos y Mnimos

172

Solucin: Sea x la ubicacin del punto P respecto del vrtice inferior izquierdo del terreno fangoso(ver figura 11.13). Por lo tanto, el resto PB debe ser (8 - x). Obsrvese que los valores fron-tera para la variable x son x = 0 y x = 8, es decir, 0 < x < 8.

Conforme a la figura 11.13, la distancia AP se puede obtener por el teorema de Pitgoras:

2 2AP 5 x= +2AP 25 x= +

El costo total C de la carretera es el costo unitario (por kilmetro) de cada tramo por su longitud, es decir

(4.1)( )210 25 7 8C x x= + + Antes de calcular el costo mnimo, es saludable hacer una tabla de los diferentes costos segnsea la ubicacin del punto P para visualizar la variacin de dichos costos. En la tabla loscostos estn en millones de pesos. Para obtener el costo total de la carretera dependiendo delvalor dado a x simplemente hay que sustituir en la frmula del costo (4.1):

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

costo 106 99.99 95.85 93.30 92.03 91.71 92.10 93.02 94.33

Puede verse en la tabla que los costos van disminuyendo y aparentemente el mnimo se obtie-ne cuando x = 5. Los clculos siguientes demostrarn que no debe guiarse uno por la apa-riencia.

Derivando la frmula del costo (4.1):

( )2

10 27

2 25

xdCdx x

= +

Mximos y Mnimos

173

2

10 725

dC xdx x

= +

Igualando a cero y resolviendo la ecuacin resultante:

2

10 7 025

xx

=+

multiplicando ambos miembros de la igualdad por para eliminar el denomina-225 x+

dor:

( ) ( )2 2 221025 7 25 0 2525 xx x xx + + = + + 210 7 25 0x x + =

210 7 25x x= +elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad:

( ) ( )22 210 7 25x x= +( )2 2100 49 25x x= +

2 2100 49 1225x x= +2 2100 49 1225x x =

251 1225x =2 1225

51x =

2 24 0196x .=

Mximos y Mnimos

174

4 90098x .=

Como el valor crtico negativo no tiene sentido porque x representa una longitud (ver figu-ra), entonces x = 4.9008 es el mnimo. Y como se dijo al inicio, el hecho de que en la tablahaya aparecido el valor de x = 5 como el mnimo no significa que este valor lo sea realmen-te.

El costo mnimo se puede obtener sustituyendo x = 4.9008 en (4.1):

( )210 25 4 9008 7 8 4 9008C . .= + + Recurdese que el 10 antes del radical indica diez millones pesos, que es el costo por km enel terreno fangoso; y que el 7 antes del parntesis indica siete millones de pesos, que es elcosto por km en terreno firme. Por lo tanto, la unidad de costo es de milln de pesos. Conti-nuando las operaciones anteriores:

( )10 49 0178 7 3 0992C . .= +91 70711313C .=

El costo mnimo es de $91 707 113.13 .

Ejemplo 5: Se deben construir envases cilndricos de bebida con capa-cidad de 300 cm3. Calcular las dimensiones que deben te-ner para que su costo sea el mnimo.

Solucin: El costo de cada envase depende del material que se lleve;por lo tanto, el de costo mnimo ser el que tenga menorsuperficie.

Supngase que los envases tienen forma cilndrica recta deespesor uniforme, con altura h y radio r. Su superficie es

h

r

figura 11.14

Mximos y Mnimos

175

igual al rea de la figura 11.15, en donde la base del rectngulo es igual al permetro p de lacircunferencia de la tapa.

El rea de dicha superficie (figura 11.15) es elrea de dos crculos iguales de radio r ms ladel rectngulo:

(5.1)22A r ph= +

en donde el permetro p es igual a ,2p r=por lo tanto, sustituyendo en la igualdad (5.1):

(5.2)22 2A r rh = +

Por otra parte, el volumen del envase es el readel crculo de una de las tapas por la altura delcilindro:

2300 r h=

de donde

(5.3)2300h

r=

sustituyendo el valor de h de (5.3) en (5.2) se obtiene:

22

3002 2A r rr

= +

22

6002 rA rr = +

h

p

r

figura 11.15

Mximos y Mnimos

176

(5.4)26002A r

r= +

que es la funcin a derivar para obtener el mximo y/o mnimo respecto del radio r. Derivan-do se obtiene que:

2 12 600dA d dr rdr dr dr

= +

(5.5)26004dA r

dr r=

Igualando a cero y resolviendo:

2

6004 0rr

=

multiplicando toda la igualdad por r2 para eliminar denominadores:

34 600 0r = 3

6004

r =

3 600

4r =

r = 3.627 (5.6)

Aplicando la regla general para saber si este valor crtico es mximo o mnimo, es decir, dan-do primero un valor un poco menor y sustituyendo en la derivada; luego un valor un pocomayor y viendo el cambio de signos de la derivada:

Mximos y Mnimos

177

Con un valor un poco menor, por ejemplo con r = 3 y sustituyendo en (5.5):

( ) 26004 3 3dAdr

=

28 96dA .dr

=

Como cambi de menos ams el signo de la derivada,significa que en el valorcrtico r = 3.627 cm hay unmnimo.

Tomando ahora un valor un pocomayor, por ejemplo r = 4 y susti-tuyendo en la derivada:

( ) 26004 4 4dAdr

=

12 76dA .dr

=

La altura del envase con superficie mnima se obtiene sustituyendo el valor del radio r en laigualdad (5.3):

2

300hr=

( )23003 627

h.=

h = 7.258 cm

Las dimensiones del envase cilndrico ms econmico que pueda contener 300 cm3 de volu-men son de r = 3.627 cm y altura h = 7.258 cm.

Mximos y Mnimos

178

Ejemplo 6: Una agencia de publicidad cobra por centmetro cuadrado del rea total empleada (rea co-brable), lo que incluye el rea imprimible ms dos mrgenes de 2cm a la izquierda y a la de-recha y dos de 3 cm arriba y abajo. Un cliente necesita mandar hacer una publicidad que ten-ga 480 cm2 de rea impresa. Calcular las dimensiones que debe tener la regin cobrable paraque el costo sea el mnimo (ver figura 11.16).

Solucin: Como la empresa cobra por el rea total utiliza-da, incluidos los mrgenes, el costo ser mnimocuando dicha rea sea mnima.

Sea x la base del rectngulo del rea imprimible.Por lo tanto, como dicha rea (base por altura)debe ser de 480 cm2, la altura es entonces

(6.1)480altura

x=

Entonces el rea cobrable es un rectngulo cuyasdimensiones son de base (ver figura( )4x +11.16) por de altura, es decir, el

480 6x

+ rea cobrable es

(6.2)( ) 4804 6cA x x = + +

Por ejemplo, si x = 2, las dimensiones del rea imprimible son de 2 240 = 480 cm2. Sinembargo, las dimensiones del rea cobrable, aumentando los mrgenes, son de 6 246 =1476 cm2, dimensiones que se obtienen sumndole 4 cm (dos de cada lado de mrgenes) a

y sumndole 6 cm (tres de cada lado de mrgenes) a la altura. O bien, de una manera2x =ms simple, basta sustituir x = 2 en la igualdad (6.2).

3

3

2 2x

reaimprimible

rea cobrable

reacobrable

480x

figura 11.16

Mximos y Mnimos

179

La siguiente tabla muestra cmo el costo es diferente para diferentes medidas de la publici-dad, siempre y cuando el rea imprimible tenga 480 cm2. Para obtener los valores correspon-dientes a la tercera fila (Ac = rea cobrable), basta sustituir el valor de x en la igualdad (6.2).

x 4 6 8 10 12 16 20 24 30 40

altura 120 80 60 48 40 30 24 20 16 12

A c 1008 860 792 756 736 720 720 728 748 792

Se ve que el rea cobrable mnima est entre x = 16 y x = 20. Si se multiplica el valor de xpor el correspondiente de su altura siempre da 480 cm2. No confundir el rea imprimible (quesiempre ha de ser 480 cm2) con el rea cobrable que incluye los mrgenes obligatorios.

Para obtener el valor de x para el que Ac es mnima se deriva la igualdad (6.2) con la fr-mula del producto uv:

( ) ( )2480 4804 6 1cdA xdx xx = + + + ( )

2

480 4 480 6cxdA

dx xx+ = + +

(6.3)2480 1920 480 6cdA x x

dx xx+ += +

Igualando a cero y resolviendo la ecuacin que resulta:

2

480 1920 480 6 0x xxx

+ + =

Multiplicando ambos miembros de la igualdad por x2 para eliminar denominadores:

2480 6 480 1920 0x x+ =

Mximos y Mnimos

180

x

y

figura 11.17

26 1920x =2 1920

6x =

2 320x =17 8885x .=

Se deja al estudiante que haga la prueba para ver que este valor crtico es mnimo. Efectiva-mente, result como se haba ya predicho de la tabla anterior que estaba entre y16x =

. La altura del rea cobrable se obtiene sustituyendo el valor de x mnimo en (6.1):20x =

480 480altura 6 617 8885x .

= + = +altura = 32.8328 cm

Las dimensiones del rea cobrable deben ser 21.8885 cm 32.8328 cm que dan un rea co-brable de 718.66 cm2. Si a estas dimensiones se le restan los mrgenes, el rea imprimibleresulta de

(21.8885 - 4) (32.8328 - 6) = 480 cm2

Ejemplo 7: Con un rollo de 270 metros de alambrada se debenconstruir dos corrales adyacentes idnticos, como semuestra en la figura 11.17. Calcular las dimensionesque debe tener el cercado para que el rea abarcadasea mxima.

Solucin: Sean x el ancho y y la longitud del cercado total.Como se disponen de 270 metros de alambrada y sevan a emplear tres secciones de longitud x y dos delongitud y , entonces 3x + 2y = 270, de donde

Mximos y Mnimos

181

(7.1)31352xy =

El rea total es31352xA xy x = =

(7.2)23135

2xA x=

Derivando (7.2):

(7.3)135 3dA xdx

=

Igualando a cero y resolviendo la ecuacin que resulta:

135 3 0x = x = 45 (7.4)

Considerando que los valores frontera de la variable x son x = 0 y x = 90 en los cuales elrea abarcada es cero, o sea mnima, tiene que existir un mximo entre 0 y 90. Ese es el valorcrtico calculado de x = 45. Sustituyendo (7.4) en (7.1) para obtener el valor de la base y, seobtiene que

= 67.5( )3 45

1352

y =

Las dimensiones de los dos corrales deben ser de 45 67.5 metros, que dan el rea mximade 3037.5.

Mximos y Mnimos

182

figura 11.19

EJERCICIO 18

1) De todos los cilindros rectos sin tapas inscritos en una esfera de 10 unida-des de longitud de radio, obtener las dimensiones del que tiene mayorsuperficie. Ver figura 11.18.

Sugerencia: La superficie de un cilindro sin tapas es la del rectnguloque se obtiene al desenrollar la parte recta, el cual tiene debase el permetro de la circunferencia que forma su tapa.

2) De todos los paraleleppedos de base cuadrada inscritos en un cono circu-lar recto de 72 unidades de longitud de altura por 24 de radio, obtener lasdimensiones del de mayor volumen (figura 11.19).

Sugerencia: El volumen del paraleleppedo es igual al rea de la base porsu altura. La cara superior, paralela al cuadrado que forma labase toca al cono con sus cuatro vrtices. Se pueden construirdos tringulos rectngulos semejantes: uno, que tenga porcateto vertical la altura del cono y por cateto horizontal elradio de la base del cono; el otro tringulo que quede internoal anterior, que tenga por cateto horizontal a la recta que uneel centro del cuadrado superior con uno de sus vrtices quetocan al cono.

3) Con 7200 metros de alambrada, se desea cercar un terreno rectangular. Siuno de los lados es un ro y solamente los otros tres lados deben cercarse,hallar las dimensiones que deben darse para abarcar la mayor rea posible.

4) Con 7200 metros de alambrada, se desea cercar un terreno rectangular.Hallar las dimensiones que deben darse para abarcar la mayor rea posible.

5) Hallar el de rea mxima de todos los rectngulos inscritos en una semicir-cunferencia de radio (ver figura 11.20),. Dos vrtices del rectngu-144r =lo deben estar sobre el dimetro.

Sugerencia: Si se traza una recta que una el centro de la semicircunferenciacon uno de los vrtices superiores del rectngulo se forma untringulo rectngulo interior al mismo rectngulo cuya hipote-

h

R = radio de la esferar = radio del cilindro

r

R

figura 11.18

figura 11.20

Mximos y Mnimos

183

nusa es el radio de la semicircunferencia. El rectngulo pedido realmente est formado por cuatrotringulos rectngulos iguales al anterior.

6) De todos los rectngulos inscritos en un tringulo equiltero (figura 11.21)cuyo lado mida , hallar el de rea mxima. Dos vrtices del rectn-105l =gulo deben estar sobre uno de los lados.

Sugerencia: La altura del tringulo equiltero lo divide en dos tringulosrectngulos iguales cuyos catetos horizontales miden la mitaddel lado original. Uno de esos tringulos rectngulos es seme-jante al tringulo que queda adentro de l y que est situadoafuera del rectngulo a su derecha y en la parte inferior de todoel tringulo equiltero.

7) Una persona est en el punto A y debe trasladarse hasta elpunto C (ver figura 11.21). Cuando viaja desde A hastacualquier punto P del tramo BC lo hace con una veloci-dad km/h y cuando viaja desde P hasta C lo hace1 60V =con velocidad km/h. Hallar la ubicacin del2 130V =punto P al que debe llegar el viajero proveniente de Apara hacer el mnimo tiempo desde A hasta C.

8) Una lmina de 420 cm de ancho debe doblarse por sus ex-tremos en ngulos rectos para transportar agua (figura11.23). Calcular las dimensiones que deben darse a los do-bleces para que la capacidad sea mxima.

Sugerencia: El largo de la lmina no influye. La capaci-dad del transporte de agua tiene que ver conel rea del corte transversal de la canal, osea con el rea del rectngulo formado porel perfil de los dos dobleces y el perfil de laparte inferior.

figura 11.21

150 km

200 km

A

PCB

V1

V2

figura 11.22

figura 11.23

Mximos y Mnimos

184

figura 11.24

9) Se desea construir una ventana que tenga 15 unidades de permetro,cuya forma sea un rectngulo y un semicrculo sobre su parte supe-rior (ver figura 11.24). Calcular las dimensiones que debe tener paraque permita el mximo paso de luz.

Sugerencia: La semicircunferencia superior depende de las dimensio-nes del rectngulo, ya que su dimetro es la base de di-cho rectngulo. El paso de la luz depende del rea de lafigura 11.24.

Definiciones de maximos y minimosPunto de inflexionCaracteristica de tangenciaIdentificacin de pendientesPasos para calcular minimos y maximosAplicacion